Содержание к диссертации
Введение
1 Метод STRONG Галеркина для линейных дифференциально-операторных уравнений третьего
порядка STRONG 19
1.1 Основные функциональные пространства и неравенства 19
1.2 Метод Галеркина с базисом из собственных элементов главного оператора 23
1.3 Метод Галеркина с базисом из собственных элементов сходного оператора 28
1.4 Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных 35
1.5 Численный эксперимент 38
2 Метод Галеркина для нелинейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка 49
2.1 Равномерная оценка скорости сходимости метода Галеркина для уравнения с монотонным оператором 49
2.2 Метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения с другим условием подчинения 53
2.3 Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных 62
2.4 Численный эксперимент 67
3 Заключение 75
Список литературы
- Метод Галеркина с базисом из собственных элементов главного оператора
- Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных
- Метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения с другим условием подчинения
- Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных
Введение к работе
Актуальность темы. Важнейшим направлением современной математики является всестороннее изучение операторных уравнений. Из литературы, посвященной теории абстрактных дифференциально–операторных уравнений, можно указать ряд основательных монографий и обзоров, среди которых выделим монографии Ф.Е. Браудера, Х. Гаевского, К. Грегера и К. Заха-риаса, Ж.-Л. Лионса, С.Г. Крейна, М.М. Вайнберга, H.O. Fattorini, Е. Zeidler, а также обзоры И.В. Скрыпника, Ю.А. Дубинского, Р.И. Качуровского. С помощью операторного метода можно исследовать обширный класс уравнений. Самые разные виды уравнений, такие как линейные и нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения можно представить в операторном виде. С помощью методов функционального анализа и теории операторов можно изучать вопросы, связанные с разрешимостью поставленных задач, и составлять алгоритмы нахождения приближенных решений. Известно, что теория и методология операторных уравнений широко используются в вычислительной математике.
Среди дифференциально-операторных уравнений наиболее детально изучены уравнения первого и второго порядков. В этой связи можно указать работы А.Г. Зарубина, П.В. Виноградовой, которые посвящены исследованию сильных решений задачи Коши для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка. Существование, единственность и непрерывная зависимость сильных решений задачи Коши для различных линейных уравнений второго порядка с переменными областями определения доказаны в работах Д.А. Ляхова, С.П. Ходоса.
Разрешимость линейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка исследовалась в работах А.Р. Алиева, К.В. Василевского, А.М. Мамедова, Н.И. Юрчука. С позиций спектральной теории линейных операторов в гильбертовом пространстве и метода Фурье исследования дифференциально-операторных уравнений первого и высших порядков представлены в монографии А.А. Дезина 1.
Ю.А. Дубинским изучены вопросы классификации дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка, постановки задач для этих уравнений и их разрешимость в пространствах Соболева-Слободецкого.
Однако вопрос о разрешимости дифференциально-операторных уравнений третьего порядка в функциональных пространствах, являющихся аналогом
1Дезин А.А. Дифференциально – операторные уравнения // Труды МААН. 2000. Т. 229. М.: Наука.
–3–
пространств Соболева Wp2bm,m(Q), остается открытым.
Заметим, что некоторые уравнения, возникающие при изучении процессов динамики влажности почвы и грунтовых вод, распространения нестационарных акустических волн, процессов релаксации при переносе тепла можно привести к дифференциально-операторным уравнениям третьего порядка в гильбертовом пространстве.
Важным инструментом при изучении приближенного решения краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, разнообразных задач гидродинамики и многих других являются проекционные и проекционно-разностные методы. Основоположниками этих методов были Б.Г. Галеркин, И.Г. Бубнов, Н.М. Крылов, Г.И. Петров, В. Ритц, Н.Н. Боголюбов, М.Б. Келдыш, Л.В. Канторович и другие.
Общая теория проекционных методов для стационарных и нестационарных уравнений первого и второго порядка изложены, например, в книгах Х. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса; М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П.Забрейко; Г.И. Марчука, В.И. Агошкова; С.Г. Михлина; Ж-П. Обэна; Р. Варги; К. Флетчера; В.В. Шайдурова; R. Glowinski; M. Chen, Z. Chen, G. Chen.
Как средство при доказательстве теорем существования решений нестационарных уравнений, метод Галеркина использовался в работах Ю.А. Дубин-ского, М.И. Вишика, О.А. Ладыженской и других авторов.
Метод Галеркина как основа для численного решения нестационарных уравнений исследовался в трудах П.Е. Соболевского, Г.М. Вайникко, П.Э. Оя, А.Г. Зарубина, М.А. Велиева, П.В. Виноградовой, В.Р. Кардашова, П.Э. Оя, А.Д. Ляшко, С.В. Поборчего, В.В. Смагина и других работах.
Л.В. Канторович отметил ряд проблем, которые возникают в общей теории приближенных методов решения операторных уравнений и уравнений, приводящихся к ним, а именно: вопрос об установлении сходимости алгоритма, процесс исследования быстроты сходимости приближенного решения, получение эффективных оценок погрешности для построенного приближенного решения. Решению указанных задач было посвящено большое число работ. Тем не менее, эта сфера исследований требует дальнейших разработок.
При исследовании проекционных методов особое внимание уделяется выбору базиса, так как свойства базисных функций существенно влияют на скорость сходимости приближенных решений уравнения к точному решению
(см., например, работы Г.М. Вайнико 2, И.К. Даугавет 3). В одной из работ П.Е. Соболевский предложил выбрать в качестве базиса собственные функции оператора, который не зависит от времени и образует с оператором исследуемого уравнения, так называемый, острый угол. Эта идея была использована А.Г. Зарубиным, П.В. Виноградовой для исследования нестационарных дифференциально-операторных уравнений первого порядка с подчиненными операторами. М.Л. Горбачук применил собственные функции сходного оператора для приближенного решения стационарного линейного операторного уравнения.
В настоящее время имеется большое количество работ по проекционным и проекционно-разностным методам решения операторных уравнений первого порядка с произвольным базисом. Как правило, в таких публикациях сформулировано понятие слабого решения и установлены оценки скорости сходимости приближенных решений к слабому решению.
Необходимо отметить, что достаточно сложной задачей является изучение зависимости оценок скорости сходимости приближенных решений от вида базисных элементов, свойств операторов уравнения и его решения. Причем эта задача не решена и по настоящее время. К числу работ, содержащих некоторые частные результаты для стационарных операторных уравнений, относятся работы авторов Г.М. Вайникко, М.Л. Горбачука, А.В. Джишкариани, для обыкновенных дифференциальных уравнений – работы Н.М. Крылова, А.Ю. Лучка, для дифференциально-операторных уравнений первого порядка – работы П.В. Виноградовой, В. Калантарова, для эволюционного уравнения второго порядка – работы С.Е. Железовского.
Значительное количество краевых и начально-краевых задач для уравнений с частными производными, встречающихся в математической физике, механике, гидродинамике и других областях, приводят к необходимости решения краевых задач для соответствующих дифференциально–операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Таким образом, наличие разработанных методов решения для операторных уравнений позволяет решить данные задачи.
Проекционные методы для дифференциально-операторных уравнений третьего порядка практически не исследовались. Можем указать лишь некото-2Вайникко Г.М. О быстроте сходимости метода моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, С. 21–28.
3Даугавет И.К. О методе моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 1965. Т. 6. № 1. С. 70–85.)
–5–
рые исследования приближенных методов решения нестационарных уравнений третьего порядка в частных производных, основанных на разностных схемах ( см. работы Н.С. Бахвалова 4, Я.М. Жилейкина 5, Н.И. Юрчука 6).
Авторы Jing Niu, Ping Li 7 в своей работе исследовали численный метод решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения третьего порядка в частных производных. Метод основан на использовании ортогонального базиса в гильбертовом пространстве. Авторы получили аппрок-симационную задачу и установили разрешимость полученной аппроксимаци-онной задачи, а также доказали сходимость приближенных решений. Однако оценки скорости сходимости в указанной работе не установлены.
В связи с вышеизложенным актуальной задачей является доказательство теорем существования и единственности сильных решений нестационарных операторных уравнений третьего порядка, а также разработка проекционных методов их решения.
Цель работы. Исследовать краевые задачи для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка с главным самосопряженным оператором и подчиненным ему несамосопряженным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. А именно:
исследование разрешимости аппроксимационных уравнений, составленных по методу Галеркина;
исследование скорости сходимости приближенных решений;
применение доказанных абстрактных теорем к различным математическим моделям, сфорулированных в задачах естествознания;
численная реализация разработанных приближенных методов для определенного ряда задач.
Методы исследования. В данной работе применены методы функционального анализа, проекционные методы построения решений, теория операторов в гильбертовом пространстве, теория пространств Соболева, приближенные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
4Бахвалов Н.С. Распространение звуковых пучков конечной амплитуды в диссипативной среде // Аку-стич. ж. 1978. Т. 24, № 4. С. 473—479.
5Жилейкин Я.М. О численном решении уравнения нелинейной акустики ограниченных пучков // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1982. Т. 22, № 5. С. 1157—1171.
6Юрчук Н.И. Разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 4. С. 626—636.
7Jing N., Ping L. Numerical Algorithm for the Third-Order Partial Differential Equation with Three-Point Boundary Value Problem // Abstract and Applied Analysis. 2014. V. 201
Научная новизна; положения, выносимые на защиту. Главные результаты диссертации получены впервые и состоят в следующем.
– Доказаны теоремы о разрешимости краевых задач для некоторых дифференциально–операторных уравнений третьего порядка.
– Получены новые теоремы для дифференциально-операторных уравнений третьего порядка о сходимости приближенных решений, составленных с помощью метода Галеркина, в сильных нормах.
– Получены новые оценки скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Галеркина, к точному решению в равномерной по времени топологии.
– Выполнена численная реализация разработанных вычислительных методов.
Степень достоверности результатов диссертации. Все результаты диссертации достоверны, что подтверждается строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический и прикладной характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны при дальнейшем развитии приближенных методов решения дифференциально-операторных уравнений высших порядков в гильбертовом пространстве. А также, данные результаты можно эффективно применять при численном решении прикладных задач, возникающих в различных областях естествознания.
Апробация работы. Доклады, содержащие основные результаты диссертации, сделаны на 27-ой Всероссийской Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(Воронеж, 2013), на 9-й Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 2013), на 6-й Международной научной конференции "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий"(Воронеж, 2013), на международной конференции Воронежской математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2015 г.), на всероссийской научно – практической конференции "Повышение эффективности транспортной системы региона: проблемы и перспективы"(Хабаровск, 21 – 22 октября 2015г.), на научном семинаре ВЦ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН С.И. Смагина, на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Г. Зарубина в ТОГУ.
Публикации. Главные результаты диссертации были опубликованы в 9 работах, из которых 3 статьи - в российских журналах, рекомендованных ВАК РФ. Зарегистрирована одна программа для ЭВМ. Некоторые работы выполнены в соавторстве.
В работе [1] автор сформулировал и доказал теоремы 1, 2 и 3, в работе [7] -теоремы 1 и 2, в работе [8] - теоремы 1 и 2, а также результаты, касающиеся приложений разработанных в работе методов к начально-краевым задачам, вклад автора в работах [4] и [5] одинаков с вкладом соавтора.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые разбиты на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации 90 страниц. Список литературы включает в себя 121 наименований.
Метод Галеркина с базисом из собственных элементов главного оператора
Далее мы будем использовать следующие традиционные обозначения пространств, основные свойства которых можно найти, например, в [56], [85], [25]). Пусть Q - ограниченная область в Лп, Q = Q х (0,Т), где Т оо. Обозначим через Cm(Q) совокупность непрерывных в Q функций, которые имеют непрерывные в Q производные до порядка m включительно, а через C(Q) — совокупность непрерывных в Q функций. Через Lp(Q), 1 р +оо, (соотв. Loo(f2)) обозначим пространство определенных на Q вещественных функций, абсолютно интегрируемых c р-й степенью (соотв. существенно ограниченных) по лебеговой мере dx = dx\dx i... dxn. Это пространство с нормой \Ы\ьр(п) = f / \u(x)\pdx) при 1 p +00 и нормой II ""H-Loof ) ЄЬ» blip I ILyX J I Q при p = oo будет банаховым. Пространство Lp(Q) можно определить также. Пространство Соболева W{VL) - это пространство функций из LP(Q), у которых все обобщенные частные производные до порядка т включительно являются элементами пространства Lp(Q) (т - неотрицательное целое). Такое пространство будет банаховым с нормой
Под W ,m(Q) ( m - неотрицательное целое) понимается замыкание множества гладких функций в норме 2Ьт WU\\wlbm m{Q) =Е Е \\DrtDxU\\bp(Q)-3=0 2br+\s\=j Теперь приведем известные мультипликативные неравенства (см., например, [97], [103], [31], [85]). Пусть
Пусть и Є Wpbm,m(Q). Если p(2bm — 2bh — s) n + 26, то любая производная D\Daxu с \а\ = S является элементом пространства Lr{Q) с любым г р, в том числе и г = оо, и будет справедливо неравенство
Неравенство Гайнца (см. [54]): Пусть А и В положительные самосопряженные операторы, действующие в гильбертовых пространствах Н и Но соответственно. Если Т - ограниченный оператор с нормой М, действующий из Н в Щ, такой, что TD(A) С D(B) и В случае, когда Н = Щ и Т = I, получается следствие: если А и В положительные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н такие, что D(A) с D(B) и
В работе [20] исследовалась краевая задача для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с главным самосопряженным оператором и переменным оператором, который ему подчинен. Используя метод Галеркина с базисом специального вида, доказаны существование и единственность сильного решения рассматриваемой задачи. Кроме того для галеркинских приближений установлены интегральные оценки скорости сходимости. В этом параграфе для даной задачи получена новая равномерная оценка скорости сходимости приближенных решений, составленных по методу Галеркина, которая не следует из результатов работы [20].
Приближенное решение, составленное по методу Галеркина для задачи (1.2.1)–(1.2.2) будем искать в виде суммы п Un(t) = N CLi(t)ei, где ai(t) (і = 1, 2,..., n) - неизвестные функции, которые являются решением задачи: u "(t) + Aun(t) + PnK(t)un(t) = Pnh(t), (1.2.3) wn(0) = un(T) = u n(0) = 0. (1.2.4) Решения un(t) задачи (1.2.3)-(1.2.4) назовем приближенными решениями задачи (1.2.1)–(1.2.2), построенными по методу Галеркина. Далее, все положительные постоянные, независящие от и и і, будем обозначать через С. В [20] было приведено доказательство следующей теоремы. Теорема 1.2.1. Пусть h(t) Є L,2(0,T] Н), выполнены условия 1)—2) и для любых z из Н\ верны неравенства (K(t)ZiZ) 0, (1.2.5) 11 (0 11 СЦ ІПИІ аі 0 о; 1. (1.2.6) Тогда при каждом п задача (1.2.3)–(1.2.4) имеет единственное решение un(t) Є W H, Hi), последовательность {un(t)} сходится в W H Hi), причем предельный элемент является сильным решением u(t) задачи (1.2.1)–(1.2.2). Сильное решение u(t) задачи (1.2.1)–(1.2.2) единственно.
Теперь установим равномерную оценку скорости сходимости приближенных решений для задачи (1.2.1)–(1.2.2), составленных с помощью метода Галеркина. Теорема 1.2.2. Если выполняются условия теоремы 1.2.1, тогда справедлива следующая оценка Доказательство. Положим zn(t) = u(t) — un(t), где u(t) - решение задачи (1.2.1)–(1.2.2), un(t) - решение задачи (1.2.3)–(1.2.4). Тогда z " + Azn + K(t)zn = (I — Pn)(h(t) — K{t)un). Умножим данное равенство скалярно на (—zn) и проинтегрируем от 0 до т Т, используя неравенство (1.2.5), имеем
Исследуемый в данном параграфе проекционный метод строится по собственным элементам оператора , сходного с главным оператором А. Для полученных приближений Галеркина установлены равномерные оценки скорости сходимости, зависящие от собственных чисел оператора В.
Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных
Метод заключается в замене краевой задачи на задачу Коши, при этом неизвестным значениям функции и ее производных на одной из границ задаются приближения, называемые начальными. Начальное приближение поэтапно улучшают с помощью методов, например, дихотомии, Ньютона или секущих, для того, чтобы при интегрировании задачи удовлетворить условиям на другой границе с некоторой точностью. Для систем дифференциальных уравнений, в общем случае, задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, решение которой само по себе является очень сложной задачей. Ситуация осложняется еще и тем, что явный вид системы нелинейных уравнений не известен. Однако в случае линейных задач метод упрощается, необходимость поэтапного улучшения отпадает и получить значения функции и ее производных на границе можно за конечное число интегрирований, после которых их результат интерполируется, например, полиномом Ньютона первой степени, затем решается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений. Подробно процесс описан в [47] (с.266-268). Положим
Во второй главе исследуется краевая задача для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с главным самосопряженным оператором и подчиняющимся ему нелинейным монотонным оператором. Используя метод Галеркина с базисом специального вида, устанавливается теорема о разрешимости рассматриваемой задачи. Для приближений Галеркина получены оценки скорости сходимости, зависящие от собственных чисел главного оператора уравнения.
Излагаемые в данной главе результаты представлены в работах [119], [116]. Равномерная оценка скорости сходимости метода Галеркина для уравнения с монотонным оператором
Рассмотрим в пространстве Н задачу где u{t) - искомая функция, h(t) - заданная функция. Функции u(t), h(t) определены на конечном отрезке [0,Т]. Ниже будем предполагать, что оператор А удовлетворяет условиям 1) и 2) второго параграфа первой главы.
Нелинейный оператор К[-\ является монотонным (см. [10]), то есть для любых v\ и г 2 из Н\ выполняется неравенство
Сильным решением задачи (2.1.1)–(2.1.2) будем называть функцию u(t) из W (H,Hi), удовлетворяющая почти при всех t уравнению (2.1.1). Обозначим через Єї, Є2, ...,еп,... полную ортонормированную систему собственных элементов оператора (— 4), а через Лі, Л2, ..., Лп, ... -соответствующие собственные числа, такие, проектирования в Н на линейную оболочку Нп элементов еп. В подпространстве i7n рассмотрим задачу
Решения un(t) задачи (2.1.3)-(2.1.4) назовем приближенными решениями задачи (2.1.1)–(2.1.2), составленными с помощью метода Галеркина. В [21] доказана следующая теорема. положительная, непрерывная функция на Щ_. Тогда при каждом п задача (2.1.3)-(2.1.4) имеет единственное решение un(t) Є W H, Hi), последовательность {un(t)} сходится в W H Hi), причем предельный элемент является сильным решением задачи (2.1.1)-(2.1.2). Сильное решение задачи (2.1.1)–(2.1.2) единственно.
Метод Галёркина для дифференциально-операторного уравнения с другим условием подчинения Рассмотрим в Н задачу u "{t) + Au(t) — K[u(t)] = h(t), (2.2.1) ІІ(0) = u{T) = u (0) = 0, (2.2.2) где u(t) - искомая функция, h(t) - заданная функция. Функции u(t), h(t) определены на конечном отрезке [0,Т]. Далее будем предполагать, что для оператора А удовлетворяются условия 1) и 2) второго параграфа первой главы. Нелинейный оператор К[-] является монотонным.
Метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения с другим условием подчинения
Положим H = L2(Q). Пусть Hi - это подпространство функций о v(x) Є W( )ri W\ (Q). Пусть W2 (Q) подпространство функций v(x,t), принадлежащих при каждом t пространству Н\ и имеющих производные по t до третьего порядка включительно, из пространства L2(Q). Норма в W2 (Q) определяется равенством
Собственные функции данной задачи, которые соответствуют собственным значениям Xij = — (і2 + J2), имеют вид &ij{x) = sinirri sin ja sinjxi sinia j = 1, 2,... Обозначим через Hn линейную оболочку элементов {еу(ж)}-=1, через Рп - ортопроектор L2{ 1) на Нп. Таким образом, приближенное решение задачи (2.3.1)-(2.3.3), построенное по методу Галеркина, ищем в виде
Очевидно, что для задачи (2.3.1)-(2.3.3) выполнены условия 1) и 2) на оператор А. Покажем справедливость неравенства (2.2.5). Имеем Известно (см., например, [92]), что для оператора (—А) верно неравенство коэрцитивности: Поэтому, согласно теореме 2.2.2, аппроксимационная задача (2.3.4)-(2.3.5) при каждом п имеет единственное решение un(t) Є W2 (Q), последовательность {un(t)} сходится в W2 {Q), причем предельный элемент является сильным решением задачи (2.3.1)-(2.3.3). Сильное решение задачи (2.3.1)-(2.3.3) единственно.
Допустим –равнобедренный треугольник 0 Х2 Х\ тт. Рассмотрим начально-краевую задачу в цилиндре Q = Q х [О, Т] d3u(x,t) , мл JT А и(х,t) — u(x,t)\u(x,t)y = h(x,t), (x,t) Є Q, (2.3.8) at6 ди(х О) 7T u(x, 0) = = u(x, T) = 0, x Є il, (2.3.9) at u(x,t) = Au(x,t) = 0, {x,t) Є dQ x [0,T], (2.3.10) где 1 p 4. Положим H = L2(Q). Пусть Hi - это подпространство функций v(x) Є W2(Q), удовлетворяющих условию v{x) = Av{x) = 0 при х Є dQ. Пусть W2 {Q) - это подпространство функций v(x,t), которые при каждом t принадлежат Н\ и имеют производные по t до третьего порядка включительно, из пространства L2(Q). Норма в W2 (Q) определяется равенством
Собственные функции этой задачи, которые соответствуют собственным значениям Xij = (i2+J2)2, имеют вид е (ж) = sinirri sinjiz —sinjxi sinia , і j, j = 1, 2,...
Обозначим через i7n линейную оболочку элементов {еу(ж)}"-=1, через Рп-ортопроектор (Г ) на i n. Приближенное решение задачи (2.3.8)-(2.3.10), построенное по методу Галеркина, ищем в виде где неизвестные функции aij(t) будут решением следующей задачи d un(x,t) Соответствующую краевую задачу (2.3.4)-(2.3.5) для обыкновенных дифференциальных уравнений будем решать, как и ранее, используя метод стрельбы. Используя метод стрельбы, сведем решение краевой задачи к решению последовательности задач Коши. Для этого в начальной точке нам потребуется три дополнительных условия. В точке t = 0 уже известно два дополнительных условия: а(0) = 0 и (0) = 0. Поэтому помимо заданных дополнительных условий в этой точке задается значение второй производной. Так как это значение не является известным, то считаем его равным некоторому параметру. Таким образом, получили задачу Коши. Далее производится выстрел при сформированных начальных условиях вплоть до точки t = Т. Затем устанавливаем, удалось ли при заданном значении второй производной удовлетворить граничному условию в точке t = Т. Далее выбирается другое значение параметра в точке t = 0 и снова решается задача Коши. Анализируя характер получаемых решений и их связь от выбранного дополнительного условия в начальной точке, находится решение, удовлетворяющее одновременно обоим граничным условиям. В случае системы линейных алгебраических уравнений для нахождения решения достаточно сделать три выстрела.
В диссертации разработаны и обоснованы проекционные методы решения краевых задач для дифференциально-операторных уравнений третьего порядка с подчиненными операторами в гильбертовом пространстве. При специальном выборе проекционных подпространств приведено доказательство разрешимости аппроксимационных уравнений, установлена и исследована зависимость скорости сходимости исследуемых приближенных методов от порядка подчинения членов уравнения главному оператору в равномерной по временной переменной топологии. Полученные в диссертации теоретические результаты для абстрактных дифференциально-операторных уравнений позволили вывести новые оценки скорости сходимости приближенных методов решения начально-краевых задач для нестационарных уравнений третьего порядка в частных производных.
В диссертации выполнена численная реализация рассмотренных вычислительных методов. Разработана программа для ЭВМ "Численное решение нелинейного уравнения в частных производных с производной по времени третьего порядка".
Полученные результаты диссертационного исследования, разработанная и зарегистрированная в Роспатенте программа для ЭВМ представляют интерес и могут эффективно применяться в дальнейшем развитии численных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, а также могут быть использованы при изучении процессов динамики влажности почвы и грунтовых вод, распространения нестационарных акустических волн, процессов релаксации при переносе тепла, задач гидродинамики.
Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных
Во второй главе исследуется краевая задача для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с главным самосопряженным оператором и подчиняющимся ему нелинейным монотонным оператором. Используя метод Галеркина с базисом специального вида, устанавливается теорема о разрешимости рассматриваемой задачи. Для приближений Галеркина получены оценки скорости сходимости, зависящие от собственных чисел главного оператора уравнения.
Излагаемые в данной главе результаты представлены в работах [119], [116]. Равномерная оценка скорости сходимости метода Галеркина для уравнения с монотонным оператором Рассмотрим в пространстве Н задачу где u{t) - искомая функция, h(t) - заданная функция. Функции u(t), h(t) определены на конечном отрезке [0,Т]. Ниже будем предполагать, что оператор А удовлетворяет условиям 1) и 2) второго параграфа первой главы. Нелинейный оператор К[-\ является монотонным (см. [10]), то есть для любых v\ и г 2 из Н\ выполняется неравенство (if [ і] — К[г 2],г і — г 2) 0. Сильным решением задачи (2.1.1)–(2.1.2) будем называть функцию о u(t) из W (H,Hi), удовлетворяющая почти при всех t уравнению (2.1.1). Обозначим через Єї, Є2, ...,еп,... полную ортонормированную систему собственных элементов оператора (— 4), а через Лі, Л2, ..., Лп, ... -соответствующие собственные числа, такие, что 0 Лі Л2 ... Лп ..., Лп — +оо при п — оо. Пусть Рп - оператор ортогонального проектирования в Н на линейную оболочку Нп элементов Єї, Є2, еп. В подпространстве i7n рассмотрим задачу u "{t) + Aitn() — Pnif [ІІП()] = Pnh(t), (2.1.3) wn(0) = un(T) = u n(0) = 0. (2.1.4) Решения un(t) задачи (2.1.3)-(2.1.4) назовем приближенными решениями задачи (2.1.1)–(2.1.2), составленными с помощью метода Галеркина. В [21] доказана следующая теорема. Теорема 2.1.1. Пусть h(t) Є L2(0,T; Н), К[0] = 0, выполнены условия 1)—2) и для любых zi, Z2 из Н\ верно неравенство K[z\\ — K[ZQ\ J J 0,2 Ла( і — 2)о,2, 0 а 1, (2.1.5) где /?() - положительная, непрерывная функция на Щ_. Тогда при каждом п задача (2.1.3)-(2.1.4) имеет единственное решение un(t) Є W H, Hi), последовательность {un(t)} сходится в W H Hi), причем предельный элемент является сильным решением задачи (2.1.1)-(2.1.2). Сильное решение задачи (2.1.1)–(2.1.2) единственно.
Теперь установим равномерную оценку скорости сходимости приближенных решений задачи (2.1.1)–(2.1.2), составленных с помощью метода Галеркина.
Метод Галёркина для дифференциально-операторного уравнения с другим условием подчинения Рассмотрим в Н задачу u "{t) + Au(t) — K[u(t)] = h(t), (2.2.1) ІІ(0) = u{T) = u (0) = 0, (2.2.2) где u(t) - искомая функция, h(t) - заданная функция. Функции u(t), h(t) определены на конечном отрезке [0,Т]. Далее будем предполагать, что для оператора А удовлетворяются условия 1) и 2) второго параграфа первой главы. Нелинейный оператор К[-] является монотонным.
Как и ранее, через Єї, Є2, ..., en,... обозначим полную ортонормиро-ванную систему собственных элементов оператора (— 4), а через Ai, А2, ..., Ап,... - соответствующие собственные числа, такие, что 0 А і А2 Хп ..., Хп — +оо при п — оо.
Пусть Рп - ортопроектор в Н на линейную оболочку Нп элементов Єї, Є2,, еп. В подпространстве i7n рассмотрим задачу и " {t) + Aan(t) — PnK[un{t)\ = Pnh(t), wn(0) = un(T) = u n(0) = 0. (2.2.3) (2.2.4) Лемма 2.2.1. Пусть h(t) Є L,2(0,T] H), K[0] = 0, выполнены условия 1)—2) и для любых z из Н\ верно неравенство
Н ИН V dNI) ІІ - ІПкІІ аі 0 о; 1, (2.2.5) где (/?() - положительная, непрерывная функция на R+. Тогда sup \\ип\\ С- (2.2.6)
Доказательство. Умножим (2.2.3) скалярно на (—ип) и проинтегрируем от 0 до т, тогда используя монотонность оператора К[-\ и е-неравенство, находим
Из данного неравества следует (2.2.6). Лемма доказана. Установим равномерную оценку скорости сходимости приближенных решений задачи (2.2.1)–(2.2.2), составленных по методу Галеркина. Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.2.1, тогда верна оценка sup \\ип — и\\ СХп+1 . (2.2.7) 0 t T Доказательство. Положим zn(t) = u(t) — un(t), где u(t) - решение задачи (2.2.1)–(2.2.2), un(t) - решение задачи (2.2.3)-(2.2.4). Тогда z " + Azn — {К [и] — К[ип]) = (I — Pn)(h(t) + К[ип]). Умножим данное равенство скалярно на (—zn) и проинтегрируем от 0 до т Т, используя условия 1) и 2) на оператор А, имеем
Поэтому из (2.2.11), (2.2.13) и (2.2.14) следует, что последовательность {ип} фундаментальна в W%(H,Hi). Пусть u(t) - предельный элемент последовательности {ип}. Тогда м/// + Аи — К [и] — /г о,2 \\и "-и " + А{и — ип) — К [и] + К[ип] о,2+ по,2 Так как п()о,2 — 0 при п — оо и последовательность {un(t)} сходится к u(t) по норме пространства W2(H, Ні), то правая часть последнего неравенства стремится к 0 при п — оо. Следовательно, u(t) - сильное решение задачи (2.2.1)–(2.2.2).