Введение к работе
Актуальность темы. Теория и методы математического программирования интенсивно развивались в течение последних нескольких десятилетий. Связано это главным образом с появлением большого количества прикладных оптимизационных задач в экономике, проектировании, исследовании операций, которые потребовали для своего решения разработки новых алгоритмов, обладающих улучшенными вычислительными свойствами. Было предложено огромное количество численных методов, основанных на разных предпосылках и имеющих неодинаковую эффективность. Поэтому важное значение приобретает проведение сравнительного анализа алгоритмов, поиска их внутреннего единства и связи между собой.
Особенно актуальной проблема систематизации численных методов стала в последнее время в связи с созданием систем оптимизации. Возможность включения в такие системы только ограниченного количества методов, а также желательность сравнительно простого управления ими, потребовали разработки универсальных численных схем, охватывающих достаточно большую часть существующих алгоритмов. Использование для этой цели общих конструкций методов позволяет не только выявить ранее не известные связи между ними, но также предложить новые методы и построить их обобщения для решение более сложных оптимизационных задач.
Следует отметить, что вопрос систематизации численных методов условной оптимизации крайне актуален и с точки зрения внутренней логики развития самой науки оптимизации. Важность этой проблемы подчеркивалась всегда. Во многих монографиях и статьях по численным методам нелинейного программирования, опубликованным у нас в стране и за рубежом, их авторы рассматривали методы с единой точки зрения, искали имеющиеся между ними связи. При этом стремление добиться наибольшей общности приводило их к новым фундаментальным результатам в теории экстремальных задач, значительно расширяли понимание структуры числе: шх алгоритмов.
Среди подходов, на которые опирается систематизация численных методов условной оптимизации, одним из наиболее важных
является принцип Лагранжа. Согласно ему для освобовдения от ограничений задача условной оптимизации сводится к другой задаче, решение которой может быть осуществлено с помощью уже известных алгоритмов. Применение этого принципа в более широком смысле позволяет трактовать многие методы нелинейного программирования как процедуры минимизации специальным образом построенных для каждого метода вспомогательных функций, быть может, с одновременным решением систем уравнений. Такой общий взгляд на методы дает возможность описать с единых позиций большинство методов последовательной безусловной минимизации, а также ряд итеративных методов спуска градиентного и ньютоновского типа. Это существенно упрощает переход с метода на метод.в системах оптимизации, открывает возможность построения интеллектуальных оптимизационных систем с настройкой на решаемую задачу, значительно пополняет арсенал вычислительных средств для решения сложных оптимизационных задач.
Цель работы состоит в создании единой теории ыетодов нелинейного программирования и в их классификации на базе этой теории, а также в построении новых методов нелинейного программирования и в обобщении ряда существующих методов для решения многокритериальных задач условной оптимизации.
Научная новизна. Предложен достаточно общий подход к построению численных методов нелинейного программирования. Данный подход позволяет в рамках единой конструкции охватить как многие известные численные методы, так и предложить ряд новых методов. Введено понятие вспомогательной функции метода и выявлены условия, при которых эта функция является точной, т.е. решение задачи нелинейного программирования сводится к ее однократной безусловной минимизации.
В тех случаях, когда вспомогательная функция не является точной, построены общие численные схемы отыскания их особых точек, приводящие к итеративным процессам, характерным для многих известных численных методов последовательной безусловной минимизации и методов спуска. Для методов последовательной безусловной минимизации приводятся оценки близости решений вспомогательных задач к решению исходной задачи нелинейного программи-
рования.
Предложен ряд новых методов решения задач нелинейного программирования, в том числе нетрадиционные методы параметризации целевой функции, барьерно-проективные методы, прямые и двойственные методы модифицированной функции Лагаранжа. Развитый в работе подход к построению числених методов нелинейного программирования распространен на решение задач условной многокритериальной оптимизации. Рассмотрены обобщения таких известных методов нелинейного программирования, как двойственный метод модифицированной функции Лагранка, метод параметризации целевой функции, метод штрафных функций.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в разработке общей методологии построения численных методов условной оптимизации. Предложенные на ее основе новые методы являются существенным вкладом в теорию условно-экстремальных задач. Проведена классификация методов, показывающая единство многих численных методов нелинейного программирования. Разработан принцип, согласно которому методы нелинейного программирования стандартным образом переносятся на решение задач условной многокритериальной оптимизации, что открывает возможность создания ушфщированных численных методов, предназначенных для решения задач как с одним, так и с несколькими критериями.
Предложенные в работе методы вошли в библиотеки программ различных версий диалоговой системы оптимизации ДИСО, внедренной во многие научные и проектные организации страны. Развитый в работе подход к классификации численных методов условной оптимизации положен в основу построения системы ДИСО/ПК-НЛП, предназначенной для решения задач нелинейного программирования на персональных компьютерах.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на республиканских, всесоюзных и международных конференциях, симпозиумах и школах-семинарах: Всесоюзный научно-технический семинар " Численные методы нелинейного программирования" (Харьков, 1979), Всесоюзный симпозиум " Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования" ( Пущино, 1980;
Нарва, 1982; Минск, 1986; Кострома, 1990 ), Научно-техническая конференция "Методы математического программирования и программное обеспечение" (Свердловск, 1984, 1987, 1989, 1991), Всесоюзная школа-семинар по оптимизации и ее приложениям в экономике (Ашхабад, 1984; Душанбе, 1986), Всесоюзная научно-техническая конференция "Проблемы создания, опыт разработки, внедрение автоматизированных систем управления в нефтяной и газовой промышленности" (Сумгаит, 1990), Международная конференция " Многокритериальные задачи математического программирования (Ялта, 1988); Международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1989); Международная конференция "Системы моделирования и оптимизация" (Лейпциг, 1989; Цюрих, 1991), III Советско-американский семинар "Оптимизация больших систем" (Москва, 1990), Международный симпозиум по математическому программированию (Амстердам, 1991).
Структура и объем работы, диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации - 281 страница.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 30 работ, основные результаты отражены в приведенном списке литературы.