Введение к работе
Актуальность проблемы. Решение проблемы снижения веса конструкций связано с их усложнением и использованием тонкостенных элементов. Даже простейший варнантньш способ конструктивной оптимизации требует параметрических исследований на ЭВМ с использованием численных методов решения краевых задач. Самыми известивши среди них являются :
- конечно-разностные методы построения приближенных
решений дифференциальных уравнений с использованием конечно-
разностных аппроксимаций производных;
различные модификации метода конечных элементов, метод Бубнова-Галеркина, метод Релея-Ритца, основу которых составляют аппрохсимации решений дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями заданных функций: полиномов, тригонометрических функций и т. п.;
методы численного определения интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений по Рунге-Кутгу, Вольтерра, Пикару и т.п.
Самыми универсальными, получившими широкое применение, являются конечно-разностные методы и различные модификации метода конечных элементов. Однако, не всегда оправдано использование построенных на их основе мощных программных средств для исследования прочности отдельных наиболее нагруженных несущих элементов конструкций. Это тем более неоправданно, когда важным является знание погрешности, с которой получаются результаты.
Для решения краевых задач механики деформирования тонкостенных элементов конструкций более эффективными являются методы, в основу которых заложено численное интегрирование дифференциальных уравнений. К ним относятся методы Абрамова, Годунова, Гельфанда-Локуциевского и т. п. . Эти методы позволяют с меньшей погрешностью определять напряженно-деформированное состояние в тонкостенных элементах в местах его быстрого изменения.
Таким образом, повышение эффективности и стремление к контролю за погрешностью счета для известных численных методов, построение их модификаций и построение новых методов, является актуальной задачей исследований.
Целыо настоящей работы являются повышение эффективности известных численных методов для решения задач деформирования оболочек и пластин, в основу которых положено численное интегрирование обькновенных дифференциальных уравнении, а также, построение их модификаций и построение новых методов.
Научная новизна состоит в следующем:
-
Усовершенствован метод Годунова.
-
Повышена эффективность метода Абрамова.
-
Построены модификация метода Гельфанда-Локуциевского, его дискретньш аналог и модификация дискретного аналога.
4. Повышена эффективность метода, построенного на
вычислениях интегралов по Вольтерра и Пнкару в виде функций
Коши-Крмлова, и предложена его модификация для систем
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из
которых первого порядка.
5. Предложен метод решения краевых задач для систем
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений,
содержащих только четные производные, и его модификация.
6. Предложены три алгоритма определения значений искомых
вектор-функций краевой задачи необходимых для начала
интегрирования.
Достоверность основных научных результатов следует из математической строгости выкладок и преобразований при доказательствах научных положений, построении вычислительных процедур и из совпадения полученных и известньос результатов решения краевых задач.
Практическая ценность работы состоит в:
- повышении эффективности путем сокращения затрат
машинного времени, необходимой оперативной памяти ЭВМ и
контроля погрешности счета для известных численных методов
Абрамова, Годунова, Гельфанда-Локуциевского,
- построении их более эффективных модификаций,
- построении модификаций метода решения системы
дифференциальных уравнений, каждое из которых первого порядка,
- построение нового метода решения краевьсх задач для
систем линейных обькновенных дифференциальных уравнений,
содержащих только четные производные, а также в
- автоматизации счета по трем предложенным алгоритмам определения значений вектор-функций необходимых для начала интегрирования.
Настоящая работа является составной частью пятилетнего плана фундаментальных исследований Института Прикладной Механики Российской Академии Наук.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Численные процедуры н алгоритмы повышения
эффективности метода Годунова.
2. Численные процедуры повышения эффективности метода
Абрамова.
-
Метод, дискретный аналог метода Гельфанда-Локуциевского и его модификация.
-
Численные процедуры и алгоритмы повышения эффективности метода решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых первого порядка и эффективность его модификации.
5. Метод решения краевых задач для систем линейных
обыкновенных, дифференциальных уравнений, содержащих только
четные производные и его модификация.
6. Эффективность алгоритмов определения значений искомых
вектор-функций краевой задачи, необходимых для начала
интегрирования.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XVI и XVII Международньа конференциях по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1993; Казань, 1995); на Белорусском Конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-95" (Минск, 1995); на Международном Симпозігуме "Advances in Structured and Heterogeneous Continua II" (Москва, 1995); на научном семинаре Института Прикладной механики Российской Академии Наук (Москва, 1995); на Международной научно-технической конференции 'Современные проблемы машиноведения" (Гомель, 1996).
По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и краткого обзора литературы, 7 глав и основных результатов и выводов. Она изложена на 163 страницах машинописного текста.
Списох аннотированной литературы представлен 127 работами отечественных и зарубежных авторов.