Методы, алгоритмы и структурные свойства решения краевых задач типа Газемана и Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы Юденков, Алексей Витальевич

Введение к работе

Актуальность темы. При расчете стержней, плоских оболочек сложных конструкций и т.д. в космической и авиационной технике, в строительстве важной задачей является определение напряжений и деформаций под воздействием различных нагрузок для областей сложной конфигурации. В классической статической теории упругости такого рода задачи формулируются как первая, вторая и смешанная задачи теории упругости (см. напри-мер [1], [2]*).

В работах Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили было показано, что первую основную задачу теории упругости можно свести к нахождению бигар-монической функции U(x,y) по заданным значениям ее частных производных.

47 ^{= Ы0}' ⁽²⁾

где g\ (0, g₂ (0 - заданные на L функции.

Напомним, что бигармоническую функцию U(x,y) в комплексной форме можно записать в следующем виде:

U{?) = -Qp₀ (z) + <р₀ (z) + z(p_x (z) + щ (z)) _{f (3)}

или U (z) = Re {F(z)}_? где

F(z) = (p₀(z)+z_l(z). Функцию F(z) называют бианалитической функцией. Первой и второй основным задачам теории упругости к настоящему вре-

Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теоріга упругости. М.: Наука, 1966

² Михлин С.Г. Приложение интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.: Л., 1947.

мени посвещено множество замечательных оригинальных работ Адамара, Лауричелли, С.Л. Соболева, Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Мих-лина, Д.И. Шермана и многих других известных российских и зарубежных математиков.

Особенно простые и эффективные решения были получены в случае, когда L представляет собой окружность и для областей, отображаемых на круг рациональными функциями (см. например [1]). Однако в случае разомкнутых контуров или произвольных замкнутых контуров при решении первой основной задачи теории упругости возникают существенные трудности, в частности из-за того, что бианалитические функции неинвариантны относительно конформных преобразований. Одним из возможных методов их преодоления может быть переход к другим краевым задачам для бианалитиче-ских функций в более общей постановке. Следует указать.что в анизотропных телах при решении краевых задач в теории упругости на границе неоднородности тела появляются разные напряжения и деформации, для описания которых вводится функция сдвига. Это имеет место и в краевых задачах со сдвигом для полианалитических функций.

Определение 1. Функция F(z) = u(x,y) + iv(x,y) называется полианалитической порядка п (п - аналитической) в некоторой конечной области D⁺ плоскости комплексного переменного z=x + iy, если она в D⁺ имеет непрерывные частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению

?М-0, (12)

где — = — — + і— - дифференциальный оператор Коши-Римана, neN, 81 2\дх. ду)

п>2.

Известно, [3] , что всякую полианалитическую в области D⁺ функцию F(z) можно представить в виде

F(z)=2z^k_k(z), (ІЗ)

k=0

где ф_к(г)(к = 0,1,...,п -1) - аналитические функции в D⁺.

Обычно функции 9(,(2),9,(2),...,9,,,,(3) называются аналитическими компонентами полианалитической функции F(z).

Следует отметить, что наиболее важные результаты в качественной теории полианалитических функций были получены математиками Смоленской школы, возглавляемой М.Б. Балком.

Первые краевые задачи для полианалитических функций были поставлены еще в работах ТВ. Колосова. Однако систематическое изучение классических задач для полианалитических функций началось с начала 50-х годов с работ B.C. Рогожина [4] и М.П. Ганина [5], [6].

Определенная завершенность в решении классических краевых задач без сдвига для полианалитических функций была получена К.М. Расуловым [7],

га*

Вместе с тем теория краевых задач со сдвигом для полианалитических" функций находится на начальном этапе своего развития. Большинство крае-

' ³ Балк М.Б. Полианаліггшеские функции и их обобщения. // История науки и техники ВИНИТИ / сер. Совр. пробл. матем. фунд. напр. - т.65. -м: ВИНИТИ, 1991. -с. 187-246.

'⁴ Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полианалипгческого уравнения // Учен. зап. Казанского ун-та. - 1950.-т. ПО, КН.З.-С. 71-93.

⁵ Ганин М.П. Краевые задачи для шлианалнтическнх функции // Учен. зап. Казанского ун-та. - 1950.
-т.Шкк. 10. с.9-13.

⁶ Ганин М.П. Краевые задачи для полианалшических функций//Докл. АН СССР. - 1951. - т. SO. №3
-с. 313-316.

⁷ Расулов К.М. О решении краевых задач типа Рішана для талганалтическнх функций в случае
многосвязных областей//Докл. АН СССР. - 1989. -т.ЗОб. Л1 - с. 41-46.

⁸ Расулов К.М. О решеніш основных краевых задач типа Гильберта для полнаналітпссшх функций
в многосвязных областях // Докл. АН Белоруса. -1992. - т.36. № 9 - 10 - с. 782-785.

вых задач со сдвигом для полианалитических функций решалось только для простейших областей (окружность, полуплоскость).

Следовательно, изучение краевых задач со сдвигом для полианалитических функций в случае областей сложной формы, получение алгоритмов для их решения составляет актуальную проблему.

Цель работы. В диссертации решаются три основных задачи со сдвигом для полианалитических функций (задача Газемана и Карлемана) в случае областей произвольной формы. Особое внимание уделяется исследованию структуры и алгоритмам решения этих краевых задач, а также применению разработанных методов в вопросах теории упругости. Приведем формулировки рассматриваемых задач.

1. Требуется найти кусочно полианалитическую порядка п функцию F^±(z), исчезающую на бесконечности и удовлетворяющую на L(L єС^(2п~²^) следующим п условиям:

5*-'F>(t))_ _G(03ⁿ-'F-(t)

ах^ву" ~^Gk( V-W ^fek()' ^k-^,*²"-ⁿ- ⁽¹⁴⁾

где G_k(t), g_k(t) - заданные на L комплекснозначные функции, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (2n-k-2) порядка, причем G_k (t) * 0, a(t) - прямой гомеоморфизм контура L на себя,

a'(t)^0 и a(t) удовлетворяет условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (2п-1) включительно.

Сформулированную задачу будем называть задачей Газемана для полианалитических функций (Г_п).

Отметим, что впервые краевые задачи такого типа для кусочно полианалитических функций ставились и изучались в работах И.А.Соколова. 2. Требуется найти п - аналитическую в области D⁺ функцию F⁺(z), удовлетворяющую следующим п условиям на контуре L

a-'F>(t))_ 5-'F⁺(t)

эх-¹^-¹ "^V-^-^{1 Ek(t)> k}-^--^ ⁽¹⁵⁾

G_k(t), g_k(t) - известные функции точек контура L, oc(t) - прямой гомеоморфизм, такой, что (a(cc(t)) = t).

Сформулированную задачу будем называть задачей типа Карлемана для полианалитических функций (К_п).

Впервые задача вида К_п была рассмотрена в работах В.С.Рогожина [4] и М.П.Ганина [5], [б].

Следует отметить, что задача К_п является прямым обобщением первой основной задачи теории упругости.

3. Требуется найти п-аналитическую в D⁺ функцию F⁺(z) удовлетворяющую на L следующим условиям:

d-^xF*{a{t)) _ ,.0"-^lF*(t) _/w ,„

где G_k(t), g_k(t) - известные функции точек контура L, a(t) - обратный гомеоморфизм, удовлетворяющий условию Карлемана (a(a(t)) = t).

Сформулированную задачу назовем задачей Карлемана для полианалитических функций (С_п).

Научная новизна. В диссертации разрабатываются новые методы решения основных краевых задач со сдвигом для полианалитических функций (задача Газемана, задача типа Карлемана, задача Карлемана), базирующиеся на, так называемых, обобщенных задачах Газемана, типа Карлемана, Карлемана и методе конформных отображений (аналог метода конформного склеивания). На основе этого подхода впервые получены решения задач K_n,

Т_п,С_п (и>2) в случае произвольных областей; выявлены классы рассматриваемых задач, допускающие полное исследование структурных свойств решения. На основе разработанных методов предложены новые решения

первой основной задачи теории упругости в случае произвольных конечных односвязных областей, а также в случае плоскости с прямолинейным разрезом. Дан общий алгоритм численного решения задач со сдвигом для полианалитических функций.

Практическая значимость заключается в создании новых методов эффективного решения основных задач плоской теории упругости. Разработанные методы и алгоритмы могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями задач механики сплошной среды. Основные положения диссертации, выносимые на защиту: В диссертации содержатся следующие новые результаты.

1. Метод решения краевой задачи Г_п для полианалитических функций в случае произвольных конечносвязных областей.

2. Решение краевой задачи Г₂ для бианалитических функций методом конформного склеивания.

3. Анализ частных случаев задачи Г_п, сводящихся к последовательному решению обычных задач Газемана для аналитических функций.

4. Метод решения краевой задачи АГ₂ для полианалитических функций в случае односвязной области.

5. Метод конформных отображений для задачи К₂\\ его применение в теории упругости,

7. Решение задачи *\ в случаях, которые сводятся к решению обычных задач типа Карлемана для аналитических функций.

8. Решение задачи Аі для многосвязной области.

9. Метод решения краевой задачи С₂ и его применение в конкретных задачах теории упругости.

10. Решение задачи С_п для п-аналитических функций.

11. Общий алгоритм для численного решения задач Г„, К_пу С„.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова, в Воронежской зимней математической школе, ла Минском семинаре по краевым задачам им.Ф.Д.Гахова (руководитель проф. Э.И.Зверович), кафедре математического анализа Рязанского педагогического университета (рук. семинара проф. М.Т.Терехин), кафедре высшей математики Смоленского сельскохозяйственного института (завкафедрой проф. А.П. Петунии).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 статей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, списка литературы. Главы разбиты на 11 параграфов. Нумерация формул (теорем) сквозная. Например, (3.2.) (или теорема 3.2.) означает 2-ю формулу (теорему) 3 параграфа. Общий объем диссертации составляет 126 страниц машинописного текста.