Введение к работе
Актуальность темы.
В настоящее время не вызывает сомнения значительная роль математического моделирования при изучении астрофизических процессов, получение экспериментальной информации о которых весьма затруднительно.
Особую роль в реальных астрофизических явлениях играют нейтринные процессы в сильных гравитационных полях. Известно, например, что мощные потоки нейтрино генерируются при гравитационном коллапсе звездного ядра, унося с собой большую часть энергии гравитационной связи (~ 1053 эрг), при вспышках Сверхновых и пр. С нейтрино также связывают одно из решений проблемы т.н. скрытой массы Вселенной. Предполагают, что нейтринными скоплениями определяется общее поле тяготения космической среды. Наблюдаемый дефицит солнечных нейтрино поставил вопрос о пересмотре представлений о характере термоядерных процессов, происходящих на солнце, роль которого в эволюции земных процессов является определяющей.
Трудности в получении подробной экспериментальной информации о нейтринных астрофизических процессах, проходящих в экстремальных физических условиях, требуют построения математических моделей, адекватно описывающих эти процессы. Тогда даже скудная экспериментальная информация позволит сделать важные заключения о характере поведения материи в этих условиях.
На ускорителях и в астрофизических условиях генерируются только левые нейтрино и правые антинейтрино {vi и Vr), спин которых направлен против и по направлению движения соответственно. Только они взаимодействуют с веществом и, следовательно, наблюдаются. Правые нейтрино и левые антинейтрино {vr и Vi) с веществом практически не взаимодействуют, и оно для них прозрачно. Если у нейтрино нет массы, то их спиральность в течении жизни частицы не меняется, даже при наличии внешнего гравитационного поля. Но если они массивны (хотя и с очень малым значением массы), на что указывает ряд экспериментальных наблюдений (т,, ~ 17 эВ), то возможны переходы vi <—> vr и Vi і—> Vr в сильных гравитационных полях. Построение и исследование свойств математической модели упомянутых спиновых переходов и является предметом данного исследования.
Характерной чертой астрофизических процессов, в которых
существенную роль играют нейтрино, является то обстоятельство, что эти процессы происходят в сильных гравитационных полях. Поэтому, для адекватного описания в подобных ситуациях влияния гравитационного поля на нейтрино необходимо учитывать эффекты ОТО, т.е. учитывать заметную искривленность пространства-времени. Следовательно, возникает необходимость в построении и исследовании математических моделей описывающих нейтринные процессы в искривленном пространстве-времени.
Поскольку нейтрино — объекты квантовой природы, то построение адекватной математической модели поведения спина нейтрино возможно лишь на основе квантового релятивистского волнового уравнения Дирака.
Уравнение, описывающее влияние релятивистского гравитационного поля на нейтрино было предложено Д.Д. Иваненко и В.А. Фоком в 1929 г. Данное уравнение представляет собой обобщение классического лоренц-ковариантного уравнения Дирака на случай искривленного пространства-времени.
Построение моделей астрофизических процессов на основе общеко-вариантного обобщения уравнения Дирака — давно разрабатываемое направление математической физики. Однако, малоизученным остается такое явление как спиновая динамика массивных нейтральных дираковских частиц, движущихся в сильных гравитационных полях. Впервые математические модели поведения спиральности массивных нейтрино в релятивистском гравитационном поле изучались в работах В.П. Цветкова (Цветков В.П., 1985; Цветков В.П., 1998), а представленная диссертация является дальнейшим развитием этих работ. Целью работы является построение математической модели, описывающей спиновую динамику массивной нейтральной дираковской частицы (нейтрино), движущейся в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда, а также разработка математических методов для исследования этой модели.
Особый интерес для нас представляет изучение роли массового члена общековариантного уравнения Дирака в спиновой динамике нейтрино. Научная новизна.
В диссертации впервые исследована математическая модель спиновой динамики массивной нейтральной дираковской частицы в гравитационном поле Керра, в основу которой положено общековариант-ное уравнение Дирака, а также моделирование частицы распростра-
няющимся волновым пакетом. Впервые при исследовании моделей данного типа использована техника мультипликативного интеграла и разработаны вычислительные схемы для численных расчетов.
Впервые разработан метод оценки влияния на решение уравнения Дирака эффекта расплывания волнового пакета для случая искривленного пространства-времени. Установлены границы применимости найденного в работе приближения нерасплывающегося волнового пакета.
Впервые получена система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая спиновые переходы массивной нейтральной дираковской частицы, движущейся в гравитационном поле Керра-Шилда. В первом по массе приближении получены аналитические формулы для вероятностей спиновых состояний массивной нейтральной дираковской частицы. Показано, что вклад в изменение вероятностей дают члены порядка скорости изменения метрики ц направлении движения пакета. Теоретическая и практическая значимость.
Теоретическая значимость полученных результатов состоит в универсальности подхода к постановке задачи и общности математических подходов к ее решению.
Результаты диссертации могут быть использованы для интерпретации экспериментов и астрофизических наблюдений с целью получения новых данных о влиянии сильного гравитационного поля на поведение спина массивных фермионов.
Разработанные вычислительные схемы могут быть применены для решения широкого класса эволюционных матричных уравнений. Достоверность и обоснованность полученных соискателем результатов базируется на фундаментальных физических концепциях положенных в основу постановки задачи и применении строгих математических методов для решения уравнений и численных расчетов. Апробация работы.
Основные результаты представленной диссертации докладывались на международной конференции "Modern Trends in Computational Physics" (г. Дубна, Объединенный Институт Ядерных Исследований, 1998 год), на I конференции-семинаре "Математические модели сложных систем" (г. Тверь, ТвГУ, 1999 год), а также на научных семинарах кафедры общей математики и математической физики ТвГУ и лаборатории вычислительной техники и автоматизации ОИЯИ (1997, 1998, 1999, 2000 гг.).
Публикации.
В процессе работы над диссертацией опубликовано 6 печатных работ, 2 работы находятся в печати. Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 124 листах, содержит 1 рисунок и список литературы, включающий 99 наименований.