Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Консервативный разностный метод для регуляризо ванной одномерной системы уравнений мелкой воды 13
1.1 Одномерная система уравнений мелкой воды, её регуляризация и дискретизация 13
1.2 Результаты численных экспериментов 21
Глава 2. Пространственная дискретизация одномерной квази газодинамической системы уравнений с общими уравнениями состояния и уравнение баланса энтропии 27
2.1 Одномерная квазигазодинамическая система уравнений c общими уравнениями состояния и уравнение баланса энтропии 27
2.2 Применение к решению одномерных уравнений Эйлера реального газа 29
2.3 Пространственная дискретизация одномерной квазигазодинамической системы уравнений и дискретное уравнение баланса энтропии 39
2.4 Результаты численных экспериментов 49
Глава 3. Пространственная дискретизация одномерной квази гидродинамической системы уравнений для реального газа 59
3.1 Одномерная квазигидродинамическая система уравнений c общими уравнениями состояния 59
3.2 Пространственная дискретизация и дискретное уравнение баланса энтропии 60
3.3 Результаты численных экспериментов 63
Глава 4. Критерии параболичности квазигидродинамической системы уравнений в случае реального газа 72
4.1 Критерии параболичности квазигидродинамической системы уравнений 72
4.2 Устойчивость малых возмущений по постоянному фону 79
Заключение 82
Список литературы
- Результаты численных экспериментов
- Применение к решению одномерных уравнений Эйлера реального газа
- Пространственная дискретизация и дискретное уравнение баланса энтропии
- Устойчивость малых возмущений по постоянному фону
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Уравнения газовой динамики лежат в основе большого количества математических моделей, применяемых для решения прикладных задач в разных областях современной науки. Задачи газовой динамики возникают при проектировании летательных аппаратов, реактивных двигателей, при расчёте горения и детонации топлив и взрывчатых веществ, при расчёте турбин и компрессоров и во многих других приложениях. К настоящему времени разработан богатый набор методов численного решения задач газовой динамики, и количество этих методов продолжает расти. Это свидетельствует о важности данного класса задач. Исследованию методов решения задач газовой динамики посвящены монографии С.К. Годунова, А.В. Забродина, М.Я. Иванова и др.; О.М. Белоцерковского, Ю.П. Головачева, В.Г. Грудницкого и др.; К.М. Магомедова, А.С. Холодова; В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко; А.А. Самарского, Ю.П. Попова; А.Г. Куликовского, Н.В. Погорелова, А.Ю. Семенова; В.М. Головизнина, М.А. Зайцева, С.А.Карабасова и др.; R.J. LeVeque, C. Hirsch, E.F. Toro и работы многих других специалистов.
Квазигазодинамические (КГД) системы уравнений, предложенные Б.Н. Четверушкиным и Т.Г. Елизаровой, а также квазигидродинамическая (КГДД) система уравнений, предложенная Ю.В. Шеретовым, служат основной для построения класса разностных методов решения задач газо- и гидродинамики. Эти методы представлены в монографиях Б.Н. Четверушкина, Т.Г. Елизаровой, Ю.В. Шеретова; их развивало большое количество их учеников и последователей. Одним из важных достоинств использования таких методов является их вычислительная эффективность, включая простоту параллельной реализации алгоритма. Следует отметить, что ранее при работе с КГД системой исследователи ограничивались случаем совершенного политропно-го (“идеального”) газа. В то же время при решении многих прикладных задач возникает естественная потребность использовать более сложные уравнения состояния (уравнения состояния реального газа).
Настоящая диссертационная работы посвящена разработке консервативных разностных методов решения одномерных КГД и КГДД систем, в том числе в случае реального газа, а также исследованию ряда теоретических свойств многомерной КГДД системы.
Результаты работы были получены при финансовой поддержке РФФИ, проекты №09-01-12166, 10-01-00136, 13-01-00703, 16-01-00048 и вошли в отчеты по этим проектам.
Цель и задачи работы. Основной целью диссертационной работы является разработка и анализ новых пространственных дискретизаций КГД и КГДД систем уравнений с улучшенными свойствами консервативности, в том числе в случае уравнений состояния реального газа. Другой целью является изучение математических свойств КГДД системы уравнений в случае реального газа.
Ставятся задачи:
– для одномерных КГД системы уравнений мелкой воды, КГД и КГДД систем уравнений реального газа построить новые пространственные дискретизации, для которых выполняются важные дополнительные законы сохранения, и доказать соответствующие математические теоремы;
– выполнить программную реализацию построенных методов и провести их апробацию на известных в литературе тестах;
– для многомерной КГДД системы уравнений реального газа исследовать условия параболичности по Петровскому и изучить глобальную по времени устойчивость постоянного решения в линеаризованной постановке.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Для КГД системы уравнений мелкой воды, КГД системы уравнений реального газа и КГДД системы уравнений реального газа в одномерном случае построены пространственные дискретизации, для которых выполняется дополнительный закон сохранения (закон невозрастания энергии для системы уравнений мелкой воды, закон неубывания энтропии для систем уравнений реального газа).
-
Построенные дискретизации программно реализованы. Проведены успешные серии численных экспериментов, улучшены результаты других авторов.
-
Для КГДД системы уравнений реального газа в многомерном случае получены критерии параболичности по Петровскому, а также для линеаризованной КГДД системы выведены глобальные по времени оценки решения задачи Коши.
Научная новизна. Впервые построены дискретизации одномерной КГД системы уравнений в случае реального газа. Разработаны новые пространственные дискретизации одномерных КГД и КГДД систем уравнений с улучшенными свойствами консервативности: выполнением закона невозрастания энергии для системы уравнений мелкой воды и закона неубывания энтропии для систем уравнений реального газа. Эти дискретизации успешно апробированы на известных в литературе тестах. Установлены также критерии па-раболичности по Петровскому многомерной КГД системы уравнений в случае реального газа и установлены глобальные по времени оценки решений
соответствующей линеаризованной системы. Все полученные результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в следующем.
-
Разработаны новые пространственные дискретизации КГД и КГДД систем уравнений с улучшенными свойствами консервативности. Такие дискретизации и их дальнейшее развитие могут успешно применяться для решения сложных практических задач газо- и гидродинамики.
-
Для обеих систем уравнений охвачен важный в приложениях случай реального газа (со сложными уравнениями состояния).
-
Установлены критерии параболичности по Петровскому многомерной КГДД системы уравнений реального газа, позволяющие гарантировать классическую разрешимость (локально по времени) задачи Коши в пространствах Гёльдера.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и научно-исследовательских семинарах:
– XVI и XVII Международные научно-технические конференции студентов и аспирантов “Радиоэлектроника, электротехника и энергетика” (Москва, НИУ “МЭИ”, 2010 и 2011 гг.);
– XVIII и XIX Международные научно-технические конференции “Информационные средства и технологии” (Москва, НИУ “МЭИ”, 2010 и 2011 гг.);
– V Международная конференция “Математические идеи П.Л. Чебышё-ва и их приложение к современным проблемам естествознания” (Обнинск, НИЯУ МИФИ, 2011);
– XX Всероссийская конференция “Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики” (Дюрсо, 2014);
– научно-исследовательский семинар ФГБОУ ВПО “НИУ “МЭИ” по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю.А. и проф. Амосова А.А. (2015);
– семинар под руководством проф. Т.Г. Елизаровой (Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2015).
Личный вклад автора. Теоретические результаты диссертации по разработке новых дискретизаций одномерных КГД и КГДД систем уравнений, изучении свойств многомерной КГДД системы уравнений получены соискателем совместно с А.А. Злотником. Программная реализация представленных в диссертации разностных методов и проведение численных экспериментов
выполнены соискателем самостоятельно.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах [1]–[10], из них 3 статьи — в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК РФ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа представлена на 88 страницах и содержит 32 иллюстрации. Список литературы содержит 60 наименований.
Результаты численных экспериментов
Сначала рассмотрим задачу о течении в канале длиной Х=1500 м. В центральной части канала расположен симметричный выступ высотой 8 м и длиной 375 м, остальное дно — плоское. В центре канала расположена плотина. Начальный уровень воды HQ(X) равен 20 м слева и 15 м справа от плотины, а течение стационарно, т.е. начальная скорость равна нулю: щ(х) = 0. Плотина открывается в момент времени = 0. Ставятся условия открытой границы для /іиина обеих границах х = 0,Х, т.е., например, ho = hi и щ = щ для левой границы. Результаты расчета приведены на рисунке 1.1 для =15 с и =60 с, для 7V=400; параметры расчета а=0.35 и /3=0.5. Они находятся в хорошем соответствии с [52] для 7V=200 и с [17] для 7V=400 (для других схем).
На рис. 1.2 представлены погрешности /гимна момент времени =15 с для 7V=200, 400, 800 и 1600, при этом 7V=6400. Отметим, что кривые погрешностей не являются строго линейными. Порядки погрешности p[h] 0.946 и р[и] 0.908 довольно близки друг к другу, но при этом оба меньше единицы.
Начальный уровень воды задается константой: Щ(х) = Сн, а течение стационарно. Граничные условия на левой границе: hu\x=o = Chu для расхода, открытое граничное условие для h. Граничные условия на правой границе: Н\х=х = Сн (вообще говоря, в каждый момент времени), а также условие открытой границы для и.
Эта задача может показаться простой, но такова она лишь на первый взгляд. В зависимости от параметров течения здесь выделяют 3 типа течений: докритическое, транскритическое и сверхкритическое. Ниже рассматриваются примеры всех трех типов течений. Результаты расчетов приведены на момент времени fin=200 с (в этот момент течение становится стационарным при выбранных значениях параметров). Следует отметить, что для данных течений значение расхода в финальный момент времени известно: hu = Chu. В подобных задачах, как правило, именно расчет hu вызывает трудности. Полученные результаты для приведенных ниже значений N достаточно точны; они сопоставимы с приведенными в [47] (для 7V=100), [50] (для 7V=300) и [46, 57, 58] (для N=200) по другим схемам, при этом для hu результаты значительно лучше приведенных в [17] (для тех же N). (а) Докритическое течение. Это простейший тип течения. Здесь Ся=2 м и C/jM=4.42 м2/с. В момент времени t уровень воды практически постоянен, за исключением небольшого углубления над выступом. Берутся ск=0.9, /3=0.2 и /І=0. На рис. 1.3 приведен уровень воды Н и расход hu для N=400. В непосредственной близости от краев выступа наблюдаются “всплески” hu (затухающие с увеличением N), но при этом абсолютная погрешность расхода E s := max \{hu)i — Chu\ 7.375e-5 мала.
На рис. 1.4 представлены погрешности /г,ии hu для 7V=100, 200, 400 и 800; при этом 7V=3200. Такие же значения взяты для двух других типов течения в последующих расчетах.
Кривые погрешностей hиu теперь более близки к линейным, чем в предыдущем расчете (это не относится к In Еех[hu] ). Теперь все порядки p[h] 1.193, PR[H\ 1.139, р[и] 1.183 и PR[U] 1.121 близки друг к другу, при этом они незначительно превышают единицу. Они существенно ниже pex[hu] 1.709. Сравнение результатов по формулам (1.28), (1.29) для hu показывает, что порядки погрешностей pn[hu] 2.023 и p[hu] 2.017 близки друг к другу, но оба переоценивают pex[hu]. (б) Транскритическое течение. В этом расчете Ся=0.66 м и (7 =1.53 м2/с. Для этого и следующего течений правое граничное условие Н{Х) t) = Си ставится лишь для t 40 с, после чего оно заменяется условием открытой границы для h для t 40 с. В этом случае поведение стационарного уров ня воды Н является более сложным, демонстрируя более резкие изменения (его значения слева и справа от выступа сильно отличаются, а над выступом имеется зона плавного перехода). Берутся а=0.9, /3=0.1 и /І=0. На рис. 1.5 показаны уровень воды Н и расход hu для N=400. Аналогично предыдущему случаю, здесь наблюдаются “всплески” hu у краев выступа (затухающие с увеличением N), но погрешность i abs 9.882e-5 снова мала.
Рис. 1.6 демонстрирует погрешности /і,ии hu. Ломаные погрешностей h и и снова близки к линейным. Более того, ломаные для ІІпЕу/шЦ и ln [/iii] практически совпадают. Порядки p[h] 1.243, рв[Щ 1.196, р[и] 1.187 и PR[U] 1.113 снова близки друг к другу и незначительно превышают единицу, в то время как все pex[hu] 2.009, p[hu] 2.038 и pn[hu] 2.010 значительно больше и близки к 2 (не к 1). (в) Сверхкритическое течение. В этом расчете Ся=0.33 м и (7 =0.18 м2/с. В этом расчете поведение стационарного уровня воды Н является сильно немонотонным (его график над бугром имеет острую узкую полость) и более сложным, чем выше.
Берутся ск=0.8, /3=0.1 и N=800. Было обнаружено, что присутствие вязкости Навье-Стокса (слагаемого с коэффициентом /І) важно именно в данном расчете: его наличие необходимо для устойчивости вычислений. Из рис. 1.7 видно, что hu теперь вычисляется хуже: заметна резкая осцилляция рядом с правым краем выступа. Теперь E s 0.0266 примерно на 2 порядка хуже, чем в предыдущих расчетах.
Рис. 1.8 демонстрирует погрешности /г, и и hu. Теперь ломаные погрешностей h и и отличны от линейных. Естественно, что порядок pex[hu] 1.014 теперь значительно меньше и близок к 1; pn[hu] 0.950 немного ближе к pex[hu], чем p[hu] 1.116. Остальные порядки таковы: p[h] 1.086, рв[Щ = 1.056, р[и] 0.956 и PR[U] 0.895 (два последних теперь меньше 1).
Обратим внимание на то, что в общем случае обе формулы (1.29) дают разные, но довольно близкие результаты о погрешностях, хотя полученные с использованием 2-й из формул все-таки несколько более точны. В заключение на рис. 1.9 показано поведение средней полной энергии 1 N-1 Е = —(0.5ео +/ ЄІ + 0.5едг), є = 0.5g\(h + 6) + hu } І=І во времени для всех тестов (а), (б) и (в). Для простоты сравнения оно вычислено на равномерной сетке с N=100. Можно видеть, что эта величина стабилизируется после одной или нескольких осцилляций (без каких-либо чисто численных осцилляций).
Применение к решению одномерных уравнений Эйлера реального газа
Квазигазодинамическая (КГД) система уравнений с одной пространственной переменной в форме [15, 43] состоит из следующих уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (в отсутствие массовых сил) dtp + dxj = 0, (2.1) dt(pu) + dx(ju + р) = 9ЖП, (2.2) dfE + дх{(и — w)(E + р)} = —dxq + дх(Ии) + Q. (2.3) Здесь dt и дх — частные производные по аргументам t 0 и ж Є [0,Х]. Функции р 0, и, Е = О.Ьри2 + ре — это плотность, скорость и полная энергия газа, арие- это давление и внутренняя энергия.
Здесь в 0 абсолютная температура, а /І 0, х О, т 0 — коэффициенты вязкости и теплопроводности и релаксационный параметр, которые в разделах 3.1, 3.2 могут быть произвольными функциями неизвестных. Выражение для П обобщено на случай общих уравнений состояния согласно [28, 26], причем Cs 0 это скорость звука в газе; формулы для Cs 0 и 7д в терминах функций состояния даны ниже. Величина Q 0 это мощность тепловых источников. Из этих уравнений следует уравнение баланса внутренней энергии [15, 43, 26] dt(ps) + dx(js) = —dxq + Идхи — рдх(и — w) + wdxp + Q. (2.8) Будем рассматривать общие уравнения состояния газа в форме р = р{р)9)) є = є(р, в), (2.9) связанные равенством Максвелла р = вро + р єр в Do (2.10) и удовлетворяющие условиям термодинамической устойчивости вида рр 0, єв 0 в Do, (2.11) где Do — область значений пары функций (р, в) в КГД системе (случай Do = (0, оо) х (0, оо) допускается, но не является единственно возможным) и, например, рр, ро — частные производные функции р = р(р,6). Если фактически рр 0 в Do, то последние условия можно переписать в известном эквивалентном виде ср су = є в 0 в Do, где ср и су — теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме [37]. Включение случая Рр 0 позволяет охватить одну из простейших моделей двухфазной смеси газ/жидкость.
Сумма всех слагаемых правой части, кроме дивергентного первого дх (—q/6), представляет собой производство энтропии. При этом сумма второго и третьего слагаемых плюс слагаемое Q/6 представляет собой производство энтропии по Навье-Стоксу, а остальные слагаемые содержат множитель г и являются релаксационными. Ясно, что первые пять слагаемых производства энтропии всегда неотрицательны, а последнее неотрицательно при выполнении условия TQ Арвєо. Отметим, что для производства энтропии возможны и другие формы записи [28, 26].
Указанное свойство неотрицательности производства энтропии сохраняет силу и при /І О, 0, т О (для справедливости последнего слагаемое pw2/ітв) надо переписать в виде т{ридхи + дхр)2 / {рв)).
В отсутствие массовых сил и источников тепла и для Л = О КГД система упрощается и может быть записана в виде
Удобно использовать уравнения состояния газа также в альтернативном (эквивалентном) виде P = P{Pie)i Q = {Pie)- (2.22) Заметим, что тогда формула для скорости звука принимает вид 2 Р Cs = Рр-\—Ре- (2.23) р2 Система уравнений Эйлера для невязкого нетеплопроводного газа не содержит диссипативных слагаемых, т.е. слагаемых с коэффициентами г, /І и к. При дискретизации диссипативные слагаемые рассматриваются как искусственные регуляризаторы. Следуя [15], с. 64 и [43], с. 345, свяжем их формулами ficp as „о /І = asTppJp,9), ж = = —rpcvCs. (2.24) ар ар Здесь as и ар — числа Шмидта и Прандтля (положительные постоянные). Параметр релаксации г выбирается ниже в зависимости от шага пространственной сетки и Cs.
Построим явную двухслойную по времени и симметричную по пространству разностную схему. Введем равномерную сетку по пространству с узлами ХІ = (і — 1)/і, 1 і TV и шагом h = X/(N—1), где определены основные искомые функции р, и и є, а также рив. Введем также вспомогательную сетку с узлами ХІ_І/2 = (і — 0.5)/г, 1 і N — 1, где определены вспомогательные величины j, w, П и q. Введем симметричные усреднения и центральные конечные разности (как для основной, так и вспомогательной сеток): Vi—l г Vi Vi Vi — i i-\-l/2 i—1/2 Va,i-l/2 = о OVi-i/2 = Г dw; = Г z a a Значения p, it, є и p на вспомогательной сетке вычисляются с использованием усреднения (-)а. Введем неравномерную сетку по времени 0 = to ім = fm с шагами Atm = tm+i — tm. Следуя в основном [20], аппроксимируем КГД систему (2.16)–(2.18) двухслойной явной симметричной по пространству разностной схемой с использованием разностей вперед по t и центральных разностей по х:
Величины, помеченные “крышкой” относятся к верхнему слою по времени. После вычисления значений р, рй и Е на верхнем слое по времени полагаем
При решении системы уравнений Эйлера величина г рассматривается как параметр регуляризации и вычисляется по формуле Т = OL-. Для выполнения условия устойчивости типа Куранта-Фридрихса-Леви шаг по времени берется в виде At = р mm: . Здесь 0 « 1и0 /5 1- числовые параметры, значения которых определяются экспериментально для каждого расчета.
Применим построенную схему для двух моделей неидеального газа (случай совершенного политропного газа был подробно протестирован в [20]). Ниже на графиках по оси абсцисс откладывается значение N.
Пространственная дискретизация и дискретное уравнение баланса энтропии
Пространственно одномерная квазигидродинамическая (КГДД) система уравнений [15, 43] состоит из следующих уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (в отсутствие массовых сил) dtp + dxj = 0, (3.1) dt(pu) + dx(ju + р) = 9ЖП, (3.2) dfE + дх{(и — w)(E + р)} = —dxq + дх(Ии) + Q. (3.3) Здесь dt и дх — частные производные по аргументам t 0 и ж Є [0,Х]. Функции р 0, и, Е = 0.5ри2 + ре — это плотность, скорость и полная энергия газа, ар и є — это давление и внутренняя энергия. Кроме того, поток массы j, вязкое напряжение П и тепловой поток q задаются формулами
Здесь в 0 абсолютная температура, а /І 0, 0, т 0 — коэффициенты вязкости и теплопроводности и релаксационный параметр, которые в разделах 3.1, 3.2 могут быть произвольными функциями (р,и,6). Также Q 0 мощность тепловых источников. Именно выражения для ш,Пи — q заметно проще, чем для КГД системы (в целом имеющую ту же структуру). Из уравнений (3.1)–(3.3) следует уравнение баланса внутренней энергии dt(ps) + dx(js) = —dxq + Идхи — рдх(и — w) + wdxp + Q. (3.6) Возьмем общие уравнения состояния газа в форме р = р(р, в), є = є(р, в), связанные равенством Максвелла р = Орв + р2єр в Do и удовлетворяющие условиям термодинамической устойчивости вида рр 0, єв 0 в Do, (3.7) где Do — допустимая область значений (р, в) и, например, рр, ро — частные производные функции р = р(р, в). Введем энтропию s = S(p,e) с помощью формул Гиббса Sp = —р/(р29), S = 1/9. Напомним, что С2 = рр + (9р2в)/(р2ев) — квадрат скорости звука. Как известно, для случая совершенного политропного газа имеем р = (7 — 1)рє = Rp9, є = сув, S = So — R In p + су In є и С2 = 7(7 — 1)є с постоянными 7 1, су 0 и R = (7 — 1)су. Из уравнений баланса массы (3.1) и внутренней энергии (3.6) вытекает уравнение баланса энтропии ( Q\ ж(дх9)2 4/j,(dxu)2 pw2 Q oAps) + ox(js) = дх I — 1 Н rz 1 1 +. (3-8) 9l 3 9 т9 9 Сумма всех слагаемых правой части, кроме дивергентного первого дх (—q/$): представляет собой производство энтропии. Оно неотрицательно, что играет принципиальную физическую роль.
Введем на [О, X] основную неравномерную сетку Cdh с узлами 0 = Хо Х\ XN = X и шагами hi = ХІ — ХІ-\ И вспомогательную сетку си с узлами ХІ+І/2 = {ХІ + ЖІ+І)/2, 0 і N — 1 и шагами hi = Жі+1/2 — #«-i/2 = (hi + hi+i)/2. Пусть H(uS) — пространство функций, заданных на сетке си.
Следуя [31] и предыдущей главе, построим следующую симметричную по пространству дискретизацию уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (3.1)—(3.3) dtp + S j = 0, (3-9) dt(pu) + 8 (j[u\ + И) = П, (3.10) 9ti? + (Г {([it] — w)([E]2 + [р]) — 0.25/г+it р = = (—q + П[ІІ]) + [Q] , (3.11) на ujh, где полная энергия, давление и внутренняя энергия имеют стандартный вид Е = О.Бри + ре, р = р(р,9), є = є(р,в). (3.12)
Для сокращения количества скобок предполагается, что, например, ди др = (5и)5р (т.е. знак прекращает действие предыдущих операторов слева). Будем использовать следующие дискретизации величин (3.4), (3.5) j = [р\о{[и\ — w)} w = j r {[р\[и\ди + др), (3.13) [р\ П = -рои + [р \\u\w, —q = нов. (3.14) Формулы для w, П, — q существенно проще, чем в предыдущей главе.
Основные неизвестные функции р, и, Е и функции р, є, в определены на основной сетке ujh, причем предполагается, что р 0, є 0. Функции j, w, П, q, т, /І, х, Q определены на вспомогательной сетке си .
В этих уравнениях наряду с простейшими усреднениями [р], [и], [р] на Шь применяется нестандартное усреднение [Е]2 = 0.5[p]oU-U+ + [р]о[є]з, а усреднения [р]о и [є]з оставлены произвольными. Вид [Е]2, как и добавок —0.25h\5u 5р в уравнении (3.11), следуют [31] и гарантируют выполнение уравнения баланса внутренней энергии без сеточных дисбалансов (см. ниже (3.15)). От выбора [р]о и [є]з зависит вид дивергентных и недивергентных сеточных дисбалансных слагаемых в дискретном уравнения баланса энтропии. Будет указан их нетривиальный выбор, гарантирующий отсутствие в нем недивергентных дисбалансных слагаемых и неотрицательность производства энтропии.
Для термодинамических функций ф = ф(р,6) нам потребуются разделенные разности и усреднения по аргументам Отметим, что согласно лемме 1 из предыдущей главы, при р0 0 и р+/р- 3 правая часть формулы (3.19) положительна.
Для совершенного политропного газа эти аппроксимации резко упрощаются и принимают вид [31] (3.21) Оно содержит дивергентное 5 (B\h—B2h) и недивергентное [{[u\— w)(DhpSp+ DhefiO)] дисбалансные слагаемые, определяемые формулами (3.16), (3.22) и (3.17), (3.18). Второе из них обращается в 0 для дискретизаций [р]о, [є] з вида (3.19), (3.20).
Вообще говоря, дискретизации (3.19), (3.20) достаточно громоздки. На практике можно использовать те или иные их упрощения, что все равно уменьшает дисбалансы по сравнению со случаем простейших дискретизаций.
Тесты и определения настоящего раздела уже были описаны в предыдущей главе (для квазигазодинамической системы); опишем их снова для полноты изложения.
Как и в предыдущей главе, численные эксперименты связаны с решением системы уравнений Эйлера невязкого нетеплопроводного газа, в которой в отличие от КГДД системы (3.1)–(3.5) нет диссипативных слагаемых с коэффициентами т, /І, к. Эти слагаемые вводятся как искусственные регуляриза-торы с использованием формул типа [43]
Устойчивость малых возмущений по постоянному фону
Прокомментируем критерий неравномерной параболичности (4.18). Он весьма прост и непосредственно обобщает соответствующий критерий р (р) О в баротропном случае [24]. Обратим внимание на то, что он не связан ни с какими ограничениями на и. Вместе условия (4.9) и (4.18) часто квалифицируют как условия термодинамической устойчивости состояния газа [37], 1.6. Вместе с тем ряд важных уравнений состояния, используемых для описания фазовых переходов газ/жидкость, таких как уравнения Ван-дер-Ваальса, в зонах смеси газ/жидкость условию (4.18) не подчиняются.
Что касается условия равномерной параболичности (4.19), то в баротропном случае аналогичное условие (без первого слагаемого в скобках) в предположении (4.6) выведено в [24]. Ограниченность D по и при каждом (р, в) Є Do необходима для справедливости (4.19). С другой стороны, это условие заведомо выполнено, если D содержится в некотором компакте в Ш+ х Ш.п х М+, в частности, если D С [р,р] х [—U, U]n х [0,0] при каких-либо 0 р р, U 0, 0 0 0. Напомним, что свойство равномерной параболичности гарантирует локальную по времени однозначную классическую разрешимость задачи Коши для рассматриваемой системы уравнений [45, 24]. Поскольку соответствующая теорема вполне аналогична указанной в [24], то здесь она опускается.
В данном разделе, следуя [36, 24], рассмотрим решения квазигидродинамической системы уравнений вида р = р + др, и = й + ди, 0 = 0 + 60, где р 0, й, 0 0 — постоянные фоновые значения неизвестных, а др, ди, 60 — их малые возмущения, при F = 0. Вернувшись к выводу системы уравнений (4.11)–(4.13), воспользовавшись постоянством фоновых значений неизвестных и отбросив слагаемые второго порядка малости относительно возмущений (и их производных), выведем следующую линеаризованную квазигидродинамическую систему уравнений для возмущений
Ниже для упрощения обозначений будем опускать черту над фоновыми значениями величин. Изучим задачу Коши для линеаризованной квазигидродинамической системы (4.25)-(4.27) в полупространстве Шп х Ш+ c начальными условиями 8p\t=o = &Р і ut=o = u , 80\t=o = 50 . (4.28) Пусть дъ := (др,ди,д0) и dz := (др,ди0,д0) — векторы-столбцы возмущений и их начальных значений. Введем следующие их обезразмеренные версии др ди да \ 0 і др ди да \ 9рр —, , — , дъ := , , — , где 0 := \ —. (4.29) Р л/Рр 0 р л/рр 0 V 0 Положим с := miri=i Атіп[тА], где Атіп[тА] — минимальное собственное значение матрицы тА. (Напомним, что двусторонние оценки для этой величины были получены в доказательстве утверждения 4.1.) В поставленной задаче можно (и удобно) считать, что функции Ьъ и 5z — комплекснозначные. Поэтому будем использовать комплексные пространства Лебега L2(Mn), L2(M.n х М.+) и Соболева Н1(М.п). Для вектор-функции у = полагаем \\у\\IJ (Q) — \\\У\\\L (G). где д2 = {didj} =1 — набор вторых производных по пространственным переменным.
Доказательство. Пусть Т и Т 1 — прямое и обратное интегральное преобразование Фурье в Шп. Применим Т к уравнениям (4.25)-(4.27) и начальным условиям (4.28), и для Z((,t) := (J- z (,))() получим задачу Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
Здесь ( є Шп — параметр, матрица А = A(p,s,0,) была введена в (4.14), а матрица В = B(p,s,0,) имеет блочный вид ср. с (4.22); кроме того, і — мнимая единица, а = С/ІСІ при С Ф 0. Преобразование подобия с матрицей Р вида (4.23) симметризует не только матрицу А, см. доказательство утверждения 1, но и матрицу В: Р ВР = у/р В, В := s т О sln а О а т s отметим безразмерность матрицы В. Поэтому задачу (4.34) можно переписать в симметризованном виде для функции Z := P lZ: dt Z + (\(\2тррА + i\(\y/p B)Z = 0, Z\t=o = Z := P lTbz.
Более того, положив d\ := /jTp в определении Р, получим dz = P l6z = T lZ, 6z = P l6z = T lZ , где bz и 5z задаются формулами (4.29). Дальнейшие рассуждения фактически не отличаются от представленных в доказательстве соответствующего утверждения 5 в [24] и поэтому здесь опускаются.
Как и в [36, 24], кроме задачи Коши, можно рассмотреть также начально-краевую задачу для системы (4.25)-(4.27) с краевым условием г9пх(о,т) = О в случае ограниченной области Q С Шп. Заключение
В диссертационной работе рассмотрены квазигазо- и квазигидродинамические системы уравнений, служащие основой для построения класса разностных методов решения задач газо- и гидродинамики.
Для квазигазодинамических систем уравнений реального газа и мелкой воды, а также для квазигидродинамической системы реального газа, построены пространственно одномерные дискретизации, для которых выполняется дополнительный закон сохранения. Под “реальным газом” понимается газ с общими уравнениями состояния, которые удовлетворяют известным равенству Максвелла и условиям термодинамической устойчивости. Проведены серии численных экспериментов, свидетельствующих об эффективности построенных дискретизаций.