Введение к работе
Актуальность проблемы. В данной работе рассматривается некоторый подход к описанию термодинамическиx систем, поведение которых можно описать двyмерными моделями Изинга на решётке. Обычно такие системы ассоциируются с магнетиками. Термин "термодинамическая система" - означает систему, состоящую из большого числа частиц Лг, в которой отсутствуют стационарные потоки и все макроскопические параметры постоянны во времени. и предполагается что при вычислении величин, характеризующих систему, Л* должно быть устремлено к бесконечности В этом случae говорят о величинах в термолинамическом пределе или термодинамических величинах При этом наиболее интересной является проблема описания 'так называемых фазовых переходов которые связывают с неаналитичностью термол шамических'величин как функиий макросконических параметров характеризующих систему и её отношение к окружающим телам например, температуры Т и внешнего магнитного поля
В начале двадцатого века появилось несколько моделей для исследования фазовых переходов в магнетиках. Первую конкретную модель взаимодействующих магнитных момCHтоB предложил В. Ленц. Одномерная модель была решена Пзингом и впоследствии такого типа модели стали носить его имя.
Настоящая работа посвящена исследовашио нового подхода к решению двумерной модели Пзиига с полем. Идейно она примыкает к области исследований, называемой точно решаемые модели в статистической механике. Термин "точные решения" принадлежит Р. Бэкс-теру. он не совпадает с термином "строгие решения", поскольку в про-цессе получения точных решений допускается принятие ^доказываемых правдоподобных донушений. Несмотря на то. что Онсагер решил двумерную модель Изинга без поля в 1944 году модель с внешним полем до сих пор остаётся трудной и нерешённой. '
Целью работы является" построение и изучение алгебраических структур, позволяющих аналитически и численно исследовать мно-гопараметрические модели посредством специально разработанного в диссертации метода, приспособленного для выявления свойств моделей, связанных с перестройкой суммированпя в статистической сумме.
Состояние проблемы. В некотором смысле рассматриваемый подход является развитием идей давней работы Крамерса и Ванье, которым удалось путём перестройки суммирования статистической суммы определить критическую температуру двумерной модели Изинга
оез ПОЛЯ.
Рассмотрение многопараметрических плоских моделей н использованиe степенного представления трансфер-матриц соответствующих статистических сумм выявляет новые возможности этой идеп (путем перестройки суммирования получать сведения о поведении термодинамических величин) как в плане аналитического анализа, так и численного исследования на ЭВМ.
Особое место в диссертации занимают эксперименты на ЭВМ. Метод степенных представлений является, как показывают результаты диссертации, удобным и эффсктивным аппаратом для вычисления параметров моделей и провсрки гипотез, естественно возннкающих в ходе исследования этих моделей.
Методика исследований. Статистические суммы рассматриваемыX мпогопараметрических моделей допускают трансфер-матричное нредставленио и это, в свою очередь, позволяет рассматривать термодинамичсскпе свойства этих моделей на языке индексированных матриц и операторов, действующих в пространствах, являющихся тензорными произвсдениям1 N экземпляров двумерных пространств.
Подобного рода аппарат уже с успехом использовался при решении некоторых проблем в статистической физнкс. теории твердого тела и теории поля, например, при решении Яигом обобщснной одномерной модели Гейзенберга и в методе oбратной задачи рассеяниЯ - Фаддеевым с сотрудниками. В отличии от уномянутых работ в диссертации цептральное место занимает степенное представление трансфер-матрпц. Как правило, в решёгочных моделях используются краевые циклические условия, имеиио эти условия и позволяют получить трансфер-матричное представление статистической сумНы моделп Но с другой стороны согласно физическим представ тениям тсрмодинамические функции не зависят от краевых условий" В данной. работе это обстоятельство использовано для построения'так называемой возмущенной трансфер-матрицы (трансфер-оператора) которую можно'представить в виде степени другой матрицы (оператора) более простой структуры ЭтуПоследнюю матрпцТСерат^ГеХ-твенно называть корневой ^а.нс^Т^па^іП^п^Ттй^ оператором) В^дениГкорневь.?
рыичте^
также от,^^Z^Kn^L^Tr^n^lT^Z^ Jrn
попук,ГпГя 1 ДрJp tpZJ n^ZtZf '
HclL UKcUblbclIOIC/l CUdJjiill I t;*IbIIO ПРОСТЫМИ.
Комбинируя преобразования подобия, формулы следующие из перестройки суммирования статистической суммы и формулы, получающиеся применением теории возмущений, можно получать дифферен-циальные уравнения для максимального собственного значения корневого трансфер-оператора 16-параметрической модели на трёхпара-метрическом многообразии, отвечающем двумерной модели Изинга с полем.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В том числе получены:
а) степенное представление многопараметрических траисфер-мат
риц:
б) формулы для средних от двух и трёх операторов, связанных с
моделью Изинга:
в) уравнение для максимального собственного значения трансфер-
оператора трёхпараметрическо1 модели:
Кроме того, на основании степенного представления и разработанного численного метода, во-первых, вычислены различные характеристики модели, а, во-вторых, в достаточной степени обоснована одна структурная гипотеза о вoзможности перестройки трансфер-оператора. не связанной с перестройкой суммирования в статистической сумме.
Достоверность полученных результатов основана на строгих математических рассуждениях, их внутренней непротиворечивости, а при невозможности получения строгих математических результатов -на физически обоснованных гипотезах и на тестировании численных aлгоритмов на теоретически известных решениях изучаемых моделей.
Практическая и теоретическая значимость результатов диссертационной работы состоит в вoзможиости их применения при теоретическом и численом анализе термодинамнческого поведения физических систем.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 работ, список которых представлен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Аннробация. Основные результаты диссертации докладывались
-
на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В.Золотова (Владивосток, 1998, 1999);
-
в Хабаровском государственном техническом университете (1999);
-
в Хабаровском отделении Института прикладной математики ДВО РАН (1999);
-
в Институте прикладной математики ДВО РАН (Владивосток,
(і
1999):
-
в Дальневосточном государственном университете (Владивосток. 2000);
-
в Дальневосточной государственной академии эконолтки и управления на кафедре математики и моделирования (Владивосток, 2000);
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введенпя, четырёх глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета Л^-ВТеХ. Общий объём диссертации составляет 132 страницы, включая 13 таблиц и 5 рисунков. Библиография включает оС наименований.
Автор весьма признателен профессору В.В. Катрахову за многочисленные плодотвррные дискуссии, стимулировавшие поиск новых результатов и существенным образом определивших характер и форму данноа работы.