Сплайновые методы сглаживания экспериментальных данных Павлов Николай Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА І. Сглаживащие сплайны одной переменной 19

1. Задача сглаживания с ограничениями 19

1.1. Постановка задачи 19

1.2. О единственности сглаживающего сплайна.. 20

1.3. Аппроксиыационные свойства сглаживающих сплайнов 23

2. Построение сглаживающих сплайнов методом штрафов 29

2.1. О методе штрафов в задаче сглаживания.. 29

2.2. О скорости сходимости метода штрафов..30

2.3. Описание алгоритма 34

2.4. Задача сжатия информации 39

3. Задача сглаживания кубическими сплайнами на основе безусловной минимизации 41

3.1. Постановка задачи 41

3.2. 0 выборе параметров сглаживания 42

3.3. Приближенное решение задачи сглаживания 45

3.4. Запись системы для определения сглаживающего сплайна в терминах -сплайнов... 47

3.5. Еще одно представление алгоритма сгла -живания 51

4. Вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания... 53

4.1. Алгоритм локального сглаживания... 53

4.2. Функционал, минимизируемый в процессе локального сглаживания 55

4.3. Качественный анализ локального сглаживания 57

4.4. Связь задач локального и глобального сглаживания... 60

5. О краевых условиях в задачах интерполирования и сглаживания кубическими сплайнами... 65

5.1. Один способ задания краевых условий... 65

5.2. Об аппроксимации первой производной функции на концах интервала задания... 68

5.3. Описание алгоритма... 71

5.4. Краевые условия в задачах локального сглаживания 73

ГЛАВА II. Сглаживающие сплайны двух переменных 76

1. Задача сглаживания функций двух переменных как задача об условной минимизации выпуклого функционала. 76

1.1. Постановка задачи. 76

1.2. Теорема характеризации. 80

1.3. О единственности решения. 83

2. Задача сглаживания, связанная с безусловной минимизацией выпуклого функционала 85

2.1. Постановка задачи 85

2.2. Отыскание решения 86

2.3. Запись алгоритма в терминах/3-сплайнов. 91

2.4. О методе штрафов в задаче условной минимизации 94

3. Вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания функций двух переменных... 95

3.1. Алгоритм локального сглаживания для случая двух переменных 95

3.2. Процесе локального сглаживания - процесе минимизации выпуклого функционала 98

4. Сглаживание кривых и поверхностей 101

4.1. Параметрические сглаживащие сплайны 101

4.2. Метод наименьших квадратов в задаче аппроксимации параметрическими сплайнами 103

5. Задачи геометрического моделирования 107

5.1. О моделировании объектов сложной геометрии 107

5.2. Построение математической модели лопатки ГТД 109

5.3. Моделирование поверхностей рабочего колеса циркуляционного насоса 118

5.4. Программы сглаживания кривых и поверх ностей 123

Заключение 125

Литература... 127

• Аппроксиыационные свойства сглаживающих сплайнов
• Функционал, минимизируемый в процессе локального сглаживания
• Процесе локального сглаживания - процесе минимизации выпуклого функционала
• Моделирование поверхностей рабочего колеса циркуляционного насоса

Введение к работе

В последнее время широкое применение в задачах вычислительной математики получили сплайны. Хорошие дифференциальные и аппроксимационные свойства, алгоритмичность, простота делают аппарат сплайнов универсальным средством обработки информации на ЭВМ. Экспериментальная информация, носящая дискретный характер (например, значения параметров того или иного процесса в различные моменты времени или дискретноточечное описание геометрической формы объекта), с помощью сплайнов может быть преобразована к непрерывному виду, записана в виде функции, приближенно отражающей реальный процесс. Обратно, любая непрерывная функция может быть приближена с любой наперед заданной точностью сплайном.Здесь уже, в силу того, что для воспроизведения сплайна достаточно хранить лишь его коэффициенты, имеет место переход от непрерывного к дискретному.

Данные экспериментов (в физике, геофизике, медицине, технике, экономике и т.д.) всегда несут в себе погрешность, величина которой во многих случаях может быть оценена - погрешность метода, прибора обычно известна. Интерполяционный сплайн, построенный по таким данным, повторит их ошибки, и, если саму функцию он аппроксимирует, грубо говоря, с погрешностью эксперимента, то об аппроксимации ее производных сказать фактически уже ничего нельзя. Для построения сплайнов, удовлетворительно аппроксимирующих функции, заданные своими значениями с ошибкой, и их производные,целесообразно использовать онлайновые методы сглаживания.

Отметим одну проблему, в которой задачи сглаживания сплайнами играют особую роль. Это проблема генерации и описания форм объектов, имеющих сложные геометрические обводы, с помощью ЭШ решение которой, как показала практика, возможно только на пути использования сплайнов. К таким объектам относятся корпуса судов, аэродинамические элементы летательных аппаратов, кузова автомобилей, лопасти гидротурбин и т.п. Необходимость моделирования их форм в первую очередь связана с задачами автоматизации проектирования, а также изготовления на станках с ЧПУ их конструктивных элементов, узлов и агрегатов.

Сглаживание, таким образом, во многих случаях выступает как необходимый этап в процессе обработки информации.

Впервые идею сглаживания табличных данных при помощи сплайнов, как и саму идею сплайнов, высказал И.Шенберг [393 в 1946 г. Определив сплайн /С -ой степени как функцию, составленную из многочленов А -ой степени, с К-J -ой непрерывной производной, Шенберг для случая равномерной сетки построил базис в пространстве сплайнов, состоящий из финитных сплайн-функций /З^С^с) (в последствии названных нормализованными 3 -сплайнами) таких, что Z /ft*)*/ и рассмотрел сглаживающий сплайн вида где Zi -значения, подлежащие сглаживанию. Им было показано, что эта формула точна на многочленах первой степени и переводит многочлены К -ой степени в многочлены той же степени. Важную роль в развитии подходов к сглаживанию с помощью сплайнов сыграло открытое в 1957 г. Дж. Холидеем [35J экстремальное свойство кубических интерполяционных сплайнов. Оно было сформулировано им так: среди всех функций из Є f&, J> интерполирующих данные значения, минимум функционала достигается на кубическом сплайне с т.н. "естественными" краевыми условиями S (&)~ О ₉ () » О . Это свойство обобщено затем на случай сплайнов произвольной нечетной степени [43], [40].

Опираясь на экстремальное свойство интерполяционных сплайнов, Шенберг в 1964 г. [413 формулирует задачу сглаживания как задачу о минимизации выпуклого функционала. Вслед за Э.Уиттекером [30], [44], который в 1923 г. для сглаживания табличных данных обратился к задаче о минимизации функционала где (f > О , Л Z; - разделенные разности W -го порядка, Шенберг рассмотрел функционал ⁴ 2 « ^І(/)_"^г _/[* ^f_<^x)_J^Jx _{+L[ **>-&>} где ^ - узлы сетки. Он сформулировал утверждение о том, что решением задачи о минимизации функционала 1(f) на множестве функций с интегрируемым квадратом >я? -ой производной является сплайн степени *?л? - / с естественными краевыми условиями и что такой сплайн единствен.

В 1967 г. К.Райнш [37] показал, что для случая кубических сплайнов минимум функционала J(f) отыскивается решением системы /I -го порядка с пятидиагональной матрицей и выписал ее вид.

Задачи сглаживания в подобной постановке изучались также в работах [4], [II], [I4J, [18], [19], [283, [34], [38]. Особо следует отметить монографии П.-Ж.Лорана [18], Ю.С.Завьялова, Б.И.Квасова, В.Л.Мирошниченко [14], В.А.Василенко [4].

Другой подход к проблеме сглаживания с помощью сплайнов связан с задачей о минимизации функционала при ограничениях

0 ? О . Ее решением на множестве функций W^> /<#, &J служат также сплайны. Эта задача, называемая ниже задачей сглаживания с ограничениями (или задача о сплайнах в выпуклом множестве), была впервые сформулирована Аттиа [31] в 1967 г. Им же [32] для наиболее общего случая были изучены вопросы существования, единственности, доказаны теоремы характериза-ции. Среди работ, посвященных изучению этой задачи, следует отметить [5J, [7], [I8J. Вопросы численного решения задачи сглаживания с ограничениями рассматривались в [16], [42].

Аппроксимационные свойства сглаживающих сплайнов затрагивались в [5,6], [8,9], [20].

Исследованию экстремальных свойств интерполяционных сплайнов двух переменных, а также вопросам сглаживания функций двух переменных посвящены работы [12-14]. Особо отметим подход, предложенный в [13]. Здесь минимизируемый функционал берется таким, что задача сглаживания функций двух переменных сводится к решению ряда задач сглаживания функций одной переменной (задача с расщеплением).

Предлагаемая работа посвящена вопросам сглаживания экспериментальных данных при помощи кубических сплайнов - наиболее употребительного аппарата, пригодного для решения многих задач науки и техники. Хотя задачи сглаживания кубическими сплайнами сформулированы достаточно давно, свойства их решений изучены недостаточно, а алгоритмы их построения часто носят эвристический характер.

В работе рассмотрены вопросы единственности решений некоторых постановок задач сглаживания, изучены аппроксимацион-ные свойства в задаче сглаживания с ограничениями, дана вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания. Приведены описание и обоснование некоторых новых алгоритмов численного решения задач сглаживания, таких как метод штрафов в задаче сглаживания с ограничениями в случае одной и двух переменных.

Алгоритмы сглаживания, приведенные в диссертации, реализованы в системе АСТРА 13], [15], [23], [24], предназначенной для автоматизации расчетно-конструкторских работ при проектировании объектов сложной геометрии, а также расчета управляющей информации при их изготовлении на станках с ЧПУ. Эффективность алгоритмов демонстрируется на примерах сглаживания поверхностей реальных объектов,таких как поверхности лопатки газотурбинного двигателя (ГТД) и т.п.

В 1 рассматривается задача сглаживания числовых данных /Г? /-/,...,У, заданных с погрешностями, не превышающими по абсолютной величине о;ё О , на сетке Л :&^ < <*м^а|/л-;-*/!«, ^-/,..., _*/, на классе функций \а/^[л_}ь] и его подклассах \J₂[u,в ^л > /7^ - Д > ^гДе Дг > ^ - фиксированные числа.

Известно, что решениями во всех трех случаях являются кубические сплайны из соответствующих классов.

Достаточные условия единственности в классе рассмотрены в [183. Единственность сглаживающего сплайна произвольной степени для трех типов граничных условий изучалась в [5J.

Формируемые в диссертации достаточные условия единственности в отличие от [5], где рассуждения ведутся в терминах разрывов старших производных сплайна, обладают достаточной наглядностью и могут служить в качестве практических критериев единственности.

ТЕОРЕМА I. Задача минимизации функционала (I) при ограни-чениях (2) имеет единственное решение в классе \л/_г [й, б]₉ если - II - среди функций, удовлетворяющих (2), не найдется ни одного многочлена нулевой степени, в классе \л/^/<2,// - ни одного многочлена степени ниже второй и в классе \л/г [&> ] - многочлена степени ниже третьей.

В этом же параграфе исследуются аппроксимационные свойства сглаживающих сплайнов.

Пусть &i - значения некоторой периодической функции /С^) Є С {Aj &J в узлах равномерной сетки Л > заданные приближенно так, что

В [20J показана сходимость первой производной сплайна к первой производной приближаемой функции в норме С[&,] и сходимость второй производной в норме yj^/й,^!/ при 4. р о -*- О , где j[ sb /каж Л_{г 9} о ss /#<&зг о_А- и при некоторых условиях на последова-тельность сеток. Оценка для нормы разности первых производных, приведенная в [6], носит теоретический характер и может быть уточнена.

Для погрешности аппроксимации самой функции и ее производных сглаживающим сплайном в случае равномерной сетки в работе приводятся оценки * 2[ j S<*-«; II /^a\ci*,*jJ ' г > где & = тазе 0 ,^- шаг сетки. Из вида оценки для по-грешности аппроксимации первой производной функции следует, что задачи дифференцирования табличнозаданных функций с использованием сглаживающих сплайнов становится корректной. Действительно, величина Ejf щжА-+-О не возрастает.

В 2 рассматривается вопрос об использовании метода штрафов в задаче построения сглаживающих сплайнов: минимизировать F(%)

ПРИ \Лі ~Л*\* ** /-<, v */, где ftt) =Jf(S), Л - (Л, j .. .,Л#)*Л_Л- -vSfe-Л Впервые такой подход был предложен в [43J. Однако неудачный выбор неизвестных, в качестве которых были взяты величины Лі э /// з 4*/,..,,// (з'десь /^-= SO**) -т.н. моменты сплайна), привел к системе линейных уравнений 2// -го порядка с матрицей, имеющей шестидиагональную структуру.

Выберем в качестве неизвестных величины /І _? -/,. .., /У, тогда соответствующая система будет иметь порядок У/ и матрицу с пятидиагональной структурой. Вместо степенной функции штрафа, используемой в [43], целесообразно взять составную полиномиальную функцию типа "срезки" ~V(*) = z2-%ai), (4) где * (ZJ = (Лі - Л/- % +(Л* -Лі - %;)l ₉*>0- параметр штрафа, что значительно сокращает счет и повышает его точность.

Для случая &С&*) - Л/ j, 8(-^//) = /у в работе доказана - ІЗ -

ТЕОРЕМА 2. Оценка скорости сходимости метода штрафов с функцией штрафа (4) в задаче (3) при достаточно больших . имеет вид тал U/-U/<

Оценка (5) позволяет указать величину параметра штрафа Z , при которой реализуется решение заданной точности. Приводится алгоритм отыскания сглаживающего сплайна методом штрафов.

3 посвящен задаче сглаживания, связанной с минимизацией функционала а. г'~1 ** где 9;>0. Известно, что в классах W/ljj функционал (б) достигает минимума на сплайнах из этих же классов и такие сплайны единственны. Зависимость решения от параметра сглаживания Р = ?/ ~ - -^s 9// ^{в СЛ}У^Ч8-^е сглаживающего сплайна с естественными краевыми условиями, как показано в работе, устанавливают следующие неравенства *-'"'/Гй^да¹'⁷'¹'' ⁽⁷⁾ справедливое при о < 4. /S6l и _ы._го_Ь,^±_и^гг\, ⁽⁸⁾ где \\J\\ = (Lyf) > /1-СЛі, -, K), /1/ - моменты сплайна, интерполирующего значения f < = = /^ [t₉ j/&A. ] _Р А² = (О, А^В, . . . , A²j._/} of,

Неравенства (7) и (8) позволяют указать те о_; при которых среднеквадратичное уклонение от меньше заданной величины.

В этом же параграфе рассматривается вопрос о построении приближенного решения. Кроме того, приводятся еще две формы записи системы для определения сглаживающего сплайна, используемые при построении сглаживающих сплайнов двух переменных.

В 4 рассматриваются вопросы локального сглаживания при помощи кубических сплайнов, получившего в силу простоты реализации широкое применение в практических задачах. Локальное сглаживание состоит в многократном применении формул локальной аппроксимации, в общем случае имеющих вид где Q(-z) - кубические 3 -сплайны, а <%СЛ) - некоторые линейные функционалы. В простейшем случае (2) « Z; , и формулы (9) совпадают с [391 .При этом (9) точны на многочленах первой степени. При специальном выборе ;(2) формула (9) точна на многочленах третьей степени.

Для случая периодических краевых условий и равномерной сетки в работе дается вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания. Выписывается вид минимизируемого в процессе локального сглаживания функционала. Также рассматривается вариант локального сглаживания с ограничениями. Ус- танавливается близость между локальным и глобальным сглаживанием (т.е. подходами, развитыми в 1-3). В работе также показано на примере формул, точных на многочленах первой степени, что в процессе локального сглаживания в первую очередь происходит подавление высокочастотных гармоник - шумов.

В 5 рассматривается вопрос о выборе краевых условий в задачах интерполяции и сглаживания кубическими сплайнами. Предлагается вслед за [45] в краевых соотношениях $(&)=* Л* , &() = g величины ,/_Л , J? выбирать из условий минимума функционалов /[z'UjV* сю) где % - величины разрывов третьей производной сплайна. При этом изменение характеристик сплайна вблизи его концов приобретает плавный характер. В работе показаны существование и единственность интерполяционных сплайнов с такими краевыми условиями.

Порядок аппроксимации первой производной функции на концах отрезка &, &J в задаче интерполяции устанавливает

ТЕОРЕМА 3. Пусть /&) С⁵1&,] » тогда в случае функционала (10)

Для функционала (II) и /с*) є C*la,/

Здесь же приводится алгоритм построения интерполяционного сплайна с указанным свойством. Даются рекомендации по выбору краевых условий в задачах локального сглаживания.

Во второй главе, состоящей из пяти параграфов, изучаются вопросы, связанные с задачами сглаживания функций двух переменных ^(-Ху^) р (-х-^У) Є S? ~ Га > j*lc, ; & ^s ^ < . . . < ** - <, Ay: C«Jb <... ^-«/величинами ^-.

В 1 второй главы рассматривается задача сглаживания в следующей постановке: пусть погрешности задания /с*,?) в узлах А по абсолютной величине не превышают о^: $ О . Найти функцию, минимизирующую функционал / ё fJlfc^^Jdye/*, где <о > О , при ограничениях

Известно, что если в качестве допустимых выбрать множество \л/₂' /S?/ и его подмножества \л/₂' [?] _? U4' /?/,, являющиеся обобщениями на случай двух переменных множеств \л/? [&, ] > Wj л_? J » ^то решениями во всех трех случаях будут кубические сплайны двух переменных из этих же множеств.

Пусть X^с W4 ' /J/?/ - множество сплайнов W/'²/?J » доставляющих минимум Jf($) без учета ограни- чений (13). Точно так же определяются X ^с W*' IbcJ и X \//_іу)*⁰(<^:у+/в*'$+р_і где X?0 fli«^ -f " постоянные (случай JSfasJ'JeX не имеет такой простой интерпретации). Теорема единственности, доказанная в работе, имеет следующую формулировку

ТЕОРЕМА 5. Задача минимизации функционала (12) при огра-нияениях (13) имеет единственное решение в классах WJ?'/.?./ , \л/_г' [Q] и W/ /Q] » если среди функций из этих классов, удовлетворяющих (13), не найдется ни одной, принадлежа-щей соответственно X, X иХ.

В 2 рассматривается задача сглаживания, связанная с безусловной минимизацией квадратичного неотрицательного функционала

Фс/) ~jc# *iLi. {/&>$) - ц-А < i4) где ?(?) Дай формулой (12), $*/> Известно, что решениями на классах будут кубические сплайны двух переменных из этих же классов. Для определения сглаживающего сплайна записывается система относительно неизвестных J^y - S(?*/?&);имеющая блочно-пятидиагональную матрицу. Для ее решения применяется блочный метод Зейделя. При этом задача размерности Л/ҐІ заменяется последовательностью задач размерности А/ (или /Л ). Для случая равномерной сетки и периодических краевых условий устанавливается положительная определенность матрицы системы, а следовательно и сходимость метода Зейделя. Даются рас- четные формулы для систем относительно неизвестных Д,у и &у - коэффициентов 3 -сплайнов.

В параграфе показывается возможность использования описанного подхода для решения задачи сглаживания функций двух переменных с ограничениями методом штрафов.

3 посвящен рассмотрению задачи локального сглаживания функций двух переменных при помощи формул локальной аппроксимации, точных на многочленах третьей степени. В случае равномерных сеток Лес » Л и и периодических краевых условий показано, что процесс локального сглаживания соответствует минимизации квадратичного неотрицательного функционала методом покоординатного спуска, выписывается его вид.

В 4 второй главы рассматривается вопрос о построении параметрических сглаживающих сплайнов одной и двух переменных. Там же излагается подход к построению эрмитова параметрического кубического сплайна методом наименьших квадратов.

В 5 обсуждается использование алгоритмов сглаживания в задачах моделирования объектов сложной геометрии. В качестве примеров приводятся результаты сглаживания поверхностей лопатки ГТД и лопатки рабочего колеса циркуляционного насоса. Даются краткие характеристики программ, включенных в математичес^ кое обеспечение системы АСТРА.

Аппроксиыационные свойства сглаживающих сплайнов

Пусть теперь ? - значения некоторой функции, заданные с погрешностью. Процедура локального сглаживания состоит в многократном последовательном применении формул (I.4.I) в узлах сетки. При этом значения . на 1-й итерации вычисляют-ся при помощи соотношений

Здесь и дальше под итерацией понимается вычисление вектора j? ; вычисление очередной его компоненты будем назы-вать шагом процесса. Итерации обычно прекращают после того, как величины уклонений от исходных точек достигают допустимых значений, либо после того, как сплайн приобретает требуемые свойства (выпуклости, монотонности, плавности и т.п.). Возможны два следующие варианта локального сглаживания при помощи формул (1.4.2). Первый - когда величины г , фи гурирующие в правых частях упомянутых формул, принадлежат І- ї-й итерации, второй, рассмотрению которого посвящен на стоящий параграф, предполагает, что Яг- в г » при d$y , г = f , при г / . Для случая равномерной сетки и периодического сплайна формулы (1.4.2) могут быть преобра отсюда (A?jj) -— & , или \vf\-0 при / - оо. Таким образом показано, что процесс локального сглаживания при помощи формул локальной аппроксимации, точных на - 57 многочленах третьей степени, в случае периодических краевых условий и равномерной сетки является процессом минимизации квадратичного неотрицательного функционала 1(2) e ZrAZ , где матрица А имеет вид (1.4.4), методом покоординатного спуска. Потребуем, чтобы на каждом шаге процесса локального сглаживания 2г- принадлежало отрезку 12]- ; 2 + о J . Если Z; , вычисленное по формуле (1.4.3), не принадлежит указанному отрезку, например, 2 2f-S то полагаем Z - 2 ot в случае когда 2± 2 5, полагаем Существование решения задачи в такой постановке следует из того факта, что выпуклый функционал, каким является /CZ), достигает минимума на параллелепипеде & : J /- cf- 4 2$ Z/+ с-, г = /, . . . ,//-/. Известно также, что процесс минимизации выпуклого функционала на параллелепипеде G методом покоординатного спуска сходится к одной из точек минимума функционала. Естественно предположить, что при достаточно малых о/ задача имеет единственное решение.

Пусть на 1-й итерации значения сплайна 26- отличаются от /; на величины о/ , т.е. f - + &І » тгда из (1.4.3) следует, что Формулы (1.4.6), (1.4.7) позволяют проследить эволюцию погрешностей в процессе локального сглаживания в случае, когда II / Ггд ] мала. Действительно, пусть /6х) совпадает с многочленом третьей степени, тогда Avf; = Oj и формула (1.4.6) приобретает вид

Но, как было показано, в процессе локального сглаживания (А І)— О, или 11 7/1(- - О а, следовательно, исходные точки преобразуются к точкам, принадлежащим некоторому многочлену третьей степени (в случае периодических краевых ус ловий - константе). Таким образом, формула (1.4.8) может рассматриваться как формула преобразования погрешностей от их случайного распределения в начале процесса к упорядоченному (лежат на графике многочлена нулевой степени), исходный многочлен при этом восстанавливается с точностью до константы.

Обратимся теперь к формулам локальной аппроксимации вида точным (в случае равномерной сетки) на многочленах первой степени и будем использовать их в целях сглаживания.

Функционал, минимизируемый в процессе локального сглаживания

В настоящем параграфе речь пойдет об аппроксимации геометрических объектов таких, как кривые и поверхности в трехмерном пространстве. В силу этого все рассуждения будут вестись для случая трех измерений. Однако они легко могут быть перенесены на случай любого числа измерений.

задачи решаются при помощи методов, описанных в Кубическим параметрическим сплайном от одного параметра на сетке ;: , ... / (или V -сплайном) называется компоненты которой Х( ) У( ) 7 (S) представляют из себя кубические сплайны на сетке А . Кубический параметрический сплайн от двух параметров на сетке Д аг/(или \л/ -сплайн), определяется как вектор-функция компонентами которой являются кубиче-сике сплайны от двух переменных на сетке А . Естественным образом формулируется задача интерполяции для параметрических сплайнов. Пусть имеется набор точек и сетка 4 Интерполяционным параметрическим сплайном называется V -сплайн, для которого выполняется \ZOf;)-Z; у 4=/ . . .;У . Соответственно, если имеется набор точек {%г/ - (л / $/ (/) " / j-f, - . ,/ J и сетка А , то интерполяционный I/ -сплайн определяется как сплайн, для которого у- ґ; . . . /Y . Краевые условия, замыкающие задачи интерполяции, формулируются так же как и в одномерном случае (п.п. I.I.I, 2.I.I), если величины, входящие в соотношения, рассматривать как векторные. Очевидно, что для построения интерполяционного параметрического сплайна необходимо построить три одномерных интерполяционных сплайна. Задачу сглаживания параметрическими сплайнами рассмотрим на примере построения сглаживающеио V -сплайна. Пусть точки "/" С- -!} /!;,??) заданы с погрешностями, измеряемыми величинами . О , т.е. если / - значения некоторой вектор-функции, то I fa - Zj\ Ъ . Рассмотрим задачу сглаживания параметрическими сплайнами в следующей постановке. Необходимо найти V -сплайн, минимизирующий функционал то задача сведется к отысканию трех одномерных сглаживающих сплайнов. При этом - 103 Здесь вместо шаровой окрестности точки - берется окрест-ность в виде куба, вписанного в шар радиуса . Можно также рассмотреть задачу сглаживания, связанную с безусловной минимизацией функционала где о. О . Нетрудно видеть, что такая задача также распадается на три одномерные. То же можно сказать и о задаче, локального сглаживания пространственных кривых. Во всех трех случаях одномерные соответствующих разделах главы I.

Следует отметить, что в практических задачах, связанных с аппроксимацией пространственных объектов (кривая, поверхность), как правило задается только совокупность точек, описывающих объект, и в редких случаях сетка на которой должен строиться сплайн.

Вопрос о выборе сетки по-существу является вопросом о выборе параметризации объекта и здесь рассматриваться не будет. Отметим лишь, что простейший подход состоит в разбиении отрезка задания сплайна пропорционально хордам . = % _ j f . Следует иметь ввиду, что такой подход гарантирует приемлимые результаты лишь тогда, когда oi/ 0 & // / Если же это не так, процедуру сглаживания следует повторить несколько раз, пересчитывая сетку после каждого сглаживания.

До сих пор рассматривались кубические сплайны дефекта I. Обладая хорошими дифференциальными свойствами (S&1) С / , //) такие сплайны в силу того, что их коэффициенты полностью определяются заданием значений и краевых условий, представляют из себя довольно жесткую конструкцию. В задачах дизайна, генерации форм объектов, .где дифференциальные свойства не играют большой роли, естественно использовать аппарат т.н. кубических эрмитовых сплайнов. Имея в общем случае лишь одну непрерывную производную, такие сплайны обладают большей гибкостью, чем сплайны класса С .

Процесе локального сглаживания - процесе минимизации выпуклого функционала

Построение математической модели изделия (в цифровой форме), под которой понимается полное описание его геометрии, является одним из важнейших этапов решения названных проблем. Действительно, все дальнейшие расчеты, результатом которых является, например, управляющая информация для станков с ЧПУ, в качестве отправной точки имеют математическую модель и, следовательно, качество самого изделия в первую очередь зависит от качества его математической модели.

Исходной информацией для построения математической модели изделия являются, как правило, некоторые табличные данные. Так, поверхности лопасти ГТД описываются наборами плоских сечений, каждое из которых задается совокупностью точек. Исходная информация о геометрии объекта всегда несет в себе ошибки. Их появление обуславливается либо погрешностью вычислительного метода, либо погрешностью приборов, используемых, например, для "снятия точек" с модельных изделий. Ошибки могут быть внесены также при переписывании или перфорировании данных. Кривые (или поверхности), построенные по этим данным, могут уже не отвечать предъявляемым к ним требованиям (например, иметь неплавный характер и т.д.).

На этапе сглаживания осуществляется замена исходной кривой (поверхности) некоторой другой кривой (поверхностью), имеющей плавный характер и вместе с тем мало уклоняющейся от исходной, например, не более, чем на величину о , как это имеет место в случае сглаживания с ограничениями. Выбор о (в каждой точке может быть задано свое о ) обычно связывают с оценкой погрешности. Такая оценка не должна быть слишком грубой, во всяком случае должны выполняться условия единственности решения задачи сглаживания (теоремы I и 5). Если о величине д ничего не известно, то поступают следующим образом. В ходе численных экспериментов определяют наименьшее о ,при котором кривая (поверхность) уже обладает требуемыми свойствами, такими как плавность, монотонность и т.п.

Сглаживание может быть использовано и в задачах генерации форм. Изменяя параметры сглаживания (в задачах сглаживания с ограничениями такими параметрами являются о , либо о-в задачах сглаживания, связанных с безусловной минимизацией выпуклых функционалов) можно по исходным, грубым очертаниям получать некоторые формы плавного характера.

Получение управляющей информации для изготовления лопаток ГТД на специализированном трехкоординатном станке с ЧПУ включает в себя три этапа. На первом этапе по данным чертежа осуществляется построение математической модели лопатки, т.е. W -сплайнов, описывающих ее поверхность. На втором этапе строятся поверхности обработки (тоже в виде W -сплайнов), т.е. поверхности, вдоль которых происходит движение инструмента. Расчет положений инструмента во время обработки, а также собственно получение управляющей информации для станка,-составляет содержание третьего этапа.

Математическая модель лопатки ГТД представляет из себя совокупность из пяти поверхностей: двух поверхностей пера лопатки (т.н. поверхности "спинки" и "корыта"), трактовой поверхности замка и двух поверхностей антивибрационной полки. Если три последние - поверхности вращения с образующими простого вида - в первом случае это прямая, во втором - дуги окружностей, то поверхности пера являются таблично заданными поверхностями весьма сложного характера. Получение качественной математической модели лопатки предполагает сглаживание этих поверхностей.

На рис.4 схематично (в виде линий постоянства параметров / и ) изображена одна из поверхностей пера лопатки ГТД ("спинка") описываемая -сплайном W" W&j Z) ). Анализ плавности поверхности производится по значениям нормальных кривизн / линий ІЇ с&/?/ (поперечные линии) и / линий /«сся / (продольные линии) для исходной (табл.5) и сглаженной поверхности (табл.б). В указанных таблицах для каждой линии -со/7 ё с номером V (номер линии возрастает с ростом параметра ) приводятся: в первой колонке значения / , во второй - g , упорядоченные по возрастанию / . Внизу даются максимальное {Х/1АХ ) и минимальное (ЛТУЛУ) значения полной кривизны поверхности (в скобках указывается номер линии и точки, где это значение достигается). Видно, что абсолютное значение полной кривизны для сглаженной поверхности несколько меньше, чем для исходной.

На рис. 5,6 и 7,8 изображены графики / t линий % &" и / линий / со/р$/ с нечетными номерами для исходной и сглаженной поверхности соответственно. Обращает на себя внимание несколько неплавный характер изменения кривизн / , (начиная с линии с номером б фактически имеют место разраывы кривизны), а также Х , вплоть до изменения ее знака. Распределение кривизны на сглаженной поверхности носит значительно более плавный характер. Важно отметить, что поведение / вдоль 4 с /7$ и / вдоль & && / также приобретает монотонный характер.

Моделирование поверхностей рабочего колеса циркуляционного насоса

Полученная таким образом поверхность, в отличие от поверхности, построенной по исходным данным (рис.11), уже имеет плавный характер (рис.12).

В программное обеспечение системы АСТРА включены следующие программы сглаживания кривых: StfCGZ - осуществляет сглаживание с ограничениями (алгоритм основан на применении метода штрафов); S/1CZ/jS//CZ3- реализуют локальное сглаживание с ограничениями (в первом случае при помощи формул, точных на многочленах первой, во второй - третьей степени); поверхностей: Stffitfj SS1S3 - реализуют локальное сглаживание с ограничениями (в первом случае при помощи формул, точных на многочленах первой, во второй - третьей степени). Параметрами программ являются: имя исходной кривой или поверхности в банке данных (ВД) системы, имя, под которым должен быть размещен результат (все объекты типа кривых и поверхностей хранятся в банке данных системы под своими именами), а также значения допустимых величин отклонений. Во время работы программы S/1CG , S/fCZ/ , S//CZ3 на АЦПУ выдается следующая информация В диссертации рассмотрены основные подходы к сглаживанию экспериментальных данных с помощью кубических сплайнов. Исследованы аппроксимационные свойства решений. Обоснованы существующие алгоритмы построения решений, а также предложены некоторые новые. Основными результатами диссертации являются: 1. Оценка погрешности аппроксимации первой производной функции в равномерной норме, заданной значениями с погрешностями, сплайном - решением задачи сглаживания с ограничениями. Из вида оценки следует корректность задачи численного дифференцирования с помощью сглаживающих сплайнов. 2. Алгоритмы построения решений задач сглаживания с ограничениями в случаях функций одной и двух переменных с использованием метода штрафов. Оценка скорости сходимости метода штрафов в этой задаче (случай одной переменной). 3. Неравенства, устанавливающие зависимость решения задачи сглаживания, связанной с безусловной минимизацией выпуклого функционала, от параметра сглаживания. 4. Вариационная интерпретация алгоритмов локального сглаживания в случае функций одной и двух переменных при помощи формул локальной аппроксимации, точных на многочленах первой и третьей степени. 5. Исследование аппроксимационных свойств краевых соотношений, выбираемых из условий минимума некоторых выпуклых функционалов, в задаче интерполирования кубическими сплайнами. 6. Разработка методики применения алгоритмов сглаживания в задачах моделирования объектов сложной геометрии. Решение ряда практических задач моделирования.