Полюсный метод Ньютона Петров Михаил Юрьевич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Петров Михаил Юрьевич. Полюсный метод Ньютона : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.07 Ижевск, 2005 103 с. РГБ ОД, 61:05-1/895

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Одномерный полюсный метод Ньютона 16

1.1. Построение метода и исследование его сходимости 16

1.2. О параметрах метода 22

1.3. Численные примеры 26

1.4. Выводы 33

Глава 2. Полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений 34

2.1. Перенос метода на системы из двух уравнений (векторный подход) .34

2.2. Обобщение метода на случай систем произвольной размерности 38

2.3. Сходимость полюсного метода Ньютона в «-мерных пространствах ...43

2.4. Численные примеры 47

2.5. Выводы 54

Глава 3. Полюсный метод Ньютона в банаховых пространствах 56

3.1. Формальное построение полюсного метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и его представления 56

3.2. Сходимость обобщенного полюсного метода Ньютона 60

3.3. Выводы 67

Глава 4. О применении полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам 68

4.1. Полюсные методы секущих 68

4.2. Полюсный метод Ньютона с векторным параметром 72

4.3. Аппроксимационный аналог полюсного метода Ньютона с векторным параметром 74

4.4. Выводы 77

Глава 5. Примеры применения полюсных методов к решению прикладных задач 78

5.1. Численные эксперименты с интегральными уравнениями Гаммерштейна 78

5.2. Применение полюсного метода к решению уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена 83

5.3. Выводы 90

Заключение 92

Литература 93

Построение метода и исследование его сходимости
Сходимость полюсного метода Ньютона в «-мерных пространствах
Формальное построение полюсного метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и его представления
Аппроксимационный аналог полюсного метода Ньютона с векторным параметром

Введение к работе

При решении многих прикладных задач на каком-то этапе возникает необходимость в нахождении корней нелинейных скалярных уравнений вида

Ж>=о (ол)

или систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, представляемых уравнением

F(x) = 0, (0.2)

где F: R,, -> R_n — векторная функция векторного аргумента. Изначально решаемые задачи при математической постановке часто сами формулируются в виде задачи отыскания решений нелинейного операторного уравнения

F(x) = 0, (0.3)

где в общем случае F — нелинейный оператор, действующий из некоторого множества Q банахова пространства X в нормированное пространство Y. Очевидно, что уравнения вида (0.1) являются частным случаем систем (0.2) при п = 1, а системы (0.2), в свою очередь, можно рассматривать как уравнения (0.3) при X = Y = R_n.

Главное место среди известных методов приближенного решения уравнений (0.1)-(0.3) принадлежит итерационным методам. Без описания методов решения уравнений (0.1), (0.2) не обходится никакая учебная и справочная литература по современным численным методам [1, 2, 5, 11-13, 18, 20, 24, 28-31, 38, 47, 56, 66], а методы решения уравнений (0.3) содержатся во многих учебниках по функциональному анализу [40, 58, 67, 68 и др.]. Вопросам теории и применения итерационных методов посвящено множество монографий (см., например, [25, 35, 39, 49, 50, 64]), огромное количество научных статей.

Из обширного списка известных на сегодняшний день итерационных методов решения уравнений (0.1) выделим метод касательных, предложенный Ньютоном еще в 1669 году и позже, в 1690 году, Рафсоном. Названный в честь знаменитого ученого-первооткрывателя метод Ньютона (Ньютона-Рафсона) от-

5 личается идейной простотой, геометрически наглядной интерпретацией и вторым порядком сходимости итерационной последовательности, которая при заданном начальном элементе х₀ определяется рекуррентной формулой

**+!=**-4^гт. * = <М. ²> (-⁴)

Теоретические результаты исследований и .рекомендации по практическому применению данного метода можно найти почти в любой литературе по вычислительной математике. Несмотря на достаточно высокую эффективность [64] и вычислительную устойчивость [3, 25, 50, 64, 79], метод Ньютона (как, впрочем, и любой другой итерационный метод) не лишен недостатков, среди которых: необходимость вычисления производной на каждом итерационном шаге, линейная сходимость в случае кратных корней [62, 85], сугубо локальный характер сходимости, подразумевающий знание достаточно близкого к корню начального приближения. В связи с этим были созданы некоторые модификации метода:

упрощенный метод Ньютона [24], предполагающий вычисление производной только в точке начального приближения, а также реализации метода Ньютона, где производная вычисляется точно не на каждой итерации, а через некоторое их число [93]. Цель таких модификаций — уменьшение вычислительных затрат, однако при этом теряется квадра-тичность скорости сходимости итерационных последовательностей (например, упрощенный метод Ньютона, будучи частным случаем метода простых итераций, обладает лишь скоростью сходимости геометрической прогрессии [11,13]);

конечноразностные модификации (конечноразностный метод Ньютона и метод секущих [5, 11, 13, 25, 50], метод Стеффенсена [50, 62], метод экспоненциального спуска [118] и некоторые другие методы подобного типа (см., например, [117, 119])). В итерационных формулах таких модификаций производная заменяется некоторым аппроксимирующим ее разност-

ным отношением и возникающие при этом итерационные методы различаются, в основном, выбором формулы и шага дискретизации производной. Например, метод секущих

г -г * ^v * *~^i; -1 2

/(**)(**-**-i) Д*а)-/(*а-і)

получается из метода Ньютона (0.4) на основе простейшего приближенного равенства

при /г = х^_, - х_к, а метод Стеффенсена — из него же при h = /(л^). В некоторых случаях подобный подход повышает вычислительную эффективность метода с сохранением высокой скорости сходимости (от сверхлинейной до квадратичной);

параметрические модификации (метод Ньютона-Шрёдера [11, 13, 62], методы [115, 116, 119] и др.). Здесь введение параметров в итерационную формулу метода Ньютона вместе с соответствующим правилом их выбора позволяют как увеличить быстроту сходимости классического метода Ньютона (например, в случае кратных корней),'так и повысить его устойчивость к выбору начального приближения;

модификации, полученные суперпозицией метода Ньютона и какого-либо другого итерационного процесса. Эти модификации либо сочетают быструю сходимость метода Ньютона с «глобальной», но обычно более медленной сходимостью другого метода (например, метода дихотомии), расширяя таким образом границы применимости классического метода Ньютона при сохранении достаточно высокой скорости сходимости последовательности приближений к корню (гибридные методы) [11, 50], либо являются сложными многоступенчатыми или вложенными итерационными процессами [64, 91, 92, 99, 104, 114], в которых результирующие итерационные последовательности имеют более высокий порядок сходи-

7 мости по сравнению с ньютоновскими. Например, в [104] строится метод достаточно простого вида

_r -_v f\^xk) к_о 1 о

^лк+1 ~^лк / _г, _ч N ' ^л "~ "' *> ^»

/()

и обосновывается его кубическая сходимость. Цена за повышение порядка — лишнее вычисление производной на каждом итерационном шаге. Существуют также и стоящие в стороне от перечисленных идейно близкие методу Ньютона методы порядка сходимости выше второго, но они, как правило, содержат старшие производные заданной функции [5, 37, 64, 73, 75, 96 и др.]. Таковыми являются, например, известные методы Чебышева-Шрёдера и Хэлли. Подытожив сложившуюся ситуацию с различными модификациями одномерного метода Ньютона, отметим, что большинство из полученных современными авторами результатов, укладывается в общую теорию итерационных функций, описанную в замечательной монографии Трауба [64].

Безусловный интерес представляет повышение вычислительной эффективности итерационных методов, иначе, получение более точных результатов без дополнительных вычислений функций и их производных. Одно направление такого повышения — это ускорение сходимости итерационных последовательностей за счет построения «паразитирующих» на них более быстро сходящихся к тому же пределу последовательностей. Классическим примером тому служит А²-преобразование Эйткена, а также метод Вегстейна [11, 13]. Подробный обзор на эту тему можно найти в работе [87]; к сожалению, из 155 литературных источников там нет ни одного русскоязычного. Другое направление, развиваемое в настоящей диссертации, — это создание на базе хорошо зарекомендовавших себя классических методов таких модификаций, которые бы успешно с ними конкурировали по части вычислительной эффективности.

Для решения систем нелинейных уравнений (0.2) обобщение метода
Ньютона (0.4) имеет вид

_x(*₊.)_=x(*)_[-_r(_xW^-V(x^w), = 0, 1, 2, .... (0.5)

Так же, как и в одномерном случае, метод (0.5) является одним из наиболее привлекательных и для исследователей, и для тех, кому приходится решать реальные задачи, сводящиеся к системам вида (0.2). Метод Ньютона здесь обладает в общем смысле теми же достоинствами и недостатками, что и метод (0.4), но переход от размерности п -1 к п > 2 значительно усложняет задачу успешного и эффективного его применения, внося в нее дополнительные нюансы. А именно:

при наличии многочисленных утверждений о сходимости метода Ньютона (см., например, [11, 13, 24, 25, 49, 88, 120]) выбор начального приближения х⁽⁰⁾, удовлетворяющего требуемым ими совокупностям достаточных условий сходимости, сопряжен со значительными трудностями;

построение на каждом шаге матрицы Якоби и ее обращение (или

решение соответствующей системы линейных уравнений относительно шаговых поправок) при достаточно большой размерности системы (0.2) является вычислительно дорогой задачей, и т.п. Многие из способов модификации метода Ньютона в R„, призванных так или

иначе улучшить ситуацию, приведены в известных монографиях Ортеги и Рейнболдта [49] и Дэнниса и Шнабеля [25]. Однако вышеперечисленные проблемы и по сей день остаются актуальными для вычислительной математики. Об этом свидетельствует появление все новых результатов по данной тематике, из которых отметим, например, работы [41, 71, 87, 107, ПО]. Особый интерес представляют исследования возможностей применения метода Ньютона к решению систем уравнений с негладкими функциями [94, 95, 113]. Следует заметить, что хотя далеко не все модификации одномерного метода Ньютона можно однозначно обобщить на многомерный случай, переход к большим размерностям порождает свою специфику, с учетом которой можно строить на базе ньютоновского процесса эффективные методы, используя, например, только «од-

9 номерную» геометрическую идею. Пример тому — конечноразностные многомерные модификации метода Ньютона [11, 25].

В общей теории приближенных методов имеется ряд фундаментальных результатов. К таковым, наверное, можно отнести основополагающие работы Л.В. Канторовича по методу Ньютона [32-34], которые дали толчок интенсивному изучению различных итерационных методов решения операторных уравнений вида (0.3). Из обширной посвященной этому литературы прошлых лет выделим лишь две монографии [35, 57] и статью [70], а из современной — статьи [65, 83, 84, 78, 79, 81, 97, 98, 100-103, 105] и докторскую диссертацию [72]). Метод Ньютона

_xw=^-.[F'(J^k))J^lF{x^w), к = 0, 1, 2, ... (0.6)

(обычно называемый в операторном случае методом Ньютона-Канторовича) часто изучается в рамках семейства более общих методов типа метода Ньютона [72,77,82,120]

^^k^=x^w-[A(x^w)J^lF[x^w)_t = 0, 1, 2, ..., (0.7)

где А(х^(кЛ:X~^>Y — некоторый линейный оператор, каким-либо образом отслеживающий скорость изменения оператора F с увеличением номера к. Основные теоретические результаты об условиях и скорости сходимости таких методов, полученные в последние 30 лет, можно найти в сконцентрированном виде в обзорных статьях [93, 120]. Обобщен на операторный случай и упоминавшийся выше метод секущих; здесь отметим лишь одну старую [63] и одну современную [74] статьи на эту тему.

Проводились исследования и более широких, чем (0.7), семейств итерационных методов, содержащих в себе метод Ньютона и некоторые его модификации. Речь идет о так называемом усиленном методе Ньютона-Канторовича

x^(M)=x^w + Q(x^w, А_к), к = 0, 1, 2, ..., (0.8)

где А_к — линейный оператор, так или иначе аппроксимирующий обратный к производной Фреше F'[x^{k)) оператор, a. Q — определенным образом конст-

10 руируемый по F оператор итерирования [17, 35, 42]. Для случая, когда (0.8) является прямой модификацией метода Ньютона, т.е. основная расчетная формула метода имеет вид

x^{M)=x^w-A_kF(x^(k)), к = 0, 1, 2, ..., (0.9)

к построению последовательности операторов А_к, как правило, привлекаются те или иные обобщения известного процесса Шульца итерационного обращения матриц [112]. Исследования получающихся при этом на базе (0.9) методов восходят к работам Ульма [69] и Мозера [108] и далее развиваются в статьях [6, 8, 48, 89, 90, 109, 111 и др.]. При этом с целью «удешевления» одной итерации здесь зачастую прибегают к рекурсии, что приводит к различным комбинированным многоступенчатым процессам, в которых чередуются точные обращения с приближенными обращениями операторов-производных или операторы А_к сохраняются неизменными на одном или нескольких итерационных шагах. Исследования таких процессов можно найти, например, в работах [4, 9, 19, 22, 65].

на отрезке [0, і], и решение х* исходной задачи (0.3) ищется как предел решения соответствующей дифференциальной задачи Коши либо при /->+оо [21, 27], либо при t—»1 [26, 106]. Имеются также предложения сводить уравнение (0.3) в конечномерном случае к уравнениям с частными производными гиперболического типа [43].

которых наиболее типичными неконечномерными объектами являются нелинейные интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако чаще всего в конкретных пространствах с конкретными свойствами для конкретных задач удается получить более тонкие теоретические результаты, облегчающие реализацию методов [41, 49, 57, 76].

Настоящая диссертация посвящена изучению и обобщению новой параметрической модификации итерационного метода Ньютона решения нелинейных уравнений, предложенной в 1989 году П.В. Вержбицким и впоследствии названной полюсным методом Ньютона, которая, как показывается, может превосходить классический метод Ньютона по скорости сходимости и успеш-

2 ности без привлечения дополнительных вычислений функции и ее производной.

Заметим, что бурное развитие вычислительной техники в последние годы заставляет переосмысливать роли приближенно-аналитических и сугубо численных методов решения различных задач прикладного анализа, отдавая предпочтение последним. Отсюда — преимущественное внимание автора к конечномерным задачам (к которым сразу приводит дискретизация тех или иных задач в бесконечномерных пространствах), наверное, в ущерб исследованиям методов решения операторных и конкретных функциональных уравнений. Такой подход характерен для многих других современных исследователей. Довольно типична ситуация, когда тот или иной метод решения операторных уравнений вида (0.3) применяется для решения нелинейных интегральных уравнений. При этом вместо пошагового сведения их к линейным интегральным же уравнениям сразу производится переход к системам алгебраических и/или трансцендентных уравнений и уже к ним применяется рассматриваемый метод ([74, 75] и др.).

Кроме доклада на конференции старшеклассников МФТИ, эта идея ее автором нигде публично не представлялась.

2 ^:

Термин заимствован из [59] и подразумевает возможность формального применения метода, приводящего на тестовых примерах к верному результату.

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

Научная новизна работы. Изучается новая параметрическая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, а также нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Научных публикаций, посвященных построению, изучению и обобщению данного метода, кроме работ диссертанта и научного руководителя, не имеется.

Практическая ценность работы. Предложенная модификация предоставляет принципиальные возможности улучшить сходимость и расширить границы применимости классического метода Ньютона решения нелинейных уравнений. Значимость выполненных исследований обусловлена тем, что, в конечном итоге, решение многих задач сводится к решению нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, и очень важно, чтобы они решались как можно более эффективными методами.

Положения, выносимые на защиту:

способ построения одномерного полюсного метода Ньютона, его обобщение на системы нелинейных уравнений и на операторные уравнения в банаховых пространствах;

теоретические результаты исследования сходимости предлагаемого метода, численные примеры, демонстрирующие его достоинства в сравнении с классическим методом Ньютона;

условия на выбор параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, при которых возможно его эффективное и успешное применение; способы выбора параметров в многомерном полюсном методе Ньютона;

применение полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам; численные примеры, демонстрирующие достоинства такой параметризации;

- способ оптимизации численного решения серий «близких» систем нели
нейных уравнений полюсным методом Ньютона на примере прикладной
задачи движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной работой, где воедино сведены результаты, полученные лично автором и в соавторстве с научным руководителем. Автором совместно с научным руководителем проведено теоретическое исследование сходимости одномерного полюсного метода и средствами аналитической геометрии и векторной алгебры выполнен перенос полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Лично автором проанализированы эффективные способы выбора параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, сформулированы теоремы сходимости многомерного полюсного метода Ньютона, проведено сравнительное численное тестирование метода при различных способах фиксирования параметров. Кроме того, получено обобщение полюсного метода Ньютона на операторные уравнения в банаховых пространствах, сформулированы теоремы сходимости обобщенного метода. В качестве примера рассмотрена содержательная прикладная задача, в которой применен предлагаемый метод решения систем нелинейных уравнений. Здесь предложен эффективный способ фиксирования полюсов при решении жестких дифференциальных уравнений неявными методами. Основные положения и выводы диссертационной работы также сформулированы автором.

Доклады и публикации по теме диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», Москва, МГУ, 12-15 апреля, 2000 г.;

XXXII Научно-техническая конференция ИжГТУ, Ижевск, 18-21 апреля, 2000 г.;

VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001», Москва, МГУ, 10-13 апреля, 2001 г. ;

Работа отмечена грамотой «За лучший доклад» министра образования РФ.

Межвузовская научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Ижевск, ИжГТУ, 18-20 апреля, 2002 г.;

IV Международная научно-техническая конференция ИжГТУ «Информационные технологии в инновационных проектах», Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.;

Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г,

а также на математических семинарах Ижевского государственного технического университета, Пермского государственного университета, Института математики и механики УрО РАН.

Основное содержание работы изложено в 3 статьях и 6 тезисах докладов (ссылки [14-16, 46, 51-55] в списке литературы; результаты исследований частично включены в вузовские учебники по численным методам В.М. Вержбиц-кого [11, 12] (5.7, 7.5) и [13] (7.7, 9.5).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.

В первой главе описывается построение и проводится обсуждение нового метода применительно к решению нелинейных скалярных уравнений. Приводятся условия, обеспечивающие квадратичную сходимость предложенного метода. Анализируются различные способы выбора параметров, при которых возможна сверхквадратичная сходимость полюсного метода Ньютона, а также сходимость указанного метода в условиях неприменимости или расходимости классического метода Ньютона; достоинства нового метода иллюстрируются численными примерами.

Во второй главе геометрическая идея построения метода распространяется на многомерный случай, строится полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений. Приводятся теоремы сходимости такого метода, указывается способ выбора параметров для обеспечения квадратичной сходимости

15 метода. Приводятся численные примеры эффективного применения полюсного метода Ньютона в сравнении с его классическим прообразом.

В третьей главе метод обобщается на нелинейные операторные уравнения с гладкими операторами в банаховых пространствах, исследуется сходимость полученного метода.

В четвертой главе рассматривается применимость идеи полюсной параметризации к некоторым известным процессам, близким к ньютоновским. Указывается способ «настройки» параметра одного из предлагаемых здесь полюсных методов при решении серии близких систем нелинейных уравнений. Приводятся численные примеры эффективного применения полученных таким образом полюсных модификаций методов в сравнении с их прообразами.

В пятой главе демонстрируются способы эффективного применения полюсных методов применительно к задаче приближенного решения нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и к прикладной задаче приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

В заключении приводятся основные выводы по результатам проделанной работы.

Содержание диссертации изложено на 103 страницах машинописного текста, включая 4 страницы с рисунками, 26 таблиц и библиографический список, содержащий 120 названий.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору кафедры ПМИ ИжГТУ В.М. Вержбицкому за постановку задач исследований и постоянное внимание к работе над диссертацией; преподавателям и сотрудникам кафедры ПМИ ИжГТУ и лично заведующему кафедрой доценту А.А. Айзиковичу за всестороннюю поддержку, а также А.Н. Мельниковой за своевременное замечание относительно выбора параметров при построении обобщенного полюсного метода.

Построение метода и исследование его сходимости

Для случая, когда (0.8) является прямой модификацией метода Ньютона, т.е. основная расчетная формула метода имеет вид

к построению последовательности операторов Ак, как правило, привлекаются те или иные обобщения известного процесса Шульца итерационного обращения матриц [112]. Исследования получающихся при этом на базе (0.9) методов восходят к работам Ульма [69] и Мозера [108] и далее развиваются в статьях [6, 8, 48, 89, 90, 109, 111 и др.]. При этом с целью «удешевления» одной итерации здесь зачастую прибегают к рекурсии, что приводит к различным комбинированным многоступенчатым процессам, в которых чередуются точные обращения с приближенными обращениями операторов-производных или операторы Ак сохраняются неизменными на одном или нескольких итерационных шагах. Исследования таких процессов можно найти, например, в работах [4, 9, 19, 22, 65].

Не остались без внимания исследователей и случаи, когда, например, прямое применение метода Ньютона некорректно и вместо обратных операторов в методе (0.6) и ему подобных используются псевдообратные и правые обратные операторы [61, 80, 86 и др.]. Ряд работ посвящен непрерывным аналогам метода Ньютона, в которых вместо дискретной переменной к используется непрерывная скалярная переменная /, изменяющаяся на полуоси [0, +оо) или на отрезке [0, і], и решение х исходной задачи (0.3) ищется как предел решения соответствующей дифференциальной задачи Коши либо при /- +оо [21, 27], либо при t—»1 [26, 106]. Имеются также предложения сводить уравнение (0.3) в конечномерном случае к уравнениям с частными производными гиперболического типа [43].

Обобщенные итерационные методы и результаты их изучения могут быть естественным образом применены к решению и исследованию конечномерных уравнений вида (0.2), а также других частных случаев уравнений вида (0.3), из которых наиболее типичными неконечномерными объектами являются нелинейные интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако чаще всего в конкретных пространствах с конкретными свойствами для конкретных задач удается получить более тонкие теоретические результаты, облегчающие реализацию методов [41, 49, 57, 76].

Настоящая диссертация посвящена изучению и обобщению новой параметрической модификации итерационного метода Ньютона решения нелинейных уравнений, предложенной в 1989 году П.В. Вержбицким и впоследствии названной полюсным методом Ньютона, которая, как показывается, может превосходить классический метод Ньютона по скорости сходимости и успеш 2 ности без привлечения дополнительных вычислений функции и ее производной.

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет». Научная новизна работы. Изучается новая параметрическая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, а также нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Научных публикаций, посвященных построению, изучению и обобщению данного метода, кроме работ диссертанта и научного руководителя, не имеется.

Практическая ценность работы. Предложенная модификация предоставляет принципиальные возможности улучшить сходимость и расширить границы применимости классического метода Ньютона решения нелинейных уравнений. Значимость выполненных исследований обусловлена тем, что, в конечном итоге, решение многих задач сводится к решению нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, и очень важно, чтобы они решались как можно более эффективными методами.

Положения, выносимые на защиту: - способ построения одномерного полюсного метода Ньютона, его обобщение на системы нелинейных уравнений и на операторные уравнения в банаховых пространствах; - теоретические результаты исследования сходимости предлагаемого метода, численные примеры, демонстрирующие его достоинства в сравнении с классическим методом Ньютона; - условия на выбор параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, при которых возможно его эффективное и успешное применение; способы выбора параметров в многомерном полюсном методе Ньютона; - применение полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам; численные примеры, демонстрирующие достоинства такой параметризации; - способ оптимизации численного решения серий «близких» систем нели нейных уравнений полюсным методом Ньютона на примере прикладной задачи движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

Сходимость полюсного метода Ньютона в «-мерных пространствах

Пусть уже получены приближения xk_i и хк. Проводя через точки (рис. 4.1), находим ее точку Q пересечения с прямой, проведенной через полюс P(c;d) и точку (xk;0). Выражение абсциссы этой точки Q пересечения двух прямых задает двухпараметрический двухшаговый итерационный процесс — полюсный метод секущих (с фиксированным полюсом) Метод (4.1) может быть формально получен из полюсного метода Ньютона, если заменить производную в итерационной формуле (1.2) ее простейшей разностной аппроксимацией по двум точкам. Следовательно, полюсный метод секущих можно рассматривать как одну из конечноразностных модификаций полюсного метода Ньютона. Из геометрической интерпретации полюсного метода секущих можно увидеть, что за счет удачного выбора полюса Р методом (4.1), в принципе, можно получить лучшее приближение к корню, чем.посредством базового для него метода секущих (\х -хы х -хк+1 , см. рис.4.1), а также возможно построение сходящейся последовательности приближений к корню при отсутствии сходимости у метода секущих из одинаковых для обоих методов начальных приближений х0 и хг Для ускорения сходимости итерационного процесса (4.1) можно порекомендовать, например, оставить абсциссу полюса с в качестве параметра, а ординату полюса изменять по правилу Эффект, который можно получить, применяя полюсный метод секущих (4.1), (4.2) вместо классического метода секущих, продемонстрируем на следующем численном примере. Пример 4.1. Классическим методом секущих и полюсным методом секущих (4.1), (4.2) с фиксированной абсциссой с = 3 решалось нелинейное уравнение примера 1.1. При 0=0.3, X, = х0 + 10-12 с критерием останова, приведенным в том же примере, классическим методом секущих приближенное решение было найдено за 8 итераций, методом (4.1) с d = dk = -f{xk_x) за 6 итераций, с d = dk = f(xk_x) за 9 итераций. Сравнительные результаты применения первых двух методов приведены в табл. 4.1. представляет собой конечноразностную аппроксимацию матрицы Якоби F yx k J системы (2.1Г), то по аналогии с полюсным методом Ньютона (2.25) можно параметризировать метод секущих (4.3) прибавлением к матрице В\ к\х к 1 ) «полюсной» матрицы -Dr(C-UA)_1 (зависящей от соответствующих параметров-полюсов, рассмотренных в гл. 2). Таким образом приходим к полюсному методу секущих, определяемому формулой d:=d( =±F(xw)), задающий пхп матрицу D = (d,...,d). Полюсный метод секущих (4.4) так же, как и полюсный метод Ньютона, обобщает свой классический прообраз и при соответствующем выборе параметров может оказаться более успешным и эффективным в сравнении с методом секущих (4.3), что демонстрируется следующим примером. Пример 4.2. Система нелинейных уравнений примера 2.1 приближенно решалась методом секущих (4.3) с начальными приближениями х(0) = (0; 2) , x(i) _х(0)+ Q-i2. 1()-12 J и полюсным методом секущих (4.4) с матрицей и выбором вектора d по правилу d := dw = F(x( 1}J с теми же на чальными приближениями. Как видно из приведенной здесь таблицы 4.2 сравнительных результатов, полюсный метод секущих (4.4) устойчиво опережает метод секущих (4.3) как минимум на две итерации (естественно уступая в этом методу Ньютона, ср. с табл. 2.1). Построенные ранее конечномерные полюсные методы Ньютона (2.25) и (3.9) с фиксированным матричным параметром С и векторным параметром d, задающим пхп матрицу D = (d,...,d) и выбираемым на к -ой итерации пропорциональным значению F\x k)), кроме всех своих описанных преимуществ имеют существенный недостаток — необходимость обращения матрицы С - \Jk на каждой итерации. Этого можно избежать, если в качестве основного параметра метода взять вектор d и предположить, что при соответствующем выборе матрицы С = Ск существует матрица Gk =(C-Vk) l, причем такая, что где Р 0 — некоторый коэффициент, зависящий от выбранной нормы. В самом простом случае имеет смысл в качестве G брать матрицу с п «существенными» элементами, а именно положить Полученный таким образом полюсный метод Ньютона с единственным векторным параметром d при заданном х(0) будет иметь вид (где в качестве матрицы D можно брать и Dr). Формально матричный параметр С здесь выражается как С = Ск = Vk +G . Воспользовавшись предполагаемой оценкой (4.5) для метода (4.7), не трудно сформулировать и доказать теорему о его квадратичной сходимости, аналогичную, например, теореме 2.2. . Численные примеры успешного и эффективного применения полюсного метода (4.7) приводятся далее в п. 4.3. Есть смысл применять метод (4.7) для решения серии близких систем нелинейных уравнений, используя следующую идею «настройки» параметра d. Пусть для первой системы последовательности близких систем из достаточно хорошего начального приближения х(0) каким-либо итерационным методом (например, методом Ньютона (0.5)) с заданной точностью найдено приближенное решение х .

Формальное построение полюсного метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и его представления

На достаточно большой совокупности рабочих параметров, задающих модель движения доменной границы при скачке Баркгаузена, были проведены численные эксперименты, в ходе которых система дифференциальных уравнений (5.7) приближенно решалось неявным методом Рунге-Кутты 4-го порядка по приведенному выше алгоритму на различных отрезках, отражающих развитие процесса движения. Для решения получающихся при этом нелинейных систем (5.10) использовались два метода: метод Ньютона (5.11) с последовательным обновлением начальных приближений и модификация полюсного метода Ньютона (5.12) в рамках предложенной вычислительной схемы 3.1 - 3.8. Оказалось, что применение полюсного метода Ньютона (5.12) с настройкой параметра d в схеме 3.1 - 3.8 здесь дает общий выигрыш по количеству итераций решения систем вида (5.10) до 14% по сравнению со схемой, где фигурирует только классический метод Ньютона с последовательным обновлением начальных приближений. При этом такое превосходство достигается без привлечения дополнительных вычислений значений функций и производных.

Для примера приведем один из просчитанных вариантов. В качестве параметров модели (5.5) были взяты следующие величины: Л = 106Гс-Э/с, /? = 0.01г/(см2-с), Дх = 0.003см, Л = 0.002см, Fm =4-104дин/см2, /я = 10 10г/см2. Сетка определялась шагом кс = 5Л0 ис с количеством узлов N = 750; точность для алгоритма решения системы (5.7) неявным методом Рун ге-Кутты 4-го порядка (5.8), (5.9) задавалась на уровне - = 10-8. Нелинейные системы вида (5.10), общее количество которых было равным 23998, решались с точностью Е =10" . При этом на решение всей совокупности систем вычислительной схеме с методом Ньютона понадобилось 27209 итераций, а схеме 3.1-3.8 —25852 итерации. Хотя в некоторых случаях применение вычислительной схемы 3.1 - 3.8 с модифицированным полюсным методом Ньютона уменьшает вычислительные затраты незначительно по сравнению с ньютоновской схемой для данной задачи, это уменьшение становится существенным, например, при моделировании зависимости математического ожидания поля старта от частоты перемагничи-вающего поля, где процесс расчета одного скачка Баркгаузена может повто-ряться более 10 раз.

Приведенные в данной главе результаты применения модификаций полюсного метода Ньютона к двум прикладным задачам еще раз подчеркивают эффективность полюсных итерационных процессов в сравнении с классическим методом Ньютона. Для задачи численного решения нелинейного дифференциального уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена благодаря применению модификации полюсного метода Ньютона оптимизирован процесс решения многочисленных серий «близких» нелинейных систем, возникающих при интегрировании дифференциального уравнения неявным методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Применяющийся здесь подход к «настройке» параметров метода на серию «близких» нелинейных систем оправдал свою эффективность, как и предполагалось в гл. 4.

Как показывает теоретическое и экспериментальное изучение, предлагаемая здесь новая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений с гладкими функциями при удачном распоряжении ее параметрами может оказаться более выигрышной по сравнению с широко употребляемым классическим методом Ньютона.

Практическое применение этой модификации затрудняет незнание способов прямого указания оптимальных значений параметров, и вопрос об их нахождении требует дальнейших исследований. Однако уже на данном этапе освоения нового метода можно указать множество ситуаций, когда от его использования можно ожидать положительный эффект: например, в многочисленных случаях, где требуется решать большие серии «близких» нелинейных уравнений и окажутся оправданными вычислительные затраты на экспериментальную оптимизацию параметров.

Представляет также интерес дальнейшее изучение полученных здесь об общенных полюсных методов решения нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах.

Аппроксимационный аналог полюсного метода Ньютона с векторным параметром

Приближенное решение системы (5.7) вычислялось на отрезке — число точек решения на сетке (обычно N = 750); шаг hc выбирался постоянным и служил для задания расчетных узлов . = j -hc, j = 0,1,...,N при построении сеточного решения исходной системы дифференциальных уравнений. Поскольку поведение решения конкретной системы (5.7) априори оценить сложно, значение шага hc при выбранном N подбиралось экспериментально и зависело от параметров физической модели процесса движения ДГ.

Нахождение приближенного решения \x-\yj) системы (5.7) в узлах сетки В качестве начального приближения fjj0) метода Ньютона для системы (5.10) при / = 0 выбиралось f 0):=0. Для следующих систем вида (5.10) с ин-дексом / 0 полагалось т;; := rjM, где rjM — полученное с заданной точностью є є приближенное решение предыдущей системы с индексом / -1. Такой выбор начальных приближений для систем (5.10) оправдан их «близостью».

Используя для решения получаемых априори «близких» нелинейных систем (5.10) модификацию полюсного метода Ньютона (4.7) с настройкой векторного параметра d по правилу (4.8), можно уменьшить вычислительные затраты. Модификация полюсного метода Ньютона (4.7) в данном случае имеет вид

С учетом описанного в гл.4 подхода к применению такого метода к сериям «близких» систем нелинейных уравнений можно построить следующую вычислительную схему реализации п.З приведенного выше алгоритма решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (5.7).

Хотя в некоторых случаях применение вычислительной схемы 3.1 - 3.8 с модифицированным полюсным методом Ньютона уменьшает вычислительные затраты незначительно по сравнению с ньютоновской схемой для данной задачи, это уменьшение становится существенным, например, при моделировании зависимости математического ожидания поля старта от частоты перемагничи-вающего поля, где процесс расчета одного скачка Баркгаузена может повто-ряться более 10 раз.