Содержание к диссертации
Введение
1 О минимальных тригонометрических сплайнах 10
1.1 Построение непрерывных тригонометрическихтплайнов 10
1.2 Построение непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка 12
1.3 Построение гладких тригонометрических сплайнов второго порядка 14
1.4 Построение гладких тригонометрических сплайнов третьего порядка 19
1.5 О постановках интерполяционных задач 27
1.5.1 Интерполяционные задачи для непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка . 27
1.5.2 Интерполяционные задачи для гладких тригонометрических сплайнов второго порядка 27
1.5.3 Интерполяционные задачи для гладких тригонометрических сплайнов третьего порядка 28
1.6 О свойствах точности аппроксимации 30
1.7 Оценки погрешностей 40
2 В-сплайнах второй, четвертой и шестой степеней 43
2.1 Аппроксимационные соотношения и формулы базисных сплайнов 43
2.1.1 В-сплайны второй степени 43
2.1.2 В-сплайны четвертой степени 44
2.1.3 В-сплайны шестой степени 46
2.2 О постановках интерполяционных задач 49
2.2.1 Интерполяционные задачи для В-сплайнов второй степени 49
2.2.2 Интерполяционные задачи для В-сплайнов четвертой степени 50
2.2.3 Интерполяционные задачи для В-сплайнов шестой степени 51
2.3 Оценки погрешностей 52
2.3.1 Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов второй степени 52
2.3.2 Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов четвертой степени 54
2.3.3 Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов шестой степени 72
3 О свойствах гладких тригонометрических сплайнов 75
3.1 Построение гладких приближений, не использующих значения производных 75
3.2 Построение квадратурных формул, согласованных с гладкими тригонометрическими и полиномиальными сплайнами 98
3.2.1 Тригонометрический случай
3.2.2 Погрешность. Тригонометрический случай 105
3.2.3 Полиномиальный случай 106
3.2.4 Погрешность. Полиномиальный случай 110
3.3 Об устойчивости приближений 111
Приложение 116
Список литературы 151
- Построение непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка
- Интерполяционные задачи для гладких тригонометрических сплайнов третьего порядка
- Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов четвертой степени
- Построение квадратурных формул, согласованных с гладкими тригонометрическими и полиномиальными сплайнами
Введение к работе
Сплайны в математике имеют достаточно давнюю историю. Так, ломаную Эйлера можно считать простейшей сплайновой аппроксимацией. Джен-кинс (W.A.Jenkins) фактически рассматривал сплайны, когда исследовал оскуляторную интерполяцию в 1926 г.; изучал ее также и Гревилль (Th. N. Е. Grevill) в 1944 г. Слово "сплайн" английского происхождения: так называлась гибкая линейка, применявшаяся английскими инженерами в конце XIX века для проектирования закруглений железных дорог. Математика получила этот термин благодаря работам Шонберга в 1946 г. (см. [54]), который назвал так рассмотренные им функции с "кусочными" свойствами. К настоящему времени имеется большая серия статей и ряд монографий, освещающих многие стороны теоретических исследований и практического применения сплайнов (см. [17, 19, 32, 40, 42, 43, 48] и библиографию в них). Отметим в связи с этим глубокие связи сплайнов с конечно-элементной аппроксимацией [1, 42, 47, 49, 50, 56] и их фундаментальную роль в бурном развитии теории вейвлетов [56].
Аппроксимация и интерполяция широко используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики, при сжатии и последующем восстановлении с заданным порядком потоков числовой информации, при их фильтрации и статистической обработке. Значительное место среди средств приближения и интерполяции занимают пространства сплайнов. Стремление к разработке экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см. [21]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся В-сплайны [33, 35, 48], сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны [28, 42, 46], а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [50]). Подобные аппроксимации называются минимальными [22, 26]. Они позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [23].
В монографиях [19, 33, 41] отмечено, что в ряде случаев предпочтение отдается сплайнам с локальным интерполяционным базисом. Отличительная особенность таких сплайнов заключается в том, что решение интерполяционной задачи в точке не зависит от информации о поведении функции в достаточно удаленных узлах сетки и, таким образом, интерполирующая функция строится достаточно просто.
Свойство минимальности рассматриваемых аппроксимаций позволяет экономить ресурсы вычислительного устройства. Например, при решении краевых задач упомянутое свойство приводит к минимизации ширины ленты у матрицы соответствующей конечномерной задачи, а в итоге уменьшается число арифметических операций при отыскании решения.
Свойство минимальности особенно важно при аппроксимации функций с быстро растущими производными, где приходится использовать сильно неравномерную сетку. Характер неравномерности сетки можно определить в соответствии с классом приближаемых функций [25], при этом сохраняются свойства оптимальности приближения (по порядку) и оценка числа арифметических действий. К рассматриваемому семейству сеток относятся конечные сетки, а также определенные бесконечные сетки с конечными или бесконечными точками сгущения.
Сплайн В. С. Рябенького [46] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном. С помощью сплайнов с локальным интерполяционным базисом, как было отмечено выше, удобно решать краевые задачи вариационно-разностным методом, так как в этом случае в результате решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей ленточного типа мы сразу получим приближенное решение исходной задачи. Преимущества применения базисных фунций с конечным малым носителем при решении задач вариационно-разностным и проекционным методом отмечались в монографиях [41, 42].
Полиномиальные В-сплайны с момента возникновения до настоящего времени привлекают пристальное внимание специалистов, как в плане применения так и с целью развития теории дальнейшего исследования, в частности, получения констант в оценках погрешностей.
В работе [34] построено несложное явное выражение для В-сплайнов произвольной степени на неравномерной сетке. Найдены скалярные произведения этих сплайнов вплоть до 7-ой степени в случае равномерной сетки. Разработан алгоритм нахождения наилучших среднеквадратических аппроксимаций функции такими сплайнами. Предложен тест, пригодный для проверки и сравнения разных классов аппроксимаций. Расчеты на этом тесте показали хорошую обусловленность алгоритма и возможность достижения высокой точности аппроксимации.
В работе [36] предложены простые универсальные алгоритмы нахождения естественных и периодических интерполяционных сплайнов произвольной степени. Расчеты показали высокую устойчивость алгоритма. Тригонометрические сплайны максимальной гладкости первого порядка предложены в работе И.Г.Буровой [7].
В данной работе проведено исследование свойств тригонометрических сплайнов первого порядка и предложены тригонометрические локальные сплайны максимальной гладкости второго и третьего порядков, с носителем, занимающем пять и семь сеточных интервалов. Предложены новые интерполяционные задачи использующие гладкие тригонометрические базисные сплайны, для решения которых не требуется решение систем линейных алгебраических уравнений. Даны оценки погрешности приближений.
Диссертация содержит — 3 главы (13 параграфов) и Приложение. Глава 1 посвящена построению тригонометрических сплайнов максимальной гладкости и рассмотрению связанных с ними интерполяционных задач. В первом параграфе приведены основные моменты построения непрерывных тригонометрических базисных сплайнов. Во втором параграфе — основные результаты построения непрерывно дифференцируемых тригонометрические сплайны первого порядка согласно работе [7]. В третьем и четвертом параграфах строятся гладкие тригонометрические сплайны второго и третьего порядков соответственно. В пятом параграфе для построенных сплайнов предложены интерполяционные задачи, аналогичные сформулированным в работе [29]. В шестом параграфе доказывается, что предлагаемые аппроксимации обладают точностью на соответствующих тригонометрических полиномах. В седьмом параграфе получены оценки погрешностей аппроксимации тригонометрическими сплайнами первого и второго порядков.
В главе 2 рассматриваются полиномиальные В-сплайны второй, четвертой и шестой степеней, а также некоторые новые интерполяционные задачи. В первом параграфе приведены формулы указанных сплайнов и ап-проксимационные соотношения, из которых они могут быть получены. Во втором параграфе для полиномиальных В-сплайнов поставлены интерполяционные задачи, аналогичные тригонометрическому случаю. В третьем параграфе получены оценки погрешностей для решений интерполяционных задач, поставленных в параграфе 2.
Глава 3 посвящена рассмотрению прикладных моментов. В первом параграфе рассматриваются аппроксимации функций, аналогичные приведенным в [7], сохраняющие гладкость приближения, но не использующие значения производных функции в узлах сетки. Получены оценки аппроксимации, использующей величины функции в узлах, и построены новые гладкие базисные функции. Во втором параграфе строятся квадратурные формулы, согласованные с гладкими тригонометрическими сплайнами первого порядка и полиномиальными В-сплайнам второй степени. В третьем параграфе рассмотрены вопросы устойчивости приближений непрерывно дифференцируемыми полиномиальными и тригонометрическими сплайнами. Для сравнения приведены аналогичные результаты для В-сплайнов второй степени [33]. Результаты численных экспериментов, подтверждающие тероретические оценки погрешностей, приведены в Приложении.
Построение непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка
Сплайн В. С. Рябенького [46] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном. С помощью сплайнов с локальным интерполяционным базисом, как было отмечено выше, удобно решать краевые задачи вариационно-разностным методом, так как в этом случае в результате решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей ленточного типа мы сразу получим приближенное решение исходной задачи. Преимущества применения базисных фунций с конечным малым носителем при решении задач вариационно-разностным и проекционным методом отмечались в монографиях [41, 42].
Полиномиальные В-сплайны с момента возникновения до настоящего времени привлекают пристальное внимание специалистов, как в плане применения так и с целью развития теории дальнейшего исследования, в частности, получения констант в оценках погрешностей.
В работе [34] построено несложное явное выражение для В-сплайнов произвольной степени на неравномерной сетке. Найдены скалярные произведения этих сплайнов вплоть до 7-ой степени в случае равномерной сетки. Разработан алгоритм нахождения наилучших среднеквадратических аппроксимаций функции такими сплайнами. Предложен тест, пригодный для проверки и сравнения разных классов аппроксимаций. Расчеты на этом тесте показали хорошую обусловленность алгоритма и возможность достижения высокой точности аппроксимации.
В работе [36] предложены простые универсальные алгоритмы нахождения естественных и периодических интерполяционных сплайнов произвольной степени. Расчеты показали высокую устойчивость алгоритма. Тригонометрические сплайны максимальной гладкости первого порядка предложены в работе И.Г.Буровой [7]. В данной работе проведено исследование свойств тригонометрических сплайнов первого порядка и предложены тригонометрические локальные сплайны максимальной гладкости второго и третьего порядков, с носителем, занимающем пять и семь сеточных интервалов. Предложены новые интерполяционные задачи использующие гладкие тригонометрические базисные сплайны, для решения которых не требуется решение систем линейных алгебраических уравнений. Даны оценки погрешности приближений.
Диссертация содержит — 3 главы (13 параграфов) и Приложение. Глава 1 посвящена построению тригонометрических сплайнов максимальной гладкости и рассмотрению связанных с ними интерполяционных задач. В первом параграфе приведены основные моменты построения непрерывных тригонометрических базисных сплайнов. Во втором параграфе — основные результаты построения непрерывно дифференцируемых тригонометрические сплайны первого порядка согласно работе [7]. В третьем и четвертом параграфах строятся гладкие тригонометрические сплайны второго и третьего порядков соответственно. В пятом параграфе для построенных сплайнов предложены интерполяционные задачи, аналогичные сформулированным в работе [29]. В шестом параграфе доказывается, что предлагаемые аппроксимации обладают точностью на соответствующих тригонометрических полиномах. В седьмом параграфе получены оценки погрешностей аппроксимации тригонометрическими сплайнами первого и второго порядков.
В главе 2 рассматриваются полиномиальные В-сплайны второй, четвертой и шестой степеней, а также некоторые новые интерполяционные задачи. В первом параграфе приведены формулы указанных сплайнов и ап-проксимационные соотношения, из которых они могут быть получены. Во втором параграфе для полиномиальных В-сплайнов поставлены интерполяционные задачи, аналогичные тригонометрическому случаю. В третьем параграфе получены оценки погрешностей для решений интерполяционных задач, поставленных в параграфе 2.
Глава 3 посвящена рассмотрению прикладных моментов. В первом параграфе рассматриваются аппроксимации функций, аналогичные приведенным в [7], сохраняющие гладкость приближения, но не использующие значения производных функции в узлах сетки. Получены оценки аппроксимации, использующей величины функции в узлах, и построены новые гладкие базисные функции. Во втором параграфе строятся квадратурные формулы, согласованные с гладкими тригонометрическими сплайнами первого порядка и полиномиальными В-сплайнам второй степени. В третьем параграфе рассмотрены вопросы устойчивости приближений непрерывно дифференцируемыми полиномиальными и тригонометрическими сплайнами. Для сравнения приведены аналогичные результаты для В-сплайнов второй степени [33]. Результаты численных экспериментов, подтверждающие тероретические оценки погрешностей, приведены в Приложении.
Интерполяционные задачи для гладких тригонометрических сплайнов третьего порядка
Сплайны в математике имеют достаточно давнюю историю. Так, ломаную Эйлера можно считать простейшей сплайновой аппроксимацией. Джен-кинс (W.A.Jenkins) фактически рассматривал сплайны, когда исследовал оскуляторную интерполяцию в 1926 г.; изучал ее также и Гревилль (Th. N. Е. Grevill) в 1944 г. Слово "сплайн" английского происхождения: так называлась гибкая линейка, применявшаяся английскими инженерами в конце XIX века для проектирования закруглений железных дорог. Математика получила этот термин благодаря работам Шонберга в 1946 г. (см. [54]), который назвал так рассмотренные им функции с "кусочными" свойствами. К настоящему времени имеется большая серия статей и ряд монографий, освещающих многие стороны теоретических исследований и практического применения сплайнов (см. [17, 19, 32, 40, 42, 43, 48] и библиографию в них). Отметим в связи с этим глубокие связи сплайнов с конечно-элементной аппроксимацией [1, 42, 47, 49, 50, 56] и их фундаментальную роль в бурном развитии теории вейвлетов [56].
Аппроксимация и интерполяция широко используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики, при сжатии и последующем восстановлении с заданным порядком потоков числовой информации, при их фильтрации и статистической обработке. Значительное место среди средств приближения и интерполяции занимают пространства сплайнов. Стремление к разработке экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см. [21]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся В-сплайны [33, 35, 48], сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны [28, 42, 46], а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [50]). Подобные аппроксимации называются минимальными [22, 26]. Они позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [23].
В монографиях [19, 33, 41] отмечено, что в ряде случаев предпочтение отдается сплайнам с локальным интерполяционным базисом. Отличительная особенность таких сплайнов заключается в том, что решение интерполяционной задачи в точке не зависит от информации о поведении функции в достаточно удаленных узлах сетки и, таким образом, интерполирующая функция строится достаточно просто.
Свойство минимальности рассматриваемых аппроксимаций позволяет экономить ресурсы вычислительного устройства. Например, при решении краевых задач упомянутое свойство приводит к минимизации ширины ленты у матрицы соответствующей конечномерной задачи, а в итоге уменьшается число арифметических операций при отыскании решения.
Свойство минимальности особенно важно при аппроксимации функций с быстро растущими производными, где приходится использовать сильно неравномерную сетку. Характер неравномерности сетки можно определить в соответствии с классом приближаемых функций [25], при этом сохраняются свойства оптимальности приближения (по порядку) и оценка числа арифметических действий. К рассматриваемому семейству сеток относятся конечные сетки, а также определенные бесконечные сетки с конечными или бесконечными точками сгущения.
Сплайн В. С. Рябенького [46] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном. С помощью сплайнов с локальным интерполяционным базисом, как было отмечено выше, удобно решать краевые задачи вариационно-разностным методом, так как в этом случае в результате решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей ленточного типа мы сразу получим приближенное решение исходной задачи. Преимущества применения базисных фунций с конечным малым носителем при решении задач вариационно-разностным и проекционным методом отмечались в монографиях [41, 42].
Полиномиальные В-сплайны с момента возникновения до настоящего времени привлекают пристальное внимание специалистов, как в плане применения так и с целью развития теории дальнейшего исследования, в частности, получения констант в оценках погрешностей.
В работе [34] построено несложное явное выражение для В-сплайнов произвольной степени на неравномерной сетке. Найдены скалярные произведения этих сплайнов вплоть до 7-ой степени в случае равномерной сетки. Разработан алгоритм нахождения наилучших среднеквадратических аппроксимаций функции такими сплайнами. Предложен тест, пригодный для проверки и сравнения разных классов аппроксимаций. Расчеты на этом тесте показали хорошую обусловленность алгоритма и возможность достижения высокой точности аппроксимации.
Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов четвертой степени
В этом параграфе напомним основные моменты построения непрерывных тригонометрических базисных сплайнов.
Пусть функция / Є 0(111) задана в узлах равномерной сетки {#_/}, X = — jh, j = 0, ±1,..., h О, ... Xj-i Xj Xj+i ... .
Решение интерполяционной задачи Лагранжа с помощью непрерывных минимальных интерполяционных тригонометрических сплайнов на [XJ, Xj+i) (см., например, [8]) имеет вид В случае Мч 1, Mi 0, M\ + M2 = 2m, m Є N, базисные сплайны (1.1.2) являются непрерывными функциями. НетруДНО ВИДеТЬ, ЧТО UJj(Xk) = Sjk, где Sjk — символ Кронекера. Данный базисный сплайн при Mi = M i = 1 и М\ = Mi = 2, j = 2, Л = 1, иллюстрируют рисунки 1 и 2 соответственно. Рассматриваемые базисные сплайны на промежутке [XJ, Xj+i) могут быть получены как решение линейной алгебраической системы уравнений есть обобщение определителя Вандермонда. Известна формула для его вычисления [20]: с приведенными выше тригонометрическими базисными сплайнами обладает свойством f(x) — f(x) = О, если функция f(x) равна 1, sin #, cos х, ... , sinmx, cosmx. В дальнейшем, для краткости, при выполнении данного свойства будем говорить, что аппроксимация точна на тригонометрических полиномах не выше m-го порядка. 1.2 Построение непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка Непрерывно дифференцируемые тригонометрические сплайны первого порядка были построены в работе [7]. Для полноты изложения приведем основные результаты. Пусть т — 1. Система (1.1.3) определяет непрерывные тригонометрические базисные сплайны. Рассмотрим теперь систему уравнений более сложного вида относительно cvk(x) с параметрами сої, сю, со2, его, считая, ЧТО X Є [Xj, Xj+i), SUppCJj(x) = [Xj-i, Xj+2] UJj-l(x) + LJj(x) + Uj+i(x) = 1, i sm(xj-i)uj-i(x) + sm(xj)u!j(x) + sm(xj+\)u j+i(x) = сю sin(x) + CQI cos(;r), cos(XJ-I)LJJ-i(x) + COS(XJ)UJJ(X) -\- COS(XJ+I)U;J+I(X) = CQ2 sin(#) 4- C20 cos(x). (1.2.1) На промежутке [#j-i, Xj) для определения базисного сплайна имеем сис тему.
Построение квадратурных формул, согласованных с гладкими тригонометрическими и полиномиальными сплайнами
Для полиномиальных В-сплайнов рассмотрим интерполяционные задачи, аналогичные тригонометрическому случаю. 2.2.1 Интерполяционные задачи для В-сплайнов второй степени Для В-сплайнов второй степени (2.1.2) на промежутке [XJ,XJ+\) можно рассмотреть следующие интерполяционные задачи: Pk{x) — базисные функции, b(h) = /І/2, a M2 1, M\ 0, Mi + M2 = 2m, 77г = 1. Замечание. При h —» 0 коэффициенты a(h), определяемый формулой (1.5.1),и б(Д) связаны соотношением a{h) = b(h) + 0{h5). Графики приближений некоторых функций изображены на Рис. 7 (см. Приложение). 2.2.2 Интерполяционные задачи для В-сплайнов четвертой степени Для В-сплайнов четвертой степени (2.1.3) можно привести интерполяционные задачи, также разбивающиеся на пары: в случаях б) Mi = 3, М2 = 1и б ) Mi = О, М2 = 4 МЛ) = у МЛ) = ур з(Л) = -J-Замечание. При h — О справедливы соотношения 1 ) = 1 ) + 0 ), k2(h) = k2{h) + 0(h4), k(h) = h{h) + 0(h5), где ki(h), і = 1, 2, 3, определяются формулами (1.5.4) мли (1.5.5). 2.2.3 Интерполяционные задачи для В-сплайнов шестой степени В случае полиномиальных В-сплайнов шестой степени (2.1.5) будем рассматривать следующие задачи интерполяции: где в случаях а) Мі = 3, М2 = 3 и а ) Мх = 2, М2 = 4 Замечание. При h — 0 справедливы соотношения: ki(h) = h(h) + 0(h7), k2{h) = l2(h) + 0(Д4), Jfc8(A) = Ї3(Л) + ( 5), &4(Л) = jci(h) + 0(/ 6), 5(Л) = h(h) + 0(h7), где ki(h), і = 1, ... ,5, определяются формулами (1.5.8)-(1.5.10). 2.3 Оценки погрешностей 2.3.1 Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов второй степени Для решения интерполяционной задачи (2.2.1) с помощью квадратичных полиномиальных сплайнов справедлива оценка: Теорема 2.1. Пусть функция f Є CS[XJ-\,XJ+I], тогда при х Є [ат д +і] \№ - / )1 h K\\f "\\c[xj_uXj+lb К к 0,221. Доказательство. Имеем Разложив f(jh-h), f(jh), f(jh+h), f (jh-h), f (jh), f (jh + h) в окрестности точки x по формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом в форме Лагранжа и приведя подобные члены, получим, что коэффициенты при f(x), f (x) и f"(x)/2 обращаются в нуль ввиду выполнения полиномиальных аппроксимационных соотношений (2.1.1). Действительно, коэффициент при f{x) равен (fj-i(x) + (fj(x) + cpj+i(x) — 1 = 0, при f (x) — (jh - h - x)(pj-i(x) + (jh - x)(fj(x) + (jh + h - x)(pj+i(x) + b(h)( V-i(z) + щ(х) + (рНі(х)J = (jh - h)(pj_i(x) + (jh) pj(x) + (jh + h)cpj+1(x) -x + b(h) = x-h/2-x+h/2 = 0,npnf"(x)/2 — (jh-h-x)2 pj-i(x)+(jh-x)2(pj(x) + (jh+ h-x)2ipj+i(x)+2b(h)njh-h-x)(pj-l(x)+(jh-x)tpj(x)+(jh+h-x)ipj+i(x)) = x2 — hx + h2/2 — 2x(x — h/2) + x2 + h(x — h/2 — x) = 0. Поэтому при Mi Є (jh - h,x), ,i Є (jh,x), CCi Є (x, jh + h) получаем.
Похожие диссертации на О построении тригонометрических сплайнов максимальной гладкости
