Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нестационарные кусочно-линейные процессы на пуассоновских потоках
1.1 Алгоритм численного моделирования кусочно-линейного процесса на пуассоновских потоках и некоторые свойства характеристик пуассоновского потока точек, его определяющих 16
1.2 Математическое ожидание и дисперсия кусочно-линейного процесса с аддитивным случайным процессом в опорных точках 23
Глава 2. Асимптотически стационарные кусочно-линейные процессы на пуассоновских точечных потоках 36
2.1 Кусочно-линейный процесс с независимыми одинаково распределенными величинами в пуассоновских опорных точках 36
2.2. Численное исследование корреляционной структуры процесса с независимыми одинаково распределенными величинами в пуассоновских опорных точках 44
Глава 3. Алгоритмы моделирования некоторых специальных типов негауссовских случайных полей 47
3.1 Алгоритм для приближенного численного моделирования условно распределенных негауссовских полей 47
3.2 Приближенный алгоритм численного моделирования условно распределенных индикаторных полей с использованием порогового преобразования гауссовских полей 51
3.3 Приближенный алгоритм численного моделирования условно распределенных полей суточных сумм жидких осадков 52
3.4 Алгоритм для оценки степени неоднородности пространственных метеорологических полей 56
Глава 4. Численное статистическое моделирование полей суточных сумм жидких осадков и оценка статистических характеристик аномальных режимов выпадения осадков 62
4.1 Численное статистическое моделирование пространственных полей сумм жидких осадков 63
4.2 Верификация мультипликативной модели 74
4.3 Численное статистическое моделирование пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков 75
4.4 Приближенное численное моделирование пространственно-временных случайных полей суточных сумм жидких осадков 77
4.5 Численная оценка степени неоднородности пространственных полей суточных сумм жидких осадков 87
4.6 Приближенное численное моделирование неоднородных индикаторных полей осадков 88
Заключение 91
Список литературы 93
- Математическое ожидание и дисперсия кусочно-линейного процесса с аддитивным случайным процессом в опорных точках
- Численное исследование корреляционной структуры процесса с независимыми одинаково распределенными величинами в пуассоновских опорных точках
- Приближенный алгоритм численного моделирования условно распределенных полей суточных сумм жидких осадков
- Численное статистическое моделирование пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков
Введение к работе
Актуальность. В последние годы привлекает большое внимание проблема
исследования стихийных природных явлений с тяжелыми последствиями для
населения и большими ущербами для экономики. Создание методов и
алгоритмов численного статистического моделирования случайных
атмосферных, океанологических и других природных процессов, позволяющих
методами прямого численного моделирования оценивать вероятности
возникновения аномальных ситуаций, является актуальной тематикой
исследований, которая отвечает приоритетным направлениям науки и техники
Российской Федерации. При существующем большом разнообразии
практических приложений методов статистического моделирования, постоянно
увеличиваются требования к качеству и универсальности моделей, которые
позволяют более точно описывать различные природные среды и на более
высоком уровне решать широкий класс задач в различных областях науки.
Поэтому существует потребность в разработке новых подходов к
моделированию случайных процессов и полей, отвечающая современным
требованиям. Тема диссертационной работы, связанная с разработкой новых
алгоритмов моделирования случайных процессов и полей, учитывающих
специфику реальных процессов, и применением этих алгоритмов для построения
численных статистических параметрических моделей реальных
гидрометеорологических процессов и полей является актуальной.
Цель исследования. Основной целью диссертационной работы является разработка алгоритмов численного моделирования нестационарных и асимптотически стационарных негауссовских кусочно-линейных случайных процессов на пуассоновских потоках, исследование вероятностных свойств этих процессов, построение алгоритмов численного моделирования негауссовских условно распределенных случайных полей, разработка алгоритмов численного стохастического моделирования однородных и неоднородных полей осадков, построение на основе реальных данных с использованием этих алгоритмов численных стохастических параметрических моделей полей осадков, верификация моделей, оценка по модельным данным характеристик аномальных осадков. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.
Задачи исследования:
-
Разработка алгоритмов моделирования нестационарных и асимптотически стационарных кусочно-линейных негауссовских случайных процессов на пуассоновских потоках, теоретическое и численное исследование вероятностных свойств этих процессов.
-
Разработка алгоритмов численного моделирования негауссовских условно распределенных случайных полей. Разработка алгоритма для оценки степени неоднородности реальных полей.
3. Разработка алгоритмов приближенного моделирования однородных и
неоднородных полей осадков. Построение численных параметрических
стохастических моделей однородных пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков.
-
Разработка алгоритмов верификации моделей и их применение для оценки качества моделей однородных и неоднородных полей осадков.
-
Проведение численных экспериментов по моделированию и верификации полей осадков, а также по оценке характеристик аномальных осадков по модельным реализациям.
Методы исследования. В настоящей диссертационной работе для решения
поставленных задач использовались методы теории вероятностей,
математической статистики, математического анализа, а также методы
численного моделирования случайных процессов и полей: методы
моделирования гауссовских процессов и полей; методы моделирования
негауссовских полей с использованием нелинейных преобразований
гауссовских полей, в том числе на основе различных модификаций метода обратных функций распределения; методы стохастической интерполяции случайных процессов и полей дискретного аргумента; методы моделирования бинарных полей на основе специальных преобразований гауссовских полей. На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 – вычислительная математика.
-
Алгоритмы численного моделирования нестационарных и асимптотически стационарных негауссовских кусочно-линейных процессов непрерывного аргумента на пуассоновских потоках и их свойства.
-
Алгоритмы численного моделирования негауссовских условных полей на регулярных сетках.
-
Алгоритм оценки степени неоднородности пространственных полей, представленных данными метеорологических наблюдений на нерегулярной сети станций.
-
Численные стохастические параметрические модели пространственных и пространственно-временных однородных и неоднородных полей суточных сумм жидких осадков. Оценки характеристик аномальных осадков.
Научная новизна. Впервые предложены алгоритмы моделирования и изучены свойства кусочно-линейных случайных процессов на пуассоновских потоках со значениями в пуассоновских опорных точках в виде накапливающейся суммы независимых одинаково распределенных случайных величин. Получены точные выражения для функции распределения случайных переменных, образующих этот процесс, их начальных моментов произвольного порядка и дисперсии как функций от времени. Для кусочно-линейного процесса этого типа получены точные выражения для математического ожидания и дисперсии как функций от времени. Показано, что математическое ожидание и дисперсия являются асимптотически линейными функциями.
Впервые теоретически изучены свойства кусочно-линейных случайных
процессов на пуассоновских потоках с независимыми одинаково
распределенными величинами в пуассоновских опорных точках. Получены точные выражения для математического ожидания, дисперсии, а также
коэффициентов асимметрии и эксцесса этого процесса. Численно исследована корреляционная структура процесса, показано, что в отличие от выпуклых корреляционных функций кусочно-постоянных процессов на точечных потоках, корреляционная функция рассматриваемого процесса имеет точку перегиба.
Построены новые алгоритмы численного стохастического моделирования негауссовских условно распределенных полей на регулярных сетках; новые алгоритмы численного стохастического моделирования пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков, а также алгоритмы верификации модели.
Разработан новый алгоритм для оценки степени неоднородности реальных полей.
Научная и практическая значимость. В диссертации предложена
модификация известного метода моделирования случайных кусочно-
постоянных процессов и полей на точечных потоках. Модификация основана на
кусочно-линейном представлении случайного процесса на точечных потоках,
что позволяет моделировать процессы с корреляционными функциями,
имеющими точку перегиба. Это существенно расширяет область приложений
для алгоритмов моделирования случайных процессов с использованием
точечных потоков. Предложена также модификация алгоритмов моделирования
процессов на точечных потоках, позволяющая моделировать нестационарные
процессы, реализации которого представляют собой кусочно-линейные
функции. Разработанные в диссертации алгоритмы моделирования условных
негауссовских полей могут быть использованы при построении
параметрических стохастических моделей реальных процессов и полей, в частности в метеорологии и океанологии при усвоении реальных данных, в задачах гидрологии при совместном моделировании стока рек и пространственно-временных полей сумм осадков. Построенная численная стохастическая параметрическая модель пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков имеет самостоятельное значение для оценки характеристик аномальных осадков.
Личный вклад. Все основные результаты, изложенные в настоящей диссертации, получены автором лично. В совместных работах научному руководителю д.ф.-м.н. Огородникову В.А. принадлежит первоначальная постановка задач и определение направлений исследований. Часть теоретических результатов, касающихся, распределения величины, образующей нестационарный процесс, получены при личном участии автора совместно с профессором Л.Я. Савельевым. Помимо получения теоретических результатов, автор самостоятельно выполнил все численные эксперименты и разработал комплекс соответствующих вычислительных программ.
Достоверность полученных результатов. В диссертационной работе
использованы научные методы обоснования полученных результатов и выводов.
Проведены теоретические исследования и соответствующие численные
эксперименты. Полученные алгоритмы протестированы методами
статистического моделирования. Проведена верификация построенных моделей.
Апробация работы. Основные результаты настоящей диссертационной работы были представлены на конференциях и семинарах различных уровней: Eight International Workshop on Simulation (г. Вена, 2015г.), Международной научной конференция «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (г. Новосибирск, 2014, 2015гг.), The Third International Workshop AMSA «Applied Methods of Statistical Analysis, Nonparametric Approach» (г. Новосибирск, 2015г.), VIII, IX, X, XI Международные выставки и научный конгресс «Итерэкспо ГЕО-Сибирь» (г. Новосибирск, 2012, 2013, 2014, 2015гг.), Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск, 2005, 2013, 2014, 2016 гг.), XIX, XX, XXI и XXII Рабочих группах «Аэрозоли Сибири», (г. Томск, 2012, 2013, 2014, 2015 гг.), Международной научной конференции «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей», (г. Новосибирск, 2013г.), The International Workshop AMSA «Applied Methods of Statistical Analysis. Applications in Survival Analysis, Reliability and Quality Control» (г. Новосибирск, 2013 г.), Seventh International Workshop on simulation (г. Римини, 2013г.), XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 2012г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока» (г. Москва, 2012г.), Всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (г. Новосибирск, 2012г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, КВМ-2011 (г. Новосибирск, 2007, 2011гг.), XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005г.), учебно-научных семинарах «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике» ИВМиМГ СО РАН. Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ [1 – 16], из них 6 – в журналах, включенных в перечень ВАК РФ [1, 4, 8, 12 – 14]. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы. Объем диссертационной работы – 100 страниц, в том числе 24 рисунка, 6 таблиц. В списке литературы содержится 73 наименования на русском и английском языках.
Математическое ожидание и дисперсия кусочно-линейного процесса с аддитивным случайным процессом в опорных точках
Приведены результаты сравнения этой модели с мультипликативной моделью. Алгоритм для оценки степени неоднородности пространственных метеорологических полей использован для оценки степени неоднородности пространственных поле индикаторов суточных сумм жидких осадков. Показано, что поле индикаторов, представленное данными реальных наблюдений является неоднородным по корреляциям. В связи с этим рассмотрена модель неоднородного пространственного поля индикаторов осадков, основанная на специальной стохастической интерполяции значений индикаторов со станций в узлы регулярной сетки. Заключение содержит перечень основных результатов диссертационной работы. Достоверность полученных результатов. В диссертационной работе использованы научные методы обоснования полученных результатов и выводов. Проведены теоретические исследования и соответствующие численные эксперименты. Полученные алгоритмы протестированы методами статистического моделирования. Проведена верификация построенных моделей. Апробация работы.
Основные результаты настоящей диссертационной работы были представлены на конференциях и семинарах различных уровней: на Eight International Workshop on Simulation (Австрия, г. Вена, 21-25 сентября, 2015 г.), Международной научной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики», посвященной 90-летию со дня рождения академика Г.И. Марчука (г. Новосибирск, Академгородок, 19-23 октября 2015 г.), The Third International Workshop AMSA «Applied Methods of Statistical Analysis, Nonparametric Approach» (г. Новосибирск, Белокуриха 14-19 сентября 2015 г.), XI Международной выставке и научном конгрессе «Итерэкспо ГЕО-Сибирь» (Россия, г. Новосибирск, 14-15 апреля 2015 г.), Международной научной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики», (г. Новосибирск, Академгородок, 8-11 июня 2014 г.), X Международном научном форум «ИНТЕРЭКСПО ГЕО-СИБИРЬ – 2014» (Россия, г. Новосибирск, 16-18 апреля 2014 г.), Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Россия, г. Новосибирск, 7-9 апреля 2014 г.), XIX, XX, XXI и XXII Рабочих группах «Аэрозоли Сибири», (Россия, г. Томск, 2012, 2013, 2014, 2015 гг.), Международной научной конференции «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей», (г. Новосибирск, Академгородок, 10 13 октября 2013 г.), The International Workshop AMSA «Applied Methods of Statistical Analysis. Applications in Survival Analysis, Reliability and Quality Control» (г. Новосибирск, 25-27 сентября 2013 г.), на Seventh International Workshop on simulation (Италия, г. Римини, 21-25 мая 2013 г.), IX Международной выставке и научном конгрессе «ИНТЕРЭКСПО ГЕО-СИБИРЬ 2013» (Россия, г. Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.), Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Россия, г. Новосибирск, 2-4 апреля 2013 г.), XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 15-17 октября 2012 г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока» (г. Москва, 10-12 апреля 2012 г.), VIII Международной выставке и научном конгрессе «ИНТЕРЭКСПО ГЕО-СИБИРЬ 2012» (г. Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.), Всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (г. Новосибирск, 12-15 июня 2012г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (г. Новосибирск, Академгородок, 29 июня – 1 июля 2011г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (г. Новосибирск, Академгородок, 18-20 июня 2007г.), XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, Академгородок, 12-14 апреля 2005г.), Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Россия, г. Новосибирск, 24-28 марта 2005 г.), Учебно-научных семинарах «Методы Монте 14 Карло в вычислительной математике и математической физике» ИВМиМГ СО РАН. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ (без учета тезисов конференций) [34-38, 44, 46-48, 58, 65-69, 72], 6 статей [36, 38, 47, 65, 67, 69] в журналах, включенных в перечень ВАК РФ.
Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (грант № 11-01-00641-а, грант № 12-05-00169-а, №15-01-01458-а), программы «Ведущие научные школы Российской Федерации» НШ-5111.2014.1
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Огородникову за постоянное внимание к работе и ценные советы, члену–корреспонденту РАН Г.А. Михайлову за поддержку, профессору Л.Я. Савельеву за сотрудничество и полезные обсуждения, а также профессору С.М. Пригарину за полезные советы.
Численное исследование корреляционной структуры процесса с независимыми одинаково распределенными величинами в пуассоновских опорных точках
Из приведенных формул видно, что процесс 7(0 вида (2.1) для рассмотренных распределений величин Yv{t) является асимптотически стационарным по математическим ожиданиям, дисперсиям, асимметрии и эксцессу. В отличие от кусочно-постоянных процессов, рассмотренных в работах [26, 27], одномерное распределение такого процесса (2.1) в любой точке временной оси не совпадает с заданным распределением в опорных точках.
В Таблице 1 приведены значения для математического ожидания, среднеквадратического отклонения (с.к.о.), коэффициентов асимметрии и эксцесса для процесса 7(0 вида (2.1) при z1—»оо и для величин Yv{t), распределённых равномерно на интервале [-1;1].
В Таблице 3 приведены оценки моментов m1(t), m2(t), m3(t), m4(t), вычисленные по модельным выборкам процесса Y(t) вида (2.1), а также соответствующие значения этих моментов, вычисленные по теоретическим формулам (2.8) - (2.11). При оценке по модельным выборкам использовалось 10 000 000 траекторий процесса. Аналогичные расчеты проведены для случайных функций E[Q(t)], E[Q2(t)] с параметром А = 0.25, результаты приведены в Таблице 4.
Таблица 3 - Оценки начальных моментов m1(t), m2(t), m3(t), m4(t), вычисленные по модельным выборкам и формулам (2.8) - (2.11), \ = 1, А = 0. t m2(t) m2(t) модельные m3(t) m3(t) модельные m4(t) модельные m4(t)
Результаты расчетов корреляционной функции процесса (2.1) по модельным выборкам для случая, когда случайные величины Yi имеют функцию распределения F(x) = 1-exp(-A1x), а величины Х, образующие последовательность Sk имеет плотность распределения /(х)=Аexp(-Ах) приведены на Рисунках 2.1 и 2.2 [72]. На Рисунке 2.1 приведена зависимость корреляционной функции r(t,r) процесса 7() от времени t. Для параметров \=1, А = 0.25 при t 15 процесс становится близким к стационарному по корреляциям, аналогичное поведение процесса наблюдается также по математическим ожиданиям и дисперсиям (см. Рисунок 2.2). На Рисунке 2.2 приведена также зависимость от времени данного процесса является наличие точки перегиба для каждой из приведенных функций, что существенно отличает их от корреляционных функций кусочно-постоянных процессов на пуассоновских точечных потоках и на потоках Пальма, для которых характерной особенностью является их выпуклость вниз [26, 27].
В данной главе рассматриваются некоторые специальные алгоритмы моделирования условный негауссовских полей на регулярной сетке при фиксированных значениях поля в заданной системе точек. Важным классом задач, для которых применение этого метода оказывается естественным, являются задачи, связанные со стохастической интерполяцией метеорологических полей с нерегулярной сети метеорологических станций в узлы регулярной сетки. Алгоритмы моделирования реализаций условно распределенных гауссовских полей при заданных значениях в фиксированных точках хорошо известны [30, 40, 60, 61, 6]. Эти алгоритмы основаны на различных вариантах моделирования гауссовских векторов с заданным вектором средних значений и ковариационной матрицей. При моделировании условно распределенных гауссовских векторов заданными характеристиками являются вектор условных средних, зависящий от фиксированных значений в заданных точках и условная ковариационная матрица, которая от этих значений не зависит. В данной главе рассмотрены специальные модификации этих алгоритмов для случая негауссовских полей. Рассмотрен также приближенный алгоритм оценки степени неоднородности по корреляциям пространственного случайного поля, заданного на нерегулярной сети станций данными наблюдений ограниченного объема.
Приближенный алгоритм численного моделирования условно распределенных полей суточных сумм жидких осадков
В данной главе рассматриваются численные стохастические параметрические модели пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков на регулярной сетке. Численная стохастическая модель реального поля представляет собой псевдослучайное поле, совпадающее с реальным полем по некоторому набору статистических характеристик. Такие характеристики поля, как корреляционные функции и одномерные распределения, построенные на основе реальных данных, чаще всего используются в качестве входных, а алгоритмы численного моделирования строятся таким образом, чтобы, по возможности, наиболее точно воспроизводить их в модели. Для верификации модели используются те характеристики, которые определяются моделью и в то же время могут быть надежно оценены по реальным данным, например, вероятности длительного выхода процесса за некоторые заданные уровни.
При построении численных стохастических моделей полей осадков [2, 22, 34-38, 48, 62, 66-69, 73] часто в качестве вспомогательных используют ряды или поля индикаторов выпадения осадков. Индикаторные поля (ряды) удобны для описания перемежаемости пространственных (временных) областей с осадками и без. В работе [62] модель полей индикаторов осадков основана на использовании порогового преобразования изотропного гауссовского поля с экспоненциальной корреляционной функцией и специально выбранной функцией средних значений. Параметры этих функций оцениваются по реальным данным с помощью метода максимального правдоподобия. При этом пространственная корреляционная функция зависит от времени, а временные корреляционные связи не учитываются. Для моделирования полей сумм осадков (при условии их выпадения) используется метод обратных функций распределения [40]. Подход к моделированию в данной диссертационной работе близок к подходам, рассмотренным в [2, 62]. Отличие состоит в способе оценки параметров модели, в выборе аппроксимирующей эмпирической корреляционной функции и одномерной функции распределений сумм осадков, а также в способе учета вероятностей выпадения осадков. Кроме этого для построения модели используется приближение однородного поля по пространственным переменным и стационарное приближение по времени. Все это соответствующим образом определяет специфику алгоритмов моделирования полей осадков.
В качестве исходной информации были задействованы данные наблюдений за суточными суммами жидких осадков (в миллиметрах) для теплого полугодия (с 1 мая по 31 октября) на 47 осадкомерных постах (станциях) Новосибирской области. Данные охватывают пятнадцатилетний период с 1969 по 1983 гг. На Рисунке 4.1 представлено географическое расположение используемых станций, на которых проводились наблюдения, и сеточная область, на которой осуществлялось моделирование. Здесь х и у - оси Декартовой системы координат. В данной работе использовалась регулярная сетка с числом узлов 30 х 25 и шагом Ах: = Ау = 16 км.
Результаты статистического анализа временных рядов, ранее проведенные в работе [9] показали, что на рассматриваемом полугодовом интервале процесс является существенно не стационарным. Однако на интервалах сравнительно небольшой длины, например, интервалах в один месяц, его приближенно можно считать стационарным.
Представим данные наблюдений на станциях для каждого месяца рассматриваемого периода в виде массива \r\lvl) , где г/ - количество осадков в мм, накопленное за сутки, Л = 1, Л - порядковый номер суток внутри конкретного месяца (Л = 30, либо 31), v = \j - условный год наблюдений, J= 15, l = \L -условный номер метеорологической станции с координатами х ,у (см. Рисунок 4.1), L=47. Для оценки на каждой станции одномерных распределений, соответствующих моментов и других одноточечных характеристик поля осадков, а также характеристик, определяемых распределениями второго и более высокого порядка, доступный с учетом их слабой зависимости от времени, - объем выборки {rfXvjl} составляет Лх/= 30х 15=450 наблюдений. Анализ данных также показал, что многие одноточечные характеристики рядов на станциях достаточно слабо зависят от координат метеорологических станций [9]. Следует отметить, что система используемых станций расположена в достаточно однородной с точки зрения географических условий области, - нет станций, расположенных непосредственно в пойме реки Обь, все станции расположены в равнинной местности, хотя имеются некоторые различия в географических условиях, определяемые наличием болот на севере Новосибирской области и степными районами на юге. Поэтому в параграфах 4.1-4.4 используется приближение однородного поля по одноточечным и двухточечным характеристикам, причем при оценивании одноточечные характеристики усредняются по всем L =47 станциям.
Пространственная корреляционная структура поля осадков на станциях, определяется соответствующей выборочной корреляционной матрицей R =(7 ), l,h = 1,L , которая вычисляется по L совместным временным рядам из массива {г/ Лу1} с числом элементов в каждом ряде равным Л =30 для каждого j -го года, с последующим усреднением по всем ,/=15годам. Поскольку используется приближение однородного поля, то корреляционная функция, соответствующая матрице R , аппроксимируется подходящей корреляционной функцией однородного поля специального вида. Конкретный вид этой функции и соответствующие обозначения будут представлены ниже.
Численное статистическое моделирование пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков
Таким образом, в модели 1 входными параметрами являются одномерное распределение F(u) и корреляционная матрица R = {rikvJmfl} поля суточных сумм жидких осадков. В модели 2 входными параметрами являются вероятность выпадения осадков и условное распределение, при условии, что осадки имели место, а также корреляционные матрицы S = {sikvj } и Q = {qikvjmfl} . Для построения моделей необходимо для каждого случая задать эти параметры. По данным наблюдений соответствующие характеристики оцениваются на станциях, а для построения модели необходимо иметь их в узлах сетки. Для этой цели корреляционным матрицам S = (s v hM), Q = {q lv h) и R = {r v h ), l,h = l,L, v,ju = l,T, оцененным по данным наблюдений, соответствующим каждому из перечисленных полей на станциях, была поставлена в соответствие корреляционная функция дискретного аргумента, которая определялась коэффициентом корреляции между значениями поля на двух станциях, а в качестве аргументов брались соответствующие координаты станций, входящие в эту пару. Далее эта функция была аппроксимирована функцией вида Р(Х%УЇ;ХІУІ Л 0=Р(Х ХІУЇ -УІХ -0= = ехр(-[а(х - x hf +/3(x -xl)(yl-yl) + y(yl-yl)2Y)Gxv(A\tl M\\ где параметры а, /?, у, в, Л определялись по методу наименьших квадратов. Далее полученные функции, соответствующие матрицам S , Q и R , использовались для получения входных корреляционных матриц для соответствующих полей на сетке.
На Рисунке 4.7 представлены графики сечений заданных и модельных корреляционных функций вдоль оси x для поля суточных сумм жидких осадков и поля индикаторов осадков для модели 1.
Проведенные численные эксперименты показали, что модель 2 с достаточной точностью воспроизводит корреляционные функции индикаторного поля, поля сумм осадков и итоговую корреляционную функцию поля осадков. Модель 1 с аналогичной точностью воспроизводит только итоговую корреляционную функцию. Корреляционную функцию индикаторного поля и условную корреляционную функцию (при условии наличия осадков) поля сумм осадков модель 1 воспроизводит достаточно грубо (см. Рисунок 4.7). Тем не менее, модель 1 удобна для моделирования условных негауссовских полей. Соответствующие алгоритмы приведены в параграфах 3.1-3.3 главы 3 настоящей диссертационной работы, а также в работе [69]. Модель 2 целесообразно использовать при оценках различных пространственных характеристик неблагоприятных режимов выпадения осадков, где требуется достаточно точное воспроизведение в модели реальной структуры перемежаемости участков с осадками и без осадков. В качестве иллюстрации на Рисунке 4.8 приведены распределения площади, занимаемой осадками в используемой сеточной области, вычисленные по двум этим моделям. С точки зрения этой характеристики преимущество имеет модель 2, поскольку эта характеристика существенно зависит от точности воспроизведения корреляционной структуры поля индикаторов осадков.
С помощью рассмотренных численных моделей суточных сумм жидких осадков методом прямого моделирования были рассчитаны некоторые характеристики пространственного поля суточных сумм жидких осадков. На Рисунке 4.9 (а) приведена реализация безусловного поля суточных сумм жидких осадков, а на Рисунке 4.9 (б) – реализация условного поля при условии, что на станциях значения поля фиксированы. В качестве фиксированных взяты реальные значения суточных сумм жидких осадков на 47 метеорологических станциях для мая месяца. Выбрана ситуация, когда на всех 47 станциях осадки присутствуют.
На Рисунке 4.9 (б) точками обозначены станции и указаны значения сумм осадков на них. Из Рисунка 4.9 видно, что в реализации безусловного поля области с отсутствием осадков занимают значительную часть рассматриваемой территории. В среднем по случайному полю эти области занимают 70% всей территории. В реализации условного поля эти области занимают существенно меньшую площадь, что обусловлено выбранной метеорологической ситуацией. На Рисунке 4.10 приведены поля средних значений и стандартных отклонений, вычисленные по 10 000 реализациям условного поля. Условные средние значения могут быть использованы для интерполяции полей осадков со станций в узлы сетки. Поле условных стандартных отклонений характеризует ошибки интерполяции. В случае гауссовского поля эти ошибки не зависят от значений на станциях, но существенно зависят от их расположения.