Введение к работе
Актуальность темы. В связи с изучением условий устойчивого гкционирования сложных систем актуальными становятся вопросы деления в пространстве параметров областей, соответствующих различным шмам работы таких систем. Решение этих вопросов базируется на альном изучении динамики соответствующих нелинейных математических целей. Родоначальники классической нелинейной динамики - А.Пуанкаре, ^.Ляпунов, Дж.Биркгоф, Б.Ван дер Поль, Л.И.Манделыптам, Ї.АндрокоБ, Н.Н.Есголгс5св, Н.М.Крыдов4 Ю.И.Митропольский работали эффективные методы анализа нелинейных динамических систем, результаты, полученные на этом этапе, касались в основном двухмерных ;тем или предполагали определенное соотношение параметров, при горых рассмотрение многомерной математической модели сводилось к ^смотрению нелинейных дифференциальных уравнений не выше второго рядка.
Дальнейшее развитие качественной теории в рамках школы А.Андронова- Л.И.Манделыптама нашло свое отражение в работах .И-Неймарка, Н.Н.Баутина, Е.А.Леонтович, Л.П.Шильникова, САфраймовича, и других представителей этой школы. Появление в начале -х годов вычислительной техники дало мощный толчок развитию сленных методов исследования структуры фазового пространства гогомерных динамических систем и методов определения бифуркационных ивых и поверхностей. В работах Белгастикой Л.Н., Баталовой З.С., А.Леонова и др. разработаны методики, которые позволяют достаточно дробно исследовать структуру фазового пространства некоторых типов інамических систем Однако, в целом, выделение в пространстве параметров іластей, соответствующих заданным свойствам исследуемого объекта, талкивается на серьезные трудности, связанные как с высокой змерностью фазового пространства и пространства параметров так и с щественно нелинейным характером модели.
Одновременно с появлением ЭВМ возник и начал бурно развиваться вдел математики, который получил название теории классификации їьектов. Классическая постановка задачи теории классификации зедполагает создание обучающего множества из объектов, для которых гриорно известно, какому классу они принадлежат, вывод решающего завила определенного качества на основе информации об объектах 5учающего множества, установление класса новых объектов в соответствии с элученным правилом. Качество решающего правила характеризуется фоятностью ошибочной классификации новых объектов, отличных от Зъектов обучающего множества. Настоящая работа посвящена разработке ового подхода к исследованию структуры фазового пространства
динамических систем методами теории классификации объектов определения эффективности применения этих методов для оценки структур заданной области пространства параметров нелинейных динамически систем. В работе рассмотрена постановка задачи использования методо теории классификации для оценки структуры заданных областей параметре для динамических систем, математической моделью которых являете система обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматриваютс вопросы эффективности и качества такой оценки, приводятся результат применения разработанного подхода для оценок областей параметре конкретных нелинейных систем. Эффективность применения методов теори классификации проиллюстрирована на математической модели системі частотно-фазовой автоподстройки частоты и на кусочно-линейной систем дифференциальных уравнений третьего порядка (осциллятор Чуа).
Практическая ценность. Предложенный способ оценки структур: заданных областей параметров позволяет по результатам исследовани структуры фазового пространства в отдельных точках пространсп параметров предсказывать динамические свойства системы для некоторы областей параметров, что является важным для исследования динамик
объеКТОВ, МатемаТИЧеСКИМИ МОДеЛЯМИ КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ СЛОЖНЫ!
существенно нелинейные многомерные дифференциальные уравнение Результаты оценки структуры областей параметров, полученные методам теории классификации можно рассматривать как основу для более детальног исследования структуры фазового пространства системы и для определенн различных динамических свойств.
Вопросы, рассмотренные в диссертации, являются частью научны исследований, проводимых на кафедре теории колебаний ННГУ.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждалис на XXXVI Всесоюзной сессии, посвященной Дню радио ( Москва, 1981), н Всесоюзной конференции "Проблемы повышегам эффективности и качеств систем синхронизации. " (Каунас - 1982, Львов - 1984), на VIII Всесоюзно конференции "Проблемы теоретической кибернетики" ( Горький, 1988), н Научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 1993), на 4-конференции "Нелинейные колебания в механических системах"(нижни
TJ*4or>rt*>r»TT 1QQA4 «*> тга\птит5 vcvwfbf*rM**rTTHT* пг^ тля ттл<ЬтуГ*чх*р (Пъсястд
Новгород, і 997).
Публикации и апробация результатов. По теме диссертаци опубликовано 13 печатных работ.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из Введена трех Глав и Заключения. Объем диссертационной работы 101 страница. И них 85 страницы основной части, 9 страниц рисунков, 13 страниц спис* литературы (110 наименований).
На защиту выносятся следующие основные результаты:
постановка задачи и методика оценки структуры областей параметров в терминах теории классификации объектов для систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
постановка и вариант решения задачи оптимизации качества оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов.
применение разработанного подхода для анализа системы частотно-фазовой автоподстройки частоты, математической моделью которой является автономная нелинейная система трех дифференциальных уравнений с одной периодической координатой,
- применение разработанного подхода для анализа системы Чуа,
математической моделью которой является автономная кусочно-линейная
система дифференциальных уравнений третьего порядка.