Введение к работе
Актуальность проблемы. Математическое моделирование является одним из наиболее мощных инструментов в научных исследованиях и служит концептуальной базой для решениия широкого круга задач прикладного характера. Эффективность результатов моделирования определяется, прежде всего, качеством вычислительных методов, алгоритмов и программного обеспечения. Этим можно объяснить то внимание, которое уделяется в настоящее время проведению теоретических исследований в данной области и их практической реализации.
Важность проблемы дифференцирования подсказана самой практической деятельностью человека. Общеизвестно, что редукция многих прикладных задач приводит к вычислению частных производных функций нескольких переменных. Не менее важен и тот факт, что знание производных необходимо при оценке погрешности округления в сложных математических расчетах. Остановимся кратко на основных методах дифференцирования и обозначим место предлагаемых исследований в кругу этих вопросов. На сегодняшний день существует три способа вычисления производных:
1. Разностное дифференцирование. Производная
аппроксимируется разностным уравнением. Основополагающий вклад в становление и развитие данного направления внесли Г.И.Марчук, А.А.Самарский, В.П.Ильин и др. Однако подобная аппроксимация зачастую приводит к существенным ошибкам или требует много компьютерного времени для достижения желаемой
точности.
2. Символьное дифференцирование. Производная находится
путем последовательного исключения независимых переменных.
Проблематикой символьного дифференцирования занимались
многие зарубежные ученые, среди которых, прежде всего, следует
отметить работы A.Gullam, G.Kedem. К сожалению, метод может
применяться лишь в том случае, если описание функции не
представляет собой сложное выражение. Для функций,
включающих разветвления или циклы, аппарат символьного
дифференцирования неприменим.
3. Компьютерное дифференцирование. В его основу положена
идея декомпозиции произвольной функции в последоваттельность
элементарных операций, которые вычисляются на компьютере.
В последние годы отечественными и зарубежными учеными (Ю.Г.Евтушенко, Г.М.Островским, В.И.Мазуриком, G.Corliss, L.Rall, A.Griewank и др.) разработаны методы и программное обеспечение, позволяющие автоматизировать процесс вычисления производных. Тем не менее, вопросы организации и техники дифференцирования до сих пор остаются важной исследовательской задачей, что обусловлено, в первую очередь, отсутствием конструктивного математического аппарата и эффективных численных алгоритмов.
В данной работе рассматриваются концепции универсального метода вычисления производных функций нескольких переменных на основе понятия дифференциального кортежа.
Диссертационная работа продолжает исследования, которые проводятся по данной тематике в Институте проблем машиностроения НАН Украины под руководством академика НАН
Украины ВЛ.Рвачева. Работа выполнялась в период с 1992 по 1996 г. в отделе прикладной математики и вычислительных методов как часть
государственной научно-технической программы ГКНТ
"Интеллектуальный инструментарий компьютерной технологии в
математической физике"
бюджетной темы ГФФИ "Создание новых методов совместного
сохранения и преобразования сложной аналитической и
геометрической информации в математическом и компьютерном
моделировании" (Д.Р. N0196U004543);
бюджетной темы НАН Украины "Высокоинтеллектуальные
системы программирования, ориентированные на использование
алгебраизованных структурных формул решения краевых задач".
Степень исследования материала. Исследуемое направление начало формироваться в 60-х годах нашего века. Краеугольным камнем в становлении проблемы можно считать работы академика В.Л.Рвачева, который одним из первых в нашей стране разработал метод автоматизации процесса вычисления производных при решении задач математической физики.
В работах его учеников и сподвижников В.И.Калиниченко,
Г.П.Манько, А.Н.Шевченко эта проблема получила дальнейшее
развитие. В частности, была сформулирована и предложена общая
методика дифференцирования, введено понятие
дифференциального кортежа, разработаны формулы операций над дифференциальными кортежами, доказаны вопросы полноты кортежной алгебры функции двух переменных.
Автором продолжены исследования в этом направлении.
Цель работы. Цель настоящей работы заключается в разработке эффективного математического аппарата и комплекса программ для автоматизации процесса дифференцирования функций многих переменных.
Основные задачи научного исследования. Достижение поставленной цели предполагает решение комплекса следующих взаимосвязанных задач:
развитие универсальной кортежной алгебры - теоретической
базы для вычисления частных производных функций;
проектирование и разработку объектно-ориентированного комплекса программ автоматического дифференцирования;
решение модельных задач математической физики с использованием класса дифференциальных кортежей, реализованного на языке C++.
Научная новизна. Итогом диссертационной работы стали следующие новые научные результаты:
1. Проведен обзор, анализ и классификация методов
компьютерного вычисления производных.
-
Конструктивно определены кортежные операции и формулы дифференциальных кортежей основных математических функций многих переменных.
-
На основе объектно-ориентированного подхода создан класс дифференциальных кортежей на языке C++.
-
Реализован ряд вспомогательных классов, предназначенных для аналитического описания геометрических объектов и сложных структур.
5. Исследована возможность применения кортежной алгебры к моделированию физико-механических полей и решению прикладных задач.
Методы исследования базируются на фундаментальных концепциях и прикладных разработках отечественных и зарубежных ученых в области вычислительной математики, математической физики, теории алгоритмов, системного проектирования и автоматизации программирования.
При выполнении теоретических исследований использовались
методы кортежной алгебры и теория R-функций. В основу
численной реализации положены принципы автоматического
дифференцирования, парадигма объектно-ориентированного
программирования. Избранные методы отвечают современным тенденциям и подходам к математическому моделированию.
Достоверность. Непротиворечивость и обоснованность теоретических положений обеспечивается:
фундаментальными законами общей алгебры, теории R-
функций и математической физики;
» обоснованием методов и алгоритмов решения исследуемых задач;
строгостью математических выкладок и корректностью
доказательств.
Адекватность численных результатов подтверждается:
сравнением с точным аналитическим решением (там, где такое
сравнение возможно);
согласованием полученных результатов с имеющимися в
научных публикациях данными;
решением одних и тех же задач разными численными методами;
устойчивостью результатов к изменению числа узлов интегрирования, степени аппроксимирующего полинома и других параметров.
Теоретическая и практическая ценность исследований.
Теоретическая ценность исследований, приведенных в диссертации, состоит в развитии дифференциальных кортежей, которая обуславливает новые подходы к вычислению производных функций многих переменных произвольного порядка и является теоретической основой для построения эффективных алгоритмов и программ автоматизации данного процесса
Практическое значение работы заключается в том, что созданные классы могут использоваться для решения широкого спектра исследовательских задач, которые возникают при моделировании физических явлений и полей, в программном обеспечении вычислительных систем и в системах компьютерной алгебры. Разработанные комплексы программ могут быть также внедрены в учебные спецкурсы университетов, высших и средних технических заведений.
Положения, которые выносятся на защиту:
-
Алгебра дифференциальных кортежей в пространстве Rn.
-
Библиотека классов и программное обеспечение.
-
Результаты экспериментальных исследований. Апробация работы. Основные положения разработанной
методики и полученные в диссертационной работе результаты были
представлены на следующих научных семинарах и
конференциях:
международной конференции Computers in Education (Крым, 1994 г.);
республиканском семинаре по проблеме "Кибернетика" (г. Харьков, 1995 г.);
международной конференции EUKOSUM'95 (г. Вена, 1995 г.).
Публикации. По результатам проведенных исследований
опубликовано 5 научных работ, в которых отображены основные аспекты диссертации; в том числе 3 статьи, доклад и тезисы доклада научно-технической конференции и конгресса.
Личный вклад автора диссертации в работы, опубликованные в соавторстве. Во всех работах автор принимала участие в разработке теоретических положений и их практической реализации на компьютере. В публикациях [1], [5] вклад автора состоит в создании алгоритмов, программного обеспечения, проведении численных экспериментов и участии в анализе результатов. В работе [2] диссертантом разработаны методологические аспекты внедрения курса математического моделирования в учебный процесс. В публикации [3] автору принадлежит создание конструктивных средств алгебры дифференциальных кортежей.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключительной части, списка использованных источников и трех приложений. Общий объем работы - 190 страниц. Изложение комментируется 28 рисунками и 10 таблицами. Библиография насчитывает 177 названий работ отечественных и зарубежных авторов.