Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи современного естествознания при-
одят к дифференциальным уравнениям с частными производными (уравне-іиям математической физики). Однако получить решение уравнения в явном налитическом виде удается лишь в самых простых случаях. В связи с этим ажное значение приобрели численные методы решения дифференциальных равнений, в частности, метод конечных разностей и метод конечных эле-tenmoe.
Процесс решения задачи математической физики с помощью метода конеч-ых разностей (или метода конечных элементов) включает в себя два основ-ых этапа:
-
конечноразностная (или конечноэлементная) аппроксимация дифференциального уравнения;
-
решение полученной системы сеточных уравнений.
В результате аппроксимации линейного дифференциального уравнения воз-икает система линейных алгебраических уравнений (система сеточных урав-ений), неизвестные которой связаны с узлами выбранной сетки. При этом арактерными являются следующие специфические особенности:
система имеет высокий порядок, пропорциональный числу узлов сетки;
матрица системы является разреженной;
система, как правило, плохо обусловлена.
ice это является причиной того, что применение общих методов линейной лгебры для систем сеточных уравнений далеко не всегда целесообразно. Потому возникла необходимость в разработке специальных методов, которые читывают специфику задачи и позволяют найти решение системы, затрачи-ая меньший объем вычислительной работы по сравнению с общими методами инейной алгебры.
В последние десятилетия широкое распространение получили алгоритмы ешения сеточных задач большой размерности, в которых используются по-педовательности сгущающихся сеток. Эти эффективные и достаточно уни-ерсальные методы получили название многосеточных. Первым методом та-зго типа стал релаксационный метод, предложенный и обоснованный в из-гстных работах Р.П.Федоренко (1961,1964) и Н.С.Бахвалова (1966). Эффек-ивность релаксационного метода, подтвержденная многочисленными прак-ическими расчетами, послужила толчком к интенсивному развитию много-зточных методов. Среди них особое место занимают алгебраические много-еточные методы, которые, в отличие от классических многосеточных ме-одов, используют в основном алгебраическую информацию, содержащуюся в
матрице системы. В этом аспекте они являются более универсальными, чт делает разработку таких методов и их теоретическое обоснование актуально задачей.
Цель и задачи диссертационной работы. В итерационных метода решения систем сеточных уравнений, для улучшения обусловленности матри цы системы используются так называемые переобуславливающие матриці или переобуславливатели. Целью диссертационной работы являлось пострс ение оптимальных (в определенном смысле) алгебраических многосеточны переобуславливателей с внутренними итерациями для матриц, возникающи при конечноэлементной аппроксимации двумерных линейных эллиптически уравнений. При этом ставились следующие основные задачи:
разработка техники построения алгебраических многосеточных переобу славливателей на иерархических треугольных сетках, в основе которой лежи-разбиение сеток на подструктуры;
создание методики и техники построения алгебраических многосеточны: переобуславливателей, основанных на искусственном возмущении исходны конечноэлементных матриц, - с целью минимизации числа используемых уров ней измельчения сетки;
разработка методики и техники построения алгебраических многосеточ ных переобуславливателей на квазииерархических сетках.
Объект исследования. Алгебраические многосеточные переобуславли ватели для симметричных положительно определенных конечноэлементны: матриц.
Методы исследования. В диссертационной работе использовались ме тоды математического анализа, теории дифференциальных уравнений с част ными производными, теории метода конечных элементов, линейной алгебры і теории матриц.
Научная новизна. В диссертации разработана новая техника построени: оптимальных алгебраических многосеточных переобуславливателей для сим метричных положительно определенных конечноэлементных матриц, В ОСНОВІ которой лежат разбиение иерархических треугольных сеток.на подструктурь и использование внутренних.чебышевских итераций.-Применяя ее, построень переобуславливатели как для случая кусочно-линейной аппроксимации, таї и для кусочно-полиномиальных аппроксимаций второго и третьего порядка Впервые предложена, и теоретически обоснована методика построения опти мальных алгебраических многосеточных переобуславливателей на иерархичес ких сетках, основанная на возмущении исходных конечноэлементных матриц
елью которой являлась минимизация числа используемых уровней измельче-ия сетки. Разработаны новая методика и техника построения оптимальных лгєбраических многосеточных перєобуславливателей на квазииерархических реугольных сетках.
Практическая значимость. Полученные в диссертационной работе ре-/льтаты носят теоретический характер и имеют явно выраженную практи-ескую направленность. Они могут быть использованы при создании эффек-ивных многосеточных алгоритмов решения систем конечноэлементных урав-ений большой размерности.
На защиту выносятся следующие основные положения:
разработка и теоретическое обоснование техники построения оптималь-ых алгебраических многосеточных перєобуславливателей с внутренними че-ышевскими итерациями на иерархических треугольных сетках для симмет-ичных положительно определенных конечноэлементных матриц, основанной а разбиении сеток на подструктуры;
разработка и теоретическое обоснование методики построения оптималь-ых алгебраических многосеточных перєобуславливателей на иерархических реугольных сетках, основанной на возмущении симметричных положитель-э определенных конечноэлементных матриц,- с целью минимизации числа :пользуемых уровней измельчения сетки;
разработка методики и техники построения оптимальных алгебраичес-лх многосеточных перєобуславливателей на квазииерархических треугольных гтках и их теоретическое обоснование.
Апробация полученных результатов. Результаты диссертационной эботы докладывались на научных конференциях и семинарах.
Конференции:
IV международная конференция по дифференциальным уравнениям и их при-гнению (г.Русе, Болгария, 1989); IV международный симпозиум по методам ^композиции области (г.Москва, Россия, 1990); III международная конферен-1Я по численному анализу (г.Москва, Россия, 1992); I финско-российская кон-еренция по вычислительной математике (г.Ювяскюля, Финляндия, 1992); европейская конференция по вычислительной математике и передовым при->жениям ENUMATH'95 (г.Париж, Франция, 1995); международная алгебраи-їская конференция, посвященная памяти Д.К.Фаддеева (г.Санкт-Петербург, эссия, 1997); международная конференция по вычислительным наукам и ин-эрмационным технологиям CS1T-97 (г.Ереван, Армения, 1997); международ-ія конференция по вычислительным наукам и информационным технологиям 5ІТ-99 (г.Ереван, Армения, 1999).
Семинары:
Семестр по численному анализу и математическому моделированию, Ме> дународный математический центр С.Банаха (г.Варшава, Польша, 1987,199! семинар по прикладной математике Университета Ювяскюля (г.Ювяскюл Финляндия, 1992); семинар по вычислительной линейной алгебре и ее пр ложениям, Католический университет Наймегена (г.Наймеген, Нидерланді 1993,1995,1996,1997); семинар рабочей группы по проекту INTAS 93-377 (г.П риж, Франция, 1995); семинар по прикладной математике Мичиганского ун верситета (г.Анн-Арбор, США, 1996); семинар рабочей группы по проек-INTAS 93-377ех (г.Санкт-Петербург, Россия, 1997).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражен в 18 научных статьях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, обз ра результатов по многосеточным методам переобуславливания, трех гла заключения, приложения, списка основных обозначений и списка литератур (100 наименований). Объем работы - 246 стр.
