Введение к работе
Актуальность проблемы. Широкий класс статистических задач решается с привлечением оценок различных функционалов от распределений. Проблема качественного оценивания функционалов в условиях априорной неопределенности в настоящее время становится особенно актуальной. Актуальность данного направления вытекает из того, что все чаще на практике приходится работать в условиях очень скудной априорной информации .- полная априорная определенность является экзотикой применительно к практическим задачам. Использование параметрического подхода в таких условиях зачастую не дает хороших результатов - при явном отличии истинного распределения от предполагаемого проверка корректности многих выводов (таких, например, как доверительное оценивание или проверка гипотез). полученных в рамках принятой параметрической модели, перерастает в сложную проблему. В такиї случаях разумно отказаться от стандартной процедуры конкретизации модели и применять непараметрические методы.
Необходимость непараметрического оценивания функционалов все чаше проявляется как в задачах анализа статистических данных:
- при оценивании выборочных характеристик измеряемых случайных величин. . в задачах оценки функций параметров, в задачах проверки гипотез , при фильтрации процессов. при обнаружении и выделении сигналов, в распознавания образов и др.. . так и в задачах статистического синтезу адаптивных систем, подверженных случайным воздействиям: при идентификации, в управлении объектами и технологическими процессами, в задачах адаптации, при синтезе систем массового обслуживания и сетей ЭВМ. в задачах функционального шкалирования.
Данная диссертационная работа, посвященная- оцениванию функционалов в условиях непараметрической неопределенности, имеет непосредственное отношение ко всем вышеперечисленным приложениям, математической статистики.
Цель работы. Целью работы является разработка и исследование процедуры получения сходящихся в среднеквадратичном оценок нелинейных функционалов в условиях непараметрической априорной неопределенности1).
) везде далее такие процедуры называются СК-процедурами
Методика исследований, В работе «пользуются метода теории вероятностей и математической статистики, функционального и математического анализа. а также методы статистического моделирования на ЭВМ.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Предложена и исследована СК-процедура оценивания функционала
НСт-С*)) - H(F'S'C2).F"VC5?) F'r-'Gn]. 5№ Rm. СІ)
где HiR**1—>R* - заданная функция; F' 'cs?) - FCsO;
,r, »* глУсяЭ
F'Vcs?)^ — ; - C2)
A. j'j» J* Л J"1
"x, "хг . . . -exm
- смешанная производная порядка іі*і
функции распределения Сф.р. ) F(sO исходной выборки Хп в некоторой фиксированной точке 2« R.
2. Предложена и исследована СК-процедура оценивания функционала,
непрерывного в равномерной метрике:
»(f*5,*C*>.F'V\so.. .F"/(*)) —
— »(F",,Ce).F,VG»).. У.'ш). СЗ)
ЄСЛИ max sup f"V Си) - f"V (г) —^> о.
-
Показано, что при определенных условиях регулярности, накладываемых на FCsO. скорость сходимости СКО предлагаемых опенок может быть как угодно близкой к 1/Ь, где її - объем выборки Показана асимптотическая нормальность предложенных оценок.
-
Решена задача оптимизации предложенных процедур в условиях слабоэависимой выборки с равномерно сильным перемешиванием.
6. Наследованы алгоритмы, реализующие СК-процедуры оценивания Функционалов (13 и (3) на основе использования ядерных оценок ф.р. и ее п(юизводных: получены асимптотически оптимальные значения параметров размытости и скорости сходимости . СКО предложенных оц'.'Нок к Пул;.
ІІраь.тическ^ія ценность результатов исследований. Предложенные tIK-гпоиедури могут б'/гь ипользогаїш в качества инструмента при теоретическом иоледовачин статистических процедур и алгоритмов. з t.ik:»i; в раячичных системах, связанных с обработкой технических, ^ио.ттич'Ч'.кіг: и других тжепоркм-.'итчльшх данных. Кааработаиюс1 ііГ'.--!{і''Ммі!оє vi"'-ci4'4'w,Q р.чооти Еклшчмто в 0ФЛ1І С'СО'Г- Результаты >> .oV'tv \т\'М-?у:чякі-і п х.«здаговоршп и госс'чолжетниї т^мах 01'І'И.
Апробация, работы. Основные положения диссертации
докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Теория
адаптивных систем и ее применения" С Ленинград. 1983 ). на
республиканской конференции молодых ученых по актуальным
проблемам физики ( Ереван. 198S ), на V и VI Всесоюзных
школах-семинарах по непараметрическим и робастным методам в
математической статистике С Томск, 1986. Иркутск, 1989 ). на IX
Всесоюзной конференции по теории кодирования и передаче
информации ( Одесса. 1988 ). на XI Всесоюзном совещании по
проблемам управления ( Ташкент. 1989 ). на республиканской
научно-технической школе-салинаре "Анализ и синтез систем
массового обслуживания и сетей ЭВМ" (Одесса, 1990 ).
республиканских научных конференциях по математическому
обеспечению анализа данных и моделирования С Минск. 1990. 1992 ).
на Всесоюзной научно-технической конференции "Идентификация,
измерение характеристик и имитация случайных сигналов"
(Новосибирск. 1991 ) , а также на беминарах СФТИ и кафедры теоретической кибернетики ТГУ.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ.
Структура работы и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав. заключения. списка использованной литературы. приложения с документами. подтверждающими' практическое использование результатов, исследований. Содержание работы изложено на 173 странице машинописного текста, иллюстрировано /* рисунками и 6 таблицами.