Алгоритмы численного решения жестких дифференциально-алгебраических уравнений Соловарова Любовь Степановна

Содержание к диссертации

Введение

1 Свойства дифференциально-алгебраических уравнений 14

1.1 Прикладные задачи, описывемые дифференциально-алгебраическими уравнениями 15

1.2 Матричные пучки 21

1.3 Линейные дифференциально-алгебраические уравнения и их свойства 26

1.4 Выводы 38

2 Разностные схемы для дифференциально алгебраических уравнений 39

2.1 Разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений 40

2.2 Особенности численного решения дифференциально-алгебраических уравнений 45

2.3 О потере L-устойчивости неявного метода Эйлера для одной линейной задачи 50

2.4 Одношаговые методы первого и второго порядков 55

2.5 Блочные методы 69

2.6 Свойства саморегуляризации одношаговых схем 77

2.7 Выводы 81

Коллокационно-вариационные подходы для дифференциально-алгебраических уравнений 82

3.1 Общая схема построения коллокационно-вариационного подхода 83

3.2 Метод коллокационно-вариационных сплайнов 85

3.3 Коллокационно-вариационные разностные схемы для линейных задач 95

3.4 Выводы 107

Заключение 108

Список литературы

• Матричные пучки
• Линейные дифференциально-алгебраические уравнения и их свойства
• О потере L-устойчивости неявного метода Эйлера для одной линейной задачи
• Метод коллокационно-вариационных сплайнов

Введение к работе

Актуальность построения численных методов решения

дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) обусловлена их большой практической значимостью. Ряд прикладных задач химической кинетики, внутренней баллистики, теории гидравлических и электричекий цепей и других областей описывается взаимосвязанными обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), содержащими как быстро, так и медленно меняющиеся компоненты (так называемые жесткие ОДУ), и алгебраическими соотношениями. Если эти уравнения объединить в одну систему, получим систему ОДУ с тождественно вырожденной матрицей перед производной. Такие уравнения принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Общий вид таких задач

A[t)x (t) = j(x(t),t), t Є [0,1J, (1)

где A{t) - матрица неполного ранга \/t Є [0,1]. Часто для ДАУ задают начальное условие

х(0) = хо, (2)

которое, в отличие от систем ОДУ, разрешенных относительно производной, должно быть согласовано с правой частью (1).

Основное внимание в диссертации уделено линейному случаю (1)

A[t)x (t) + B{t)x[t) = j(t), t Є [0,1J, (3)

где A{t) и B(t) - (n x п)-матрицы с достаточно гладкими элементами, f(t) -известная, x(t) - искомая вектор-функции.

Характеристикой сложности таких уравнений является понятие индекса, которое имеет несколько определений. Приведем одно из них.

Определение 1¹. Если г - наименьшее число дифференцирований

/ d і

A(t)x it) — j(x(t),t) = 0, — (A(t)x (t) — j(x(t),t)) = 0, ...,

d^r '

—(A(t)x (t) — j(x(t), tj) = 0, dt^r

необходимых для того, чтобы из системы (1) путем неособенных преобра-

зований выделить х \t), то г называют индексом ДАУ (1).

Развитие теории численного решения ДАУ началось в середине 70-х годов прошлого века, и к настоящему времени библиография по этой тематике насчитывает свыше двадцати монографий и тысячи статей. Первой работой, где, используя каноническую форму матричных пучков, выписано общее решение линейных ДАУ с постоянными матричными коэффициентами, является монография Ф.Р. Гантмахера². В 1971 году вышла статья C.W.Gear³, где для численного решения некоторого класса таких задач был предложен метод, основанный на формуле дифференцирования назад. В нашей стране первой работой по этой тематике была статья Ю.Е. Бояринцева и В.М. Кор-сукова⁴, в которой в деталях был рассмотрен неявный метод Эйлера для линейных ДАУ с постоянными матрицами.

В дальнейшем были опубликованы многочисленные статьи, объединенные общей идеей применения для ДАУ ряда классических неявных схем (методов Рунге-Кутта, Розенброка и многошаговых разностных схем), разработанных для ОДУ в нормальной форме. В этом направлении работало достаточно большое число авторов: R. Marz, М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков, Ch. Lubich, E. Hairer, G. Wanner, Г.Ю. Куликов, А.Б. Альшин и многие другие. При этом на ДАУ приходится накладывать весьма жесткие ограничения: исходное ДАУ должно иметь индекс не выше единицы, быть линейным с постоянными ко-

¹Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи/Э. Хайрер, Г. Ваннер. - Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 685 с, ил.

²Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц /Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1986. - 576с.

³Gear, C.W. The simultaneous numerical solution of differential-algebraic equations/C.W. Gear // IEEE Transctions on Circuit Theory. - 1971. - V.18. - Pp.89-95.

⁴Бояринцев, Ю.Е. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений /Ю. Е. Бояринцев, В. М. Корсуков// Вопр. прикладной математики. -Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. - С. 140-152.

эффициентами, иметь форму Хессенберга и т.д. К тому же недавно были построены простые линейные примеры жестких ДАУ индекса один (R. Marz, P. Kunkel и V. Mehrmann), для которых ряд неявных L-устойчивых разностных схем требовал существенного ограничения на шаг интегрирования.

В 80-х годах В.Ф. Чистяков и S. Campbell (США) независимо друг от друга предложили присоединять к имеющемуся ДАУ r его производных, где r – индекс исходного ДАУ. Далее, используя элементарные преобразования, из полученной таким образом системы выделяют систему ОДУ первого порядка, разрешенную относительно производной. Такой подход достаточно неплохо себя зарекомендовал, однако он приводит к увеличению размерности полученной задачи в r раз и необходимости дифференцировать r раз все входные данные, хотя для исследования необходимы лишь часть производных или их линейная комбинация.

Другим направлением исследований, получившим развитие в работах Ю.Е. Бояринцева и немецких исследователей (R. Marz, V. Mehrmann, P. Kunkel, E. Griepentrog и др.), является привлечение теории различных проекторов и обобщенных обратных матриц. Такой подход весьма сложен при практической реализации, так как при этом приходится вычислять цепочки полуобратных матриц, что является весьма непростой в силу численной неустойчивости задачей, и пригоден для очень узкого класса задач.

Вопросами теории и численными методами решения ДАУ занимались и другие группы исследователей. Работы А.А. Абрамова посвящены спектральному подходу. Е.Б. Кузнецов и В.И. Шалашилин⁵ предложили метод продолжения решения по параметру. В.К. Горбуновым и его учениками разработан метод нормальных сплайнов. Важные прикладные задачи, которые включают ДАУ, приведены в работах В.Б. Михайлова, H.G. Bock и других авторов.

ДАУ относятся к классу некорректных задач. Тематика методов регуляризации для рассматриваемых в диссертации задач представлена немногочисленными публикациями, среди которых отметим работы М.В. Булатова и В.Ф. Чистякова.

⁵Шалашилин, В.И. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике /В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов – М.: Эдиториал УРСС, 1999.– 222 с.

Что касается теории разностных схем для жестких ОДУ (начальная задача), большой вклад в нее внесли В.В. Бобков, В.И. Лебедев, Н.Н. Калиткин (СССР), J. Butcher (Новая Зеландия), G. Dahlquist (Швеция), C.W. Gear (США) и др. Достаточно полная библиография, многочисленные приложения, вопросы программной реализации и подходы по различным аспектам данной тематики приведены в монографиях Z. Jackiewicz (США), G. Hall, J. Watt (Великобритания), Ю.В. Ракитского, С.М. Устинова, И.Г. Черноруц-кого, K. Dekker, J.G. Verwer (Нидерланды), E. Hairer, G.Wanner (Швейцария), О.Б. Арушаняна. Применение классических явных методов для таких задач требует весьма существенного ограничения на шаг интегрирования. Относительно недавно началась разработка специализированных явных методов, которые обладают большей областью устойчивости, чем классические (В.И. Лебедев, В.В. Бобков, Е.А. Новиков, Л.М. Скворцов).

Целью диссертационной работы является построение, исследование и обоснование численных методов для ДАУ (начальная задача) индекса не выше двух, содержащих жесткие компоненты.

Задачи, которые нужно было решить для достижения указанной цели.

1. Проанализировать и обосновать одношаговые разностные схемы первого и второго порядков для ДАУ индекса один и два.

2. Показать, что предложенные одношаговые схемы обладают свойством саморегуляризации.

3. Предложить и обосновать варианты блочных методов решения ДАУ на основе иной записи исходной задачи.

4. Предложить алгоритмы коллокационно-вариационного подхода.

Научная новизна. Выделен класс ДАУ, для которого созданы и обоснованы блочные методы. Доказано, что одношаговая разностная схема первого порядка, являющаяся частным случаем блочных методов, обладает свойством саморегуляризации. Предложены и в ряде случаев обоснованы варианты коллокационно-вариационного подхода к численному решению ДАУ: создан метод коллокационно-вариационных сплайнов для нелинейных ДАУ, созданы и обоснованы коллокационно-вариационные разностные схемы для линейных ДАУ.

Теоретическая и практическая ценность. Для ДАУ индекса не выше двух предложены и в ряде случаев обоснованы эффективные подходы к их численному решению. Разработанные в диссертации методы могут быть использованы для численного решения задач из различных прикладных областей, например, химической кинетики, механики, моделирования сложных теплоэнергетических установок.

Методологической основой исследования являются основные результаты из теории разностных схем, теории матричных пучков, качественной теории ОДУ и теории некорректных задач.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 - «Вычислительная математика».

5. Для ДАУ индекса не выше двух обоснованы одношаговые разностные схемы первого и второго порядков. Показано, что одношаговый метод первого порядка обладает свойством саморегуляризации. Получена асимптотическая оценка зависимости шага дискретизации от уровня возмущения правой части.

6. На основе иной записи исходной задачи предложены и обоснованы блочные методы высокого порядка. Сформулированы условия сходимости данных методов к точному решению и получена оценка скорости сходимости.

7. Предложен метод коллокационно-вариационных сплайнов для нелинейных ДАУ, предложены и обоснованы коллокационно-вариационные разностные схемы для численного решения начальной задачи для линейных ДАУ.

Степень достоверности полученных результатов. Научные положения, сформулированные в диссертации, согласуются с ранее полученными результатами для линейных ДАУ с постоянными коэффициентами (Ю.Е. Бо-яринцев, K.E. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold, В.Ф. Чистяков) и подтверждаются аналитическими выкладками. Достоверность численных расчетов подтверждается тем, что они осуществлены для ряда тестовых примеров с известным точным решением. Использованы результаты, полученные ранее другими авторами и отмеченные ссылками в диссертации. Также достоверность полученных результатов обусловлена обсуждениями на научных конференциях и семинарах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международных конференциях «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ »(Саранск, 1-13 июля 2011 г.), «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 12-16 июня 2012 г.), «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 25 июня-1 июля 2012 г., 20-25 июня 2016 г.), «Математическое моделирование, вычислительно-информационные технологии и управление» (Монголия, 17-21 июня 2011 г., 25 июня-1 июля 2013 г.), Scientific Computation and Differential Equations (Valladolid, Spain, September, 16-20, 2013), 6th International Conference on High Performance Scientific Computing (Hanoi, Vietnam, March, 16-20, 2015); на Международном научном семинаре по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 19-21 ноября 2015 г.), Международных семинарах «New Approaches in Analysis and Numerical Solution of Differential and Integral Equations» (Иркутск - Ханой, 2010-2014 гг.), семинарах в ИСЭМ СО РАН (рук. А.С. Апарцин), МАИ (рук. Е.Б. Кузнецов), МГТУ им. Баумана (рук. Л.М. Скворцов), ВЦ РАН (рук. В.В. Дикусар), ИГУ (рук. НА. Сидоров).

Диссертационная работа была выполнена при поддержке грантов РФФИ 10–01–00571–а, 11–01–00639-а, 11-01-93005-Вьет-а, 13-01-93002-Вьет-а, 15-01-03228–a, 16-31-00219-мол-а.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, среди которых 6 статей, в том числе 4 работы в журналах, рекомендованных ВАК РФ [1-4].

В совместной статье [1] постановка задачи принадлежит соавторам, а в работах [2-4] - научному руководителю. В публикации [3] Н.П. Рахвалову принадлежат результаты относительно ДАУ второго порядка. Результаты, выносимые на защиту, получены автором лично и не нарушают авторских прав других лиц.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 15 параграфов, заключения, списка литературы (108 наименований) и занимает 124 страницы текста.

Матричные пучки

Рассмотрим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений A[t)x (t) + B[t)x{t) = j(t),t Є [0,1J, (1.10) где A(t) и B(t) - (п х п)- матрицы с достаточно гладкими элементами, f(t) - известная, x(t) - искомая вектор-функции, компоненты которой как минимум являются непрерывно-дифференцируемыми функциями. Если detA(t) ф (Nt Є [0,1], то исходную систему можно переписать в нормальной форме Xi(t) = —A l(t)B(t) + A l(t)f(t), t Є [0,1]. В этом случае для выделения единственного решения достаточно задать начальное условие х(0) = Хо- (1.11)

Если матрица A(t) вырождается в некоторых точках заданного отрезка, то в этом случае мы будем иметь систему ОДУ с сингулярными точками, через которые может проходить несколько решений или решений(в классе непрерывно-дифференцируемых функций) не существует.

В некоторых случаях для выделения единственного решения условия (1.11) не требуется. Например, ОДУ tx + х = \tx) = 0, Є [0,1] (1.12) имеет только тривиальное решение.Похожее на предыдущее уравнение tx — х = 0, х(0) = 0, (1.13) имеет множество решений х = ct, где с - произвольное число. Настоящая работа посвящена системам (1.10) с условием detA(t) = 0 Vt Є [0,1]. (1.14) Такие задачи принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). В середине 70-х, начале 80-х гг. прошлого века системы (1.10) с условием (1.14) называли сингулярными ОДУ, неявными системами ОДУ и системами ОДУ, не разрешенными относительно производной. Бояринцев Ю.Е. использовал термин «алгебро-дифференциальные системы»(см., напр. [17]). В настоящее время название «дифференциально-алгебраические уравнения (differential-algebraic equations) «стало общепринятым после введения AMS (American Mathematical Society) кода 65L80 для таких систем.

В отличии от ОДУ для ДАУ начальные условия (1.11) нельзя задавать произвольным образом - они должны быть согласованы с правой частью (1.10). Т.к. в случае ДАУ матрица при старшей производной предполагается вырожденной, для разрешимости таких уравнений в классе непрерывных функций в задаче Коши требуется согласовывать начальные условия определенным образом, накладывая дополнительные жесткие условия на уравнение. В явной форме для широких классов вырожденных уравнений, включающих ДАУ, эти условия выписаны в монографии [58]. В работе Сидорова Н.А. и Фалалее-ва М.В. [59] впервые было показано, что при расширении класса искомых решений до обобщенных функций с сингулярной составляющей с точечным носителем от этих жестких ограничений можно избавиться. Эти ограничения становятся излишними при постановке неклассических начальных условий, например, условий типа Шовалтера-Сидорова (см. обзор [57]).

В дальнейшем изложении будем предполагать, что начальные условия являются согласованными, т.е. задача (1.10), (1.11) имеет решение, о единственности которого речь пойдет ниже. Сразу оговоримся, что под решением поставленной задачи будем понимать любую гладкую вектор-функцию, которая обращает (1.10) в тождество и удолетворяет начальному условию (1.11). Известно [37], [70], что система ОДУ вида х + C(t)x = g{t),t є [0,1J с непрерывными матрицей C(t) и вектор-функцией g(t) имеет общее решения типа Коши t x(t, с) = Ф()с+ / Ko(t, r)g(r)dr, (1.15) о где Ф() - гладкая, Ko(t, т) - непрерывные матрицы, с - произвольный вектор из W1 и гапкФ{Ь) = п = const Vt Є [0,1]. Проиллюстрируем одно из принципиальных отличий ДАУ от ОДУ на достаточно простом примере [11] Ах + х = j(t), t Є [0,1], (1.16) где А - постоянная нильпотентная матрица с индексом нильпотентности г (т.е. Ат 1 = 0, но Ат = 0 - нулевая матрица). Из (1.16) имеем х = f(t) — Ах . Дифференцируя это равенство х = j[t) — Ах и подставляя его в (1.16), получим .О/// —Ах + Aj + х = /, (1.17) или О // An1 х = j + А х — A j . Дифференцируя это равенство и подставляя в (1.16), получим Aj —Aj +Ах +x = j{t). Продолжая этот процесс и учитывая, что Аг = О, получим x = f-Af + A2f" + ... + (-l)r-lAr-1fr-1\ (1.18) Таким образом, решение системы (1.16) единственное, не зависящее от начальных данных (1.11) и содержит производные, а точнее линейные комбинации производных правой части (1.16) вплоть до (г — 1) - го порядка.

Линейные дифференциально-алгебраические уравнения и их свойства

Таким образом, данный метод будет устойчив тогда и только тогда, когда выполнено весьма жесткое ограничение на шаг интегрирования 1 + ha\ 1 + h(3\. Приведем еще один пример. где а и Л - скалярные параметры. Точное решение данного примера u(t) = (1 + at)exp(Xt), v(t) = exp(Xt). При Л 0 задача жесткая. Опуская несложные выкладки, получим, что неявный метод Эйлера для данного случая дает рекуррентное соотношение

В работе [97] показано, что ряд неявных методов Рунге-Кутта (РК) для данного примера также неэффективен: для устойчивости требуется достаточно малый шаг интегрирования.

Рассмотрим также неявные методы Адамса (см., напр. [68]) для решения ДАУ. Для простоты изложения ограничимся двушаговым методом

Из второго уравнения получаем v = v 2 или j {bVi+i + oVi — Vi-i) = у I. Относительно погрешности Vj — v{tj) = j получаем следующее: — І5ЄІ+І + 8ЄІ — є І-\) = 0. 12

Корнями характеристического уравнения 5Л2 + 8Л — 1 = 0 являются Лі 0.12, А2 —1.72, т.е. Sj = Cl\\ + C2XJ2, и этот метод будет неустойчив.

Покажем еще одно принципиальное отличие численного решения ДАУ от численного решения ОДУ в нормальной форме. Для некоторых ДАУ можно применять разностные схемы, являющиеся неустойчивыми для ОДУ, т.е. корни характеристического уравнения (2.8) могут быть больше единицы. Для иллюстрации этого факта рассмотрим конкретный пример. Пример 2.2.4 Oil, / (pit) I х + х = І І = fit),t Є [0,1], 0 0/ \ Фі к) Данное ДАУ имеет индекса два и единственное не зависящее от начальных данных решение х = ypit) —гр [t),ip{t)) . Для численного решения этого примера применим двушаговый метод первого порядка AipoXi+i + р\Хі + р2Хі-і) + hxi+i = hfi+\. (2.14) Условия на коэффициенты [68, стр.336] первого порядка А) + Pi + 92 = О 2ро + р\ = 1 Полагая р2 = р, имеем р\ = - (1 + 2р), ро = 1 + р. В этом случае характери-чтическое уравнение (2.8) имеет вид (1 + р)р - (1 + 2р)р + р = О, корни которого ют = 1, юо = тт-. Таким образом, при р Є (-оо,-о), о 1, схема (2.7) будет неустойчивой. Однако схема (2.14) для примера 2.2.4 дает следующее: / (Pi+l - (РоФі+1 + РіФі + P2 i-l)/h \ Хг+1 = (2.15) ті+1 J при і 2, т.е. данные схемы сходятся к точному решению примера 2.2.4 с первым порядком. Если стартовые значения хо, Х\ взять произвольным образом, то соотношение (2.15) справедливо, начиная с г 4. В этом случае сходимость будет отсутствовать в точках 2, з и 4.

Замечание 2.2.1 Данный эффект получил название «пограничный слой ошибок». Детали этого явления проанализированы в [llj, [16J, [40].

В заключении данного параграфа приведем общий вид s-стадийных методов РК, заданных таблицей Батчера (2.4) для задачи (1.10):

Как отмечалось выше, многие разностные схемы для ДАУ индекса два либо принципиально неприменимы, либо неустойчивы. Этот факт позволил построить пример линейного жесткого ОДУ размерности 2. Основой для этого примера послужил пример 1.3.2 [73], который уже упоминался в параграфе 1.3: t \ І и (t) \ I 0 a \ I u{t) t Є [0,1], где а - скалярный параметр, аф\. Данное ДАУ имеет единственное решение индекса два, которое не зависит от начальных данных: u(t) = g(t) —tv, v(t) = (g (t) — q(t))/(l — a).

Проанализируем поведение неявного метода Эйлера для данного примера. Опуская несложные выкладки, получим, что

Итак, при \а\ 1 данный метод неустойчив, а при а = 0 принципиально неприменим в силу того, что матрица Ai+\ + hBi+\ тождественно вырожденна. Расcмотрим однородную ДАУ, похожую на пример 1.3.2, с параметром /3, О [3 « 1 1 t \ ( и (t) \ /0 а \ I u{t) \ / 0 і II I I II I = I I [0 !] (2.17) О О I \ v (t) І 1 1 І + /3 1 1 v(t) I \ О Данная задача имеет индекс один, и ее общее решение u(t) = —{t + (3)v(t), v(t) = Сexp((a — l)t/(3), где С - произвольное число. Таким образом, при Q 1 и 0 /? « 1 получим жесткое ДАУ индекса один. Неявный метод Эйлера для данного примера дает следующие рекуррентные соотношения: h — (3 ha — p Последнее соотношение будет устойчиво, если \(h — [3)/(ha — (3)\ 1, т.е. в этом случае мы получим ограничение на шаг h Є (0; 2/3/(1 + а)).

Отметим, что первый пример жесткого ДАУ индекса один, для которого неявная схема Эйлера требовала ограничения на шаг интегрирования, приведен в [104]. Данное явление проанализировано в статье [74].

О потере L-устойчивости неявного метода Эйлера для одной линейной задачи

В данной главе рассмотрен коллокационно-вариационные подход, суть которого заключается в том, что приближенное решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций. Векторные коэффициенты находятся из условий коллокаций, число которых меньше числа базисных функций, и условия минимума строго выпуклой функции, зависящей от этих векторных коэффициентов. Таким образом, данный подход сводится к решению задачи математического программирования.

На рассматриваемом отрезке интегрирования задачи (1.10)-(1.11) зададим сетку Ап : 0 = to t\ ... /v-i tjy = 1 и на каждом отрезке [tk-iAk] зададим р + 1 линейно независимых достаточно гладких функций (pok{t),(fiik{t), pPk{t). (3.1) Приближенное решение рассматриваемой задачи на отрезке [tk-iAk] будем находить в виде линейной комбинации р x{t) Pk(t) = / Cj(Pjk(t), t Є [tk-l,tk], з=о где скл - n-мерные векторы. На Pk (t) наложим условие гладкости в узлах k \Ч = Рк-\-1\Ч-і Н) 2і WV-1, (3.2) где q = 0,l,...,g р. Потребуем, чтобы в P\{t) удовлетворял начальному условию, т.е. р РЇ(0) = САФІАО) = а. 3=0 Далее зададим на каждом отрезке [tk-i,tk] подсетку tk-\ tkx tk2 tki tk, причем / p — q. Пусть в узлах подсетки выполняется условие кол-локации, т.е. A(t)P k{t) + B(t)Pk(t) = f{t), t = tk1,tk2i tkr (3.3) Данные условия обеспечивают при подходящем выборе узлов подсетки аппроксимацию исходной задачи.

Алгоритм (3.3) с условие (3.2) дает пі уравнений и q + 1 соотношений для n-мерных векторов с , j = 0,1,...,_р, к = 1,2, ...,7V. При I р — q имеем переопределенную СЛАУ (3.3), а при I = р — q классический коллокационный метод.

Замечание 3.1.1 Некоторые одношаговые разностные схемы можно трактовать как коллокационные методы. Рассмотрим, например, явный, неявный метод Эйлера и метод трапеции. В этих случаях базисными функциями являются 1 и (t — tk-\), в формуле (3.2) q = 0, а точка коллокации в формуле (3.3) равна tk-\, tk и tk-\ + \{tk — tk-i), соответственно. Как уже было подчеркнуто, данные схемы могут быть нестойчивыми для рассматриваемых задач.

Потребуем, чтобы число условий коллокации было меньше р — q. В этом случае соотношения (3.2) и (3.3) дают недоопределенную СЛАУ относительно искомых n-мерных векторов скл. Данные соотношения дополим условием минимума некоторой целевой функции Ф(сд, Сі,..., Ср), соответствующей «нор-ме»решения. В итоге будем иметь задачу математического программирования Ф(с0, с1?..., с ) — тіп (3.4) с ограничениями типа равенств A(tk )Pl{th ) + B(tb )Pk{th )= f(th ), та = 1, 2,...,/. (3.5) Алгоритм (3.4), (3.5) представляет собой общую схему построения коллокационно-вариационного подхода, свойства которого зависят от выбора координатных функций (3.1), целевой функции (3.4), числа и расположения точек коллокации. Конкретный выбор данных факторов приведен в следующих параграфах.

В качестве координатных функций рассмотрим сплайны, известное определение которых дано ниже. Определение 3.2.1 [65] Функцию SPi7l(t) на отрезке [o5/v+i] будем называть сплайном порядка {р п), если: 1)она т — 1 раз непрерывно дифференцируема и 2) существует разбиение to t\ ... tjy t +\ отрезка [o,/v+i] на fi n частей такое, что на каждом отрезке [tk tk+i], к = 0,1, ...,п, совпадает с некоторым многочленом степени не выше р. Точки ti называют узлами сплайна SPyTl. Приближенное решение x(t) задачи (1.10), (1.11) будем искать на отрезке [tk-i,tk] в виде вектор-полинома степени р (сплайна) по аналогии с [18]: р X(t) Ok[t) = у Cj (t — tk-l) і к = 1, . . . , iV, t Є \tk-li tk\i (3.6) 3=0 где ск- = (CQ, СІ, ..., с )т, CQ = (CQ, С}, ..., с )т = жо, j = О,... ,р, к = 1,..., N. В силу непрерывности (q = 0 в формуле (3.3)) вектор-сплайна имеем с0 = У CjhJ, (3.7) 3=0 а из начальных условий вытекает, что с0 = Жо- (3.8) качестве целевой функции (3.4) предлагается выбирать \\ok\\ . Определим норму векторного сплайна так, чтобы она была дифференцируема по совокупности аргументов и ее можно было достаточно просто вычислять.

Приведем варианты выбора целевой функции (3.4) и легко вычисляемой дифференцируемой нормы векторого сплайна. Под квадратом нормы п-мерной вектор-функции g(t) = (g\{t),g2{t),...,gn{t)), t Є [tk-i,tk], понимается норма в пространстве Соболева Wf (см. напр., [47]), т.е.

Здесь (.,.) - скалярное произведение. Например, для параболического сплайна формула (3.9) имеет вид: 5&() = /I((CQ, С0) + (cl5 с + 4 (с2-, с2))+ (3.10) h ((c0, Сі )) + 2 (ci, c2 )) H ((ci, Ci ) + 2 (c0 , c2 ) +4 (c2, c2 ))+ h , k LX h , k LX H (Ci, c2) H (Co, Co). 2 5 Приведем конкретный алгоритм метода колокационно-вариационных сплайнов (КВС). Для параболического сплайна точка коллокации t = tk. На каждом шаге интегрирования коэффициенты вектор-сплайна находят из решения следующей задачи квадратичного программирования (КП): II г» іJ-\ 12 ofc(j — mm при ограничениях A(tk+i) (ci + 2c2/i) (с1 + 2с2/г) = f(tk+i), где 5&() находят по формуле (3.10). Рассмотрим более детально целевую функцию (3.10) (норму вектор-сплайна). В силу того, что постоянный множитель и слагаемое (CQ,CQ (см. формулу (3.8)) не влияют на поиск аргумента условного минимума, получим более простую целевую функцию

Метод коллокационно-вариационных сплайнов

В третьей главе предложен и в ряде случаев обоснованы алгоритмы коллокационно-вариационного подхода к численному решению начальной задачи для ДАУ. Детально рассмотрены параболические и кубические непрерывные сплайны и разностные схемы первого и второго порядков. Для модельного уравнения Далквиста выписаны функции устойчивости, которые в некоторых случаях имеют принципиальное отличие от функций устойчивости ранее известных методов. Проведенные вычислительные эксперименты и анализ позволяют надеяться на перспективность дальнейших исследований.

В настоящей работе предложены и в ряде случаев обоснованы новые эффективные алгоритмы для численного решения начальной задачи жестких ДАУ.

Основными результатами диссертационной работы являются следующие положения.

1. Для ДАУ индекса не выше двух обоснованы одношаговые разностные схемы первого и второго порядков. Показано, что одношаговый метод первого порядка обладает свойством саморегуляризации. Получена асимптотическая оценка зависимости шага дискретизации от уровня возмущения правой части.

2. На основе иной записи исходной задачи предложены и обоснованы блочные методы высокого порядка. Сформулированы условия сходимости данных методов к точному решению и получена оценка скорости сходимости.

3. Предложены модификации коллокационно-вариационного подхода: предложены и обоснованы коллокационно-вариационные разностные схемы для численного решения начальной задачи для ДАУ высокого индекса, предложен метод коллокационно-вариационых сплайнов для нелинейных ДАУ.

Предложенные в диссертации методы для численного решения ДАУ обладают преимуществами по сравнению с ранее известными. Одношаговые и блочные разностные схемы применимы для более широкого класса задач, в частности, для задач с сингулярным матричным пучком. Кроме того, од-ношаговый метод первого порядка обладает свойством саморегуляризации. Коллокационно-вариационный подход не требует вычисления производных входных данных и проекторов на ядро матрицы A(t). Все предложенные методы отлично справляются с решением тестовых задач, для который ранее разработанные методы либо порождали неустойчивый процесс, либо требовали ограничения на шаг интегрирования, либо принципиально неприменимы.

Материалы диссертации могут быть использованы при написании магистерских диссертаций, курсовых и дипломных работ, а также при разработке спецкурсов для студентов математических и инженерных специальностей. Кроме того, результаты диссертационного исследования могут быть рекомендованы для применения в организациях, где возникает проблема численного решения ДАУ, описывающих задачи химической кинетики, механики, электронные схемы, гидро- и электроцепи.

Дальнейшие исследования планируется провести в следующих направлениях: развитие коллокационно-вариционного подхода (выбор целевых функций, точек коллокации, базисных функций и др.), построение и обоснование блочных разностных схем для квазилинейных ДАУ высокого индекса.q