Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи проектирования цифрового устройства оценки измеряемого параметра и обзор известных методов решения 15
1.1. Актуальность задачи оценки измеряемого параметра по частоте сигнала 15
1.2. Принцип формирования измеряемого сигнала в датчике уровня радиодальномерного типа 16
1.3. Анализ помех и искажений, присутствующих в реальном сигнале. Формирование математической модели измеряемого сигнала 20
1.4. Постановка задачи 26
1.5. Обзор методов подавления помех и оценивания частот сигналов в условиях действия помех и шумов 34
1.5.1. Общие положения 34
1.5.2. Обзор методов оценки частоты цифрового сигнала 35
1.5.3. Обзор методов коррекции сигнала с целью устранения фазовых искажений 41
1.5.4. Обзор методов подавления аддитивных помех 44
Глава 2. Разработка методов подавления аддитивных помех и периодических фазовых искажений 55
2.1. Разработка и исследование подсистемы подавления аддитивной мультигармонической помехи 55
2.1.1. Постановка задачи и анализ спектра помехи 55
2.1.2. Метод адаптивной компенсации аддитивной мультигармонической помехи 60
2.1.3. Выбор эталонного сигнала. Модель источника помехи 63
2.1.4. Анализ адаптивных алгоритмов, применяемых при формировании модели источника помехи 66
2.1.5. Применение методов многоскоростной фильтрации сигналов для уменьшения вычислительных затрат на реализацию сложных алгоритмов 68
2.2. Разработка и исследование методов коррекции сигнала для устранения периодических фазовых искажений 80
2.2.1. Постановка задачи и анализ спектра полезного сигнала при наличии фазовых скачков 80
2.2.2. Метод коррекции, основанный на согласовании периодов сигнала 82
2.2.3. Метод коррекции, основанный на линейном предсказании входного сигнала 85
2.2.4. Применение методов многоскоростной фильтрации для повышения точности функционирования алгоритмов коррекции сигналов 89
2.2.5. Исследование функционирования алгоритмов коррекции в условиях действия помех 93
Глава 3. Разработка структуры подсистемы оценки частоты измеряемого сигнала 101
3.1. Постановка задачи 101
3.2. Определение последовательности задач, решаемых при проведении исследований 103
3.3. Исследование зависимости погрешности оценивания от положения сигнала в частотной области 103
3.4. Использование методов квадратурной модуляции для повышения точности оценки частоты сигнала 105
3.5. Исследование чувствительности спектральных методов оценивания к уровню шума 106
3.6. Вычислительная сложность спектральных методов оценивания 109
3.7. Применение методов многоскоростной обработки сигналов для уменьшения вычислительной сложности спектральных методов оценивания 112
3.8. Исследование точностных характеристик спектральных методов оценивания в условиях
действия гармонических помех 117
3.9. Разработка следящего фильтра для подсистемы оценки частоты полезного сигнала 119
3.10. Определение оптимального с точки зрения вычислительных затрат значения коэффициента прореживания 122
Глава 4. Разработка методов решения задачи оптимального проектирования структуры цифрового устройства.
Оценка влияния собственных шумов и ограничения разрядности коэффициентов цифровой системы 125
4.1. Формальная постановка задачи оптимального проектирования 125
4.2. Разработка методов решения оптимизационной задачи 126
4.3. Оценка влияния собственных шумов устройства 132
4.4. Оценка влияния ограничения разрядности коэффициентов при построении фильтров системы 139
Заключение 143
Список литературы
- Обзор методов подавления помех и оценивания частот сигналов в условиях действия помех и шумов
- Разработка и исследование методов коррекции сигнала для устранения периодических фазовых искажений
- Использование методов квадратурной модуляции для повышения точности оценки частоты сигнала
- Разработка методов решения оптимизационной задачи
Введение к работе
Во многих системах управления и контроля применяется косвенный метод измерения управляемых (контролируемых) параметров, который использует преобразование значения этих параметров в частоту гармонического сигнала. Примером такого рода систем являются широко распространенные системы контроля уровня заполнения емкости жидким химическим веществом, в которых для измерения уровня жидкости используется бесконтактный радиолокационный дальномер. Этот прибор осуществляет зондирование исследуемой поверхности при помощи частотно-модулированного СВЧ-сигнала. С выхода датчика снимается сигнал, частота которого пропорциональна времени задержки СВЧ-сигнала от момента излучения до момента приема отраженного сигнала, которое, в свою очередь, напрямую зависит от уровня жидкости. Методика преобразования измеряемого параметра в частоту гармонического сигнала используется также в системах радиоизмерений, различного рода диагностических системах (вибродиагностики, виброакустики, кардиографии), в системах геофизической разведки и т.д. Кроме того, задача оценки параметров гармонического или мультигармонического сигналов в реальном времени встречается в системах автоматизированного контроля сложного радиоэлектронного оборудования.
Для систем управления и контроля рассматриваемого класса актуальной является задача оценки частоты гармонического сигнала с высокой точностью за ограниченный интервал времени в условиях воздействия помех и искажений. Решение данной задачи позволит получить высокоточную быстродействующую управляющую систему, осуществляющую слежение в реальном времени за изменениями управляемых (контролируемых) параметров и позволяющую оперативно формировать необходимые управляющие воздействия. Оценка частоты сигнала за ограниченный интервал наблюдения является известной классической задачей и для ее решения разработано множество различных методов. Наиболее перспективными среди них являются цифровые методы. Применение методов цифровой обработки сигналов (ЦОС) при проектировании устройств рассматриваемого класса позволяет существенно улучшить их характеристики. В первую очередь это относится к точности функционирования устройств, к их надежности и габаритам. Среди цифровых методов решения данной задачи существует большой класс алгоритмов, относящихся к спектральным методам оценивания. Наиболее известные работы в этой области представлены в публикациях Дж.Дженкинса, Г.Уоттса, С.Л.Марпла, С.М.Кея, Д.У.Тафтса, Р.Кумаресана, Д.Дж.Томсона, Дж.Кули, Дж.Тьюки, Л.М.Гольденберга. Эти алгоритмы по своей сути ориентированы на достижение высокой точности оценки спектральных составляющих сигналов. Однако в реальных устройствах эффективность работы этих алгоритмов не всегда является достаточной из-за наличия различного рода шумов и помех, а также ряда трудностей практической реализации (в частности, больших вычислительных затрат). Поэтому проблема поиска эффективного решения задачи оценки частоты сигнала в реальном времени в условиях воздействия интенсивных помех и искажений существует и на сегодняшний день.
Исходя из общей формулировки задачи, одним из необходимых этапов ее решения является подавление помех и искажений, действующих в системах рассматриваемого класса. Борьба с помехами является одной из основных задач практически во всех областях науки и техники, так или иначе связанных с приемом и обработкой информации. За последнее время достигнут значительный прогресс в разработке методов и средств ЦОС, ориентированных на решение этой проблемы. В основе организации этих методов лежит принцип цифровой фильтрации сигналов. Основные работы по данной тематике принадлежат П.Вайдъянатхану, Л.Рабинеру, Б.Гоулду, Р.Шаферу, Р.Хэммингу, Л.М.Гольденбергу, М.Н.Поляку, А.А.Ланнэ. Однако повышающиеся требования к точности, быстродействию и экономичности устройств ставят перед разработчиками новые задачи. Одним из перспективных направлений ЦОС, ориентированных на борьбу со сложными видами помех и искажений, является цифровая адаптивная обработка сигналов. Адаптивная обработка сигналов осуществляется с помощью адаптивных фильтров, которые обладают возможностью перестраивать свои параметры. При синтезе адаптивных фильтров не требуется полных априорных сведений о свойствах сигнала и помехи, что является важным фактором для их использования в изменяющихся условиях. Подавление помех с помощью адаптивных фильтров является разновидностью оптимальной фильтрации, где при решении задачи используется вспомогательный или так называемый "эталонный" сигнал, коррелированный с помехой. Наиболее известные публикации в этой области принадлежат Б.Уидроу, ССтирнзу, К.Ф.Н.Коуэну, П.М.Гранту. В то же время следует заметить, что применение адаптивных методов ЦОС требует значительных вычислительных затрат и не всегда согласуется с условиями работы устройств в реальном времени. Еще одним перспективным направлением цифровой фильтрации сигналов является многоскоростная фильтрация. Многоскоростная фильтрация основана на идее вторичной дискретизации (децимации, интерполяции) обрабатываемого сигнала и обеспечивает снижение вычислительных затрат при реализации цифровых фильтров. Исследование методов многоскоростной обработки сигналов содержится в трудах Р.Крошье, Л.Рабинера, М.Беланже, В.В.Витязева. Разработка эффективных методов борьбы с помехами на основе комплексного применения адаптивной и многоскоростной обработки сигналов является перспективным направлением для решения задачи повышения точности оценивания измеряемых параметров в системах управления и контроля.
Следует заметить, что использование при решении сформулированного комплекса задач методов цифровой обработки сигналов, являющихся достаточно универсальными, позволит использовать полученные результаты и в других смежных областях науки и техники, а также при проектировании систем управления и измерительных устройств других классов.
Основной целью работы является повышение точности оценки измеряемых параметров в системах управления и контроля, использующих датчики уровня радиодальномерного типа. Для достижения поставленной цели необходимо провести анализ принципов функционирования радиодальномера как элемента систем рассматриваемого класса, исследовать возможные методы решения задачи повышения точности оценки измеряемых параметров и, на этой основе, разработать комплекс цифровых методов и устройств, позволяющих эффективно решить сформулированную задачу. При этом необходимо решить следующие частные задачи:
• провести анализ структуры и спектрального состава полезного сигнала, а также помех и искажений, действующих в датчиках радиодальномерного типа;
• разработать обобщенную математическую модель измеряемого сигнала с учетом всех действующих помех и искажений;
• разработать структуру цифрового устройства (состав алгоритмов и взаимодействие между ними), позволяющего решить задачи подавления помех и повышения точности оценки частоты полезного сигнала;
• разработать эффективные методы подавления (компенсации) помех;
• разработать эффективные методы устранения искажений полезного сигнала;
• разработать эффективные алгоритмы оценки частоты полезного сигнала, позволяющие повысить точность оценки частоты полезного сигнала и функционирующие в реальном времени.
При проведении исследований применялись методы спектрального анализа, адаптивной обработки сигналов, многоскоростной фильтрации и оптимизации. При моделировании и разработке программ использовались программные продукты MATLAB5.2 и 6.5, Delphi5, Borland C++ Builder, ADSP-218x EZ-KIT.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Проведен анализ сигналов, помех и искажений, действующих в датчиках радиодальномерного типа, и разработана математическая модель входного сигнала цифрового устройства обработки сигналов.
2. Разработан эффективный адаптивный метод компенсации низкочастотной мультигармонической помехи, характеризующийся применением адаптивного моделирования источника помехи и учитывающий плавное перемещение спектра полезного сигнала по всему рабочему диапазону частот вплоть до его перекрытия со спектром низкочастотной помехи.
3. Разработана структура устройства на основе комплексного использования методов адаптивной и многоскоростной фильтрации для решения задачи компенсации помехи. Предложен подход к реализации источника эталонного сигнала, в котором используется последовательное соединение источника пилообразного сигнала и нелинейного звена.
4. Разработан комплекс методов, позволяющих устранить отрицательное влияние скачков фазы в полезном сигнале на точность оценки его частоты. Методы основаны на использовании принципа распознавания и вырезания участков сигнала, содержащих фазовые скачки, и обеспечивают оптимальное согласование участков сигнала до и после момента скачка фазы.
5. Предложен метод повышения точности согласования участков сигнала до и после скачка фазы на основе применения интерполяции.
6. Разработан эффективный алгоритм оценивания частоты полезного сигнала, основанный на принципе предварительной трансформации сигнала в область частот, оптимальную с точки зрения вычислительной сложности.
7. Предложен способ сокращения вычислительной сложности спектральных методов оценивания без потерь в точности на основе комплексного применения методов квадратурной модуляции и вторичной дискретизации (децимации). Разработан способ выбора оптимального с точки зрения вычислительных затрат коэффициента децимации для устройства оценки частоты сигнала.
8. Разработан метод решения задачи оптимального проектирования цифрового устройства обработки сигналов, в основе которого лежит формулирование задачи линейного целочисленного программирования и решение ее при помощи метода "ветвей и границ".
Представленные в диссертационной работе методы ЦОС и структуры устройств могут быть использованы при разработке систем контроля уровня заполнения емкостей на основе датчиков радиодальномерного типа. Реализация результатов исследований позволит повысить точность оценки измеряемых параметров, значительно ослабить влияние различного вида мешающих факторов и помех, уменьшить размеры и увеличить надежность устройства обработки сигнала за счет перехода от аналоговых средств обработки к цифровым. Результаты работы могут также использоваться в системах управления, контроля и диагностики, в которых применяются измерительные устройства с преобразованием измеряемого параметра в частоту сигнала. Кроме того, разработанные в диссертационной работе методы и алгоритмы оценки частоты на основе спектрального анализа сигналов могут использоваться при разработке цифровых измерительных устройств для автоматической аппаратуры контроля сложного радиоэлектронного оборудования.
Диссертационная работа состоит из четырех глав (в которых представлены результаты исследований, разработанные методы и структуры устройств), заключения, а также набора приложений.
В первой главе рассмотрен принцип формирования полезного сигнала в радиолокационной системе контроля уровня, использующей частотный метод измерения. Анализируются состав и особенности присутствующих на выходе датчика помех и искажений. Исходя из полученных данных, разработана математическая модель входного сигнала цифрового измерительного устройства, учитывающая как наличие различных аддитивных помех, так и искажения фазы полезной составляющей. Формулируется задача оптимального проектирования цифрового устройства, обеспечивающего оценку частоты полезного сигнала с требуемой точностью. Проводится обзор известных работ по рассматриваемой тематике и анализ их эффективности.
Вторая глава посвящена разработке способов борьбы с присутствующими во входном сигнале помехами, а также искажениями фазы, вызванными особенностями формирования сигнала. Предлагаются методы решения задачи подавления аддитивной низкочастотной мультигармонической помехи. Представлена структура подсистемы компенсации на основе комплексного применения адаптивных алгоритмов и многоскоростной обработки сигналов. Рассматриваются способы решения задачи устранения влияния скачков фазы на спектр полезного сигнала. Разработаны методы, позволяющие устранить влияние фазовых скачков на результаты измерений. В основе методов лежит принцип вырезания участков сигнала, содержащих фазовые скачки. В одном из методов применяется устройство линейного предсказания, позволяющее распознавать моменты возникновения скачков фазы. Для повышения точности согласования участков сигнала до и после момента скачка фазы предлагается использовать метод интерполяции сигнала.
Для подавления шумов и помех на входе подсистемы предусмотрен следящий фильтр, ширина полосы пропускания которого выбирается исходя не только из обеспечения требуемых значений отношений сигнал - шум и сигнал -помеха, но и исходя из обеспечения минимального искажения формы сигнала.
В третьей главе проводится анализ точностных характеристик и вычислительной сложности спектральных методов оценивания, и на основании данных анализа принимается решение об организации структуры подсистемы оценки частоты полезного сигнала. Исследуются авторегрессионные (Юла-Уолкера, Берга), параметрические (Прони, Писаренко) и классические (БПФ) методы. На основании данных всех проведенных исследований точностных характеристик была разработана структура устройства оценки частоты, основанная на комплексном использовании спектральных методов оценивания, методов квадратурной модуляции и децимации. Приводятся рекомендации к выбору оптимального с точки зрения вычислительных затрат значения коэффициента децимации для устройства оценки частоты полезного сигнала при заданных требованиях к точности оценивания. Методика определения оптимального коэффициента заключается в минимизации целевой функции, представляющей собой сумму вычислительных затрат на реализацию фильтра-дециматора и спектрального метода оценивания. Данные для расчета вычислительной сложности параметрических спектральных методов оценивания определяются на основе моделирования работы этих методов (находятся порядок модели и размер массива данных) с учетом требований к точности оценивания. Четвертая глава представляет собой описание программно-аппаратной реализации представленных в работе цифровых методов и алгоритмов на цифровых сигнальных процессорах семейства ADSP-218x. Производится трансформация задачи оптимального проектирования в линейную целочисленную (с булевыми переменными) задачу математического программирования. Приводятся формулы, по которым определяются величины запасов ресурсов, весовых коэффициентов ресурсов, расходов ресурсов для конкретного варианта реализации подсистемы, а также правила нахождения нижних граничных оценок для метода "ветвей и границ".
Рассмотрено влияние собственных шумов устройства, вызванных конечной разрядностью данных и коэффициентов, на результаты функционирования устройства. Представлена шумовая модель устройства, где предполагается, что каждая ступень устройства является независимым источником шума. Сделаны выводы о том, что при разрядности представления данных р 15, собственные
шумы цифрового устройства не оказывают серьезного влияния на точность оценивания спектральных методов.
Оценивается влияние конечной разрядности представления коэффициентов в цифровых процессорах на частотные характеристики проектируемых цифровых фильтров. На основании полученных данных сделан вывод, что при разрядности представления коэффициентов q \5 существенные искажения в АЧХ проектируемых цифровых КИХ-фильтров не вносятся.
В заключение представлены основные результаты диссертационной работы.
В приложениях приводятся результаты моделирования разработанных методов, структурная схема цифрового модуля устройства на базе процессора семейства ADSP-218x, блок-схема алгоритмов ЦОС, представленных в работе и программы реализации этих алгоритмов на языке Assembler.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Метод компенсации низкочастотной мультигармонической помехи на основе адаптивного моделирования источника помехи.
2. Структура устройства компенсации низкочастотной мультигармонической помехи на основе комплексного использования адаптивной и многоскоростной фильтрации сигналов.
3. Метод формирования эталонного сигнала для устройства компенсации низкочастотной мультигармонической помехи.
4. Алгоритмы коррекции сигнала, обеспечивающие распознавание и вырезание участков сигнала, содержащих скачки фазы.
5. Способ повышения точности функционирования алгоритмов коррекции, заключающийся в использовании интерполяции сигнала.
6. Алгоритм функционирования и структура устройства оценки частоты полезного сигнала на основе комплексного использования методов квадратурной модуляции, многоскоростной фильтрации и спектральных методов оценивания.
7. Методика выбора оптимального коэффициента децимации для устройства оценки частоты сигнала.
8. Результаты анализа точности и вычислительной сложности спектральных методов оценивания применительно к особенностям сигналов в измерительных устройствах рассматриваемого класса.
9. Методика оптимального проектирования цифрового устройства обработки сигналов.
Обзор методов подавления помех и оценивания частот сигналов в условиях действия помех и шумов
Обзор посвящен методам решения следующих вопросов, вытекающих из представленной выше постановки задачи: - методы подавления (или уменьшения влияния) помех различного вида и шумов в цифровых сигналах; - методы оценки частоты полезного сигнала, содержащегося в сложном многокомпонентном цифровом сигнале, включающем помехи различного вида и шумы.
Вопросы подавления помех и шумов всегда были в центре внимания при проектировании любых радиотехнических систем и, в первую очередь, радиолокационных систем [2,11,25,48,52]. В то же время следует отметить, что методы борьбы с помехами и шумами, разработанные для традиционных аналоговых радиолокационных систем (обнаружения и слежения за воздушными целями), не подходят для использования в радиолокационных устройствах измерения уровней с повышенной точностью, ориентированных на цифровую обработку сигнала. В первую очередь это вытекает из следующих положений: - во-первых, "зондирующий" сигнал в устройствах измерения уровня по своей структуре и методам формирования имеет определенные отличия от традиционных (импульсных) радиолокационных систем (см. математическую модель сигнала (1.1.3 - 1.1.4)). Поэтому также отличаются и методы его обработки; - во-вторых, состав помех и их характеристики также имеют определенные отличия (см. математическую модель измеряемого сигнала (1.1.7 - 1.1.4)); - и, в-третьих, требование достижения высокой точности измерения уровней и переход на цифровые методы обработки данных также диктуют о необходимости применения других методов.
Оценка частоты гармонического сигнала при ограниченном диапазоне наблюдения в условиях помех и шумов является классической задачей ЦОС, для решения которой разработано множество различных методов и алгоритмов.
Классические методы спектрального оценивания. Наиболее известным направлением при решении задачи оценки частоты полезного сигнала, содержащегося в некотором сложном сигнале, является использование методов спектрального анализа. Спектральный анализ — это метод обработки исследуемого сигнала, который позволяет охарактеризовать его частотный состав с определенным частотным разрешением. Математической основой, которая связывает временной сигнал с его представлением в частотной области, является преобразование Фурье. При цифровой обработке данных используется его аналог - дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Существует соответствующее обратное преобразование Фурье. Пара преобразований для прямого и обратного ДПФ N-точечной последовательности данных описывается следующими выражениями [20,41,43 - 47]: Х[к] = NY,x[n]QX {-j2nknl N) (1.5.1) и=0 х[п] = — YX[k] ехрС/ 2я и / N) (1.5.2). N А=0
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - это эффективный алгоритм, предназначенный для быстрого вычисления соответствующего преобразования Фурье [20,41,43 - 47]. Основная идея БПФ - деление N-точечного представления дискретной последовательности на два и более меньших представления, каждый из которых можно обработать отдельно, а затем результат линейно просуммировать, чтобы получить необходимое полное преобразование. Эти дискретные представления меньшего размера в свою очередь также можно разделить на еще меньшие. В общем случае вычисление N-точечного БПФ требует выполнения log2 N шагов с операциями сложения и log N/2 операций умножения на каждом шаге. Таким образом, N-точечное БПФ требует выполнения примерно Nlog2N+ N\og2(N/2) операций, что значительно меньше N операций, необходимых для вычисления N-точечного ДПФ.
Параметрические методы оценивания. В последние годы разработаны более совершенные методы спектрального оценивания, обеспечивающие высокую разрешающую способность на короткой выборке данных и отсутствие боковых лепестков, благодаря чему они получили широкое распространение в радиолокации, гидролокации, синтезе речи, музыки, обработки изображений и сейсмограмм и многих других областях. Суть этих методов связана с использованием модельных представлений об анализируемых процессах, учитывающих свойственные им внутренние связи, которыми пренебрегали в классическом спектральном анализе. Это в значительной мере способствует преодолению эффектов, обусловленных конечным интервалом записи данных, за счет экстраполяции свойств данных за пределы интервала наблюдения.
Подобные методы спектрального оценивания называются параметрическими. К ним относятся методы, в которых используются три типа параметрических моделей временных рядов: авторегрессионная модель (АР), модель скользящего среднего (СС), и комбинированная модель (АРСС) [23,35,41,47, 53,64,66,69]. Наибольшее внимание в литературе уделяется авторегрессионным (АР) спектральным оценкам. Объясняется это тем, что авторегрессионные процессы имеют острые пики, а это связывают с высоким спектральным разрешением. Кроме того, АР-параметры и автокорреляционная последовательность (АКП) связаны системой линейных уравнений, тогда как для вычисления оценок СС- и АРСС-параметров требуется решение нелинейных уравнений. Таким образом, если задана автокорреляционнная последовательность, то АР-параметры можно найти в результате решения так называемых уравнений Юла-Уолкера [23,35,41]:
Разработка и исследование методов коррекции сигнала для устранения периодических фазовых искажений
В соответствии с общей постановкой задачи следующим по важности вопросом, который необходимо решить при проектировании устройства обработки сигналов, является устранение влияния периодических скачков фазы в полезном сигнале (оператор А2). Известно, что полезный сигнал S[nT] описывается математической моделью (2.1.1). Исследование спектра данного сигнала с помощью математического моделирования показывает, что наличие фазовых искажений приводит к "расползанию" спектра сигнала. Наихудший случай наблюдается, если фаза сигнала S[nT] в момент изменения направления ж управляющего сигнала Фб[пТ] (см. (2.1.1)) близка к —. Это приводит к снижению точности при оценке частоты полезного сигнала.
В связи с этим в качестве показателя, характеризующего точность функционирования оператора А2, предлагается использовать эффективную ширину спектра сигнала S[nT] на выходе оператора AF3 . Таким образом, постановка задачи формулируется в следующем виде: необходимо разработать структуру оператора А2 и алгоритм его функционирования, чтобы на его выходе выполнялось условие с max 1А д ,тах» (2.2.1), где АРэффтах представляет собой предельное значение, при котором обеспечивается требуемая точность оценки частоты полезного сигнала. Данное условие должно обеспечиваться на всем рабочем диапазоне частот.
При разработке алгоритма оператора необходимо учитывать следующие особенности: 1) Моменты времени, в которые появляются фазовые искажения сигнала Т S[nT], заранее известны и кратны величине —. 2) Фаза сигнала S[nT] в моменты переключения произвольна.
Для анализа определим спектр непрерывного периодического сигнала S(t), описывающегося математической моделью: S(t) = А0 cos(4y + Ро У Y t Ц- (222) % = 2nF6 Для получения спектра будем использовать метод разложения периодической функции в ряд Фурье по формулам (2.1.4 - 2.1.5). При этом вычисленные коэффициенты Фурье принимают следующий вид: OQ = —— (AQ cos p0 sin(2/zF6rm)+AQ sin p0 cosQ.nF6Tm) - AQ sin p0}, 6Tm ak = T —7\U) cos o sH (F6Tm +k))-A0sm(p0coi7r{F6Tm+k))+A0sm(p0)+ -—- (AQ COS(p0sm(7r(F6Tm -k))-Ao sin p0 co r(F6Tm -k))+AQ sin(pQ\ AF6Tm-b) bk = 0 (2.2.3).
Анализ коэффициентов показывает, что спектр сигнала, описываемого математической моделью (2.2.2), содержит в себе множество гармоник, кратных частоте Fm =—. Наибольшую мощность имеет спектральная составляющая с номером w, наиболее близкая к частоте F6. Таким образом можно сделать вывод, что скачки фазы приводят не только к "расползанию" спектра сигнала, но и осуществляют смещение его основной составляющей на величину \SF\ 0. m . Отсутствие подобных эффектов наблюдается лишь в Т случае, когда на временном интервале, равном ——, укладывается целое число периодов сигнала, т.е. 2F6Tm = к, где к = 1,2.... Влияние скачков фазы в сигнале можно считать отсутствующим, если эффективная ширина спектра сигнала удовлетворяет условию: эфф Fm, то есть меньше стандартного расстояния между двумя ближайшими компонентами. Это означает, что в спектре сигнала содержится лишь одна синусоидальная составляющая. Анализ спектра сигнала позволяет сделать следующие выводы:
1. Наличия в спектре сигнала одновременно нескольких искажений ("расползание" спектра в совокупности с произвольным смещением основной частоты) не позволяет какими-либо известными методами спектрального анализа обеспечить необходимую точность оценки частоты полезного сигнала.
2. Для обеспечения высокой точности оценки частоты полезного сигнала необходимо разработать методы предварительной коррекции сигнала с целью устранения в нем фазовых скачков.
Использование методов квадратурной модуляции для повышения точности оценки частоты сигнала
Согласно данным исследований, проведенных в п.3.3, оптимальной областью частот, в которой практически для всех рассматриваемых спектральных методов наблюдается наименьшая погрешность оценивания, является область средних частот, где на один период сигнала в среднем приходится примерно 4 дискретных отсчета. Следовательно, для того, чтобы добиться повышения точности оценивания на всем исследуемом частотном диапазоне, достаточно трансформировать сигнал в данную область.
Для трансформации сигнала в нужную область частот можно использовать методы квадратурной демодуляции-модуляции [1,12]. На рис.3.4.1 показан один из вариантов общей структуры подсистемы оценки частоты синусоидального сигнала с использованием этих методов. Низкочастотный фильтр необходим для устранения эффектов трансформации сигнала. Принцип действия структуры следующий: 1. Основываясь на априорных данных о частоте измеряемого сигнала, (предыдущий результат измерения) происходит перенос сигнала в область низких частот при помощи комплексной операции квадратурной демодуляции (частота сигнала изменяется на величину F6). 2. Сигналы на каждом из каналов (косинусный и синусный) обрабатываются низкочастотным фильтром. 3. При помощи комплексной операции квадратурной модуляции сигнал переносится в область средних частот (частота сигнала изменяется на величину F6 = 0,25 Fs). 4. Далее производится оценка частоты сигнала. 5. К результату измерения F б добавляется смещение AF = F6 -F6.
Для исследования чувствительности методов спектрального оценивания к уровню шума для каждого метода определяется зависимость минимально допустимого значения размера массива данных N, достаточного для достижения заданной точности оценивания AFomax, от соотношения мощностей сигнал - шум Ps/ при различных значениях порядка модели р (для /л авторегрессионных и параметрических методов) или размера входного буфера данных М(для метода БПФ). Исследования проводятся в области средних частот - оптимальной зоне, в которой согласно п.3.3 наблюдается наименьшая погрешность измерений.
Кривые, характеризующие зависимость N Ps/ для всех исследуемых методов при заданном требуемом показателе погрешности Q, приведены в приложении 8.
Результаты исследований показывают, что для достижения заданной погрешности оценивания наименьшие требования к размеру массива данных (особенно при высоких значениях соотношения сигнал - шум) предъявляются для метода Прони. Минимально допустимые значения N для остальных методов превышают показатели метода Прони на порядок и более. Особенно высокие требования предъявляют метод Берга а также, при условии малого значения порядка модели, метод Писаренко.
Большие значения N для метода Берга объясняются рядом аномалий в спектральных оценках [41]: расщепление спектральных линий и смещение оценок в зависимости от начальной фазы оцениваемого сигнала. Значительное увеличение массива данных уменьшает вероятность возникновения расщепления спектральных линий. В методе Писаренко точностные характеристики в случае коротких записей данных также, как правило, ухудшаются.
Вместе с тем, наибольшую чувствительность к шумам проявляет метод Прони. При малых значениях порядка модели с повышением уровня шума требования к минимально допустимому значению N повышаются в несколько раз. Снижение чувствительности наблюдается при более высоких значениях р, что, согласно [41], позволяет учесть наличие шума. Довольно чувствительным к уровню шума является и метод Юла-Уолкера. Следует правда отметить, что требования к размеру массива данных здесь увеличивается в меньшее число раз, чем для метода Прони.
Значения N для методов БПФ и Писаренко начиная с Ps/ = ЗОдБ и выше практически не меняются, что говорит об их низкой чувствительности к уровню шума по сравнению с двумя предыдущими методами. Пороговое значение для метода Берга чуть выше: Ps/ = 40дБ.
Разработка методов решения оптимизационной задачи
Для решения сформулированной выше задачи оптимального проектирования целесообразно выбрать метод решения, учитывающий особенности постановки задачи и обеспечивающий эффективность ее решения. С учетом произвольного множества вариантов реализации каждого оператора и наличием специфической зависимости между этими вариантами, для решения задачи предлагается использовать метод "ветвей и границ". Известно, что этот метод может с успехом использоваться для решения как линейных, так и нелинейных целочисленных оптимизационных задач. И, кроме того, он позволяет учитывать специфику конкретных задач посредством ввода ряда специальных ограничений.
Метод "ветвей и границ"[9,22] является по своей сути универсальным методом сокращенного перебора вариантов решения оптимизационных задач с целочисленными переменными и требует для каждого конкретного его применения решения следующих вопросов: - определить правило ветвления (правило выбора очередной переменной для назначения в состав решения); - определить порядок вычисления так называемых нижних граничных оценок с учетом целевой функции и всех ограничений задачи. При определении правила ветвления можно учитывать специфические ограничения конкретной задачи. Рассмотрим методы вычисления этих величин для представленной оптимизационной задачи.
Алгоритм ветвления, использованный при решении задачи, заключается в построении графа решения задачи. На каждом шаге ветвления выбирается (по определенному правилу) оператор Aj и ему назначается допустимый вариант реализации Ву/. При этом формируются две вершины графа: одна для события "оператору Aj назначен вариант реализации Ву7", другая - для события "оператору А: запрещен для реализации вариант Bj". Графически это отображено на рис.4.2.1.
Вершины графа записываются в стек вершин в следующем порядке: сначала вершина Rk+u соответствующая запрещающему событию, затем вершина Rk+2 соответствующая разрешающему событию. "Раскрытию" (обработке) подлежит всегда последняя записанная в стек вершина. При этом раскрываемая величина из стека удаляется, а вместо нее заносятся новые.
Если некоторая формируемая вершина представляет вариант решения задачи (вектор Хц полностью сформирован, то есть для всех операторов А, назначены варианты реализации Ву7), то она из стека удаляется, и соответствующее ей решение проверяется на оптимальность.
Если целевая функция V(A), соответствующая этой вершине, меньше текущей оценки V(A), ТО происходит запоминание нового решения (набор переменных Х:{ и величина V(A)), в противном случае вершина игнорируется.
Если некоторая вершина в принципе не позволяет получить решение, лучшее, чем имеющееся текущее решение (это определяется на основе ее нижних граничных оценок), то эта вершина из стека удаляется. Оптимальное решение считается определенным, если стек вершин пуст (то есть все вершины рассмотрены) и хотя бы одно решение найдено.
Рассмотрим алгоритм вычисления правила ветвления и нижних граничных оценок. Правило ветвления для этой задачи на каждом шаге ее решения определяет, какой необходимо взять оператор Aj и какой вариант реализации ВЦ ему назначить (т.е. какой переменной дгу7необходимо присвоить значение, равное 1). Для принятия такого решения необходимо для каждого допустимого варианта реализации 2? 7 вычислить величину RJit которая оценивает предпочтение этого варианта перед всеми остальными. Выбирается тот вариант, у которого величина Rp имеет минимальное значение. Для вычисления Ry вводятся следующие переменные. Переменные X = Xji представляют собой текущее значение переменных, описывающее назначение вариантов реализации В -,- для оператора А: (для текущей вершины графа решения задачи).
