Введение к работе
Актуальность темы.
В прикладных задачах часто возникает необходимость оценить распределение максимума случайного процесса пли поля, семейства случайных процессов или полей и их модулей непрерывности, а ташке максимума нормированной суммы случайных полей с экспоненциальными или степенными "хвостами" распределений.
В качестве примера можно указать вычисление таких основных показателей надёжности, как средняя наработка на отказ, параметр потока отказов, а ташке коэффициенты готовности и технического использовании. Все эти показатели представляют собой математические ожидания пекоторых случайных величин, параметры распределения которых, вообще говоря, зависят от времени и, кроме того, измеряются статистическими методами. Поэтому для расчёта вышеуказанных показателей надёжности необходимо вычислить интеграл, зависящий от многомерного параметра. Как правило, в таких случаях интегрирование проводится с помощью параметрического метода зависимых испытаний. При этом интеграл вычисляется в конечной сетке значений параметра, а в остальных точках его значение аппроксимируется тем или иным способом. Погрешность такой аппроксимации представляет собой случайное поле, вычисление распределения которого сводится к выводу распределения глобального ( пля локального ) модуля непрерывности.
Аналогичные проблемы возникают в пекоторых задачах диагностики ЯЭУ, теории шероховатости прверхпостей и других задачах, в процессе решепия которых
возникает необходимость оцепить распределения сумм сильно зависимых случай-
/ них полей, для чего нужно исследовать кратные стохастические интегралы Ито -
Випера. Вычисление асимптотик указанных интегралов сводится к задаче нахождения спектра некоторого интегрального оператора, решаемой с помощью методов Монте - Карло.
Далее, при обработке статистики отказов оборудования требуется оцепить функцию распределения случайной величины. При построении доверительного -интервала для такой оценки необходимо знать распределение максимума модуля нормированной разности эмпирической и истинной функций распределения. Кроме того, знание этого распределения нужно во многих задачах проверки статистических гипотез ( к примеру, в критериях согласия ). Меицгу тем, указанная разность представляет собой семейство случайных процессов ( или полей, если оцеппвается функция распределения случайного вектора ), зависящих от большого параметра - числа испытаний п, и, следовательно, даппая задача свелась к одной из упомянутых в начале этого раздела.
Можно также упомянуть часто встречающийся в теории надёжности показатель, обратный времени наработки па отказ, то есть случайной величине, имеющей Гамма - распределение или распределение Вейбулла, поэтому "хвост" её распределения имеет степенной порядок, а для оценки распределения нормированной суммы числа отказов, а также времени выхода какого-либо параметра работоспособности за пределы допустимой области, следует использовать центральную или даже устойчивую предельную теорему в функциональном пространстве, либо выводить неасимптотпческие оцешш распределепия равномерной нормы уклонения нормированной суммы. Подобные задачи нередко возникают в моделях процесса накопления повреждений и "параметр - поле допуска".
Указанные задачи решались в самых разных постановках многими авторами, одпако чаще всего ими рассматривались лишь некоторые частные случаи ( преладе всего, гауссовский и марковский процессы ). В тех же немпогих работах, где задачи ставились в общем виде, полученные результаты были относительно грубыми, то есть можно привести примеры конкретных процессов, для которых выведенные общие оценки не совпадали с известными для этих частных случаев точными оценками даже по порядку. Кроме того, це были доказаны устойчивые предельные
теоремы в пространстве непрерывных фупкций и в пространстве функций без разрывов второго рода, Наконец, отсутствовали неаспмптотические оценки распределения равномерной нормы уклоаепил нормироваппых сумм случайных процессов со степенными "хвостами" распределения.
Цель работы.
Целью диссертации является решение задач оценпвапия распределения максимума случайного процесса или поля, семейства случайных процессов или полей и их модулей непрерывности в достаточно общей постаповке, причём выводимые оценки в известных частных случаях должны совпадать с точпымн. Полученные результаты используются при выводе некоторых предельпых теорем для случайных процессов и полей в функциональных пространствах, а также в моделях процесса накопления повреждений и "параметр - поле допуска", при оцепиванип погрешности сплайн-аппроксимации интегралов, зависящих от параметра, и при вычислении доверительных граппд в методе зависимых испытаний для кратных параметрических интегралов в случае бесконечной дисперсии.
Научная новизна работы:
выведены асимптотики и оценки распределения локальных и глобальных изотропных и анизотропных модулей непрерывности произвольных (пегауссо-вскпх) случайных полей и максимумов параметрических семейств случайных полей с копечпымп энспонеппнальпыми моментами;
доказана центральная предельная теорема в пространствах Гёльдера G , устойчивая предельная теорема в пространстве пепрерывпых функций С и устойчивый принцип инвариантности в пространстве функций без разрывов второго рода D;
получены оценки погрешности аппроксимации широких классов случайных
полей и интегралов, зависящих от параметра, случайными обобщёнными линейными сплайнами;
предложен конструктивный алгоритм оценивания погрешности метода зави
симых испытаний для кратных параметрических интегралов с бесконечной
дисперсией.
Практическая значимость работы:
обобщены методы построения доверительных интервалов в задачах статистики и методой Монте-Карло для случаев многомерного параметра, а также для произвольных (пегауссовских) случайных полей;
описано использованпе выводимых оценок распределения функционалов от случайных полей в различных моделях теории надёжности;
получены оценки погрешности аппроксимации широких классов параметрических интегралов случайными обобщёнными линейными сплайнами;
предложен конструктивный алгоритм оценивания погрешности метода зависимых испытаний для кратных параметрических иптегралов с бесконечной дисперсией.
На защиту выносятся:
асимптотики и оценки распределения модулей пепреривиости случайных по
лей, максимумов семейств случайных полей, зависящих от параметра, и их
применение в методе Монте-Карло и статистике;
центральная предельная теорема в пространствах Гёльдера G0, устойчивая
предельная теорема в пространстве непрерывных функций С и устойчивый
принцип инвариантности в пространстве функций без разрывов второго рода D и их применение в моделях процесса накопления повреждений и "параметр - поле допуска" и других задачах теории надёжности;
сплайн-аппрокспмацня интегралов, зависящих от параметра;
оценка погрешности метода зависимых испытаний для кратных параметрических интегралов с бесконечной дисперсией и её применение в задачах диагностики ЯЭУ и теории шероховатости.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались:
на междупародпой конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарёва, Казань, 1994;
на международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П.Л.Чебишева, Москва, 1996;
па международной конференции "Теория и приложения методов малого параметра", посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова, Обнинск, 1996.
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 5 статей.
Структура и объём работы.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена па 121 странице, в том числе основного текста 95 страниц, 2 рисунка, библиографический список из 61 наименования па 8 страницах.