Введение к работе
Актуальность проблемы.
Построение и экспериментальное исследование моделей эволюционирую-их во времени реальных процессов, нашедших применение в технике и эко-эмике, прикладной статистике и научных исследованиях, тесно связано с эоблемами идентификации стохастических динамических систем. Задача аентифшсации динамических систем состоит в том, чтобы по результатам іблюдений над входными и выходными параметрами системы должна быть встроена оптимальная в некотором смысле модель, то есть математически ормализованное представление этой системы. Если известна структура си-гемы и задан класс моделей, к которому данный объект относится, задача центификации состоит, в частности, в оценивании параметров, характери-гющих динамику поведения объекта. Решение задачи оценивания параме-ров необходимо также для обеспечения возможности использования известия алгоритмов фильтрации, управления, прогноза, классификации, а также ри оценивании корреляционных функций и спектров случайных процессов, остроение вероятностных моделей динамических систем предполагает так-:е изучение статистических свойств прогнозов наблюдаемых процессов, ко-орые существенно зависят от качества оценивания параметров системы.
Наиболее хорошо изучена проблема оценивания параметров линейных ре-рессионных моделей с независимыми отсчетами и полностью наблюдаемых роцессов авторегрессионного типа с дискретным и непрерывным временем. Дополнительные трудности лри оценивании возникают в случае, когда объ-кт не наблюдаем непосредственно и необходимо учитывать влияние помех канале измерений. В настоящее время разработан ряд методов оценивания еизвестных параметров частично наблюдаемых стохастических динамиче-ких систем с дискретным и непрерывным временем (наименьших квадра-ов, стохастической аппроксимации, максимального правдоподобия, корре-яционный метод и др.). Как правило предполагается, что сигнал может ыть подвержен линейным искажениям. При этом измерения могут содержать как аддитивные, так и мультипликативные помехи. Эти методы при-одят к оценкам с хорошими асимптотическими свойствами, такими как ильная состоятельность, асимптотическая эффективность и асимптотиче-кая нормальность.
В значительно меньшей степени изучена проблема оценивания па-аметров динамических систем, наблюдаемых с помехами при неасим-
птотических предположениях, когда объем выборки, по которой произ водится оценивание, конечен. Возможность нахождения оценок с извест ными свойствами при конечном объеме наблюдении дает использова ние последовательных планов оценивания неизвестных параметров. Прия цип последовательного оценивания впервые был предложен А.Вальдої для схемы независимых наблюдений. Для зависимых наблюдений (в мо дели скалярного процесса диффузионного типа) этот подход впервы был применен Р.Ш.Липцером, А.Н.Ширяевым и А.А.Новиковым. Дале в работах В.В.Конева, В.З.Борисова, С.Э.Воробейчикова, Е.С.Коневой С.М.Пергаменщикова и др. с позиций последовательного анализа решалис задачи оценивания параметров многомерных процессов, описываемых сто хастическими разностными и дифференциальными уравнениями, а в послед нее время в работах А.В.Мельникова и А.А.Новикова - для семимартингалої При этом, однако, в основном предполагалось, что изучаемые системы подда ются непосредственному наблюдению. Остался открытым вопрос о возмож ности оценивания с гарантированной точностью параметров стохастически: систем, наблюдаемых с помехами.
При построении моделей динамических систем существуют различны интерпретации понятия модели, согласующиеся с целями ее анализа. Прі этом наиболее прагматическим является подход, основанный на использс вании прогнозов наблюдаемого процесса. Качество прогнозирования, а, еле довательно, и качество моделирования стохастических систем может быт оценено, если известны статистические характеристики ошибок прогнозої Отсюда, в частности, возникает задача непараметрического оценивания вс роятностных распределений и их характеристик (производных плотносте распределения и их отношений, функционалов от распределений, функций о плотностей распределений и др.) по зависимым выборкам с нетрадиционнь ми типами зависимостей. Для независимых выборок и выборок с традициої ными видами зависимостей, таких как условия перемешивания различног типа, условия мартингального типа и др. разработаны и изучены разли* ные непараметрические и параметрические способы оценивания. Специаш ные типы зависимостей возникают, например, при восстановлении распр* делений шумов регрессионных процессов с неизвестными параметрами. Эт задачи рассматривались Л.А.Муганцевой и в цикле работ М.В.Болдина, гл были построены состоятельные оценки распределений шумов и решен ря статистических задач с использованием этих оценок. При решении задач н<
параметрического оценивания распределений и их характеристик по зависимым наблюдениям остается актуальной как для теории, так и для практики проблема получения оценок, сходящихся в среднеквадратическом или имеющих заданное значение среднеквадратического отклонения.
Цель работы состоит в построении и исследовании свойств последовательных планов идентификации параметров и статистических характеристик шумов линейных стохастических динамических систем с гарантированной точностью оценивания по наблюдениям с помехами, построении сходящихся в среднеквадратическом оценок неизвестных распределений и их основных характеристик по зависимым наблюдениям непараметрическими методами, а также применении полученных результатов для построения вероятностных моделей динамических систем и решения задачи адаптивного управления случайным процессом.
Методы исследований. В работе используются методы теории вероятностей, математической статистики, линейной алгебры и функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми в области непараметрической идентификации динамических систем, наблюдаемых с помехами:
Построены и исследованы последовательные планы оценивания параметров линейных динамических систем с зависимыми шумами, описываемых стохастическими разностными и дифференциальными уравнениями и применены для оценивания параметров процессов авторегрессионного типа, линейно искажаемых при наблюдении;
Построены и исследованы оценки основных статистических характеристик шумов линейных регрессионных процессов с заданным качеством в среднеквадратическом смысле, а также сходящиеся в среднеквадратическом;
Введены понятия асимптотических вероятностных моделей (АВМ) динамических систем. Приведен пример построения АВМ авторегрессионного типа;
Решена задача адаптивного оптимального управления случайным процессом с использованием гарантированных оценок неизвестного параметра для критерия, учитывающего скорость сходимости дисперсии объекта к своему минимуму.
Научная и практическая ценность работы определяется широкой применимостью теоретических результатов для решения задач, связанных с мо-
делированием и анализом стохастических динамических систем, наблюдас мых с помехами. Качество всех предложенных оценок определяется практи чески значимыми критериями - они обладают либо ааданяым среднеквадра тическим отклонением, либо сходятся в среднеквадратическом. Разработай ные в диссертации методы дают возможность синтеза решающих процеду для обработки реальных данных и могут быть использованы для построени моделей динамических объектов, линейно искажаемых шумовыми процесса ми при наблюдениях, а также в задачах адаптивного управления, фильтре ции и прогноза.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва лись на 9 и 10 Всесоюзных совеїдапиях по проблемам управления (Бреваї 1983г., Алма-Ата 1986г.), 12 Всесоюзной школе-семинаре по адаптивны! системам (Могилев 1984г.), 5 Симпозиуме "Машинное обнаружение закс номерностей" (Минск 1985г.), 4 Международной Вильнюсской конференци по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс 1985г. ] 5 Всесоюзной школе-семинаре по робастным методам непараметрическо статистики (Шушенское 1985г.), 2 Симпозиуме IFAC по автоматическс му управлению (Вильнюс 1986г.), III Уральской региональной конференци; "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Перм: 1988г.), Региональной научно-технической конференции "Измерение харак теристик случайных сигналов с применением микромашинных средств" (Но восибирск 1988г.), Всесоюзной научно-технической конференции "Статисти ческие методы в теории передачи и преобразования информационных сигна лов" (Киев 1988г.), Республиканской научно-технической конференции "Ма тематическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск 1990г.] 11-ом Всемирном Конгрессе IFAC (Таллинн 1990г.), Международной научно технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и ими тация случайных сигналов" (Новосибирск 1994г.), Международном семинар "Предельные теоремы и смежные вопросы" (Омск 1995г.), Втором Сибирски Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРЙМ-96) (Но восибирск 1996г.), 9 Международном Симпозиуме по непараметрическим ] робастным методам в кибернетике (Красноярск 1997г.), 15-ом Всемирної Конгрессе IMACS (Берлин 1997г.), на научных семинарах Томского госуни верситета, Томского политехнического университета, института математи ки СО РАН (Новосибирск), Московского государственного института элек
'роники и математики.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 35 печатных работ. )сновные результаты научных исследований по теме диссертации содержат-я в 32 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести лав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 341 страницу. Библиография содержит 363 названия.