Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интерполяция функции одной переменной с погранслойной составляющей 13
1.1. Необходимость построения специальных интерполяционных формул 13
1.2. Погрешность неполиномиальной интерполяции 15
1.3. Двухточечная специальная интерполяция 17
1.4. Неполиномиальный аналог Эрмитовой интерполяции 17
1.5. Трехточечная специальная интерполяция 19
1.6. Интерполяционная формула с произвольным числом узлов интерполяции 21
1.6.1. Построение и обоснование интерполяционной формулы 22
1.6.2. Результаты численных экспериментов 26
Глава 2. Квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей 34
2.1. Квадратурная формула с двумя узлами 35
2.2. Квадратурная формула с тремя узлами 38
2.3. Квадратурная формула с четырьмя узлами 45
2.4. Квадратурная формула с пятью узлами 55
2.5. Аналог формул Ньютона-Котеса в общем случае 64
2.5.1. Построение и обоснование квадратурной формулы 64
2.5.2. Результаты численных экспериментов 70
2.6. Формулы Ньютона-Котеса на сетке Шишкина 71
2.7. Сравнение трехточечной формулы подгонки с формулой Симисона на сетке Шишкина
2.7.1. Формула, точная на погранслойной составляющей 77
2.7.2. Формула Симпсона на сетке Шишкина 79
2.7.3. Численные эксперименты 81
2.8. Квадратурная формула Эйлера на
кусочно-равномерной сетке 84
2.8.1. Квадратурная формула Эйлера 85
2.8.2. Квадратурная формула Грегори 89
2.8.3. Численные эксперименты 91
Глава 3. Интерполяционные формулы для функции двух переменных с погранслойными составляющими и их применение 97
3.1. Построение и анализ интерполяционных формул для функции двух переменных 97
3.2. Применение построенной интерполяционной формулы в двухсеточном алгоритме 103
3.3. Результаты численных экспериментов 107
3.4. Аналог кубатурной формулы Симпсона 114
Заключение 119
Список литературы
- Двухточечная специальная интерполяция
- Построение и обоснование интерполяционной формулы
- Формулы Ньютона-Котеса на сетке Шишкина
- Применение построенной интерполяционной формулы в двухсеточном алгоритме
Двухточечная специальная интерполяция
Итак, в данном случае функция и(х) при малых значениях є имеет большие градиенты у левого конца интервала, основной рост этой функции задает составляющая 7 ( )- Производная Ф (х) неограниченно растет, если параметр є приближается к нулю, оставаясь положительным.
В п. 1.1 показано, что интерполяция Лагранжа функций вида (1) с составляющей Ф(х), соответствующей экспоненциальному или степенному пограничному слою, может приводить к погрешностям порядка 0(1). Из этого следует актуальность построения специальных интерполяционных формул.
В п. 1.2 анализируется погрешность неполиномиальных аналогов линейной и квадратичной интерполяции с заданными условиями интерполяции на концах сеточного интервала [хп-і, хп]. Показано, что при заданных условиях интерполяции порядок погрешности полиномиальной и неполиномиальной интерполяции одинаковый.
В п. 1.3 на сеточном интервале [жга_і,жга] построен аналог многочлена Лагранжа с узлами интерполяции хп-і,хп, точный на составляющей Ф(х). Доказано, что если функция Ф(х) монотонна, то погрешность построенного интерполянта порядка 0(h) равномерно по Ф(х) и ее производным, h = хп — Хп_\.
В п. 1.4 на интервале [жга_і,жга] построен аналог интерполяционной формулы Эрмита, с условиями интерполяции на функцию в узлах хп-\,хп и ее первую производную в узле хп-\. Построенная формула точна на составляющей Ф(х). Доказано, что если Ф"(х) ф О, то построенная формула - порядка точности 0(h2) равномерно по составляющей Ф(х) и ее производным.
В п. 1.5 на сеточном интервале [жга-ъ хп+г] с условиями интерполяции функции в трех узлах построен аналог квадратической интерполяции, точный на составляющей Ф(х). Для построенного интерполянта обоснован второй порядок точности по шагу сетки, равномерно по функции Ф(х) и ее производным.
В п. 1.6 построена интерполяционная формула с произвольно заданным числом узлов интерполяции к. Эта формула точна на составляющей Ф(х). Получена оценка погрешности построенной формулы. Доказано, что при определенных ограничениях на Ф(х) формула обладает погрешностью порядка 0(hk l) равномерно по составляющей Ф(х) и ее производным. На основе дифференцирования построенного интерполянта получены новые формулы численного дифференцирования, точные на погранслойной составляющей Ф(х). Проведены численные эксперименты, подтвердившие примущество в точности построенных формул в сравнении с известными, основанными на дифференцировании многочлена Лагранжа. от функции и{х) с большими градиентами в пограничном слое. В п. 2.1-2.5 построены квадратурные формулы для численного интегрирования функций вида (1). При построении подынтегральная функция заменяется интерполянтами, разработанными в Главе 1. Построенные квадратурные формулы с к равноотстоящими узлами точны на погранслойной составляющей Ф{х). Для к = 2,3,4,5 получены оценки погрешности построенных квадратурных формул, равномерные по погранслойной составляющей Ф(х) и ее производным. Доказано, что если на каждом сеточном интервале длины (к — l)h применяется построенная квадратурная формула с к узлами, и на этом интервале Ф(-к 1\х) ф 0, то для составных квадратурных формул Sk(u) справедливы оценки погрешности: где Ск не зависит от погранслойной составляющей Ф{х) и ее производных. Для случая, когда производная р к 1" {х) не является ограниченной, получены оценки погрешности, в которых эта производная находится под интегралом.
Показано, что точность составной квадратурной формулы повышается на порядок, если вне пограничного слоя применяется формула Ньютона-Котеса с к узлами, а в пограничном слое - построенная формула, точная на погранслойной составляющей.
В п. 2.1 строится и обосновывается аналог квадратурной формулы трапеций, в п. 2.2 - аналог формулы Симпсона, в п. 2.3 - аналог квадратурной формулы с четырьмя узлами и, наконец, в п. 2.4 разрабатывается аналог квадратурной формулы с пятью узлами.
В п. 2.5 разработана квадратурная формула в общем виде, с к равноотстоящими узлами, точная на составляющей Ф{х). Построение основано на использовании разработанного интерполянта общего вида в п. 1.6. Доказано, что при некоторых ограничениях справедлива оценка погрешности вида (3). Эти ограничения включают требования к Ф{х) в п. 2.1-2.4.
В п. 2.6 рассматривается другой подход к построению квадратурных формул для функций с большими градиентами в пограничном слое. Предполагается, что интегрируемая функция соответствует решению краевой задачи с экспоненциальным пограничным слоем [72]. два подхода к модификации формулы Симпсона Обосновывается применение составных формул Ньютона-Котеса на сетке Шишкина. Доказана оценка погрешности: где N - число узлов сетки, Sk(u) - составная формула, основанная на формуле Ньютона-Котеса с к равноотстоящими узлами, постоянная С не зависит от возмущающего параметра Є. В п. 2.7 сравнивается для интегрирования функций с экспоненциальной погранслойной составляющей: подгонка формулы к погранслойной составляющей и применение формулы Симпсона на сетке Шишкина. Для обоих подходов получены оценки погрешности, из которых следует, что сгущение сетки по точности является более эффективным, что подтверждается экспериментами.
В п. 2.8 исследуется квадратурная формула Эйлера для интегрирования функций с составляющей, соответствующей экспоненциальному пограничному слою. В случае равномерной сетки составная формула Эйлера для таких функций приводит к погрешностям порядка 0(h2/є). Предложено применить формулу Эйлера на кусочно-равномерной сетке с выделением пограничного слоя ширины порядка 0{є\ 1пє). Тогда производная интегрируемой функции в составной формуле Эйлера используется только в трех узлах. Доказано, что для некоторой постоянной С, не зависящей от є, справедлива оценка погрешности: где S(u) - составная формула Эйлера, N - число узлов сетки. Эта оценка соответствует оценке в регулярном случае, когда пограничный слой отсутствует. Показано, что переход к формуле Грегори не понижает полученную оценку погрешности.
В третьей главе строятся и исследуются формулы сплайн-интерполяции первого и второго порядка точности по шагу сетки для функции двух переменных с погранслойны-ми составляющими. Эти формулы применяются в двухсеточном методе и при построении кубатурной формулы.
В п. 3.1 разработана интерполяционная формула для функции вида: и(х, у) = р(х, у) + Іі(у)Ф(х) + d2(x)e(y) + 13Ф(х)в(у), (4) где (х,у) Є П, П = [О, I]2. Предполагается, что производные функций di,d,2,p являются ограниченными до второго порядка, производные функций Ф(ж),0(у) не являются равномерно ограниченными. Решение эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями представимо в виде (4), когда функции Ф(ж),0(у) соответствуют экспоненциальному пограничному слою. На основе разработанной в п. 1.5 формулы с тремя узлами интерполяции построена двумерная интерполяционная формула 1фг@(и,х,у), точная на погранслойных составляющих Ф(ж),0(у) для произвольной сеточной ячейки
Построение и обоснование интерполяционной формулы
Построение квадратурных формул Ньютона-Котеса основано на приближении интегрируемой функции многочленом Лагранжа. При наличии у интегрируемой функции быстро растущей пограпнслойной составляющей погрешность интерполяции многочленом Лагранжа может быть порядка 0(1). Вследствие этого погрешность формул Ньютона-Котеса при интегрировании такой функции может быть значительной.
Для функций с особенностями известны методы численного интегрирования, такие как выделение весового множителя, аддитивное выделение особенности, сгущение сетки в области больших градиентов. Вопросы построения квадратурных формул для функций с особенностями излагаются в [9], [6] и в работах многих других авторов.
Предполагаем, что интегрируемая функция содержит погранслойную составляющую с большими градиентами в области пограничного слоя. Рассмотрим два подхода к модификации формул Ньютона-Котеса: построение квадратурных формул, точных на погранслойной составляющей и применение формул Ньютона-Котеса на сетке, сгущающейся в пограничном слое.
Остановимся на вычислении интеграла в случае функции и(х), имеющей представление: и(х) = р(х) + 7 ( ), х Є [а, Ь]. (2.2) Предполагаем, что регулярная составляющая р{х) и известная погранслойная составляющая Ф(х) являются достаточно гладкими, постоянная 7 не задана. Представление (2.2), как говорилось выше, справедливо для решения сингулярно возмущенных краевых или начальных задач. От квадратурных формул будем требовать, чтобы оценка погрешности была равномерной по производным погранслойной составляющей Ф(х). Тогда точность вычисления интеграла не будет понижаться при наличии больших градиентов у интегрируемой функции в пограничном слое.
В соответствии с (2.1.5), если производная и"(х) является равномерно ограниченной, то погрешность формулы (2.1.4) порядка 0(h2). При больших значениях производной интегрируемой функции порядок точности формулы (2.1.4) может понизиться.
Рассмотрим погрешность формулы трапеций для первого сеточного интервала на примере функции и(х) = ехр(—є 1х), є 0:
Нетрудно заключить, что при є 1 A = 0(h3) и при є h A = 0(h). Таким образом, при наличии погранслойной составляющей у интегрируемой функции, порядок погрешности составной формулы трапеций (2.1.4) может увеличиться до 0(h). Осуществим модификацию формулы трапеций (2.1.1), добиваясь того, чтобы погрешность квадратурной формулы не зависела от погранслойной составляющей Ф(х). Для построения квадратурной формулы используем неполиномиальную интерполяцию функции и(х), точную на составляющей Ф(х). Интерполяционные формулы, точные на Ф(ж), строились в Главе 1. Сделаем ограничение, что функция Ф(х) монотонна на интервале (а, Ъ) и в соответствии (1.3.1) выпишем формулу интерполяции функции и{х) на интервале [a, b] :
В соответствии с (2.1.17) оценка погрешности формулы (2.1.16) не зависит от погранс-лойной составляющей Ф{х) и ее производных.
Покажем, что если интегрируемая функция и{х) не содержит области больших градиентов, то составная квадратурная формула (2.1.16), как и формула (2.1.4) - второго порядка точности по шагу сетки. Применяя оценку (2.1.11) к сеточным интервалам, получим:
Итак, составная квадратурная формула (2.1.16) -первого порядка точности по шагу сетки, равномерно по градиентам погранслойной составляющей и второго порядка точности, как и составная формула трапеций, если интегрируемая функция не имеет больших градиентов. Покажем, как можно повысить точность составной квадратурной формулы. Построим составную формулу так, чтобы на сеточных интервалах вне области пограничного слоя применялась формула трапеций (2.1.1), а в пограничном слое - формула (2.1.13). Для определенности остановимся на случае, когда пограничный слой находится у левой границы интервала [а, Ь] и м"(ж) С для всех х а + а, а 0. для некоторой постоянной С\. Если функция и[х) имеет равномерно ограниченную вторую производную, то оценка (2.1.20) следует из оценок (2.1.5) и (2.1.18). Рассмотрим случай, когда погранслойная составляющая Ф(х) быстро меняется, а погранслойная область [а,а + с] содержится в одном или в нескольких сеточных интервалах. Тогда первая сумма в (2.1.19) в соответствии с оценкой (2.1.9), примененной к сеточным интервалам, приближает интеграл
Итак, для формулы (2.2.18) справедливы оценки погрешности (2.2.19) и (2.2.20). В соответствии с этими оценками, если функция и{х) имеет область больших градиентов, то точность составной квадратурной формулы (2.2.18) порядка 0(h2), если производные функции и{х) равномерно ограничены, то точность этой формулы повышается до 0(h3). Если имеются оценки производных интегрируемой функции и(х), то при построении составной квадратурной формулы можно комбинировать формулы (2.2.1) и (2.2.17). На сеточных интервалах в области пограничного слоя используем квадратурную формулу (2.2.17), а вне пограничного слоя - формулу Симпсона (2.2.1), порядок точности которой выше. Рассмотрим случай, когда функция Ф(х) соответствует погранслойному изменению и(х) в окрестности точки х = а. Пусть [а, а + а]- область пограничного слоя, где параметр а выбран так, чтобы для х а + а и некоторой постоянной Со выполнилось и (ж) Со.
Обоснование аналогично случаю формулы трапеций. Формула Симпсона (2.2.1) применяется для интервалов вне пограничного слоя, где производная v A\x) ограничена. Поэтому в соответствии с оценкой (2.2.4) составная формула Симпсона, применяемая в (2.2.21), обладает погрешностью порядка 0(h4). Формула (2.2.17), используемая в (2.2.21), применяется к нескольким сеточным интервалам, пересекающимся с областью пограничного слоя, поэтому в соответствии с (2.2.10) первая квадратурная сумма в (2.2.21) имеет погрешность порядка 0(h3). Итак, итоговая погрешность формулы (2.2.21) порядка 0(h3), что соответствует оценке (2.2.22).
Формулы Ньютона-Котеса на сетке Шишкина
Строится аналог формулы Ньютона-Котеса с числом узлов к с учетом того, чтобы формула была точной на погранслойной составляющей интегрируемой функции. Получена оценка погрешности построенной формулы, равномерная по погранслойной составляющей и ее производным. Приведены результаты численных экспериментов, согласующиеся с полученными оценками погрешностей.
Построение и обоснование квадратурной формулы Пусть заданы равноотстоящие узлы интервала [а, Ь] квадратурной формулы для интеграла (2.1), где. Интегрируемая функция и(х) задана в узлах, щ = U(XJ). Зададим интерполяционный многочлен Лагранжа Lj(u,x), интерполирующий функцию и(х) с узлами интерполяции к. Поясним, что здесь - первые j узлов из заданных узлов интервала [а, Ь]. Многочлен Lj(u,x) имеет представление:
Следовательно, формула (2.5.1.1) определена корректно, если Ф к (х) ф 0 для х Є (а, Ъ). Для вычисления интеграла (2.1) построим квадратурную формулу с числом узлов к, точную на составляющей Ф(х). Для этого используем интерполяционную формулу Квадратурная формула (2.5.1.3) не использует значение интегрируемой функции и{х) в узле Хк = Ъ. Заменяя в (2.1) функцию и{х) интерполянтом (2.5.1.1), получаем квадратурную формулу: Очевидно, что формула (2.5.1.4) является точной на погранслойной составляющей Ф(х). Предполагаем, что функция Ф(х) интегрируема в явном виде. Определим Sk(u) как формулу Ньютона-Котеса с к узлами для интеграла (2.1):
В выражении (2.5.1.15) знаменатель положителен в силу (2.5.1.2) и (2.5.1.6), числитель не отрицателен в силу условия (2.5.1.7). Следовательно, Gk 0.
Знаменатель в (2.5.1.15) положителен, поэтому неравенство Gk 1 равносильно следующему: Интегрируя равенство (2.5.1.19) и учитывая (2.5.1.5), (2.5.1.7), убеждаемся в справедливости неравенства: получаем, что (2.5.1.18) является усилением верного неравенства (2.5.1.20), поэтому неравенство (2.5.1.18) выполнено. Неравенство (2.5.1.18) равносильно неравенству Gk 1. Итак, двойное неравенство (2.5.1.16) доказано.
Теперь оценим второе слагаемое в (2.5.1.11), используя выражение (2.5.1.14). В соответствии с (2.5.1.2) справедлива оценка: Анализ выполнения условий Теоремы 2.7.. Выполнение условий (2.5.1.7) и (2.5.1.9) можно обеспечить заданием ограничений на знак производных функции Ф(х). Рассмотрим, когда выполняется неравенство (2.5.1.7).
Сначала остановимся на неравенстве 1(Ф) (Ф). В соответствии с [9, с. 176], [49, с. 17], в случае произвольного нечетного к неравенство 1(Ф) (Ф) выполнено, если Ф +1)(ж) 0, х Є [а,Ь], а в случае четного к неравенство 1(Ф) Бк(Ф) выполнено, если ф(к\х) 0, х Є [а, Ъ]. В [9, с. 182] приведена соответствующая таблица значений остаточного члена формулы Ньютона-Котеса в зависимости от к для = 2,3,...,11.
Теперь остановимся на неравенстве Sk-ііФ) 1{Ф) в (2.5.1.7). В данной главе при значениях к = 2,3,4,5 доказано, что неравенство Ёк-\{Ф) 1(Ф) выполнено, если ф( -і)(ж) 0, ж Є (а, Ъ).
Узлы U попарно симметричны относительно узла t +i)/2 = 0, поэтому подынтегральная функция является нечетной, откуда следует, что интеграл равен нулю. Итак, D\ = 0. Следовательно, при нечетных к квадратурная формула 5,д;_і(Ф) является формулой Ньютона-Котеса открытого типа.
В [66, с. 535] приведена таблица формул Ньютона-Котеса открытого типа для 3 к 8. Если формула 5,д;_і(Ф) - открытого типа, то в соответствии с этой таблицей при нечетных значениях к справедливо неравенство б . Ф) 1(Ф) при условии Ф(-к 1\х) 0, х Є (a,b). Это ограничение соответствует рассмотренным нами случаям к = 3,5.
Следовательно, условия (2.5.1.6), (2.5.1.7) выполняются, если Ф{к-1\х) 0, Ф{к+1\х) 0, xe[a,b], : = 3,5,7. (2.5.1.23) Случай других нечетных к требует выполнения неравенства !Зк-і(Ф) 1(Ф), чтобы были выполнены условия (2.5.1.7). Для выполнения условий (2.5.1.8), (2.5.1.9) знаки производных в (2.5.1.23) меняются на противоположные. Теорема 2.8. Пусть функция и(х) имеет представление (2.2), производная р к 1\х) ограничена на [а,Ь], причем порядок точности составной формулы Симпсона и ее модификаций.
В данном параграфе проведено теоретическое и численное сравнение двух модификаций формулы Симпсона: подгонка формулы к погранслойной составляющей и применение формулы Симпсона на сетке Шишкина. Более точным оказалось применение сгущающейся в пограничном слое сетки. Однако применение сетки Шишкина обосновано в случае экспоненциального пограничного слоя, в то время как в формуле подгонки погранслойная составляющая произвольного вида.
Известно, что применение квадратурной формулы Эйлера, учитывающей значения производной интегрируемой функции на концах интервала, приводит к повышению точности составной формулы трапеций [6]. Представляет интерес анализ точности этой формулы в случае, когда интегрируемая функция имеет большие градиенты в области пограничного слоя. Исследуем точность квадратурной формулы Эйлера для численного интегрирования функций с погранслойной составляющей на кусочно-равномерных сетках, достаточно мелких в пограничном слое.
Применение построенной интерполяционной формулы в двухсеточном алгоритме
Заметим, что из (2.4.29) следует формула (2.4.2) при задании Мп = 7/90. Коэффициенты формулы (2.4.29) не являются положительными при Мп 1/18. Несложно убедиться, что в случае погранслойных составляющих Ф(х) = ехр(—х/є) и Ф(х) = ехр((ж — 1)/е), соответствующих экспоненциальному погранслою [72], Игл Мп{є) = 0, по-этому при достаточно малых значениях параметра є выполнится неравенство Мп 1/18, и не все коэффициенты формулы (2.4.29) будут положительными.
Замечание. Если коэффициенты квадратурной формулы положительны, то, как известно, составная квадратурная формула устойчива к погрешностям вычислений. Иначе из-за погрешностей в задании функции в узлах сетки может значительно вырасти погрешность вычисления интеграла по квадратурной формуле. Известно, что имеются отрицательные коэффициенты в формуле Ньютона-Котеса при числе узлов к 8. Как показано выше, построенный аналог формулы Ньютона-Котеса может иметь отрицательные коэффициенты при к = 5. При к 5 коэффициенты построенных квадратурных формул положительны.
Составная квадратурная формула Для вычисления интеграла (2.1) построим составную квадратурную формулу, используя формулу (2.4.29):
В соответствии с (2.4.31) составная квадратурная формула (2.4.30) имеет погрешность порядка 0(h4) равномерно по погранслойной составляющей Ф(х) и ее производным. Эта формула, согласно (2.4.32), обладает погрешностью порядка 0(h5), если не требовать равномерной точности по производным погранслойной составляющей.
Точность составной квадратурной формулы можно повысить, если в области пограничного слоя применить квадратурную формулу, точную на погранслойной составляющей, а вне области пограничного слоя использовать формулу Ньютона-Котеса.
Рассмотрим этот вопрос в случае, когда функция Ф(х) соответствует погранслойному изменению и(х) около границы х = а. Пусть [а, а + а]- область пограничного слоя, где параметр о выбран так, чтобы при х а + о для некоторой постоянной Со выполнилось \и \х)\ С0. Пусть
Из (2.4.34) следует, что при т . N (в пограничном слое находится ограниченное количество сеточных интервалов) погрешность формулы (2.4.33) будет порядка 0(h5). Например, в случае интервала [0,1] и экспоненциальной погранслойной составляющей Ф(х) = ехр(—є 1х) , исходя из условия ф(6)( т) = 1, получаем о = — бе In (є), где 0 є 1. Численные эксперименты Остановимся на вычислении интеграла: о при различных значениях параметра є Є (0,1]. Подынтегральная функция соответствует представлению (2.2) с Ф(х) = ехр(—є 1х). Число сеточных интервалов N кратно четырем.
В Табл. 2.9 приведена погрешность A = \I(u) — S(u)\ составной формулы (2.4.4) в зависимости от є и N. С уменьшением є погрешность формулы (2.4.4) возрастает с величины порядка 0(h6) до 0(h), что соответствует оценке (2.4.5) и примеру, показывающему повышение погрешности этой формулы до величины порядка 0(h) в случае малых значений є. При є = 1 и достаточно больших N погрешность квадратурной формулы сопоставима с погрешностью округлений, что сказывается на результатах вычислений.
В Табл. 2.10 приведена погрешность А = \1(и) — 5ф(и) предложенной составной формулы (2.4.30) в зависимости от є и Ж При є 1 погрешность формулы (2.4.30) порядка 0(h6), а с уменьшением параметра є погрешность формулы увеличивается до величины порядка 0(h4), что соответствует оценке точности (2.4.31).
В Табл. 2.11 представлена погрешность A = \I(u) — S$ (u)\ комбинированной составной формулы (2.4.33) при различных є и N. Подтверждается, что точность формулы (2.4.33) выше в сравнение с (2.4.30), ее погрешность с уменьшением є увеличивается с величины порядка 0(h6) до величины порядка 0(h5), что соответствует оценке (2.4.34).
Строится аналог формулы Ньютона-Котеса с числом узлов к с учетом того, чтобы формула была точной на погранслойной составляющей интегрируемой функции. Получена оценка погрешности построенной формулы, равномерная по погранслойной составляющей и ее производным. Приведены результаты численных экспериментов, согласующиеся с полученными оценками погрешностей.
В данном параграфе исследуем квадратурные формулы для интегрирования функции, соответствующей решению сингулярно возиущенной задачи с экспоненциальным пограничным слоем [63], [72]. Сравним два способа модификации формулы Симпсона: подгонка формулы к погранслойной составляющей на равномерной сетке и применение формулы Симпсона на сетке Шишкина.
Итак, будем исследовать квадратурные формулы для вычисления интеграла: где функция и(х) является решением сингулярно возмущенной краевой задачи (1.1.2). В соответствии, например, с [72] для произвольного конечного п 1 производная и п\х) является величиной порядка 0(є п) и неограниченно растет с уменьшением параметра є, что приводит к понижению точности формулы Симпсона.