Введение к работе
Актуальность темы исследования. При решении задач физики и техники нередко используются модели, в основе которых лежат уравнения гиперболического типа. Этому классу принадлежат, например, нестационарные уравнения газовой динамики, магнитной газовой динамики, акустики, теории мелкой воды, теории упругости. К такому, пожалуй, классическому списку приложений можно добавить термически и химически неравновесные течения релаксирующих газов, кинетическую теорию газов, многофазные течения, перенос излучения, астрофизику и многие другие.
Несмотря на широкое распространение уравнений гиперболического типа, в подавляющем большинстве практически интересных случаев аналитические методы их решения либо ограничены, либо вообще отсутствуют. Поэтому одной из самых важных и актуальных задач вычислительной математики до сих пор остается разработка надежных численных методов высокого порядка точности для уравнений этого типа.
Нельзя не отметить, что численные методы, созданные изначально для чисто гиперболических задач, находят свое применение даже там, где нужно учитывать диссипативные явления. Яркий пример тому — моделирование турбулентных течений и сопряженная с ним вычислительная аэроакустика.
Степень разработанности темы исследования. В настоящее время существует огромное многообразие методик и численных схем высокого порядка точности для уравнений гиперболического типа. По типу пространственной аппроксимации эти схемы можно достаточно грубо разделить на конечно-разностные, конечно-объемные и конечно-элементные (к последним также относятся спектральные схемы и разрывные схемы Галеркина). Чаще всего временная аппроксимация отделяется от пространственной методом прямых, и реже они являются связанными.
Особое место среди конечно-разностных схем занимают компактные схемы. Перечислим их преимущества по сравнению с «обычными» конечно-разностными схемами: высокий порядок аппроксимации на малом (компактном) шаблоне, высокое спектральное разрешение центральных компактных схем, экономичные методы реализации — прогонка и бегущий счет.
Численное решение многомерных уравнений с помощью многомерных неявных конечно-разностных (и конечно-объемных) схем является весьма трудоемким процессом. Поэтому для упрощения и ускорения вычислений были предложены методы пространственного расщепления. Их главная идея — на каждом шаге по времени свести решение многомерной задачи к решению последовательности более простых одномерных подзадач.
LOD-расщепление (locally one-dimensional, локально-одномерное) является одним из самых популярных методов расщепления. В литературе имеются оценки для ошибки LOD-расщепления: в случае скалярного гиперболического закона сохранения с нелинейными потоковыми функциями и разрывным решением (случай гладкого решения не разобран), в случаях линейного и нелинейного эволюционного уравнения общего вида с гладким решением.
Помимо LOD-расщепления находят широкое применение метод переменных направлений, метод факторизации разностных операторов и другие классические двухслойные безытерационные методы.
Однако, доказано, что безытерационные методы расщепления с дробными временными шагами, получаемые путем разложения матричной экспоненты, в случае положительных и действительных временных шагов не могут иметь порядок точности по времени выше второго.
Для преодоления этого барьера можно использовать либо безытерационные методы расщепления с комплексными дробными временными шагами, либо итерационные методы расщепления, такие как метод итерируемой приближенной факторизации.
Хорошо известно, что уравнения гиперболического типа, особенно нелинейные, допускают разрывные решения. Схемы же высокого порядка аппроксимации генерируют нефизичные осцилляции вблизи разрывов. Это явление называется эффектом Гиббса и объясняется теоремой Годунова. Данное обстоятельство вкупе с непредсказуемостью места и времени появления разрывов привело к проблеме создания методов сквозного счета с автоматической регуляризацией, монотонизацией вычисляемого решения.
Наиболее распространенными способами монотонизации являются: ограничители (limiters) численных потоков; численные фильтры; искусственная диссипация; WENO-реконструкция (weighted essentially non-oscillatory,
взвешенная существенно неосциллирующая), в том числе компактная.
Недавно был разработан новый класс схем, сочетающих в себе черты конечно-разностных, конечно-объемных, конечно-элементных схем. Аппроксимация пространственных производных в этих схемах является компактной, но при этом она включает в себя лишь два целых узла, и поэтому они называются бикомпактными. Уравнения бикомпактных схем выводятся методом прямых и осреднением по ячейке исходных дифференциальных уравнений, что присуще конечно-объемному подходу. Высокий порядок аппроксимации данных схем (четвертый и выше) достигается добавлением в ячейку дополнительных узлов или неизвестных, как в конечно-элементном подходе. Для отыскания этих дополнительных неизвестных привлекаются дифференциальные следствия исходных уравнений в частных производных.
Кроме того, во всех работах по бикомпактным схемам предлагается оригинальная методика монотонизации — гибридная схема, развивающая оригинальные идеи Р.П. Федоренко. Двумя основными нововведениями являются: монотонизация по времени, а не по пространству; полностью локальный, одноточечный характер монотонизации.
Цели работы:
-
Устранить необходимость в настройке параметра гибридной схемы под каждую решаемую задачу.
-
Решить проблему относительно высокой вычислительной сложности нерасщепленных многомерных бикомпактных схем для систем квазилинейных уравнений гиперболического типа.
Задачи работы:
-
Построить и апробировать новую гибридную схему. В результате модификации настраиваемый параметр гибридной схемы либо полностью исключается, либо оказывается подчиненным некоторой явной зависимости от наименьшего числа априори известных определяющих параметров.
-
Применить к многомерным бикомпактным схемам известные методы пространственного расщепления, а именно, LOD-расщепление и метод итерируемой приближенной факторизации. Провести анализ расщеплен-ных/факторизованных бикомпактных схем: исследовать их точность, выяс-
нить их область применимости, оценить величину ускорения счета по сравнению с нерасщепленными бикомпактными схемами.
В дополнение к задаче 1 требуется ответить на вопрос, почему бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству генерируют на разрывах существенно меньшие по амплитуде и протяженности осцилляции по сравнению с классическими симметричными компактными схемами того же порядка аппроксимации. Для строгого обоснования этого экспериментального факта необходимо провести диссипативно-дисперсионный анализ бикомпактных схем.
Научная новизна. Отметим, что класс бикомпактных схем был разработан Б.В. Роговым сравнительно недавно и потому сам по себе обладает существенной научной новизной. Сформулируем по пунктам, в чем состоит научная новизна настоящей работы:
-
Доказаны теоремы о единственности бикомпактной пространственной аппроксимации на шаблоне, состоящем из двух целых узлов и одного полуцелого вспомогательного узла.
-
Выполнен дисперсионный анализ полудискретных бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации. Его результаты справедливы для существенно неравномерных сеток.
-
Доказана теорема о монотонных схемах с минимальной диссипацией на минимальном пространственно-временном шаблоне. Ее доказательство базируется на методе неопределенных коэффициентов и не использует явных предположений о виде искомых схем.
-
Построена и исследована новая гибридная схема с покомпонентным взвешиванием и корректной нормировкой. Описан алгоритм априорного выбора оптимального значения параметра этой гибридной схемы.
-
Доказана теорема о нулевой ошибке LOD-расщепления скалярного многомерного квазилинейного гиперболического закона сохранения с гладким решением. Эта теорема существенно улучшает оценки, имеющиеся в литературе.
-
Построены и использованы бикомпактные LOD-схемы. С их помощью проведен первый расчет нестационарной трехмерной газодинамической зада-
чи о взрыве по бикомпактным схемам.
-
Предложен и проверен итерационный метод решения уравнений многомерных бикомпактных схем, основанный на приближенной факторизации их разностных операторов. Вывод метода впервые дан для наиболее общего случая системы неоднородных квазилинейных уравнений гиперболического типа.
-
Впервые доказана теорема о глобальной сходимости метода итерируемой приближенной факторизации операторов бикомпактных схем.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в разработке, проверке, обосновании новых численных методов: новой гибридной схемы и многомерных бикомпактных схем, расщепленных/факторизованных по пространству. Теоретический интерес представляют и другие результаты, полученные в настоящей работе: доказанные теоремы, дисперсионный анализ полудискретных бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации. Важно отметить, что упомянутый анализ показывает, что бикомпактные схемы сохраняют спектральные свойства при переходе от равномерной к существенно неравномерной сетке.
Практическая значимость работы состоит в возможности приложения предлагаемых численных схем к моделированию физических процессов и явлений, описываемых системами уравнений гиперболического типа. Применение гибридных бикомпактных схем особенно уместно в задачах с широким диапазоном характерных пространственно-временных масштабов, в жестких задачах, там, где неприменимы явные схемы. Такой класс задач диктуется прежде всего свойствами самих бикомпактных схем: A-устойчивостью пространственной аппроксимации; хорошим, физически адекватным спектральным разрешением; принципиальной неявностью временной аппроксимации, для которой используются диагонально-неявные L-устойчивые жестко-точные методы Рунге–Кутты.
Научная работа соискателя по теме диссертации была поддержана грантом Правительства РФ по постановлению №220 «О мерах по привлечению ведущих ученых в российские образовательные учреждения высшего профессионального образования» по договору №11.G34.31.0072, заключенного
между Министерством образования и науки РФ, ведущим ученым и Московским физико-техническим институтом (государственным университетом); грантом РФФИ в рамках проекта №14-01-00775.
Методология и методы исследования. Рассуждения и построения настоящей работы опираются на уже известный и сложившийся аппарат вычислительной математики. Он включает в себя, например, терминологию, методы построения схем и аппроксимаций, методы решения алгебраических уравнений, приемы исследования диссипативных и дисперсионных свойств схем, способы апостериорного исследования сходимости при сгущении сеток и так далее. Кроме того, используются отдельные элементы линейной алгебры, теории уравнений в частных производных и механики сплошных сред.
Для проведения конкретных вычислений создавался и применялся расчетный код, написанный на языке C/C++. Верификация кода проводилась путем тестирования на сеточную сходимость; результаты этих расчетов частично присутствуют в настоящей работе как иллюстрации к теоретическим построениям или для демонстрации возможностей предлагаемых схем. Там, где это необходимо, приводятся спецификации системы, на которой велись вычисления.
Положения, выносимые на защиту:
-
Доказана единственность бикомпактной пространственной аппроксимации в случае системы одномерных неоднородных квазилинейных уравнений гиперболического типа и шаблона, состоящего из двух целых узлов и одного вспомогательного полуцелого узла.
-
Показано, что бикомпактные схемы превосходят по спектральному разрешению все остальные компактные схемы того же порядка аппроксимации, притом не только количественно, но и качественно: групповая скорость бикомпактных схем положительна во всем диапазоне безразмерных волновых чисел.
-
Предложена новая гибридная схема, обладающая тем свойством, что ее постоянная определяется только выбором схем-партнеров, максимально допустимым уровнем немонотонностей и значением числа Куранта. Построен алгоритм выбора эффективного значения данной постоянной, не зависящего
от числа Куранта.
-
Доказано, что схемы «явный левый уголок» и «неявный правый уголок» обладают наименьшей диссипацией среди всех линейных монотонных схем на минимальном пространственно-временном шаблоне.
-
Построены гибридные бикомпактные схемы с минимальной диссипацией и с новой конструкцией весового множителя. На примере тестовых двумерных задач газодинамики показано, что эти схемы не уступают или превосходят по точности другие современные схемы, при этом параметр гибридной схемы имеет одно и то же значение во всех расчетах.
-
Доказано, что LOD-расщепление обладает нулевой ошибкой расщепления применительно к скалярному многомерному квазилинейному гиперболическому закону сохранения с гладким решением.
-
Построены бикомпактные схемы с LOD-расщеплением, исследованы ускорение счета и их область применимости. С помощью этих схем проведен расчет трехмерной задачи о взрыве, являющийся первым расчетом трехмерных нестационарных уравнений газодинамики по бикомпактным схемам.
-
Разработан итерационный метод решения уравнений многомерных бикомпактных схем, основанный на приближенной факторизации их разностных операторов. Впервые метод построен в случае гиперболической системы наиболее общего вида — неоднородной и квазилинейной. На примере конкретных расчетов показано, что новый итерационный метод обеспечивает многократное ускорение счета при сохранении высокого порядка точности.
Степень достоверности и апробация результатов. Результаты, полученные в настоящей работе, обладают высокой степенью достоверности. Их можно разделить на три категории: новые методы; новые свойства уже известных или предлагаемых методов; результаты численных расчетов тех или иных тестовых задач, носящие демонстрационный или поясняющий характер. Новые методы выводятся с использованием известных подходов и методик аппарата вычислительной математики. Новые свойства либо следуют из уже имеющихся результатов теории численных методов, либо доказываются строго аналитически, либо устанавливаются путем непосредственных вычислений. Последние вместе с численными расчетами тестовых задач снабжены
исчерпывающим описанием и/или ссылками на источники и, таким образом, могут быть независимо воспроизведены и проверены.
Результаты диссертации доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих конференциях:
56-я, 57-я, 58-я, 59-я научные конференции МФТИ, г. Долгопрудный, Россия, 2013–2016 гг.
Конференция HONOM2015 (European Workshop on High Order Nonlinear Numerical Methods for Evolutionary PDEs: Theory and Applications), г. Тренто, Италия, 2015 г.
Конференция HYP2016 (XVI International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications), г. Аахен, Германия, 2016 г.
Конференция HONOM2017, г. Штутгарт, Германия, 2017 г.
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в четырнадцати работах [1-14], из них семь статей [1-7] в научных изданиях, рекомендованных ВАК. Все статьи, кроме [5], проиндексированы в Scopus и Web of Science.
Личный вклад. Все положения, выносимые на защиту, получены лично соискателем под научным руководством Б.В. Рогова. Уточним, что Б.В. Рогову принадлежат: вывод формулы (4) и выражения для множителя в формуле (15); вывод уравнений метода итерируемой приближенной факторизации операторов многомерных бикомпактных схем (соискателем сделаны обобщение метода на неоднородный случай, теоретическое обоснование сходимости метода и его упрощение путем перехода к итерационным поправкам). Лично соискателем написан весь программный код и проведены все расчеты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы. Основной текст занимает 130 страниц.