Введение к работе
Актуальность работы. Последние десятилетия свидетельствуют о возникновении своеобразного "экологического взрыва" — во всем мире резко возрос интерес к экологическим проблемам. Приблизительно 20 лет назад экологии стали придавать значение, которое выходит далеко за рамки определения ее как раздела биологии. Изучая взаимосвязи между организмами и окружающей их средой, круговорот веществ и потоки энергии, делающих возможным существование жизни на Земле, экология связывает между собой различные области естествознания. Вполне естественно, что одни из самых мощных методов современного естествознания—математические методы,—стали широко применяться для решения экологических проблем.
Экспериментальной основой математических методов анализа экосистем являются наблюдения за их поведением. Измеряемые при этом характеристики экосистем, чаще всего протяженны по времени и носят как непрерывный, так и дискретный характер. Множество таких показателей, протяженных во времени, образуют временной ряд (ВР). Временные ряды являются важной частью изучения процессов, происходящих в экосистемах, так как они задаются динамикой поведения объекта и отражают многообразие всех воздействующих на него процессов. Поскольку за каждым временным рядом стоят совокупности природных процессов, то для понимания механизмов их формирования и действия, важным является создание адекватных математических моделей изучаемых ВР. Наибольшую ценность при этом имеют те подходы, которые позволяют с единых позиций подходить к временным рядам, отвечающим различным природным процессам, будь то, например, ВР многолетних метеорологических наблюдений за температурой, давлением, влажностью атмосферного воздуха; или временные колебания численности популяции того или иного вида; или временные вариации солнечного или иных видов излучения и т.п.
В данной работе предлагается новый метод моделирования временных рядов в экологии, позволяющий не только построить математическую модель временного ряда, но и произвести его экстраполяцию на некоторый будущий промежуток времени. Метод основан на идее динамических и (или) стохастических переключений между различными поведениями экологической системы.
Целью настоящей работы является разработка нового подхода к математическому моделированию временных рядов, основывающегося на их следующих общих свойствах: одномерности, наличии участков возрастания и убывания, стохастическом, регулярном или смешанном характере переключений между участками монотонности.
Научная новизна. Сформулирован новый подход к моделированию временных рядов, как некоторой суперпозиции монотонных поведений (убывающих или возрастающих) исследуемой системы, сменяющих друг друга по определенному закону, носящему детерминированный и (или) стохастический характер. Приведена математическая формулировка поставленной задачи. Рассмотрены случаи стохастического и периодического перемешивания монотонных динамик. Выведено точное, замкнутое кинетическое уравнение для плотности вероятности состояний временного ряда в рамках достаточно общей модельной постановки, когда перемешивание участков монотонного поведения подчиняется статистике Пуассона. Получено его точное стационарное решение в одномерном случае. Подробно проанализирована задача о видах стационарных распределений для переменной ряда при перемешивании монотонных динамик, описываемых логистической моделью (модель Фер-хюльста). Подчеркнута принципиальная важность влияния соотношения между характерными временами монотонного поведения ВР и временем смены этих поведений (частотой переключений), на усредненное поведение временного ряда. Показано, что частота переключений является своеобразным параметром порядка, от величины которого зависит форма и особенности стационарных распределений вероятности. При периодическом перемешивании динамик Ферхюльста частота перемешивания управляет установившимся колебательным процессом и определяет его форму, амплитуду и уровень, относительно которого происходят колебания. Полученные результаты указывают на необходимость оценки частоты переключений режимов при изучении реальных временных рядов.
Практическая ценность работы. Разработан эффективный метод моделирования временных рядов, который может быть использован как для обработки данных мониторинга природных процессов, так и при изучении временных рядов, встречающихся в других областях знания. На его базе создан программный комплекс позволяющий производить моделирование и экстраполяцию временных рядов. Произведено моделирование разнообразных временных рядов, в том
числе ВР метеорологического мониторинга в Туве и Северо-Западной Монголии (Улангом), рядов, связанных с глобальным изменением климата, ВР динамик численности популяций, всего более 50 рядов. Показана адекватность расчетных моделей фактическим данным.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались на международном рабочем совещании "Комплексное изучение аридной зоны Центральной Азии" (Кызыл, 1994); Международном симпозиуме «Эксперимент Убсу-Нур» (Улангом, Монголия, 1995); Девятой Всесибирской школе по методам вычислительной математики (Шушенское, 1995); Семинаре по вопросам развития и применения геоинформационных технологий (г. Новосибирск, 1996); Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96, Новосибирск, 1996); III межреспубликанском симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1996); III Международной научной конференции "Природные условия, история и культура Западной Монголии и сопредельных регионов" (Ховд, Монголия, 1997).
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в семи научных работах [1—7]. Получено авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [8].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, насчитывающего 106 ссылок. Содержание диссертации в 101 страницу печатного текста иллюстрировано 38 рисунками.