Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Капиллярные неустойчивости свободной поверхности жидкости и факторы на них влияющие б
1.1. Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца б
1.2. Неустойчивость Тонкса - Френкеля 9
1.3. Неустойчивость Рэлея сильно заряженной капли 13
1.4. Эффект динамического поверхностного натяжения 16
1.5. Эффект релаксации вязкости 18
Глава 2. Асимптотический анализ капиллярной неустойчивости в поле силы тяжести плоской равномерно заряженной свободной поверхности вязкой жидкости. Влияние релаксационных эффектов 21
2.1. Капиллярные движения жидкости с заряженной свободной поверхностью. Механизм реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля 21
2.2. Капиллярные движения жидкости с заряженной свободной поверхностью при наличии эффектов релаксации вязкости и поверхностного натяжения 33
Глава 3. Влияние упругих свойств жидкости на формирование спектра ее капиллярных движений под заряженной свободной поверхностью 48
3.1.Качественный анализ при обезразмеривании частот на характерное время затухания возмущений поля скоростей 4 8
3.2. Исследование степени влияния эффекта релаксации вязкости от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля 60
Глава 4. Эффект динамического поверхностного натяжения в капиллярном движении заряженной свободной поверхностижидкости 80
4.1.Динамическое поверхностное натяжение с двумя характерными временами релаксации 80
4.2. Исследование степени влияния эффекта релаксации поверхностного натяжения от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля 102
Глава5. Капиллярные электростатические неустойчивости свободной поверхности жидкости сферической и цилиндрической форм 119
5.1.Критические условия неустойчивости движущейся относительно среды сильно заряженной капли 119
5.2.Электростатическая устойчивость заряженной, вращающейся сферической капсулы 123
5.3.Резонансная неустойчивость заряженных капель с учетом эффекта релаксации вязкости 131
5.4.Динамика заряженной цилиндрической поры в тонком слое вязкой жидкости 135
Результаты и выводы 14 4
Литература
- Неустойчивость Рэлея сильно заряженной капли
- Капиллярные движения жидкости с заряженной свободной поверхностью при наличии эффектов релаксации вязкости и поверхностного натяжения
- Исследование степени влияния эффекта релаксации вязкости от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля
- Исследование степени влияния эффекта релаксации поверхностного натяжения от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля
Введение к работе
Актуальность темы. Действие большого количества разнообразных физических, технических и технологических устройств , основано на использовании капиллярных электростатических неустойчивостей свободной поверхности жидкости. В частности, это относится к ионным коллоидным реактивным двигателям; к распылению топлив и лакокрасочных материалов; к получению интенсивных ионных пучков в жидкометаллических источниках ионов; к ионной эпитаксий и литографии; к жидкостной масс- спектрометрии; к жидкостным химическим реакторам при смешивании нерастворимых друг в друге жидкостей; к устройствам электрокапластруйной печати; к получению ультрадисперсных' порошков тугоплавких металлов; к вспомогательным установкам термоядерных реакторов при получении капель жидкого водорода для подпитки реакторов. Тем не менее на многие вопросы, связанные с закономерностями реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости, пока нет ответов. В частности, слабо исследован механизм реализации плоской свободной однородно заряженной поверхности жидкости. Не исследовано влияние тангенциального разрыва поля скоростей на свободной поверхности падающей в среде заряженной капли на закономерности развития ее неустойчивости по отношению к собственному заряду. Не изучено влияние заряда на устойчивость тонких свободных пленок жидкости. Причиной такого положения дел является сложность и многоплановость реализующихся физических явлений. В первую очередь сказанное относится к учету в разрабатываемых теоретических моделях релаксационных явлений, точнее говоря эффектов динамического поверхностного натяжения и эффекта релаксации вязкости.
В большинстве вышеупомянутых приложений приходится иметь дело с весьма мелкими капельками, характерные времена капиллярных колебаний которых сравнимы с характерными временами релаксации вязкости и. реализации эффекта динамического поверхностного натяжения (т.е. релаксации поверхностного натяжения). Поэтому релаксационные эффекты могут оказывать заметное влияние на физические закономерности реализации электропэдюдинамическях неустойчивостей и формирования спектра капель, эмитируемых неустойчивой поверхностью.
Цель работы состояла в исследовании закономерностей реализации капиллярных электростатических неустойчивостей свободной поверхности жидкости, в выяснении влияния эффектов вязно-упругости жидкости на коротких временных интервалах и динамического поверхностного натяжения на условия реализации таких неустойчивостей.
'*Для достижения поставленной цели необходимо было: - аналитическим а численным методами изучить особенности реализации капиллярных движений жидкости под заряженной плоской свободной поверхностью и условий перехода к неустойчивым движениям;- исследовать влияние эффектов дина-
мичеекого поверхностного натяжения, релаксации вязкости жидкости, ф зических характеристик внешней среда на закономерности реализации и устойчивости заряженной поверхности жидкости на финальной стадии ра: вития ее неустойчивости;- построить математические модели капиллярні колебаний объемов жидкости, имеющих замкнутые заряженные свобода поверхности, и найти критические условия реализации их неустойчивости
Научная новизна работы состоит в том, что в ней: - исследован вклад аффектов релаксации вязкости и поверхностного нат; кения в комплекс физических явлений, связанных с капиллярными элвктр* статическими апериодическими нвустойчивостями плоской, свободной аар; женной поверхности жидкости, а также с резонансной неустойчивост; сильно заряженной сферической капли; - впервые показано, что явлені релаксации вязкости и поверхностного натяжения существенно оказывают* на условиях реализации неустойчивости заряженной свободной поверхнею: жидкости; - впервые найдены критические условия реализации неустойчі вости сильно заряженной капли, движущейся относительно среда, а такз вращающейся заряженной везикулы; - проведено исследование закономернс стой временной эволюции заряженной цилиндрической порн в тонкой си бедной вязкой пленке жидкости.
Научная и практическая ценность работы заключается в предсказан! ряда новых эффектов, связанных с учетом вязкоупругих свойств жидкості зависимости величины коэффициента поверхностного натяжения ее cвoбo^ ной поверхности от частоты на закономерности реализации алектростаті ческих неустойчивостей. Значимость рассмотренных явлений связана тем, что они лежат в основе создания жидко-капельных дисперсных сие тем, являющихся ключевыми объектами при изучении разнообразных геоф зических явлений, при разработке методов и приборов для анализа состг ва, структуры и свойств различных веществ. Проведенное иеследовага позволило существенно расширить и углубить представления о физичесю закономерностях реализации как апериодических, так и колебательных не устойчивостей свободной заряженной поверхности жидкости.
На защиту выносятся:
I.Физическая модель влияния аффекта релаксации вязкости на струя туру спектра капиллярного движения под заряженной поверхностью жидке сти и на закономерности реализации ее неустойчивости. 2.Физичвскг модель влияния эффекта динамического поверхностного натяжения на вакс номерности капиллярного движения и устойчивость свободной заряжение поверхности жидкости. 3.Модель раскачки периодической неустойчивооа заряженной капли, движущейся относительно среда. 4.Расчеты устойчивое ти сильно заряженной, вращащейся везикулы (сферической капсулы, за полненной жидкостью). 5.Математическая модель устойчивости свободна
ленки жидкости: исследование закономерностей роста и охлопывания занесенной цилиндрической поры в такой пленке.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и об-уждались на: -16-ой конференции стран СНГ по вопросам испарения, гоєння и газовой динамики дисперсных систем. (Одесса, 1993); - на Ш вждународдой конференции "Современные проблемы электрогидродинамики и лектрофизики жидких диэлектриков" (Санкт-Петербург, 1994); - на 4-ой аучной конференции ученых стран СНГ "Прикладные проблемы механики идкости и газа" (Севастополь, 1995); - on the 8 meeting of the orking group on the problem: laboratory modeling of dynamic processes a the ooean& (St-Petrsburg, I9S5).
Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 156 страниц, том числа 82 рисунка, состоит из введения, пяти глав, выводов, спио-з литературы из 125 наименований.
Неустойчивость Рэлея сильно заряженной капли
Одной жз наиболее серьезных работ по теоретическому исследованию электростатических ноустойчивоотей заряженной поверхности жидкости является работа Рэлея [108], в шторой были найдены критические условия неустойчивости сильно заряженной капли„ Рэлей связал явление неустойчивости. заряженной капли идеальной, несжимаемой, идеально проводящей жидкостй, с развитием неуотойчивости капиллярных волн, существующих в жидкости уже в силу теплового движения молекул. Он представил каплю как колебательную систему о бесконечным числом степеней свободы и разложил искажение рельефа поверкности исходной капли по бесконечному набору сфэричеокжх функций. Затем, рассматривал амплитуды отдельных кагшллярных волн в качестве- обобщенных коорди он выписал фун КіЛїш Лагвзнжа для такой системы и исходя из ггошщипа нажменьше о действия овальных движений получил бесконечную систему несвязанных, уравнений Лагранжа для амплитуд различных мод капиллярных волн. Из вида уравнений полученной системы сразу следовало условие неустойчивости капиллярных колебаний гс-й моды в виде: где R ж Q радиус и заряд капли, о - коэффициент поверхностного натяжения. Из (I) видно, что капля становится неустойчивой, как только условие (I) выполнится для основной моды п 2. при выполнении условия (I) для основной моды капиллярных колебаний заряженной капли она начинает вытягиваться в сфероид. Естественно ожидать, что при этом для электропроводной жидкости по мере увеличения эксцентриситета сфероида поверхностная плотность заряда на его вершинах будет увеличиваться, что приведет к возбуждению более высоких мод, суперпозиция которых вызовет формирование на вершинах капли эмиссионных выступов, с которых начнется оброс заряда. Для проверки этой гипотезы в работе [193 была решена задача о нахождении критических условий неустойчивости заряженной проводящей сфероидальней линейном приближенжи по квадрату эксцентриситета в отсутствии взаимодействия между отдельными осе симметричными модами капиллярных волн зависимость критического значения параметра Рэлея для ;"-ой моды її. от величины эксцентриситета капли е имеет вид S-, = ТО ТІТ ТГТЇ е » Р [ " їїри є2 -» О условие (3) сводится к усЛОВИю Рэлея (I) для сферической капли. О увеличением же е вое її уменьшаются, что и позволя Ті ет объяснить капли в зависимости от величины ее эксцентриситета. Оказалось, что в механизм неустойчивости Рэлея. Как только для основной моды с п=2 исходной сфериичекой КЭШЕЙ вмполнйтоя- условие (I), эта мода станет неустойчивой и капля начнет вытягкваться в сфероид с эксцентриситетом, увеличивающимся по мере увеличения амплитуды основной моды. Согласно расчетам [19], когда є/ достигнет величины % 0,25, то в соответствии с (2) станет неустойчивой мода с п=2; ігри е2 % 0,38 - мода с ть=4; при е2 % 0,48 -мода о п=5 и т.д. до образования на вершинах сфероида эмиссионных выступов, с вершин КОТОРЫХ, начинается сброс высокодисперсных сильно заряженных капелек, уносящих заряд,
В обсуждаемом механизме реализации неустойчивости заряженной поверхности капли важную роль должна играть вязкость. Декремент вязкого затухания капиллярных волн в заряженной капле с увеличением номера мода п увеличивается с" тг, тогда как инкремент нарастания неустойчивости лишь " гс3 2 [22, 26, ,28] В Вависимости ио тязкости жидкости в формировании ЭМмоСИОННЫХ выступов на вершинах неустойчиво! капли будут принимать участие различное количество неустойчивых мод. В случае сильно вязких жидкостей участие высоких мод капиллярных волн в развитии неустойчивости несущественно, Мнкременты нарастания неустойчивости капиллярных волн в вязкой заряженной сферической капле быстро уменьшаются с увеличением номера моды [28]. Это приведет к тому, что на фоне увеличивающейся со временем амплитуды основной моды капли эмиссионнце выступы не успевт сформироваться прежде, чем капля разорвется пополам [27 81, 84, 109J. Т.е, в зависимости от вязкости капли могут существовать различные каналы реализации неустойчивости.
Роль вязкости в возбуждении капиллярных колебаний капли и развитии неустойчивости в ней можно характеризовать безразмерным, то вязкость играет определяющую роль в реализации неустойчивости заряженной поверхности капли. Сильно заряженные капли маловявких жидкостей (р. « 1) распадаются по закону, описанному в [22], С эмиссией около двухсот высокодисперсных сильно заряженных капелек. Заряженные же капли весьма вязких жидкостей (р. 1) делятся согласно .[22, 26, 27, 28, Si, 84, 1093 на две - три капли примерно равных размеров.
Для объемно заряженной кашж диэлектрической жидкости критическое условие реализации неустойчивости имеет вид (I), как и для идеально электропроводной капли. Но перераспределения заряда и возбуждения высоких: мод капиллярных волн не происходит, что приводит к делению капли на несколько частей сравнимых размеров при достаточно большом удлинении [27, 843.
Капиллярные движения жидкости с заряженной свободной поверхностью при наличии эффектов релаксации вязкости и поверхностного натяжения
Решения этого уравнения, рассчитанные численно при о - 0.1, представлены на рис.2 в виде завжсимостей 1т у = 1т у{а ) и Re у = Re у((f ) соответственно. Ms сравнения графиков, представленных на рис.2 и на риС Л (когда эффект релаксации вязкости не учитывался), несложно видеть, что учет вязко-упругих свойств жидкости приводит к выявлению новых периодрчесжих ж апериодических движений жидкости и устраняет физически некорректное поведение решений уравнения (2) в окрестности а ,г" О (ом. кривые 2 ж 4), вызванное ограниченной применймостью идеализации вязкой жидкости, не обладающей упругими свойствами. В реальной ситуации переход к бесконечно большим значениям вязкости жидкости сопровождается соответствующим увеличением ее упругих свойств (наглядной моделью такого перехода может служить изменение Бязко-упругжх свойств аморфных сред при их отвердевании) и сменой типа периодических движений, существующих в такой среде. йз сравнения данных, представленных на рис.1а и рис.2а видно, что качественный ход решений 1,3 и верхней части (выше 1т у = - 0.5 б"" ) кривой 2 остается неизменным. Меняется лишь положение точки ветвления, координаты которой на рис,2а равны: а2= 0.7, Іт у = 0.73. Максимальное значение декремента затухания виртуальных возмущений поля скоростей движущейся жидкости в рассматриваемой ситуации огра ничивается величиной Іт у -о " , поскольку у -Ш является реше нием уравненйй (9) и (10) (на рис.2а представлено линией 5). Участок кривой 2 (равно как и кривой 4 при о2 0), расположенный ниже орди наты. 1т у - - 0.5 б , который в отсутвш учета релаксации вязкости (см. рис. 1а) стремился к минус бесконечности при о2 - О, теперь ухо дит от оси 1ш у и асимптотически приближается при о, + ± со к решению у - согласно закономерности: у I о a j
В точках с координатами а = ± 0.13, Іт у = - 5 кроме того появляется новое решение (реализующееся независимо от знака а ) пред 40 ставленное на рже.2а кривой 6. Причем как при а2 О так ж при а2 и решение 6 имеет и вещеотвенную часть, нвограниченно растущую при cf" I - О, представленную на рис.26 кривымi 6 и б, соответствующими паре комплексно сопряженных корней уравнения (10).
Появление рвшений 5 и 6 также как ж части решения 2 с ординатами меньшими 0.5 б (нижнеж части кривой 2) связано с эффектом релаксации вязкости. Если решение 5 фактически введено руками выбором завжсжмостм вязкости от частоты в виде v = v (1 - lun f1 , то появление решения 6, а также изменение вида решения 2 связано с учетом упругих свойств жидкооти. Поскольку решение -6 представляет собой две волны, распространяющився в противоположных направлениях в весьма вязкой жидкости (а2« I) с -частотой, быстро растущей при уменьшешии fofI, затухающих с декрементом не зависящим от вязкости жидкости, опредедяющимся только величиной параметра 5 и следовательно связанных с упругими свойствами ЖИДКОСТИ, то МОЖНО предположить, что это решение связано с возбуждением поперечных волн в упругой среде, т.е. фононов. Асимптотическое выражение ггои fa ,п О для волн этого типа имеет виді 14 , = - 0.5 і б"1 Гі ± г (48 б /9 а/ J . Есж сравнивать в области а О при 5 = 0.1 решение I (см. рже.2а) с аналогичным решением при б - О (см. рис.la),то можно отметить, что кривая 1 в обоих случаях проходит через начало координат согласно асимптотической.зависимости 1ш у = - 0.5 а , но согласно численным расчетам величина инкремента нарастания неустойчивости Тожса - Френкеля при б = 0.1 в диапазоне изменения а2 от О до -10 незначительно увеличивается (примерно на 0,01) по сравнению со случаем 0 = 0. При f О область существования решения 5 немного расшжряется до абсциссы о2 = 1.6. жидкости эффекта релаксации поверхностного натяжения, более известного под названием эффекта динамжческого поверхностного натяжения. Природа эффекта связана с наличием в приповерхностном слое дкпольных жидкостей упорядоченной ориентации молекул , а также с образованием у поверхности диоеоцйжруящх жидкостей (электролитов) двойных электрических слоев, изменяшщйх потенциальную энергию, единицы площади поверхностм жидкости и следовательно ж величину коэффициента поверхностного натяжения. При внешних воздействиях на поверхность жидкости на характерных временных интервалах сравнимых свременем формироввния упорядоченной структуры или двойного электрического слоя происходит разрушение структуры поверхностного слоя жидкости и изменение энергий поверхности ЖИДКОСТИ, т.е. величины коэффициента о. В рассматриваемой ситуации уравнение (9) имеет вид:
Исследование степени влияния эффекта релаксации вязкости от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля
Феномен релаксации поверхностного натяжения (в соответствии с его наименованием в [14]), более известный ПОД названием аффекта динамического поверхностного натяжения, заключающийся в- изменении величины коэффициента поверхностного натяжения на частотах 10 Гц и являющийся по сути прояБлением свойства дисперсии плотности энергии сил поверхностного натяжения, представляет значительный интерес в связи с многочисленнвйи приложениями. В частности, обсуждаемый эффект играет важную роль в эдектродиспергированли жидкости, реализующемся с характерными временам!, меньшими 0,01 с [61, 11,, 123]. Отметим, что согласно [94] характерное время установления равновесного значения величины коэффйциента поверхностного натяжения может достигать нескольких часов, если жидкость содержит растворенные поверхностно активные вещества, медленновыходящие на ее поверхность. Это обстоятельство существенно расширяет описок физических явлений, в которых может проявляться эффект динамического поверхностного натяжения. Одаако, большинство новых работ носят частный характер и связаны с изучением феномена дигамического поверхностного натяжения для конкретных жидкостей в узких диапазонах изменения внешних условий. Что же касается физической природы обсуждаемого эффекта, то этот вопрос до сих пор исследован весьма мало, и то лишь на качественном уровне. В частности не выяснены закономерности взаимодействия капиллярных воле, и дисперсионных, порождаемых зависимостью величины_коэффйциента поверхностного натяжения от частоты капиллярной волны; не изучена физическая природа самого феномена и влияние на него наллчия электрического заряда на свободной поверхности жидкости. При аналитическом исследовании тадродинамичекзих явлений реализушщихся при существенлом влиянии поверхностного натяжения (например, в задачах о капиллярном волновом движении) эффект динамического поверхностного натяжения можно учесть введением комплексного коэффищ!ента поверхностного натяжения о согласно известной формуле Максвелла [11, 533: о = аш - а І-іьк}" ио - іьтз І-ШГ ; ot - а -о0, где о - значение коэффициента поверхностного натяжения на нулевой частоте; о - значение коэффициента поверхностного натяжения на вы-со соких частотах (при шт » 1); т - характерное время релаксации поверхностного натяжения (характерное время формирования двойного электржческого слоя у поверхности жидкости); ш - комплексная частота во временной зависимости амплитуд капиллярных волн от времени: ,(i) "" єхр(іьуі); к - волновое число; 1 - мнимая единица.
Шея в виду физико-химическую природу эффекта динамического поверхностного натяжения, связанного с наличием двойного электрического слоя у поверхности жйдкости, появление которого связано с действием механизмов различной физической природы (ориентирующего действия свободаой поверхности жидкости на дипольные молекулы; электростатического взаимодействия вблизи поверхности связанных ж свободных зарядов жидкости; диффузионного размывания упорядоченной приповерхностной структуры жидкостж) естественно обобщить эффект динамического поверхностного натяжения на случай одновременного существовшния нескольких характерных времен релаксации у одной и той же жидкости.
Итак, примем для опреденности наличие двух характерных времен релаксации поверхностного натяжения ти і . Тогда коэффициент поверзшостного натяжения aft) может быть записан в виде: o(t)----oQ+ at exp(/inl } .+ о2 exp(/\z}\ где ort- значение коэфрициента поверхностного натяжения равновесной поверхности. Ооотношение, определяющее связь между изменениями давления на повержности и кривизной поверхности, имеет вид [11, 471: і г7Г)(і) здесь U(%)- кривизна поверхности. Для Фурье образов этого соотношения найдем: лрСшЫо. о,- -ш, — Пї «2 1 Отсюда можно получить искомое выражение для комплексного коэф фициента поверхностного натяжения с двумя характерными временами релаксации: „ p,T „f„irr 0{й),)= ОQг О4 fO, . (І) 2.Пусть имеется одаюродно заряженная с поверхностной плотностью заряда а неограниченная плоская поверхность вязкой несжимаемой идеально электропроводной жидкости, заполняющей в поле сил тяжести полупространство z 0. Уравнение граничной поверхности в отсутствие возмущения записываетоя в виде 2=0, Пусть о и v - коэффициенты поверхностного натяжения и кинематической вязкости ж1дкости, а р - ее удельная плотность.
Исследование степени влияния эффекта релаксации поверхностного натяжения от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля
В разнообразных задачах физики, геофизики, техники ж технологии приходится встречаться с проблемой устойчивости заряженной капли, движущейся относительно среды [16, 18, 20, 21, 31, 37, 44, 91, 92, 97]. Из общих соображений очевидно, что в такой капле должны реализоваться неустойчивости двух типов: рэлеевская, или неустойчивость капли по отношению к собственному заряду, и неустойчивость границы раздела капли ж среды по отношению к тангенциальному разрыву поля скоростей, т.е. неустойчивость типа Кельвина-Гельмгольца. Ееустойчивость последнего типа относительно хоровю исследована для плоской границы раздела сред, но для сферической границы она почти не изучена, несмотря весьма большое количество публикаций, посвященных исследованию распада свободно падающей капли под действием аэродинамического сопротивления среды [18].Взаимодействие же указа ных неус-той швостей не изучалось.
Пусть идеальная несжимаемая диэлектрическая среда с плотностью р и дщэлектричеокой проницаемостью е движется с постоянной скоростью и относительно сферической капли радиуса Н идеальной иде-альнопроводящей жидкоСТИ о плотностью р , имеющей на поверхности раздела заряд Q- Будем решать задачу о нахождении условий реализации неустойчивости заряженной поверхности капли в обтекающем ее потоке.
Решение задачи проведем в сферической системе координат с началом отсчета в центре невозмущенной капли в линейном приближении по величине возмущения сферической поверхности , происходядего из-за теплового капиллярного волнового движения в капле. Примем, что капля обладает ооевой симметрией и уравнение свободной поверхности капли имеет вид
Волновое движение в окружающей среде и капле будем считать потенциальным с потенциалами скоростей и 1 соответственно, удовлвтворяющими уравнению Лапласа
Чтобы упростить решение задачи, целесообразно проводить расчеты в безразмерных переменных, в которых R=UO= 1HLQZ = 1, Тогда все остальные величины (за которыми оставим прежние обозначения) будут выражены в единицах своих характерных значений it. & При этом будем полагать р/р2 н р. Решение уравнений f?.j для Ф4, Ф2 о учетом (2) и возмущение будем искать в виде разложения по У : і П 1- 1 т/ fjp.ij = f f 2 4 г " У і PW »" «2fr,t; - вгі r: rn(\k) exp(st) ; (6) -i tj { ; , i. / — / м.г. І г i, p/ & jjjJ{ «3 4 ,/ у здесь ir , В , л - величины одного порядка малости, ф - потенциал скорости течения жидкости вокруг невозмущешой сферической капли» Выражение для скорости течения жидкости вокруг невозмущенной капли 122 имеет вид [ІЗ3: о3 У = здр = —- Зп \ II-п - С , где ті - вектор нормали к поверхноотж кайли. Примем для определенности, что направление скорости и совпадает с направлением оси 0Z в декартовой системе координат. Тогда, учжты-вая, что е е соз 6 - -ЄДЗІП 8,.п = е получим выражение для ско рости течения жидкости в окрестности каплж в оферической системе координат: д3 Я/ соз 9 ег+ 17 -sin 9 ее J + и\сов 9 е.. - sin 8 eQ J. (7) Подставляя решения (6), (7) в граничные условия (3) - (б) и претебрегая. межмодовым взаимодействжем, несложно получить дисперсионное соотношение для капиллярных колебаний капли:
Найденное снижение критических условий неустойчивости заряженной капли, движущейся относительно среды, может лежать в основе спускового механизма разряда линейной молнии [98а] ж физического механизма реализации огней св. Эльма [98].
В заключение отметим,что мспользованное при анализе приближение идеальной жидкости не ограничивает общности полученного результата поскольку критические условия реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду не зависят от вязкости жидкости.
Под "капсулой" обычно понимается тонкая эластичная оболочка, занолненная жидкШСтью. Понятие капсулл" введено в качестве идеальной модели при изучении таких объектов как эмульсии или эритроциты крови. Эта модель интересна тем, что спектр капиллярных волн в капсуле определяется упругими свойствами ее оболочки и не зависит от поверхностных свойств заполняющей ее жидкости [183. Если принять во внимание то, что тонкие пленки некоторых растворов и чистых жидкостей могут быть устойчивы [36], то к моделм капсулы в нулевом приближенжи сводятся также многие задачи, связанные с устойчивостью пен в химической технологии, с устойчивостью пузырьковых образований, возникающих прж горении металлизированных теплив [62]. В теории грозового електричества при моделировании таких явлений, как четочная ж шаровая молнии предложено уже около десятка моделей типа пузыря сводящихся в конечном итоге і? модели капсулы [в ]. КРОМЙ того изучение колебаний капсулы с.язанн? са явлений взаимодействйя упругих оболочек с жидкостью [71].
Целью настоящего раздела является выяснения влияния электрического заряда и вращения на критические условия устойчивости сферической капсулы по отношению к бесконечно малым искажениям ее Формы,
Пусть дана сферическая мембрана радиуса R, весьма малой толщины /г, причем (R » h), плотностью р, упругие свойства которой определяются коэффициентом поверхностного натяжения 2о, а внутренность заполнена идеальной несжимаемой жидкостью с плотностью р, равномерно вращающейся в поле сил тяжести в вакууме с угловой скоростью О :где О II g. Уравнение бесконечно малых колебаний такой мембраны при О -О, .#=0, когда во внутренней среде сущеотвуют капиллярные волны бесконечно малой амплитудн с потенциалом скорости , имеет вид (см. приложенже к данному разделу): Здесь Ur,B,$,1) = г(&r$,Л;-й - отклонение произвольной точки мембраны от положения равновесия («R), I - оператор Лежандра илж взятая со знаком минус угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.
Если теперь принять во внимание наличие поля сил тяжести и вращения и положить, что мембрана электропроводна и имеет електржческмй заряд 5 то в правую часть (I) следует добавить давление электростатического поля и поля центробежных и гравжтационных сил.