Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Двусторонние оценки ошибок для параболической задачи реакции диффузии 26
1.1. Мажоранта ошибки 27
1.2. Миноранта ошибки 31
1.3. Глобальная минимизация мажоранты 33
1.4. Численные примеры 38
Глава 2. Двусторонние оценки ошибок для параболической задачи реакции конвекции-диффузии на сложной области 64
2.1. Двусторонние оценки ошибок, основанные на глобальных константах 64
2.2. Двусторонние оценки ошибок, основанные на локальных константах 73
2.3. Эквивалентность мажорант и ошибок в энергетической и комбинированной
2.4. Мажоранта, основанная на расширенном поле флаксов 88
Глава 3. Мажоранты констант в неравенстве Пуанкаре и граничных неравенствах Пуанкаре 92
3.1. Верхние оценки Ср, Ср и С для треугольных сиплексов 93
3.2. Нижние оценки Ср, С и С для треугольных областей 96
3.3. Двусторонние оценки констант Ср и С для тетраэдров 106
Глава 4. Адаптивный метод Пикара-Линделёфа 113
4.1. Метод Пикара-Линделёфа 113
4.2. Адаптивный метод Пикара-Линделёфа 114
Заключение 123
Список условных обозначений 125
Список сокращений 127
Список литературы 1
- Глобальная минимизация мажоранты
- Двусторонние оценки ошибок, основанные на локальных константах
- Нижние оценки Ср, С и С для треугольных областей
- Адаптивный метод Пикара-Линделёфа
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время математические модели широко используются для описания процессов и явлений в различных отраслях естественных наук, медицины, инженерии и экономики. Эволюционные задачи, в частности, являются ключевыми компонентами в моделировании реальных процессов термодинамики, электромагнетизма, экологии и в других областях научной и практической деятельности человека. Данная работа посвящена непосредственно начально-краевым задачам параболического типа, систематический математический анализ которых представлен в монографиях О. Ладыженской, Н. Уральцевой, В. Солон-никова, J. Wloka, E. Zeidler и A. Friedman, а численные и практические аспекты применения изучаются в работах V. Thomsen, J. Lang, D. Breasts, C. Glassman, H.-G. Roos, M. Styles и C. Johnson.
В силу того, что изучение определённого эволюционного, например, физического процесса, неразрывно связано с сопровождающим его математическим экспериментом, надёжность используемых методов анализа или численного восстановления приближённого решения является одним из принципиальных требований к стадиям математического моделирования. Исключительно эвристическое воспроизведение характеристик системы может привести к недостоверным результатам и, соответственно, ложным выводам о рассматриваемой модели. Отсюда вопрос корректности модели на самом начальном этапе моделирования, а также вопрос количественного апостериорного контроля ошибки данных, сгенерированных тем или иным методом, становятся неоспоримо актуальными проблемами современного численного анализа.
Научная и практическая значимость. Представленные в диссертации методы позволяют явно и гарантированно контролировать точность численных приближений эволюционных уравнений в частных производных, регулирующих широкий класс явлений на практике. Независимо от используемого метода дискретизации и восстановления приближённого решения результат содержит погрешность. Именно поэтому для моделирования корректного численного метода неоспоримо важно иметь математический аппарат, который помогает произвести эффективный количественный анализ полученных результатов. Именно такой анализ предоставляет надёжную информацию об ошибке, содержащейся в аппроксимации, и позволяет уменьшить риск построения некорректных выводов на основе неточного или недостоверного численного результата.
Степень разработанности тематики. Существуют два основных подхода для оценки погрешности аппроксимации. Априорный подход используется для качественной проверки теоретических свойств численного метода. Однако данная оценка справедлива только для Галёркинских аппроксимаций, а также переоценивает настоящую ошибку. Более того, она накладывает условие повышенной регулярности на решение, что является сложно удовлетворимым на практике условием.
Во втором, так называемом апостериорном подходе, ошибка измеряется после вычисления аппроксимации. В отличие от априорного анализа ошибок, альтернативный подход использует только известные данные, а именно, характеристики области Q, исходные данные задачи и непосредственно само приближение. Верхняя оценка расстояния в терминах соответствующей энергетической нормы между приближённым решением и точным называется мажорантой погрешности (нижняя оценка, соответственно, минорантой погрешности). Величина, которая воспроизводит количественное распределение истинных локальных ошибок по всей области, называется индикатором ошибки.
Существующие индикаторы ошибок можно разделить на три основные группы, классифицируя их по методу получения. Первый, так называемый метод невязок, основанный на оценке резидуального функционала в #_1-норме, был изначально предложен в работах I. Babuska и W. Rheinboldt. Однако оценка, предлагаемая этим методом, применима только для Галёркинских аппроксимаций, а также основана на трудно вычисляемых локальных константах Клемана, напрямую зависящих от сетки дискретизации. Второе направление основано на приближении вышеупомянутого функционала или его так называемой пост-обработке. Полученный впервые O. Zienkiewicz и J. Zhu метод усреднения градиента, к примеру, служит довольно эффективным на практике индикатором ошибки, но не является гарантированным. И, наконец, третий метод зависит от решения вспомогательной задачи. К этой группе относятся иерархические индикаторы, а также методы оценки ошибок, измеренных в терминах линейных целевых функционалов. Однако ни один из вышеперечисленных методов не удовлетворяет критериям адекватной оценки ошибки, включающим универсальность, т. е. их применимость для любой аппроксимации, построенной произвольным численным методом, надёжность, гарантированность, явную вычисляемость и реалистичность.
Истоками гарантированных методов апостериорного контроля можно считать полученную в разное время Прагером-Сингом и Михлиным функциональную оценку ошибки приближённого решения, главным недостатком которой является минимизация оценки на множестве функций потока (флакса) у, удовлетворяющей уравнению баланса, следующего из постановки рассматриваемой задачи. Однако жёсткое ограничение на переменную у оказалось излишним. Гарантированные функциональные оценки погрешности приближённого решения, опирающиеся на более слабое ограничение у Є H(Q,div), были предложены С. Репиным. В первых работах, посвящённых функциональным мажорантам, были использованы вариационные аргументы для их получения. Позднее аналогичные оценки были выведены при помощи интегральных преобразований обобщённой постановки задачи. Они являются явно вычисляемыми, т. е. не содержащими локальных констант интерполяции, зависимых от сетки (в отличие от метода невязок). Более того, мажоранта и миноранта универсальны, а именно, применимы к любым функциям из допустимого энергетического класса приближений (без ограничений на Галёркинские аппроксимации). Условие, наложенное на вспомогательную
функцию у Є i/(f2,div), возможно удовлетворить локально, используя iJ(div)-согласованные конечные элементы. В дополнение к гарантированной оценке мажоранта генерирует эффективный индикатор ошибок, который может быть использован в адаптивных алгоритмах в качестве надёжного критерия. В рамках апостериорных оценок погрешностей, исследованных в данной работе, важно отметить работу С. Репина (2002), в которой метод получения функциональных оценок ошибок для эволюционных уравнений был предложен впервые на примере задачи теплопроводности. Первые результаты численного анализа мажорант были приведены А. Гаевской и С. Репиным в 2005 г.
Методология и методы исследования. Гарантированные оценки погрешности в решениях эволюционных задач, рассмотренных в данной работе, основаны на двух различных математических подходах. Один из них следует из теории сжимающих отображений и теоремы Банаха о неподвижной точке. Второй подход расширяет функциональные апостериорные оценки на задачи, зависящие от времени, используя при этом основные методы математического и функционального анализа.
Изучение практических аспектов применения гарантированных оценок ошибок было произведено на основе коллекции численных тестов различной сложности. При этом были использованы коды, реализованные при помощи программного пакета MATLAB, а также библиотеки The FEniCS Project.
Цели и задачи. Главной целью исследования является разработка надёжного инструмента количественного контроля ошибки в приближённых решениях для класса эволюционных задач. Численные методы, применимые для этого класса задач, реконструируют приближённые решения, имеющие свойство накапливать ошибку по ходу моделирования. В случае отсутствия математического инструмента, контролирующего рост ошибки, решение может потерять стабильность в некоторый момент времени, и затраченные на его восстановление вычислительные ресурсы будут напрасными. Таким образом, гарантированные оценки погрешности решений имеют важное значение для прогнозирования момента её резкого роста. Если ошибки в полученных численных данных оценены достоверно, возможно построить существенно более точное приближение на сетке, учитывающей его особенности и возможные количественные скачки отклонения от точного решения.
В диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:
-
Изучены двусторонние функциональные апостериорные оценки ошибок в эволюционном уравнении реакции-диффузии с функцией реакции, резко меняющей свои значения на различных частях рассматриваемой области. Эффективность оценок подтверждена численными тестами.
-
Получены двусторонние функциональные апостериорные оценки ошибок в эволюционном уравнении реакции-диффузии-конвекции.
-
Выведены оценки погрешности приближённых решений эволюционных задач реакции-диффузии на областях, имеющих сложную геометрию, с нетривиальными смешанными граничными условиями.
-
Доказана эквивалентность ошибки, измеренной в энергетической и комбинированной нормах, и соответственно второй и первой форм мажоранты, для задач на областях со сложной геометрией.
-
Получена мажоранта ошибки, основанная на максимально расширенном множестве вспомогательных функций потока, что обеспечивает большую свободу при построении оптимальной оценки погрешности на практике.
-
Получены и исследованы численные свойства гарантированных мажорант констант в классическом неравенстве Пуанкаре и «граничных» неравенствах Пуанкаре. Явно вычисляемые оценки сравнены с нижними границами соответствующих констант, а также с существующими аналитическими оценками.
-
Изучен адаптивный итерационный метод Пикара-Линделефа в комбинации с оценками Островского. Эффективность полученных оценок подтверждена численными методами.
Научная новизна. В целях расширения области применения функциональных оценок для эволюционных задач с быстро меняющимися коэффициентами реакции впервые выводится мажоранта со вспомогательной функцией, уравновешивающей большие и близкие к нулю вклады функции реакции. В диссертационной работе представлены основные численные преимущества полученной оптимальной оценки, а также продемонстрирована надежность и устойчивость мажоранты по отношению к резким скачкам в слагаемом реакции (см. []).
Впервые гарантированные оценки выводятся для класса эволюционных задач, определённых на Q со сложной геометрией. Для избежания вычисления верхней границы глобальной константы Фридрихса, а также константы в неравенстве о следах, входящих в простейшую форму мажоранты, предлагается способ разбиения Q на выпуклые подобласти и применения локальных классических и «граничных» неравенств Пуанкаре (см. [, ]). За счёт использования этих неравенств удаётся также максимально расширить множество вспомогательных флаксов, что даёт большую свободу в оптимизации мажоранты.
Существенная часть диссертации посвящена техническому вопросу нахождения гарантированных оценок констант в классических и «граничных» неравенствах Пуанкаре для произвольных невырожденных треугольников и тетраэдров, которые представляют собой типичные объекты в методах дискретизации краевых задач (см. [). Информация о реалистичных и надёжных оценках вышеупомянутых констант применима в реализации функциональных мажорант ошибок (представлены в работах [, ]), определённых для задач с областями, разбитыми на совокупность подобластей.
Наконец, последняя часть работы посвящена вопросу численного анализа задачи Коши с нелинейностью. Сочетание метода Пикара–Линделефа с апостериорными оценками Островского даёт в результате гарантируемый адаптивный метод Пикара–Линделефа решения ОДУ. Кроме того, алгоритм учитывает ошибки, связанные с численным интегрированием и интерполяцией (см. []).
Публикации. Результаты, представленные в диссертации, основаны на пяти печатных изданиях [1 - 5], одно из которых опубликовано в журнале, рекомендованном ВАК [], и четыре – в международных журналах, направляемых на экспертную оценку.
Положения, выносимые на защиту:
-
Получение гарантированных двусторонних апостериорных оценок точности приближённых решений для задачи реакции-диффузии параболического типа с сильно изменяющимися параметрами реакции. Исследование численных свойств полученных оценок.
-
Получение гарантированных апостериорных мажорант погрешностей для задач со смешанными краевыми условиями в областях со сложной геометрией. Доказательство эквивалентности полученных мажорант и истинных величин ошибок, измеренных в энергетической и комбинированной нормах.
-
Исследование гарантированных мажорант констант в классическом неравенстве Пуанкаре и неравенствах типа Пуанкаре для функций с нулевым средним следом на границе. Сравнение полученных мажорант с нижними границами этих констант, численное подтверждение точности полученных теоретических результатов.
-
Получение гарантированных оценок погрешностей для некоторых эволюционных задач, основанных на теореме Банаха о сжимающих отображениях, методе Пикара-Линделёфа и оценках Островского с учётом ошибок интегрирования и интерполяции. Численное подтверждение свойств метода.
Степень достоверности и апробации результатов. Основные результаты диссертации были представлены на международных конференциях ‘The 8th Workshop on Analysis and advanced numerical methods for PDEs for junior scientists (AANMPDE)’ (Саркисаари, Финляндия, 2015 г.), ‘Reliable Methods of Mathematical Modeling (RMMM)’ (Цюрих, Швейцария, 2015 г.), ‘The 10th International Conference on Large-Scale Scientific Computations, LSSC 15’ (Созополь, Болгария, 2015 г.), ‘The 27th Nordic Seminar on Computational Mechanics’ (Стокгольм, Швеция, 2014 г.), ‘The 7th Workshop on AANMPDEs’ (Санкт-Петербург, 2014 г.), ‘The 6th Workshop on AANMPDEs’ (Штробль, Австрия, 2013 г.) и ‘The 6th Conference on RMMM’ (Ювяскюля, Финляндия, 2012 г.).
Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 140 страниц с 49 рисунками и 20 таблицами. Список литературы содержит 186 наименований. Окончания доказательств отмечены знаком
П.
Глобальная минимизация мажоранты
Степень разработанности тематики. Существуют два основных подхода для оценки погрешности аппроксимации. Априорный подход используется для качественной проверки теоретических свойств численного метода, к примеру, скорости сходимости численного решения к точному в зависимости от параметра сетки, определяемого как максимум по размеру всех элементов (см., например, Brenner, Scott [68], Ciarlet [22], Strang, Fix [69], а также ссылки, включенные в монографии). Ключевая оценка априорного подхода формулируется следующим образом: где [[I u-Uh II является ошибкой, измеренной в энергетической норме, С - константа, зависящая от нормы функции и, которая включает её повышенные производные, и h представляет собой количественную характеристику сетки, дискретизирующей область . В дополнение к тому, что данная оценка справедлива только для Галёркинских аппроксимаций, она также сильно переоценивает настоящую ошибку в левой части. Более того, наличие в константеС нормы и накладывает жёсткие условия на повышенную регулярность решения, что является довольно нереалистичным условием в практических задачах.
Во втором, так называемом апостериорном подходе, ошибка измеряется после вычисления аппроксимации. В отличие от априорного анализа ошибок, альтернативный подход использует только известные данные, а именно, характеристики области , исходные данные задачи и непосредственно само приближение. Верхняя граница разницы между приблизительным и точным решением, измеряемая в терминах соответствующей энергетической нормы, называется оценкой погрешности или мажорантой. Величина, которая воспроизводит количественное распределение истинной ошибки по всей области, называется индикатором ошибки. Она получила серьёзный толчок в развитии после первых работ, посвящённых адаптивным алгоритмам вычисления приближённых решений (см. Babuska и Rheinboldt [70,71] и Zienkiewicz и Zhu [72]).
Существующие индикаторы ошибок можно разделить на три основные группы, классифицируя их по методу получения. Первый, так называемый метод невязок, основанный на оценке резидуального функционала в Я -норме, получил широкое распространение в инженерных пакетах в силу легкости своей реализации. Этот индикатор был изначаль 16 но предложен в работе Babuska и Rheinboldt [70, 71] и в дальнейшем исследовался многими авторами в оригинальной постановке, а также с различными модификациями (см., например, Eriksson и Johnson [73], Johnson и Hansbo [74], Ainsworth, Oden [75], Ainsworth и Oden [76], Verfurth [77], Dorfler и Rumpf [78], Carstensen [79], Carstensen и Verfurth [80], Ainsworth, Oden [81], Carstensen и Funken [82], Babuska и Strouboulis [83], Babuska, Whiteman и Strouboulis [84]). Оценка, предлагаемая методом невязок, применима только для Галёр-кинских аппроксимаций, что ограничивает её применимость для приближений, построенных другими методами. Более того, она основана на локальных константах Клемана, точное вычисление которых является довольно трудоёмкой задачей. При их грубой оценке сверху, результирующая мажоранта сильно завышена. Эти константы напрямую зависят от сетки и требуют перестроения на каждом шаге её адаптации, что существенно утяжеляет алгоритм на практике.
Второе направление основано на приближении вышеупомянутого функционала или его так называемой пост-обработке. Наиболее ярким примером, относящимся к этой группе, является метод усреднения градиента, первый раз предложенный в Zienkiewicz и Zhu [72,85] и расширенный в работах Ainsworth и Oden [75], Babushka и Rodriguez [86], Verfurth [77], Zienkiewicz et. all. [87], Wang [88], Babushka и Strouboulis [83], Bartels и Carstensen [89], Wang и Ye [90], Heimsund et. all. [91], Zhang и Naga [92]. Данный метод предлагает довольно эффективный на практике индикатор ошибки и помогает определить элементы сетки с существенными скачками погрешности. Математическое обоснование метода опирается на свойство суперсходимости, которое изначально было введено в Magnesian и Ruhovec [93], [94] и в дальнейшем подробно изучено в Krzek и Neittaanmaki [95, 96], Krizek, Neittaanmaki и
Stenberg [97] и Wahlbin [98]. Это свойство, однако, наблюдается только для задач, обладающих решениями с повышенной регулярностью, рассматриваемых на регулярных сетках. Другие методы пост-обработки основаны на частичном уравновешивании невязки, соответствующей уравнению баланса (см. Ainsworth и Oden [81], Braess [8], Ladeveze и Leguillon [99]), её глобальном усреднении (см. Carstensen и Funken [82], Bartels и Carstensen [89], Heimsund, Tai и Wang [91]), и решении локальных подзадач (см., к примеру, Ainsworth [100], Ainsworth и Oden [81], Ainsworth и Rankin [101]).
И, наконец, третий метод зависит от решения вспомогательной задачи. Иерархические индикаторы ошибки, к примеру, рассмотренные в работах Deuflhard, Leinen и Yserentant [102], Agouzal [103], Duran, Muschietti, Rodriguez [104], Dorfler и Nochetto [105], генерируют довольно эффективный индикатор, однако не являются гарантированными. Альтернативным методом, основанным на решении сопряжённой задачи, является метод индикации ошибок, измеренных в терминах линейных целевых функционалов. Изначально этот метод был предложен в работах Becker и Rannacher [106] и в дальнейшем исследован в ряде работ Stein и Ohnimus [107], Peraire и Patera [108], Houston, Rannacher, Suli [109], Rannacher [110], Oden и Prudhomme [111], Stein, Ruter и Ohnimus [112], Meidner, Rannacher и Vihharev [113], Rannacher и Vexler [114], Besier и Rannacher [115]. Апостериорный подход оценок погрешностей сов 17 местно с адаптивными алгоритмами создают полноценное исследовательское направление в разделе численного анализа уравнений в частных производных.
Двусторонние оценки ошибок, основанные на локальных константах
В качестве примера рассмотрим сетку в охшхт (28800 EL, 14641 ND) и проиллюстрируем реакцию мажоранты на возникающую нестабильность схемы (см. Таблицу 1.10). Здесь столбец DOF(w) содержит число степеней свободы в аппроксимации v. Левая часть таблицы содержит величины ошибки и мажоранты пошагово (во времени), полученные при помощи стабильной неявной схемы, в то время как в правой части проиллюстрировано, как мажоранта резко возрастает, даже когда так называемая раскачка сетки ещё не очевидна.
Пример 1.5. Аналогичные свойства могут быть проверены на области, представленной единичным кубом, П = (0,1)3 С R3 и с Т = 1. Пусть начальное условие щ = х (I — х)у(1 — у) z (1 — z), граничное условие Дирихле - однородное, и и = х (1 -х) у (1 -у) z (1 -z){t2 + t+ 1). Аналогично предыдущему примеру, / определяется по известному и. Приближение v аппроксимируется Pi элементами. В данном примере сравнивается производительность мажоранты для двух различных приближений у, т. е., у Є RT0 и у Є RTi. Рисунок 1.14а демонстрирует сходимость [е] и М (у), где в качестве флакса взята функция у Є RT0, а Рисунок 1.14б иллюстрирует те же характеристики для у Є RTV Оба графика подтверждают квадратичную степень сходимости мажоранты, реконструированной на основе у Є RT0 и у Є RTV
Далее мы сравниваем индикаторы, построенные на основе флаксов разной регулярности. Несложно заметить из Рисунка 1.15а, что fnj(10) на Q1-1 , использующий у Є RT0, - менее эффективный, чем тот, который реконструирован с использованием у Є RTi на Рисунке 1.15б. Последние два графика подтверждают, что для эффективного локального индикации распространения ошибки нужно использовать флакс повышенной регулярности.
В заключение рассмотрим стратегию адаптации сетки с использованием bulk -маркера Мо.2. Начиная с довольно грубой начальной сетки %х3, мы иллюстрируем полученное распределение ошибки и мажоранты в адаптивном уплотнении сетки от одного временного слоя к другому, а именно, Рисунок 1.16а демонстрирует полученные распределения ed и md Далее рассмотрим случай с точным решением, имеющим сингулярность. Типичным примером такого рода является задача, определённая на области П := (-1,1) х (-1,1) \ [0,1) х [0,-1) с Т = 1, граничными условиями Дирихле с нагрузкой иг, = г1/3 sinв, где г = (х2 + у2), а 9 = fatan2(y,x) на Sn, правой частью / = r1 3 sin б1 (2 + 1) и начальным условием щ = г1 3 sin б1. Соответствующее точное решение и = г1/3 sin б1 (t2 + t + 1) имеет сингулярность в точке (0, 0) (см. Рисунок 1.17). x x 2,(4)
Наконец, рассмотрим адаптивную процедуру уплотнения сетки на основе маркировки и анализа полученных погрешностей в приближённом решении. На Рисунке 1.19 представлены сетки, построенные на основе маркера MAVR, а на Рисунке 1.20 сравниваются полученные сетки, при использовании маркера M0.3. Как и в Примере 1.4, мы сравниваем сетки, полученные в ходе адаптации на основе распределения локальных настоящих ошибок (слева) и индикаторов (справа). Мы также можем проанализировать распределение локальных ошибок и индикаторов при помощи Рисунка 1.21. Здесь адаптация произведена при помощи маркера M0.3 и, аналогично предыдущему примеру, области с завышенной оценкой раскрашены красным маркером.
В связи с недостатками инкрементального метода (в частности, медленной реконструкцией аппроксимации), были разработаны методы на основе пространственно-временных конечно-элементных легко параллелизирующихся аппроксимаций. Монография Hackbusch [34] представляет схему, которая использует многосеточный (multigrid) метод для эллиптической задачи на каждом инкременте, так что время рассматривается как ось пространственно-временной сетки. В дополнение к этому были предложены другие методы, а именно, так называемый параллельный пошаговый относительно времени метод Womble [35], многосеточный колебательный метод релаксации (пространственный параллелизм) Vandewalle и Piessens [36], а также пространственно-временной многосеточный метод Horton и Vandewalle [37
Нижние оценки Ср, С и С для треугольных областей
Константы в неравенствах Фридрихса, Пуанкаре и других функциональных неравенствах используются в различных задачах численного анализа. Значения соответствующих констант являются характеристиками конкретных областей и имеют практическую важность. Как уже было отмечено в предыдущей главе, константы в неравенствах вложения возникают в различных оценках погрешностей функционального типа. В частности, неравенства (11), (17) и (18) часто используются для анализа некомформных аппроксимаций, к примеру, разрывного метода Галёркина и методов сцепления (mortar method), методов декомпозиции области (см., [172,173] и [174]), анализа задач, описываемых в терминах вектор-функций (см., [170, 175]), апостериорного анализа и других приложений, связанных с количественным анализом уравнений в частных производных. В работах Carstensen и Gedicke [176] и Liu и Oishi [177] изучены гарантированные вычисляемые нижние оценки для собственных значений оператора Лапласа на основе приближения соответствующих собственных функций в пространстве некомформных аппроксимаций (Crouzeix-Raviart). Следовательно, точные значения соответствующих констант (или точные гарантированные для них оценки) интересны как с аналитической, так и с вычислительной точки зрения. Текущая глава сконцентрирована на константах в неравенствах Пуанкаре (11), а также ему подобных неравенствах (17) и (18) (по ходу изложения мы ссылаемся на них как на граничные неравенства Пуанкаре).
На базе результатов, описанных во Введении, мы выводим гарантированные оценки для констант Ср, Ср и Ср в произвольных невырожденных треугольниках и тетраэдрах, которые являются типичными объектами в различных методах дискретизации. В Разделе 3.1. приводится вывод гарантированных и явно вычисляемых оценок для констант Ср , С и Ср на треугольных симплексах. Эффективность этих оценок тестируется в Разделе 3.2. путём их сравнения с нижними границами констант, полученных численно при помощи минимизации отношения Рэлея на достаточно репрезентативном наборе тестовых функций (соответствующего данной константе). Там же мы по аналогии сравниваем численные нижние границы, соответствующие Ср, с полученными оценками, а также с аналитическими верхними и нижними оценками, изученными в работах Largesse и Siudeja [49,51] и Cheng [50]. Нижние оценки констант, представленные в Разделе 3.2., вычислены при помощи двух независимых реализаций. Первый код был разработан, с помощью программного комплекса MATLAB с привлечением пакета символьных вычислений (MATLAB Symbolic Math Toolbox) [178], а второй использует библиотеку проекта The FEniCS Project [158]. Раздел 3.3. посвящён изучению констант для тетраэдров, где численные и аналитические подходы объединены для получения верхних оценок констант. где р 0, h 0, и а Є (0,7г) - геометрические параметры, полностью характеризующие треугольник (см. Рисунок 3.1). Леммы, приведённые ниже, основаны на анализе отображения опорного треугольника в произвольный треугольник Т с использованием общеизвестных преобразований интегралов (см., к примеру, Ciarlet [22]) и представляют собой явно вычисляемые оценки констант Ср, С и Cf.
Метод, представленный в Лемме 3.1, может быть использован для получения верхних оценок констант в классическом неравенстве Пуанкаре (11). В данном случае рассматривается три опорных треугольника: Т /2, Ттг/4, а также Т /3, основанный на вершинах А = (0, 0), В = (1,0), С = (\, Цг-). 2 КгМ = цад-{М}гт и г N = цад_{М}гцг (244) по функциям из конечномерного подпространства VN С Н1 (Т), сформированного характерной коллекцией тестовых функций. Для этого, используя ряд Фурье либо полиномиальный ряд, получаем соответствующее подпространство как оболочку над выбранной системой векторов:
Следовательно, минимизация первого соотношения Рэлея по функциям из VXN или Y» генерирует нижнюю оценку Ср . Для соотношения IZ lw] мы используем аналогичные аргументы. Численные результаты, представленные ниже, получены при помощи двух различных кодов, реализованных с использованием MATLAB Symbolic Math Toolbox [178] и The FEniCS Project [158].
Таблица 3.1 демонстрирует отношения точных и соответствующих приближённых констант для выбранных риа. Они довольно близки к 1 даже для относительно небольшого числа базовых функций N. Следовательно, мы выбираем N = 6 или 7 в тестах, которые обсуждаются ниже.
Адаптивный метод Пикара-Линделёфа
В первую очередь рассмотрим сетку Тк, которая должна быть сформирована до применения численного метода и может изменяться в итерационном процессе. В данной работе последний вопрос не обсуждается в деталях, но важно отметить, что в процессе построения Тк, используется U, в результате чего полученная сетка должна отражать поведение p(u(t),t). На практике такая информация может быть получена различными способами (к примеру, используя численное решение задачи (248), построенное другим неадаптивным методом (например, Рунге- Кутта) на грубой сетке, или из априорного анализа свойств решения).
Алгоритм АПЛ является циклом по всем интервалам сетки Тк = U \ к, ifc+i]. На каж fc=0 дом отрезке он реализован как подцикл (с индексом j). В этом подцикле применяется метод Пикара-Линделeфа и пытаемся найти приближение, которое соответствует требованиям на точность (т. е., точность должна быть меньше, чем єк). Исходные данные взяты из предыдущего шага (для первой итерации начальное условие определяется как ao).
После вычисления приближения на [tk, tfc+i], при помощи мажоранты мы устанавливаем гарантированную верхнюю границу ошибки (которая включает в себя ошибки интерполяции и интегрирования). Итерации продолжаются, пока требуемая точность ек не будет достигнута. После этого результат сохраняется и алгоритм переходит к следующему интервалу.
Пусть є - заданная точность приближённого решения. Тогда практические вычисления описываются Алгоритмом 2. Отметим, что в Алгоритме 2 процесс интегрирования на интервале не обсуждается в деталях, который выполняется на локальной сетке с набором подинтервалов, размер которых As. В принципе, может получиться, что желаемый уровень точности ек невозможно достигнуть с А, (выбранным в определённый момент t tK). Этот момент может быть легко установлен, так как ошибки интерполяции и интегрирования будут доминировать и не позволят в целом сделать погрешность ниже ек. В этом случае As нужно уменьшить, и вычисления надо повторить на соответствующем интервале.
Оценка общей ошибки, связанной с интервалом [t0, tK], включает в себя все ошибки, рассчитанные на подинтервалах. Другими словами, ошибка, связанная с [t0, tk-1] складывается с ошибкой на [tk-1, tk] (формально, это правило следует из того, что начальное условие на [tk-1, tk] включает ошибки на всех предыдущих интервалах).
На Рисунке 4.2 изображены ошибки (столбцами с маркером в форме стрелки) и оценки ошибки, вычисленные при помощи оценки Островского (точечной линией) и при помощи усовершенствованной оценки (пунктирной линией). На Рисунке 4.3а и 4.4а приближённые решения отображены вместе с заштрихованными зонами, содержащими точное решение. Границы этой зоны вычислены при помощи оценок Островского.
Если в какой-то момент времени t tK приемлемый уровень точности был превышен (т. е. метод Пикара-Линделёфа не может уменьшить ошибку), необходимо увеличить количество внутренних узлов (которые уменьшат ошибки интегрирования и интерполяции) и повторить вычисления. Численные результаты на Рисунке 4.3а и 4.4а подтверждают, что улучшенная мажоранта обеспечивает гораздо более точные границы отклонений.
Значения компонентов оценки (а именно, первое слагаемое оценки, оценка е и оценка е из (257)) представлены в Таблице 4.1. Очевидно, что в данном примере значения Sk были
Островского. (b) Приближенный интервал с точным и приближённым решениями с усовершенствованными мажорантами Островского. выбраны так, что оценки погрешности интерполяции и интегрирования незначительны по отношению к первому слагаемому оценки.
Аналогично предыдущему примеру, на Рисунке 4.5а показана результирующая ошибка (столбцы с маркером малого круга), оценённая неравенствами Островского (пунктирной линией) и улучшенными формами оценки (пунктирной линией). Альтернативный способ изображения полученных результатов показан на Рисунке 4.5б.
Представленная диссертация посвящена изучению гарантированных оценок расстояния до точного решения эволюционных задач реакции-конвекции-диффузии с различными краевыми условиями. По ходу вывода мажорант и минорант погрешностей в приближённом решении нам удалось продемонстрировать, что полученные двусторонние оценки являются явно вычисляемыми и эквивалентными ошибке. Численные исследования подтвердили что эти двусторонние оценки предоставляют гарантированно точную информацию об энергетической норме погрешности, а также генерируют эффективный индикатор её локального распределения на дискредитированной области (см. первую главу, а также публикацию [140]).
В первой главе мажоранта и миноранта ошибки получены для эволюционного уравнения реакции-диффузии, в которых параметр реакции резко меняет свое значение на разных частях области (см. [140]). Там же было детально разобрано применение мажоранты на практике, описаны примеры её дискретизации различными методами (АКР и кэВ), и, тем самым, подтверждена универсальность оценки для любого выбранного подхода. Ряд примеров, приведённых в первой главе, продемонстрировал основные свойства мажоранты, заявленные во введении, а именно, универсальность, гарантированность, точность и вычисляемость. Более того, на нескольких примерах продемонстрирована устойчивость мажоранты к резким изменениям в функции реакции на разных частях области.
Во второй главе двусторонние оценки погрешности решения в эволюционных задачах были обобщены на уравнение реакции-конвекции-диффузии и адаптированы для областей со сложной структурой и смешанными краевыми условиями Дирихле–Робина. Для преодоления вычислительных сложностей, возникающих в связи с включением в мажоранту констант Фридрихса и констант в неравенстве о следах, использован метод подразбиения области на совокупность непересекающихся выпуклых подобластей. Для получения надежных оценок погрешности, использованы классические неравенства Пуанкаре и граничные неравенства Пуанкаре для функций с нулевым средним для следа на границе. Следовательно, новые оценки расстояния до точного решения содержат только константы в локальных неравенствах вложений, соответствующих определённым подобластям, что существенно улучшает точность и эффективность мажоранты. Более того, было доказано, что полученные оценки эквивалентны основной и комбинированной энергетической норме ошибки (см. [152,153]). В той же главе, с помощью декомпозиции области и локальных неравенств вложения получена мажоранта, основанная на более широком множестве потоков (флаксов), что позволяет получить более эффективную минимизацию функциональной оценки ошибки.