Введение к работе
Актуальность работы.. Современная'теория оптимального управления возникла из стремления формализации интуитивного представления о наилучшем течении того или иного процесса, допускающего целенаправленные воздействия (управления). ..in-тематический арсенал теории представлен методами, основан -ными на принципе максимума, динамическом программировании классической /, -проблеме моментов, достаточных условиях оптимальности, связанных с идеями .расширения и-т.д. Приме -нение этих методов к той или иной конкретной задаче имеет целью получение либо аналитических оптимальных решений (что крайне редко удается), либо вычислительных оптимизационных процедур, которые, как правило, связаны с тем или иным ос -мысленным перебором управлений и траекторий системы. Таким образом, практическое нахождение оптимального (квази-опти -мального) рё-аенил, как правило, является весьма трудоемкой итерационной процедурой, имеющей в качестве элементарного звена процедуру численного интегрирования уравнений процесса, при заданном управлении, а также некоторых вспомогательных (напр., сопряженных) систем.
При оптимизации нелинейных распределенных систем, где одноразовое интегрирование является отдельной.и весьма трудной -задачей, применение общих методов оптимального управ -ления нередко приводит к практически нереализуемым вичисли- . тельным процедурам. Одним из путей преодоления этой трудности является разработка методов редукции исходной задачи оптимального управления к некоторой другой, посильной для практического численного решения.
Идея упрощающей редукции задачи является одной из са -мі-тс древних в математике. Реализация ее в математической фи.зике связана с известными преобразованиями Лапласа, Зурье, Хевисайда и т.д. Развитие этой идеи на задачи оптимального управления требует дополнительного осмысления уже на самом первом шаге - установлении эквивалентности (в определенном смысле) преобразованной и исходной задач. Это связано с необходимостью преобразования семейства траекторий и управлений и использованием возможностей расширения или сужения его (отображения). Далее основное исследование должно быть направлено на нахождение способов отображений, реализующих
2 '
упрощающие редукции достаточно емких классов распределенных задач оптимального управления, содержащих' и прикладные постановки, доведенные до численной реализации.
Таким образом, развитие теории и способов отображений (редукций) задач оптимального управления системами с рас -пределенныыи параметрами является актуальной проблемой, представляющей вклад в теорию оптимального управления. В качестве практического выхода здесь выступает решение прикладных задач, трудных для общих методов оптимального управления.
Цель и задачи работы. Целью настоящей диссертации является создание теории отображения в оптимальном управлении и" разработка способов редукции ряда классов распределенных оптимизационных задач, включамцих прикладные постановки.
Для достижения данной цели необходимо решить следующие
задачи: *
-
Разработать общую теорию отображении в оптимальном управлении как на уровне абстрактной постановки, так и для оптимизационных задач в системах с сосредоточенными и рас -пределенными параметрами;
-
Найти аналитические отображения, приводящие к упрощающим редукциям ряда классов задач оптимального управления системами с распределенными параметрами;
-
Подтвердить' эффективность разработанного аппарата преобразований на прикладных задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами, трудных с точки зрения имеющихся методов решения. . .
Научная новизна. -JB настоящей диссертаций впервые разработана теория и способы преобразования задач сптішального уп- , равления для классов систем с распределенными параметрами, что можно рассматривать как вклад в теории оптимального упра- . вления. Установлены глубокие г^тодологические связи теории--отображений б оптимальном управлении с теорией достаточных условий оптимальности В.3>.Кротова и о.бщим принципом сравнения В.М.Матросова.
Впервые получены следующие-, представляющиеся важными, результаты: ,
I) Сформулированч леммы-о совместнойоптимальности с ис-
' з
пользованием категории множественной биекции;
2) Получены теоремы о совместной оптимальности систем
' с сосредоточенными параметрами, динамических систем с рас- , пределеннши параметрами и систем Гурса-Дарбу;
3) Разработан метол инвариантного проектирования, по-
зволяющий сводить ряд ррспределенных оптимально задач к
Существенно более ПРОСТЫМ, В ДИ^.ереНІ'ИаЛЬНІїе СЕ,Т-
зи представлені,! обыкновенными уравнениями с параметрами;
-
Ра."работен метод освобождения ей- интегральных связей на управление;
-
Развита техника интегральных преобразовании с незамкнутыми ядрами для классов задач оптимального управле -ния системами с распределенными параметрами, включающих' задачи с линейным сосредоточенным управлением, а также распределенным управлением, входящим в поавуга часть системы вместе с производными по распределенному параметру (конечно-дифференциальное управление);
6) Решены прикладные задачи оптимального управления пространственно-возрастной структурой леса, реальной сие -темой ,"хищник - жертва", нелинейными колебаниями стержня с ограниченным и распределенным управлениями.
Поаттеск^_^ат;.юс7ъ^ Разработанная теория отобра--ления и способы редукции классов задач оптимгльного управления системами с распределенными параметрами являются составной частью исследований и разработок в теории и приложениях оптимального- управления, дт» результаты позволили решить задачи оптимгльного управления лесными ресурсами (на уровне древостоев), популяцией байкальского омуля с учетом динамики/рыбного корма - популяции желтокрылого бычка, а также нелинейными колебаниями упругих стержней. Ре -зультаты диссертации могут использоваться таїгке и для исследование других прикладных задач оптимального управления. Решение задачи оптимального управления структурой древостоев начло отражение в предложениях Сибирского отделения АН по Генеральной концепции развития производительных сил на территории бассейна оз. Байкал'(Лредлочения СО АН СССР,. 19Ь7 г.).
Ряд теоретических результатов диссертации использова- -лись в спецкурсе /'Распределенные системы", читавшемся авто-
ром в Иркутском госуниверситетё. .
Работа выполнялась в Иркутском ВЦ СО' РАН в рамках научно-исследовательских тем (номера государственной регистрации 01.9.10 0I0I33, 01.9.10 010134 и др.), а некоторые результаты использовались при выполнении хозяйственных договорных работ. При выполнении этих тем были получены ре -зультаты,' являющиеся личным вкладом автора в решение перечисленных вътае задач. Эти исследования и разработки выполнены автором самостоятельно.
Автор приносят глубокую благодарность проф. В.Ф.Кро -тову и проф. В.И.Іурману і-а возможность постоянного неуч -ного общения и обсуждения результатов работы. Автор благодарен также академику В.М.Уатросову .и проф. С.Н.Васильеву за постоянную поддержку, его работы 'В Иркутском ВЦ СО РАН.
Апробсция работы.' Основные результаты диссертационной работы докладывались и-обсуждались на Третьей всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск, 1977), УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления (Таллин, I960), IX Всесоюзном совещании по проблемам.управления (Ереван, 1983), Местом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1966), УІ Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск,1986), Шестой всесоюзной конференции по управлении в механических . системах (Львов, І96В), Международном Советско-Польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989), Международной школе-семинаре по методам'оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1989), Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизация" (Владивосток, 1991), Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва,, 1992), У (Международной научной школе "Метод функций Ляпунова у, его лрилоя:ения" (Иркутск, 1992), IX Байкальской школе-семинаре- по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1992) и др.
Публикации, По материалам диссертации опубликовано свыше \0 работ, в том числе одна монография.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введе -іия, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы включает 272 наименований (из них 226 -.отечественных и 46 зарубежных авторов). Приложение оформ-. ієно в виде отдельного тома ( 203 стр.текста,, 11 рисунков, 2 таблиц).