Введение к работе
Актуальность проблемы. Процессы авторегресспи широко используются в анализе временных рядов для описания динамических систем. При зтом на практике встречаются ситуации, когда случайный процесс наблюда-зтся на фоне помех. Наблюдаемый процесс является процессом авторегрессии - скользящего среднего.
Одной из важных задач является оценка параметров авторегресспи. Возможны два подхода к оцениванию параметров процесса: оценивание по выборке фиксированной длины и последовательное оценивание. В первом случае свойства получаемых оценок изучаются в асимптотической постановке, когда объем наблюдений стремится к бесконечности. Представляет интерес получение характеристик оценок, построенных по выборке конечной длины. Это стало возможным с применением для задачи оценивания теории последовательного анализа Вальда, которая впервые была использована в работах Л.Л. Новикова, Р.Ш. Липцерап А.Н. Ширяева. Основным преимуществом последовательных методов перед апостериорными является возможность достижения гарантированной точности оценивания по конечной выборке. В.З. Борисовым и В.В. Коневым была предложена последовательная гарантированная оценка параметра авторегрессии, которая строится на интервале случайной длины. Оценка является несмещенной и обладает свойством равномерной ограниченности дисперсии. Этот метод является модификацией метода наименьших квадратов, следовательно, для построения оценки не требуется знание функции распределения шумов. Существенным ограничением предложенного метода является то, что размерность вектора неизвестных параметров не должна превышать размерности наблюдаемого процесса. Кроме того, непосредственное применение данного метода к процессу с. зависимыми шумами приводит к смещению оценки. В.А. Васильевым и В.В. Коневым эыла предложена двухэтапная оценка параметров процесса авторегрессии порядка р по зашумленным наблюдениям, основанная на корреляционном методе Юла-Уокера. Построенные оценки являются гарантированными. Однако, если последний параметр процесса равен нулю, процедура теоретически неприменима.
Таким образом, задача построения непараметрических гарантированных оценок параметров авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям является актуальной.
Одной из важных задач оценивания параметров является задача оцепи-
вания момента изменения параметров (момента разладки) случайных процессов. Существующие методы обнаружения разладки можно разделить на два типа: апостериорные и последовательные. При апостериорном подходе предполагается, что имеется реализация случайного процесса конечной длины, по которой необходимо обнаружить изменения свойств процесса либо оценить момент изменения. Как правило, характеристики предлагаемых алгоритмов изучаются в предположении, что объем наблюдений стремится к бесконечности. При последовательном подходе предполагается, что процесс наблюдается в реальном времени, и при поступлении каждого наблюдения принимается решение о наличии разладки к данному моменту времени. При этом возможны ошибки двух видов: принятие решения о наличии разладки до ее появления - ложная тревога, и запаздывание в обнаружении разладки. В данной работе изучаются последовательные методы.
Для решения задачи обнаружения разладки случайных авторегрессионных процессов разработаны различные методы: кумулятивных сумм, Гнршика-Рубана-Ширяева, скользящей выборки. Существенным преимуществом метода скользящей выборки является его устойчивость к неточности априорной информации о распределении процесса. Свойства этих процедур изучены в асимптотической постановке, при неограниченном запаздывании в обнаружении разладки. С.Э. Воробейчиковым и В.В. Коневым разработана модифицированная последовательная процедура обнаружения разладки процесса авторегрессии. Суть этого метода заключается в том, что решения о наличии разладки либо отсутствии принимается не на каждом шаге, а в случайные моменты времени. Выбор этих моментов гарантирует заданную вероятность принятия верного решения в каждом цикле наблюдений. Метод не требует знания распределения шумов процесса, так как решающие статистики строятся исходя из критерия наименьших квадратов. Непосредственное применение этого метода к зашумленным наблюдениям невозможно из-за зависимости между шумами процесса.
Таким образом, задача обнаружения разладок авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям является актуальной. При этом особенно важной является проблема качества этих процедур в неасимптотическон постановке. Представляет интерес разработка алгоритмов, обеспечивающих заданную вероятность принятия верного решения по конечному объему выборки.
Целью настоящей работы является разработка последовательных ми-
годов обнаружения момента разладки с заданными вероятностями принятия зерпого решения и методов гарантированного последовательного оценивания тараметров случайных процессов авторегрессіїонного типа по зашумленным іаблюдениям.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы ис-юльзоналнсь методы теории вероятностен, теории случайных процессов, теории матриц и методы статистического моделирования.
Научная новизна. В работе построена гарантированная последователь-іая оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка, наблюдасмо-о с помехами. Разработана последовательная процедура обнаружения раз-іадки авторегрессионного процесса по зашумленным наблюдениям, характеризующаяся заданными вероятностями ложной тревоги и ложного спокой-твня.
Практическая ценность. Результаты работы могут быть применены таких областях, как геофизика, медицинская и техническая диагностика, оптроль технологических процессов, обработка сигналов.
Апробация работы и публикации.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсу-сдались на следующих конференциях:
III и IV Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной матема-ике (Новосибирск, 1998, Новосибирск, 2000);
Конференции молодых ученых Сибирского физико-технического инети-ута имени академика В.Д. Кузнецова при Томском госуниверситете, носвя-(енной 70-летню института (Томск, 1998).
По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.
Структура диссертации. .
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, бишй объем диссертации составляет 138 страниц. Библиография содержит )9 названий.