Содержание к диссертации
Введение
1 Уравнения гиперболического типа с запаздыванием с одной пространственной переменной 20
1.1 Постановка задачи 20
1.2 Разностный метод 21
1.3 Исследование сходимости 24
1.4 Примеры численных расчетов 32
2 Уравнения гиперболического типа с запаздыванием с двумя пространственными переменными 38
2.1 Постановка задачи 38
2.2 Разностный метод 39
2.3 Факторизованная схема 40
2.4 Исследование невязки 43
2.5 Исследование сходимости 46
2.6 Примеры численных расчетов 55
3 Системы уравнений акустикиспоследействием 66
3.1 Постановка задачи 66
3.2 Разностный метод 67
3.3 Порядок невязки 70
3.4 Исследование сходимости 73
3.5 Примеры численных расчетов 77
Заключение 85
Литература
Введение к работе
Актуальность темы и степень ее разработанности. Уравнения гиперболического типа с эффектом запаздывания, как и другие эволюционные уравнения с наследственностью, широко применяются в приложениях математического моделирования. Имеется большое количество работ по исследованию качественных свойств таких объектов1,2. Однако, в силу сложности объектов и невозможности применения аналитических методов отыскания решений, на первый план выходят численные методы3,4,5, и в этой области конструктивных результатов недостаточно.
В работах В.Г. Пименова и его сотрудников6,7,8основным моментом в построении сеточных методов является идея разделения конечномерной и бесконечномерной составляющей в предыстории искомой функции (разделение настоящего и прошлого). По конечномерной составляющей, входящей в линейную дифференциальную часть уравнения, строятся аналоги известных для объектов без наследственности сеточных методов, а для учета эффекта наследственности применяется интерполяция дискретной предыстории с заданными свойствами. Другая идея состоит в применении экстраполяции продолжением интерполяции дискретной предыстории. Такая экстраполяция необходима для реализации неявных методов, а кроме того, это позволяет избегать решения многомерных нелинейных систем при реализации сеточных алгоритмов на каждом временном слое. В совокупности эти идеи позволили создать простые и в то же время эффективные алгоритмы, которые могут быть положены в основу комплекса программ, предназначенного для численного решения уравнений в частных производных с наследственностью.
1Bainov D., Cui B.T, Minchev E. Oscillation properties of the solutions of hyperbolic equations with deviating arguments // Demon Math. 1996. V. 29. N. 1. P. 61–69.
2Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1996.
3Tavernini L. Finite Difference Approximations for a Class of Semilinear Volterra Evolution Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1977. Vol. 14, N. 5. P. 931–949.
4Zubik-Kowal B. The method of lines for parabolic differential-functional equations // IMA J. Numer. Anal. 1997. Vol. 17. P. 103–123.
5Камонт З., Кропельницка К. Неявные разностные методы для эволюционных функционально-дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычис. математики. 2011. Т. 14, N. 4. C. 361–379.
6Пименов В.Г., Ложников А.Б. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием // Труды ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. С. 178–189.
7Пименов В.Г., Лекомцев А.В. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 102–118.
8Пименов В.Г. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: изд-во Урал. ун-та, 2014.
Для уравнений гиперболического типа этот подход ранее не разрабатывался.
Цели и задачи диссертационной работы. Цель работы состоит в разработке сеточных методов решения одномерных и многомерных уравнений гиперболического типа с эффектом функционального запаздывания, а также связанной с ними системы уравнений акустики с запаздыванием. К задачам работы относятся обоснование сходимости разработанных алгоритмов и изучение факторов, оказывающих влияние на порядки сходимости.
Научная новизна. В диссертационной работе для уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной и с наличием нелинейно входящего эффекта функционального запаздывания по времени сконструировано семейство сеточных схем с весами, при этом эффект запаздывания учитывается в схеме с помощью интерполяции с заданными свойствами, а возможная неявность по этому эффекту преодолевается за счет экстраполяции. Исследованы локальные порядки схем этого семейства без учета интерполяции и с учетом интерполяции и экстраполяции. Получены условия на вес, гарантирующие устойчивость предложенных конструкций по начальным данным. С помощью конструкций общей теории разностных схем систем с наследственностью доказана теорема о сходимости и о порядках сходимости разработанных численных методов.
Для начально-краевой задачи гиперболического типа с двумя пространственными переменными и с наличием эффекта функционального запаздывания по времени разработано семейство разностных схем, допускающих факторизацию по пространственным переменным. Также как в одномерном случае, эффект запаздывания учитывается с помощью соответствующих интерполяционных и экстраполяционных конструкций. Факторизация позволяет свести расчеты по предложенному алгоритму к последовательному применению трехдиагональной прогонки. Исследованы порядки невязки без интерполяции и с интерполяцией относительно пространственных и временных шагов разбиения. Получены условия устойчивости и доказана теорема о порядках сходимости.
Для системы уравнений акустики с наличием эффекта запаздывания разработаны неявные сеточные схемы с учетом интерполяции дискретной предыстории модели. При этом неявность за счет экстраполяции возникает только в виде систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Изучены свойства локальной погрешности без учета интерполяции и с учетом интерполяции. С помощью вложения в общую разностную схему численного решения систем с
наследственностью получена теорема о порядках сходимости.
Все теоретические результаты подтверждены тестовыми примерами, содержащими постоянное сосредоточенное, переменное и распределенное запаздывание.
Теоретическая и практическая значимость работы. Уравнения в частных производных, в том числе и гиперболического типа, с эффектом наследственности играют важную роль при описании различных явлений в науке и технике. Теоретическая значимость работы состоит в создании с единых позиций сеточных методов решения для одномерных и многомерных уравнений гиперболического типа с эффектом запаздывания общего вида, а также для систем уравнений акустики с подобным эффектом, в получении условий устойчивости и порядков сходимости методов. Создание эффективных и обоснованных с точки зрения сходимости численных методов послужит большему распространению таких уравнений в математическом моделировании, в этом состоит практическая значимость работы.
Методология и методы исследования. В основе исследования лежат понятия и методы теории разностных схем для решения уравнений в частных производных, см., например, книгу А.А.Самарского9. Так, следуя этой теории выводятся условия устойчивости однородных разностных схем, трехслойные схемы сводятся к двухслойным, используются методы факторизации многомерных ал-горитмов10. Однако, исследуемые эффекты наследственности потребовали для построения и исследования разрабатываемых численных методов использовать также понятия и методологию численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений11,12, особенно теоремы сходимости в общей схеме систем с наследственностью, в форме, приспособленной для уравнений с частными производными6,8.
Достоверность результатов. Достоверность полученных в работе результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами и проведенными компьютерными экспериментами на тестовых примерах.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались
9Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. М.: Наука, 1989.
10Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978.
11Пименов В.Г. Общие линейные методы численного решения функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 1. С. 105–114.
12Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2004.
на семинарах кафедры вычислительной математики Института математики и компьютерных наук Уральского федерального университета, Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, 2011, Челябинск, 2014), VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной памяти А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2012), 44-ой, 45-ой, 46-ой, 47-ой Международных молодежных школах-конференциях «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2013, 2014, 2015, 2016), Международной конференции «Колмогоровские чтения - VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013), Всероссийской конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 2015), семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [-3,-], а также составили главу 5 в монографии []. Работы [,3, опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 94 страницы машинописного текста. Библиография содержит 96 наименований.
Разностный метод
Используя соотношение (25), производится переход к факторизованной схеме: RxR2{ h+l _ 2 h + 7,-і) + Л2(Л + Л)7, = Л2 И-))- (29) Система эффективно решается с помощью двух прогонок по каждому из направлений хиу. В разделе 2.4 вводится и исследуется величина г\)г- , характеризующая погрешность аппроксимации метода (невязка). Вводится порядок невязки: будем говорить, что невязка имеет порядок Щ1 + h22 + Ар3, если существует такая константа С, не зависящая от A, h\, h2, что \ipbk\ С {hi1 + hf + ДР3) для всех і = 1,... , ЛГі - 1, fc = 1,... , iV2 - 1, j = 0,... , M - 1.
Рассматривается схема (29), в которой функционал F; fc определяется следующим образом: F] k{vf{-)) = f{xi,yk,tj,i k,t k{-)), (30) где vf{-) Є Q[-r, 0); () = v) k{0, -r Є 0. Доказывается теорема о порядке невязки построенного метода. Теорема 5. Если для точного решения задачи (17)-(19) существуют и непрерывны все а,к соотноше частные производные вплоть до 4-го порядка включительно, Fxf определяется нием (30), то для любого 0 s 1 невязка имеет порядок h2 + h22 + A2.
В разделе 2.5 производится исследование порядков сходимости методов описанного выше семейства. Будем говорить, что метод сходится с порядком Щ1 + h22 + Др3, если существует такая константа С, не зависящая от A, h\, h2, что выполняется неравенство \u(xi,yk,tj) — uf\ C(hf + hf + ДР3) для всех і = 0,..., N1} k = 0,...,N2, j = 0,...,M.
Для исследования сходимости схемы используется общая разностная схема численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений, модифицированная для случая двух пространственных переменных и, следовательно, двух параметров h\ и h2. Излагаются основные понятия и утверждения модифицированной схемы, формулируется и доказывается основная теорема о сходимости.
Уравнение (29) приводится к явной форме 7,-+i = 27,- - ты - A2R lR l{Al + А2)ъ + A2R2lR l{F3{v{-))). (31) Вводится вектор 7j = (т ТІ У = (Ъ -1 Ъ ) Г, где Г — пространство размерности q = 2(N\ + 1)(- 2 + !). Считаем, что если в пространстве Г определена норма (28), то в пространстве Г она определяется следующим образом: НТІІГЧІУЩ + ІІТ2!!!- (32) В результате получаем пошаговую формулу: ,0 1 \ /о где S= \ , Ф( 7-,/(Ы,)) = -1 2-А2Щ1Щ\А1 + А2) J ДД Г Ж Ъ)) Определяются функция точных значений и стартовые значения для схемы (29). Определение невязки с интерполяцией в общей разностной схеме отличается от определения невязки без интерполяции. Однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть невязка без интерполяции имеет порядок APl + Щ2 + hf, функции Fj липшицевы, оператор интерполяции-экстраполяции I имеет порядок погрешности ро на точном решении, о\ = a2A2/h\ и о2 = a2A2/h2 зафиксированы, тогда невязка с интерполяцией имеет одинаковый порядок погрешности по А, 1ц и h2, равный Amin&0 Pl P2 p .
Далее исследуется устойчивость схемы (33). С помощью результатов общей теории разностных схем доказывается, что схема устойчива при выполнении условия (26), которое справедливо, если (l-4s)( 7i+ 72) l. (34) Вложение в общую разностную схему проведено, получаем следующее утверждение. Теорема 8. Пусть выполнено условие устойчивости (34), невязка без интерполяции имеет порядок AP1 + h\2 + hf, функционалы F] k липшицевы, оператор интерполяции-экстраполяции I имеет порядок погрешности ро на точном решении, стартовые значения имеют порядок АР4 + /if + hp26, п и а2 зафиксированы, тогда метод (29) сходится с порядком A--WbP2,P3)P4} + hrnm{P0,P1,P2,P3,P6} + {рориП.Рв.Рб} Опираясь на теорему 5, получаем следующее следствие. Следствие 2. Если для точного решения задачи (17)-(19) существуют и непрерывны соотноше все частные производные вплоть до 4-го порядка включительно, Flf задается нием (30), применяется кусочно-линейная интерполяция, выполнено условие устойчивости (34), ох и о2 зафиксированы, тогда метод (29) сходится с порядком A2 + h\ + h22.
В разделе 2.6 приводятся результаты компьютерного моделирования вычислений по описанным выше алгоритмам для тестовых примеров уравнений гиперболического типа с двумя пространственными переменными. В главе 3 конструируется и исследуется численный метод для систем уравнений акустики с последействием. Уравнение гиперболического типа без запаздывания можно заменить эквивалентной ему системой уравнений акустики [7]. Однако в случае уравнений с запаздыванием такая замена не будет эквивалентной. Поэтому в данной главе рассматривается система уравнений акустики как самостоятельный объект, без привязки к уравнениям гиперболического типа.
В разделе 3.1 рассматривается система уравнений акустики с эффектом наследственности t) + f(x,t,u(x,t),ut(x,-)) (35) с граничными условиями u(0,t) = gi(t), u(X,t) = g2(t), w(0,t) = g3(t), w(X,t) = g4(t): t0 t T и начальными условиями u(i,t) = i(i,t): O x X, to-r t to, w{x,t0) = tp2{x): 0 x X. Здесь x, t - независимые переменные; u(x, t),w(x, t) - искомые функции; щ(х, ) = {u(x, t + 0, -r С 0} - функция-предыстория искомой функции к моменту t; т- величина запаздывания; f(t,x,u,ut{x,-)) - функционал, определенный на [t0,T] x[0,X]xRx Q[-r,0).
В разделе 3.2 проводится дискретизация задачи и описывается численный метод. Отрезок [0,Х] разбивается на части с шагом h = X/N, где N - некоторое целое число. Вводятся точки Xi = ih, і = 0,1,..., N. Отрезок [t0,T] разбивается на части с шагом A, tj = t0 + jA, j = -то, ...,M. Приближение точного решения системы u{xi,tj) = {u{xi,tj),w{xi + h/2,tj)) обозначается через и) = (u),w)) . ЦЬ = (u))2 + (w))2. (36)
Для системы уравнений акустики без запаздывания можно построить метод, имеющий порядок Ь2 + А2 [7, с. 430]. Для построения аналогичного метода для систем уравнений акустики с последействием потребуется вычислять / в полуцелых узлах по переменной х. Это требование приводит к необходимости расширения понятия оператора интерполяции-экстраполяции.
Примеры численных расчетов
Разобьем отрезок [0,Х] на части с шагом h\ = X/Ni, отрезок [О, У] на части с шагом h2 = Y/N2, где NUN2 - некоторые целые числа. Введем точки Xi = ihu і = 0,1,...,NU yk = kh2, k = 0,l,...,N2. Разобьем отрезок [t0,T] на части с шагом А. Будем считать, что т = г/А - целое число. Введем точки tj = t0 + jA, j = -то,... ,M, где M = [T/A\ Будем обозначать приближение точного решения u(xi,yk,tj) через uf. Введем дискретную предысторию к моменту tj при фиксированных і, к:
Оператором интерполяции-экстраполяции дискретной предыстории назовем отображение: I- K fcb fc(-) eQ[-r,A]. Будем говорить, что оператор интерполяции-экстраполяции имеет порядок погрешности р на точном решении, если существуют константы С\ и С2, такие, что для всех г = 0,... , iVi, к = О,... , N2, j = 0,... , М и t Є [tj - г, tj+1] выполняется неравенство bf(t7)-Mfc,yfc,t) d max \иІ к-и(хг,ук,и)\ + С2Ар. Например, кусочно-линейная интерполяция VT{0 = д(( г 1з fK-i + (tj + С - ti-i)ui k), ti-i tj + ti, 0 (2.2.4) с экстраполяцией продолжением vfd) = д((-ОЦ-і + (A + K fc); tj tj + tj + i, с о имеет второй порядок [10]. Будем предполагать, что оператор интерполяции-экстраполяции липшицев, то есть найдется такая константа L/, что для всех предысторий {и\ }j и {v }j выполнено ,fc sup \vT(t -U)- riT(t jM Lj max \u) tj ,t ,tj+A 3 3 j-m Kj где vlj () = I({u%i }j),TJj () = Idtf }j) Также будем предполагать, что оператор интерполяции-экстраполяции согласован ..к г,к V J (tij) = u] ,l =j -m,...,j. Рассматривается семейство методов с весами (0 s 1): X +ifc 2г4+і + Mi+i fc мі+і1 2г4+і + i+t1 «& - -ы?+« = sa 2 («% - 2ий,+ у ц+г - ч:,+«у, А2 оЩ-л — 2г4 _і +и?_л и-л —2и-_л + u-_t + sa2 — + J— у- — + ( и 1 к - 2и-к + M +1 fc M fc_1 - 2и-к + M fc+1 \ ,. ,. s)a2 + 1 3 + Fj fe( . fe(-)), г = 1,..., Ni - 1, fc = 1,..., N2 - 1, j = 0,..., M - 1, (2.2.5) с граничными условиями « fc = 9о(Ук,і3), wf fc = gi(yk,t3), uf = g2(xi,tj), uf2 = g3(xt,t3) и начальными условиями и-к = фг,ук,і3): -m j O, где Ffk{v{-)) - некоторый функционал, определенный на функциях v(-) = vf{-) = !{Wi k}j) Є Q[-r,A], связанный с функционалом f(xi)yk)tj)Uf ,v k(-)) и липшицевый по переменной v(-) с константой LF.
Схема (2.2.5) при s = 0 является явной, при других s (0 s 1), при каждом фиксированном j получаем систему уравнений. Для того чтобы привести систему к виду, при котором ее можно решить методом прогонки, перейдем к факторизованной схеме [7].
Операторы А\ (2.3.7) и А2(2.3.8) самосопряженные и положительные в смысле скалярного произведения векторов (2.3.6), тогда операторы (Ai + A2),Ri, R2 самосопряженные и положительные. Кроме того, так как операторы А\ и А2 перестановочны, то операторы А\А2 и R\R2 также самосопряженные и положительные. Предположим, что выполнено условие 7( 1 + 2) ДіД2 -{Аг + и введем в пространстве Г две нормы: І7пІ2 = y(jn,Jn), ((Л + Л)7+,7+)+д2 І7 гаІІГ ДіД2 - \{Аг + Л) 7", 7n (2.3.14) (2.3.15) (2.3.16) где 7га = 7п + 7га-1, 7га = 7га — Тга-1.
Заметим, что нормы операторов Ri и Д2, не зависят от A, h\, h2, а зависят только от о\ = a2A2/h\ и (Т2 = a2A2/h2, соответственно. Это свойство справедливо также для операторов А\ и А2. Лемма 2. Справедлива следующая оценка: ІІТпІІг д(ІІ7пІ2+І7п-іІ2). Доказательство. І7п =(( + Л2)(7п + 7п-і)Лп + ( + )(7п + 7п-і)І2ІІ7п + 7п-іІ2+(і ІІ(Лі + Л2)(7» + 7»-і)ІІ2ІІ7»+ 4 2 11 1 + 2ІІ2ІІ7п + 7п-іІ2 + д ЦДіД2 - A + 2)І2ІІ7п " 7п-іІ2 i ll 1 + 2ІІ2(І7пІ2 + ІІ7п-і2)2 + д ДіД2 " \{M + 12)І2(І7пІ2 + І7п-і2)2 (-ЛМ + 12І2 + ДіД2 - -AM + laJHa j (7п2 + ІІ7п-іІ2)2-Отсюда получаем необходимую оценку: Используя соотношение (2.3.13), перейдем к факторизованной схеме:
Система эффективно решается с помощью двух прогонок по каждому из направлений хиу. Запишем схему (2.3.17) в координатной форме: td+l k - 2uftl + u\X\ k uft1 - 2uftl + uft1 Будем говорить, что невязка имеет порядок Щ1 + hv22 + ДР3, если существует такая константа С, не зависящая от A, h1} h2, что Щк\ C(/if + / 2 + АР3) для всех і = I,... ,NX - I, к = l,...,N2-l, j = 0,...,M-
Заметим, что в этом случае экстраполяция не требуется, применяется только интерполяция. Теорема 5. Если для точного решения задачи (2.1.1)-(2.1.3) существуют и непрерывны все соотношением частные производные вплоть до 4-го порядка включительно, Fxf задается (2.4.20), то для любого 0 s 1 невязка имеет порядок h\ + h22 + А2. Доказательство. Разложим функцию u(x,y,t) по формуле Тейлора в окрестности точек {Xi,yk,tj), {Xi,yk,tj+1), {X y tj-!), (Xt-l}yk,t3), (Xi-1,yk,tj+1), {Xi- y tj-!), {xi+1,yk,tj), (xi+i,yk,tj+i), (xi+\,yk,tj-i). Так как существуют и непрерывны все частные производные вплоть до 4-го порядка включительно, получаем следующие равенства для значений функции в точках: и(Хг,УкМ±1)=и(Хг,укМ)± (Хг,УкМ)А+ & У г,Ук, 3 У г,Ук, 3 т\ г,Ук, 3) Т 2df2\ г,Ук, 3) g 3 V У J J Т У ) здесь и далее g = 0(А4), если существует константа
Факторизованная схема
Уравнение гиперболического без запаздывания типа можно заменить эквивалентной ему системой уравнений акустики [7]. Однако в случае уравнений с запаздыванием такая замена не будет эквивалентной. Поэтому в данной главе рассматривается система уравнений акустики как самостоятельный объект, без привязки к уравнениям гиперболического типа.
функционал, определенный на [to, Т] х [0, X] х R х Q[, 0). Требуется найти функции Рассмотрим систему уравнений акустики с эффектом наследственности t) + f(x,t,u(x,t),ut(x,-)) (3.1.1) с граничными условиями u{0,t) = g1{t), u(X,t) = g2(t), w(0,t) = g3(t), w(X,t) = g4(t): t0 t T (3.1.2) и начальными условиями u{x,t) = ip!{x,t): O x X, to-r t to; w(x,t0) = tp2{x): 0 x X. (3.1.3) Здесь x, t - независимые переменные; u(x, t),w(x, t) - искомые функции; щ(х, ) = {u(x, t + S), s 0} - функция-предыстория искомой функции и к моменту t; т - величина запаздывания; /( , х, и, щ(х,)) - u(x,t), w(x,t), определенные в области t0 t Т, 0 х X, удовлетворяющие системе (3.1.1), граничным (3.1.2) и начальным условиям (3.1.3). Будем предполагать, что задача имеет единственное решение. 3.2 Разностный метод
Разобьем отрезок [О, X] на части с шагом h = X/N, где N - некоторое целое число. Введем точки Xi = ih, i = 0,l,...,N. Разобьем отрезок [t0, Т] на части с шагом A, tj = t0 +jA, j = -m,...,M. Обозначим приближение точного решения системы u{xi,tj) = {u{xi,tj),w{xi + h/2,tj)) через и) = (u),w)) . чи (Ц)2 + Ю2- (3.2.1)
Для системы уравнений акустики без запаздывания можно построить метод, имеющий порядок Л,2+Д2 [7, с. 430]. Для построения аналогичного метода для систем уравнений акустики с последействием потребуется вычислять / в полуцелых узлах по переменной х. Это требование приводит к необходимости расширения понятия оператора интерполяции-экстраполяции.
Оператором двойной интерполяции-экстраполяции дискретной предыстории назовем отображение: /: ({м?Ь,К+1Ь) - +1/20 Є Q[-r,A].
Будем говорить, что оператор двойной интерполяции-экстраполяции имеет порядок hPl + ДР2 на точном решении, если существуют константы С\ и С 2, такие, что для всех г = 0,... , N, j = 0,... , М и t Є [tj - г, tj+1] выполняется неравенство K+1/2(t) - и(хг + h/2,t)\ СА max и +1 - u{xi+1,ti)\ + + max \ui-u(xt,ti)\) +C2(hPl+Ap2). Для двух дискретных предысторий Kb = {ul- j -m l j}, Wi+l}j = K+1 j -m l j] определим средние точки wj+1 + u\ К+1/2Ь = " + U%l:j - m I j . (3.2.2) Проведем через эти точки кусочно-линейную интерполяцию +1/2(С) = jr{{ti - tj - Ои Т + {tj + Є - іг-іК+1/2), (3.2.3) іг_і tj+ ti, -т 0 с экстраполяцией продолжением v?1/2() = д ((-С)ИІ-1/2 + (А + Ц+1/2) tj tj+C tj+1, С 0. (3.2.4)
Теорема 9. Предположим, что точное решение задачи (3.1.1) имеет непрерывные производные вплоть до второго порядка включительно, тогда оператор двойной интерполяции-экстраполяции I со значениями (3.2.3)-(3.2.4) имеет порядок Ь2 + А2. Доказательство. Зафиксируем момент времени t Є [ti-i,ti], j-m+l l j. Тогда K+1/2(t) - и(хг + h/2,t)\ \v\+l/2(t) - rfr 1,2{t)\ + \rfr 1,2{t) - и(хг + h/2,t)\, (3.2.5) где #1/2W = д ft К-11/2 + д ( - ь)(»І+1/2), (3.2.6) f 1/2( ) = д( 1 - K-11/2 + д ( - 0( 1/2 i+i/2 Цжі+Ьіг)+Цж , г) i+i/2 и(жі+ьіг_і)+и(жі,іг_і) = -i = 2 -1 2 Оценим первое слагаемое в правой части неравенства (3.2.5), используя (3.2.3) и (3.2.6) K+1/2W - #1/2WI І д( і - t){ui+-\ 2 - v T) + д(і - ii-i)K+1/2 - +1/2)І Імг_і г-і І + \иі vi І и \ + м «!_! И(ж4+1, г_1)+и(ж4, г_1) l l+lu U(xi+1,ti) + и(Жі,іг) 2 2 - (К+ї - и(жі+ьіг_і) + мІ_! - u{xi,ti-!)\ + К+1 - u{xi+1,ti)\ + К - и(жі,іг)І) max{\u{-u(xi+1,tl-1)\Au?1-u(xi+1M} + Оценим второе слагаемое в правой части неравенства (3.2.5) \ q)+l/2it) - и(хг + h/2,t)\ \ q)+l/2if) - (ж + h/2,t)\ + \((хг + h/2,t) - и(хг + h/2,t)\, (3.2.7) где С(хг + /i/2,t) = jr(U - t)u{xi + Л./2, г-і) + (t - г)и(ж4 + h/2,tl). (3.2.8) С учетом (3.2.6) и (3.2.8) получаем следующую оценку Ї+1/2 +1/2 /7Г ( )-C( + V2,t) (tz)! -и(Жі + /і/2,іг-і) + д(і-іг-і)к;+1/ -и( + /1/2, г)1 К_і - м(ж + h/2,ti_1)\ + z/;+i/z - и{хг + /і/2, г)І 1 2 l л „( „„ ,)+«,( „ ,) _ = і 2 v / , ч\ v ; ( ) так как по формуле Тейлора и(ж +ъ г) = м(жг + /г/2, ti) + (хг + h/2, ti) + 0(h 2 ) о 2 9ж u{xi,ti) = и(хг + h/2,ti) - (хг + h/2,U) + 0(/i2 ). Для второго слагаемого в правой части неравенства (3.2.7) справедливо \((хг + h/2, t) - и(хг + h/2, t)I = 0(A2). В результате получаем i+1/2 \rff 1/2(t) - и(хг + h/2,t)\ C2(h2 + А2). Из (3.2.9) и (3.2.10) следует, что для t Є [tj — r,tj] справедлива оценка (t)-u(xt + h/2,t)\ Cl( max \и]+1 - u(xi+1,U)\ + + max \ui-u(xt,ti)\) +C2(hpl+AP2). (3.2.10) П Случай t Є [tj,tj + А] рассматривается аналогично. Теорема 10. Оператор двойной интерполяции-экстраполяции I со значениями (3.2.3)-(3.2.4) липшицев. І+1/2 І+1/2 Доказательство. Пусть заданы две предыстории {и}+
Порядок невязки
Оператор интерполяции-экстраполяции (3.2.3) — (3.2.4) липшицев в смысле определения (1.3.9), так как в силу теоремы 10 sup \v1(t)-v2(t)\ LI max \u) - v]\2 + uf+1 - uj+1\2 max IK1 - 7,2r, tj-r ,t ,tj+A j-m Kj j-m Kj" где v\-) = /({7г1},-), v2(-) = I(bf}3). Определение невязки в общей разностной схеме (1.3.15) отличается от введенного ранее определения невязки без интерполяции (3.3.2). Однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 12. Пусть невязка в смысле (3.3.2) имеет порядок AP1 + hP2, функции Fj лип-шицевы, оператор двойной интерполяции-экстраполяции I имеет порядок погрешности ДРЗ + / 4 на точном решении, о- = h/A зафиксировано. Тогда невязка с интерполяцией в смысле (1.3.15) имеет порядок Д } + h n{P2,P4} Доказательство. Рассмотрим норму невязки (1.3.15): ІКНг = IIOwi - Szn)/A - Ф( п,/({ }" J)r = n+1 _ (Zra _ AB lAzn))/A - B-lF3{I{{Zl}n)) zn Zn+\ +B Azn-B-%(I(iZl}n) \\B ІІГ В Zn+1 -Zn+Azn-F,(I({Zl}n) По определению оператора B (3.4.5) Zn+l - Zn A 2 Zn+1 - n A КІІг = І-1ІІг ІЯ_1Іг B i ( ± +AZn-Fi(/(Wn) = . + -A(zn+1 - zn) + Azn - Fj{I{{zi}n) + п+1 + )- (/(Ыга) Тогда по определению нормы в Г (3.4.2) Zn+1 Zn А ) + 1-A(zn+1 + zn)-F,(I({zl}n) N-l Е г=1 И (Жі,Іп+і)-гІ(Жі,Іп+і) 1 л , л л , л Д2 + —(-Ліи(жі_ь t„+i) + ЛіЛ2и(жі, tn+l) - A2u(xi+1,tn+1) Ліи(жі_ьіга) +ЛіЛ2и(жі,іга) -Л2и(жі+Ьіга)) - і «+1/2(-)) /г. Оценим каждое слагаемое под знаком суммы, используя предположения теоремы )-гГ(зч, га+і) гГ(жі,іп+і)-и л л л л + —(-Aiu(xi-i,tn+i) + AiA2u(xi,tn+i) - A2u(xi+i,tn+i) - Arfixi-utn) + ЛіЛ2гІ(жі,іга) - A2u(xt+1,tn)) - Fln{vn+l/2{-)) ± Fn(utn(xt, )) ІІСІЬ + ІК(И „(ЖІ,-)) - Fn{vn+l/2{-))\ d(Apl + hf) + LFK( , ) - +1/4-))\\Q Ci(AP1 + hP2) + LFC2(AP3 + /iP4). (3.4.8) В результате получаем N-l Kllr ЦЯ"1 Иг y"(Ci(APl + /iP2) + LFC2(AP3 + /iP4))2 h = WB- WKN - l)h(d(APl + hP2) + LFC2(AP3 + W4))2 (С(Атіп{рьРз} + hmin{p2 P4}))2 гдеС= HB- lrCv (Ci + C2)). Таким образом, справедлива оценка Ып\\г C(Amin{pi m} + hmin{m m}) П Исследуем устойчивость схемы (3.4.7). По определению устойчивости в общей разностной схеме необходимо, чтобы выполнялось условие (1.3.14): І№ і. Для исследования устойчивости схемы применим результаты работ [29,30]. Для этого рассмотрим однородные разностные схемы, соответствующие (3.4.4) и (3.4.6): ВЪ+1 Уз + АЪ = 0. (3.4.9) Ъ+i = вЪ- (3.4.10) Оператор А , сопряженный к оператору А, имеет вид и / о i Nr A 7j = [l j, [l j = \[l j, [l j, [l j ) , m = \{kiul l - (Лі + A2)u) + Л2Й+1): 1 г N - 1, $ = (0, 0) , juf = (0, 0) , (3.4.11) h J J Оператор А кососимметричный, то есть A = -A. В [29, с. 351] доказано, что если А - кососимметричный оператор, то для решения уравнения (3.4.9) выполнена оценка І7п+іг ІІТпІІг- (3.4.12) Следовательно, для (3.4.10) выполняется ll-Sllr 1. Вложение в общую разностную схему с последействием проведено. Теперь, используя Теорему 2, получаем следующее утверждение.
Теорема 13. Пусть невязка без интерполяции (3.3.2) имеет порядок АР1 + ЬР, функции Fj липшицевы, оператор двойной интерполяции-экстраполяции I липшицев и имеет порядок погрешности АРз + hPA на точном решении, стартовые значения имеют порядок AP5 + hP6, а = h/A зафиксировано, тогда метод (3.2.11) сходится с порядком Д ІРЬРЗ.РБ} + flmm{p2,P4,Pe} .
Опираясь на теорему 11, получаем следующее следствие. Следствие 3. Если для точного решения задачи (3.1.1) существуют и непрерывны все частные производные вплоть до 3-го порядка включительно, F] определяется соотношением (3.3.3), применяется оператор двойной интерполяции-экстраполяции со значениями (3.2.3) - (3.2.4), о = h/A зафиксировано, тогда метод (3.2.11) сходится с порядком h2 + A2.
Пример 7. Рассмотрим систему уравнений с постоянным запаздыванием: at ox Vе і): (К і 2, О ж І (3.5.13) при г = 0.5 с начальными условиями и(х,г) = ех- : -r t O, О ж І w(x,0) = -ex + l: О х 1 и граничными условиями и(0,і) = е-\ u{l,t) = e1;w{0,t) = 0, W(l,t) = -e1- + e- : 0 і 2. Уравнение имеет точное решение и(х, t) = ех 1- w(x, t) = -ex l + є" . На рисунке 3.1 изображено приближенное решение этого уравнения, полученное методом (1.3.25), для которого Fj определяется соотношением (3.3.3), применяется оператор двойной интерполяции-экстраполяции со значениями (3.2.3) — (3.2.4), число точек разбиения по х равно 40, по t равно 160. На рисунках 3.2 и 3.3 приведена разность между точным и приближенным решением при разных соотношениях шагов.