Почти периодические функции Бора-Френеля Осипов, Виктор Федорович

Введение к работе

Актуальность исследования. В классическом исследовании о возмущениях больших планет Лагранж показал, что в первом приближении долгота перигелия мо'лот бить представлена, аргументом некоторого полинома F(t) =0,^1, ' i-a^c «% ... + Од, е' *«* и в частной случае, когда |Q«l> іі|+ ... +l^a/yl і ого аргумент является суммой векового члена \_tb и некоторого ограниченного остатка. Ему принадлежит постановка задачи об исследовании изменения аргумента в общем слу -чае, когда тригонометрический полином не содержит преобладающего члена. После многочисленных попыток, предпринятых астрономами и математиками, только в Ї909 г. П. Болю удалось полностью исследовать простейший нетривиальный случай N = 3. Отметим, что Боль использует диофантовы при#лшгешш и в этой связи впервые в его работе появилось ваяшое понятие равномерного распределения по модулю I. другим источником теории почти периодических функций являются ранние работы Г. Бора, посвяіцешше вопросам распределения нулей дзета-функции и рядов Дирихле на вертикальних прямых комплексной плоскости, важным в аналитической теории чисел.

Класс непрерывных почти периодических (п. п.^ функций на вещественно?} прямой IR бил введен и достаточно полно исследован Г. Бором в 20-ых годах. В дальнейшем теория Бора получила существенное развитие в работах С. Бохнера, Г. ЗеЯля, Дя. Неймана, 3. В. Степанова, Н. Н. Боголюбова и др. В настоящее время имеется весьма полная теория различных классов п. п. пункций и их приложения в других областях математики, например з теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математической ибизике, теории вероятностей, в частности в теории стохастических процессов и анализе временных ряцов, а такте в *:пико и шпшнериом деле.

Теория п. п. функций оказала сильное влияние на гармонический анализ на произвольных локально компактных коммутативных группах к теория представления. Отматич и обратное влияние абстрактного гармонического анализа. Напршзр, теория двойственности Л. С. Понтрягина позволяет ввести понятие боровской компакте $ика-цки и охарактеризовать п. п. функции на группе как функции, допус-

_ 4 -каюіцію непрерывное проі;о/г:зіше на пг.у компактиінікачию. З результате теория п. п. 5ункц:;Я сводятся к апачизу >ї>урье непрерывных ї'ушс-циі¹ на компактной группе, которая явлногся естественной областью определения (пространством максимальных; идеалов) неходкий алгебры п. п. функций. Необходимо подчеркнуть, что по ре-сод к борозской ком-лакти'Зкжациа отнюдь не стирает глубокое соцер'кание теории п. п. Функций. Наоборот, вложение первоначально'і области определения в ее боровскую компактіфщедим нетривиально в такой степени, что даже в проекции на естественную область определения какого-либо подкласса или да-;;е одной п. п. функч.ш .ложно обнаружить огромное разнообразие возможностей (периодические движения в вше многокер-них фигур Лиссажу, всоду плотнив обмотки торов, широки", класс.интегральных траекторий на многообразиях и т. д.) . Это позволяет моделировать достаточно сложные процессы изменения, встречающиеся, например, в теории динамических систем, теории управления, при анализе временных рядов и т. п.

Однако, как отмечалось еще Л. Пуанкаре, существует болов сло'ише виды движений.. В более поздних работах Г. Биркгоїа по наладочной механике был выделен важный класс рекуррентных движений, т. е. движений, возникающих в результате суперпозиции различных чистых колебаний, но с переменными во времени частотами. Следуя Л. Л. Маркову, рекуррентные двихения разбивается на два различии* по своим свойствам класса- зргоцические, т. е. имеющие средние значения, и пеэргодуческио. Класс S непрерывных їіунк'и!.'' на прямое, облада.оїцііх средними значениями, изучался таїссе II. Вшгором с помощью обобщенного гармонического анализа. Аналитическая творім представления эргодачесхих классов рекуррентных движении была построзна 3. И. Зубовым. С помощью широкого обобщения тооремы " Кро-нзісера о совместных решениях неравенств он, в частности, исследовал важный класс рекуррентных функций, включающий колебания с частота';;:!, полиномиально зависящими от времени.

Лругоо направление развития гармонического анализа связано с общей задачей о восстановлении функции по ое спектру (иночеству нулей преобразования Фурье) . Так, в случае сворточиой алгебры суммируемых функций па локально компактной коммутативной группе

G стандартными методами перехода к двойственным объектам задача спектрального синтеза шлет быть сформулирована как зацача об описании замкнутых идеалов I сверточной атгебры 11(G)

Простейшей характеристикой замкнутого идеача I^е [1 (Gr)является его спектр - подмножество "2.(1^= Е. в группе Г непрерывных характеров на G , состоящее из общих преобразований Фурье ? функції!} ^ЄЗ. . Если по множеству Е = Z(T) идеал I восстанавливается однозначно, то говорят, что замкнутое множество Е есть множество спектрального синтеза. Например, множествами спектрального синтеза являются пустое множество (тауберова тоорома Випера), множество, состоядее из изолированных точек (В. А. Диткин) , три-адическое множество Кантора на прямой и единичная окружность на плоскости (iC. Герц"). Однако для некомпактных групп G соответствие J-*Zi)не является взаиглно однозначним, т. е. существуют замкнутые подмножества Є ^с Г , для которых из условия Z&V = Z(l^)=E. не следует равенство Х_л = Х_А. Так, в 1948 г. Л.Шварц доказал, что единичная сфера ^ftc ір,³ не является мнотсестзом спектрального синтеза, а в дальнейшем Н. Варопулос распространил этот' результат на сферы в многомерных пространствах. Заметим, что не -синтезируемость сферы тесно связана с тем обстоятельством, что сум-шгруемая функция в И^"*(n» З^-) , зависящая только от радиуса, имеет непрерывно дифференцируемое преобразование Фурье, что позволяет различить идеалы со спектром Sⁿ" по нулям с учетом их кратности.

Аналитическая техника Л. Шварца, основанная на преобразовании Фурье обобщенных функций, переносится со сфер на произвольные поверхности с ненулевой гауссовой кривизной, но не применима к подмножествам вещественной прямой или плоскости. Однако с помощью тонких методов теории случайных рядов Фурье можно доказать, что для алгебр абсолютно сходящихся интеграчов и рядов Фурье существуют несинтезируемне множества (П. Майявен) .

В настоящее время существуют отдельные теорема с достаточными условиями для восстановления функции по ее спектру и ряд примеров несинтезируемых Функций. Но в целом задача спектрального синтеза, т. е. задача классификации замкнутых идеалов групповой ал -гебрц, остается нерешенной проблемой современного гармонического анализа.

Цель исследования - распространить основные теоремы гармонического анализа яа интегральные преобразования Фурье-Френеля, дать обобщенный гармонический анализ п. п. функций Бора-Френеля, изу -чить пространство максимальных идеалов, указать необходимые и дос-

таточные условия почти периодичности второй степени и полученные результаты распространить на произвольг.не локально компактные коммутативные группы;

— построить символическое исчисление в алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и с его помощью построить новые примеры несинтезируомых функций, дать различные конструкции семейств идеалов с одним и тем же спектром, изучить явление склеивания идеалов гладких функций при замыкании.

Метопы исслэгованич - используются основные теоремы из теории функций, классического анализа Фурье и абстрактного гармонического анализа на группах, теория индуцированных представлений, диофанто-вы приближения и равномерные распределения, асимптотические методы для интегралов от быстро осциллирующих функций и специальные функции.

Научная новизна состоит в следующем:

Г. Установлены и доказаны ochoj ныэ свойства интегрального преобразования Фурье-Френеля на локально компактных коммутативных группах.

2- Проведен обобщенный гармонический анализ п. п. функция Бора-Френеля на прямой.

1. Дано полное описание пространства максимальных идоадоа алгебры п. п. функций Бора-Фрекеля на прямой, для IR*', Щ_ и других групп.

2. Доказаны необходимые и достаточные услозия почти периодичности второй степени в терминах почти периодов и с помощью воровских п. п. функций от нескольких переменных.

5". Рассмотрены различные способы разложения п. п. функций Бора-Френеля на группе целых чисел и исследованы свойства таких разложений в связи с появлением неархимедовой компоненты в прост-; ранстве максимальных идеалов.

6.Для несинтезируешк подмножеств евклидовых пространств построены континуальные семейства промеяуточных идеалов и исследован эффект склеивания идеалов гладких фунющй при замыкании.

7. Построено символическое исчисление в алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье.

8. Изучены расслоения группы характеров на множества уровня несинтеаируемой функции.

9. Построены семейства промежуточных главных идеалоо в алгебра абсолютно сходящихся рядов Фурье.

ГО. Исследован класс лзшшиЦевых функций, несинтезируемых в алгебро абсолютно сходящихся рядов Фурье.

Практическая значимость работа. Исследование имеет теоретл -ческий характер. Результаты могут быть попользованы при исследовании различных классов рекуррентных функций и в задачах гармонического анализа и спектрального синтеза. Они могут найти применения в нелинейной механике, квантовой механике, теории динамических . систем, теории управления, в задачах кодирования и при спектральном анализе эмпирических данных.

Агтообатая материалов исследования проходила в докладах на се-.минарах по теории дифференциальных уравнений и тоорші фуігкций в Санкт-Петербурге, на сег.шнарз по теории чисел в С.-Петербург, отд. 'Математического института иг.!. В. А. Стеклова Российск. АН, на се-Шнаре по банахоЕьм алгебрам в Московском университете, на конференциях по комплексному анализу с г. Черноголозке.

По теме диссертации опубликовано 13 работ общим объемом 571 стр., из них 2 уч. пособия (по 6,5 печ. л.") л научная монография (18 печ. л.} ..