Введение к работе
Актуальность темы. Сеточные методы яішяются в настоящее время основным инструментом решения наиболее сложных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих различные физические процессы. При этом одним из наиболее мощных методов численного моделирования с использованием аппроксимаций на сетках является метод конечных элементов (МКЭ). Практически неограниченная точность описания всех границ геометрически сложных объектов и широкие возможности использования неструктурированных сеток с локальными сгущениями и разрежениями узлов сделали МКЭ очень популярным среди исследователей, ставящих перед собой задачу получения точных характеристик изучаемых процессов методами математического моделирования.
Проблема построения коиечноэлементных сеток является одной из важнейших при решении различных задач с использованием МКЭ. Значительное внимание, уделяемое исследователями этой проблеме, объясняется тем, что очень часто от того, насколько эффективно удается выполнить дискретизацию расчетной области, зависит сама возможность решения конкретной практической задачи с нужной точностью. Немалую роль при этом играет форма используемых для дискретизации элементов. Поэтому столь велик интерес исследователей к различным процедурам построения двумерных и трехмерных триангуляции, то есть сеток, ячейки которых являются треугольниками в двумерном случае или треугольными пирамидами (чаше их называют тетраэдрами) в трехмерном случае (исторически сложившийся термин "триангуляция*' в трехмерном случае кажется несколько странным, однако более правильный термин "тетраэдризация"' не прижился и используется достаточно редко). Этот интерес связан с тем, что именно процедуры построения триангуляции дают возможность получить существенно неравномерные согласованные сетки как с разрежениями узлов в одних подобластях расчетной области, так и с локальными сгущениями узлов в тех ее подобластях, где аппроксимация решения наиболее затруднена. При этом использование неравномерных неструктурированных сеток часто позволяет при фиксированном числе узлов существенно уменьшить ошибку аппроксимации по сравнению с различными структурированными (например, квазипарачлелепипеидальньши) сетками. Повышение же точности численного расчета за счет уменьшения ошибок аппроксимации, связанных с дискретизацией исходной задачи, и минимизация вычислительных затрат за счет уменьшения размерности системы аппроксимирующих уравнений (а в МКЭ размерность этой системы напрямую зависит от числа узлов в конечно-элементной сетке) являются важнейшими проблемами при проведении любого численного исследования. Поэтому МКЭ с использованием треугольных и тетраэдральных конечных элементов предоставляет очень широкие возможности
4 для построения эффективных вычислительных процедур при численном решении различных задач математической физики.
В проблеме построения конечноэлементиых сеток наиболее важными являются следующие аспекты:
описание сложной геометрии;
описание сгущений и разрежений узлов сетки в местах резких изменений градиента решения;
автоматизация построения сетки по заданному описанию.
Для двумерного случая в научных публикациях можно встретить достаточно много различных подходов к решению проблемы построения конечпоэле-меитных сеток. Эти подходы обсуждались в работах Jin П., Joe В., Mavriplis D.J., Rebay S., Кузнецова А.Ю., Шайдурова В.В. и др. Последние исследования в этой области направлены в основном либо на повышение эффективности широко известных алгоритмов, например, алгоритма Ватсона построения триангуляции Делоне, либо на автоматизированное построение адаптивных сеток. За-мегим однако, что для поегроения эффективной адаптивной сетки вс* равно необходимо достаточно точно описывать сложную геометрию и строить достаточно близкую к оптимальной первичную сетку, поэтому подходы, использующие адаптивные треугольные сетки, можно рассматривать как еше одну область применения рассматриваемых в данной работе алгоритмов построения эффективных первичных триангуляции.
Гораздо более сложной является задача построения эффективной трехмерной конечноэлементной сетки. Если не учитывать легко реализуемые алгоритмы, которые создают регулярные сетки на основе пересечения области координатными плоскостями в какой-либо системе координат (что в трехмерном случае является слишком неэффективным, так как приводит к быстрому исчерпыванию доступных ресурсов ЭВМ при дробленіш сеток), то основное внимание в современной научной литературе уделяется двум типам методов построения трехмерных нерегулярных сеток. Это
I) методы, основанные на построении трехмерной триангуляции Делоне по произвольному набору узлов;
2)методы, основанные на фронтальном распространении сетки с одновременной генерацией узлов..
Методы первого типа чаше всего применяются в сочетании с описанием области методом конструктивной геометрии. Большинство из них основано на алгоритме, который лредложил Watson D.F., а затем усовершенствовали для трехмерного случая Cavendish J.С, Field D.A. и FreyW.H. Очевидным достоинством такого подхода является возможность построения трехмерной триангуляции при практически произвольном набросе узлов (следует отметить, что произвольная генерация узлов в трехмерном случае с заданием необходимых сгущений и разрежений сетки является отдельной, достаточно сложной проблемой, в том числе и из-за трудности визуализации получаемой сетки). Однако триан-
5 гуляция Делоне в трехмерном случае не только не учитывает внутренние границы области, но и может содержать вырожденные или почти вырожденные тетраэдры, и поэтому такая тетраэдральная сетка не может бьпь использована в качестве конечноэлементиой без ее предварительной коррекции. С учетом затрат на коррекцию сетки время работы алгоритмов построения трехмерной триангуляции Делоне с ростом числа узлов N растет пропорционально N*. Таким образом, трехмерная триангуляция Делоне оказывается совсем не оптимальной как с точки зрения качества конечноэлементиой аппроксимации, так и с точки зрения затрат вычислительных ресурсов на ее построение при необходимости сколь-нибудь значительного увеличения числа узлов в конечноэлементиой сетке.
Гораздо более перспективными являются методы второго типа. Их преимущество в скорости работы очевидно - поскольку число узлов на фронте почти неизменно и чаще всего относительно невелико по сравнению с обшим числом узлов в сетке, то время построения триангуляции растет с увеличением числа узлов практически пропорционально N. Однако фронтальные методы накладывают некоторые ограничения на возможность эффективно управлять генерацией узлов и создавать сгущения в местах резких изменений градиента решения и плавные увеличения размеров ячеек сетки там, где изменение градиента решения плавно уменьшается.
В последнее время растет число публикаций, посвященных адаптивным сеткам в трехмерном случае. В связи с этим необходимо отметить, что использование вложенных дроблений для построения трехмерных адаптивных триангуляции может оказаться довольно Неэффективным в том случае, когда первичная сетка неоптимальна. Построенные таким способом сетки могут быть довольно далеки от оптимальных и содержать большое число "лишних" (с точки зрения точности конечноэлементиой аппроксимации) узлов. Часто это приводит к практической невозможности решить соответствующую реальную задачу с заданной точностью, хотя она вполне могла бы быть решена, если бы исследователю были предоставлены возможности эффективного управления генерацией узлов при построении первичной сетки.
Таким образом, проблема построения эффективных конечноэлементных сеток, позволяющих получать численные решения различных задач математической физики в областях со сложной геометрией, до сих пор вызывает большой интерес у очень многих исследователей, занимающихся как вопросами создания процедур генерации таких сеток, так и использующих эти сетки при решении конкретных практических задач.
В диссертационной работе много внимания уделено разработке методов описания и построения двумерных сеток. В ней предложены алгоритмы автоматизации описания расчетной области с удобными возможностями задания геометрии и распределения узлов сетки, позволяющие исследователю строить эф-фекгивные сетки для расчетов методом конечных элементов двумерных элек-
тромагнитных или тепловых полей любого уровня сложности. Эти алгоритмы реализованы в программном комплексе TELMA, их эффективность подтверждена решением значительного числа практических задач.
Много внимания в данной работе уделено также методам описания и построения трехмерных сеток в областях со сложной геометрией. Эффективность предлагаемого подхода продемонстрирована на примере решения достаточно сложных практических задач электромагнетизма и теплообмена.
Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема построения близких к оптимальным неструктурированных конечноэлементных сеток в областях со сложной геометрией.
Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов описания и построения .треугольных и тетраэдральных конечноэлементных сеток, предназначенных для проведения расчетов двумерных и трехмерных тепловых и электромагнитных полей и позволяющих исследователю эффективно управлять процедурой генерации узлов при необходимости сгущения или разрежения узлов сетки в различных подобластях расчетной области.
Научная иовнша работы состоит в следующем:
-
Разработаны и реализованы методы описания двумерной расчетной области, дающие возможность эффективною управления автоматической генерацией узлов.
-
Предложен метод ускорения алгоритма Ватсона построения двумерной триангуляции Делоне, требующий меньшего по сравнению с известными методами объема дополнительной оперативной памяти.
-
Выделен класс двумерных задач, при решении которых триангуляция Делоне очень далека от оптимальной. Предложены и реализованы средства коррекции триангуляции, позволяющие значительно повысить точность расчета с использованием того же набора узлов
-
Разработаны средства описания сложной трехмерной геометрии и эффективного управлении построением тетраэдральной конечноэлементной сетки.
-
На основе решения большого числа модельных и практических задач выработаны рекомендации по построению близких к оптимальным конечноэлементных сеток.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней исследованы некоторые закономерности оптимизации двумерных и трехмерных триангуляции, используемых при решении важных практических задач электромагнетизма и теплообмена, и на базе этого определены подходы к совершенствованию методов и алгоритмов построения близких к оптимальным треугольных и тетраэдральных сеток. Предложенные в диссертационной работе подходы мо?ут стать основой для разработки специализированных методов построения неструктурированных сеток (в том числе и адапшвных) при решении различных задач математической физики.
Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы построения неструктурированных сеток реализованы в программном комплексе TELMA и широко применялись для решения многих сложных практических задач из различных областей прикладных исследований: геофизики, теплофизики, электрофизики, а также при разработке и оптимизации различных электротехнических устройств.
Личный вклад. Все результаты, изложенные в диссертации без ссылок на чужие работы, принадлежат лично автору.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: научном семинаре в техническом университете г.Хемниц (Германия, 1990); Всесоюзной конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (Арзамас-16, 1991), Международной геофизической конференции и выставки по разведочной геофизике SEG-EAGO (Москва, 1993); Международном совещании-семинаре по механике реагирующих сред и экологии (Томск, 1994); First Asian Computational Fluid Dinamics Conference (Hong Kong, 1995); Particle Accelerator Conference and International Conference on High-Energy Accelerators (Dallas,1995); Международной конференции PaCT-95 (Санкт-Петербург, 1995); Международной геофизической конференции и выставке Санкт-Петербург'95; Международной конференции "неклассическая геоэлектрика" (Саратов, 1995); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред"' (Новосибирск, 1996); Научно-техническом совещании "Геофизические методы при разведке недр и экологических исследованиях" (Томск, 1996); Международной геофизической конференции "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками" (С.-Петербург, 1996); научных семинарах ВЦ СО РАН, ИВТ СО РАН (Новосибирск). Результаты проведенных* научных исследований включались в отчеты по НИР НЭТИ, заключительные отчеты СНИ-ИГГиМСа,
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 20 печатных работ.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников (124 наименования). Работа изложена на 170 страницах, включая 32 иллюстрации.