Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивное развитие космической эхники привело к рассмотрению вопросов взаимодействия ісокотемпературньїх и высокоскоростшх газовых потоков с этзерхностями различных тел и вызвало бурное развитие в эследние годы целого научного направления тепломассообмена -эории тепловой защиты. Взаимодействие горячего газа с эверхностыо тела связано с протеканием многочисленных и заимозависимых процессов. Теоретическое изучение этой проблемы общем случае должно основываться на решении системы іфференциальннх уравнений, описываюпщх явление нестационарного ;пломассопереноса в системе газ - тело: уравнений внешней эзодинамики, конвективного и радиационного переноса тепла к злу, переноса массы во многокомпонентной реагирующей газовой леей; кинетики, разрушения и движения материалов тела в зердом, жидком и газообразном состояниях и т.д.
Используемые в настоящее время в инженерной практике лствмы тепловой защиты можно разделить на две группы, татывающие их основные свойства и принципы работы: . Активные системы - использующие искусственное уменьшение чешних тепловых потоков, действующих на поверхность тела:
конвективного охлаждения, основанного на циркуляции эплоносителя;
массообменные (на основе пористого, пленочного или зградительного охлаждения);
с разрушением (уносом) материала, использующие физико-«мические превращения на поверхности тел;
электромагнитного регулирования теплообмена, ятользующие метода электрического или магнитного воздействия з плазму, обтекающую тело.
. Пассивные системы - не использующие искусственное уменьшение гешних тепловых потоков:
использующие радиационное охлаждение (экраны);
теплоаккумулирующие:
а) на основе теплоизолирующих материалов (обмазок) из
теплостойких материалов с низкой температуро
проводностью - "холодная" конструкция;
б) на основе жаропрочных материалов с рабочей
температурой І8СШ и выше - "горячая" конструкция.
Для более эффективной теплозащиты могут использоваться комбинированные системы, основанные на использовании двух или более указанных выше способов. В настоящей работе рассматривается один из видов активной тепловой защиты -массообменный, когда навстречу потоку подается охладитель - газ с теми же свойствами, что и в набегающем потоке. Преимущества систем теплозащиты і использующих массообменный принцип охлаждения, перед другими обусловлены тем, что в этом случае может быть сохранена внешняя форма защищаемого тела и, в известной степени, возможно поддержание температуры поверхности на желаемом уровне с помощью . соответствующего расхода охладителя.
_ Так как энергетические ресурсы (суммарный расход охладителя, модность системы охлаждения) на борту летательного аппарата ограничены, то возникает задача построения оптимальной тепловой защиты, которая укладывается в вариационную схему типа Иайера.
В настоящее время существует три основополагающих подхода к оптимизации процессов управления: принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Веллиана и современное вариационное исчисление.
Все эти подходы равноправны, но когда речь идет о* оптимизации процессов, описываемых нелинейным! дифференциальными уравнениями в частных производных, то да отыскания оптимального управления приходится обращаться з третьему подходу: формализму Лагранжа, так как принци! максимума, например, доказан только для ограниченного класс систем, а применение метода Беллмана наталкивается н "проклятие размерности". Следует подчеркнуть, что использование формализма Лагранжа приводит к проблем совместного интегрирования исходной и сопряженной систем которая для практически важных задач является чрезвычай-сложной с математической точки зрения: эта сложной усугубляется еще и тем, что некоторые множители Лагранжа, кг правило, терпят разрывы первого рода в угловых точках грани области, где протекает управляемый процесс. Для решения эт< проблемы возможны два пути:4
I. Дальнейшее развитие собственно теории уравнений
:тными производными, точнее - теории краевых задач.
2. Создание специальных методов решения вариационных іач, к которым следует отнести теорию инвариантных иационных задач, созданную известным немецким математиком и Нетер.
Говоря о применении этой теории, следует выделить два нципиальных направления.
Первое из них связано с конструированием законов ранения физических полей, моделируемых с помощью различных иационных принципов.
Второе направление связано с работами К.Г.Гараева. ность этого направления заключается в конструировании ергентных форм (законов сохранения), а в некоторых случаях и вых интегралов для некоторых классов оптимальных систем, что ественно упрощает задачу построения управляющих воздействий задачах оптимального управления пограничным слоем такой ход позволяет получить оптимальное управление в литическом виде).
Целью работы является математическое моделирование имальной неразрушающейся тепловой защиты с целью минимизации егрального теплового потока, передаваемого от пограничного я газа к обтекаемой поверхности при гиперзвуковых режимах ения; в качестве управления выступает удельный расход адителя, подаваемого навстречу потоку через пористый или $орированный участок обтекаемой поверхности; мощность темы охлаждения считается заданной.
Научная новизна. За последние 20-30 лет в механике кости и газа нашли широкое применение методы теории групп и ебр Ли. В настоящее время направление исследований, занное с приложением групп Ли к дифференциальным уравнениям лассификации соответствующих инвариантных решений, развитое работах Л.В.Овсянникова, получило название современного ппового анализа. Инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянниковз нется эффективным средством отыскания частных (инвариантных частично инвариантных)* решений уравнений математической яки.
В проблеме управления теоретико-групповые методы впервые я использованы в работах Павлова В.Г., Кухтенко А.И., енова В.Н., Павловского D.H., Яковенко Г.Н., Гараева К.Г.,
Можаева Г.Б., Борецкого И.Ф. и других исследователей. Сред зарубежных авторов первые публикации в атоы направлена: принадлежат Арбибу М., Брокету'Р., Барнету С, Хериану Р. Калыану Р. и другим учении. Использование группового подход позволяет представить свойства и закономерности систеї управления в форме законов симметрии, выражающих инвариантност; моделей объектов управления относительно групп преобразований и тем самым реализовать идеи эрлангенской программы Ф.Клейна : проблеме управления.
Следует отметить, что наиболее интересных результатов (ка: было показано в работах Гараева К.Г.) можно добиться прі совместном использовании теории групп Ли и теории инвариантны вариационных задач Э.Нетер.
Исследования по развитию и применению теории инвариантны вариационных задач к проблеме управления системами распределенными параметрами (к числу которых принадлежит і данная диссертация) носят оригинальный характер; число работ : этом направлении в мировой литературе незначительно.
В рамках точных уравнений пограничного слоя (т.е. когд движение жидкости или газа описывается уравнениями в частны производных) типа Прандтля большинство работ посвящен оптимальному управлению движением несжимаемой жидкости оптимальным же задачам динамики вязкого сжимаемого газ посвящены единичные публикации.
В диссертации получены следующие новые научные результаты
проведена групповая классификация, построены закон сохранения и доказана теорема о существовании первого интеграл в задаче оптимального управления ламинарным пограничным слое электропроводящего газа при наличии магнитного поля;
поставлены и решены задачи оптимизации тепломассообмена ламинарном пограничном слое электропроводящего газа при наличи магнитного поля в плоском и осесинметричном случаях;
вычислена группа симметрии, построены законы сохранения получен первый интеграл в задаче оптимизации тепломассообмена ламинарном пограничном слое неравновесно диссоциирующего газа
поставлена и решена задача оптимизации тепломассообмена ламинарном пограничном слое равновесно диссоциирующего газа.
Основными методами исследования . являются мето; вариационного исчисления и оптимального управления, теорв
рупп и алгебр Ли, теории инвариантных вариационных задач втер, теории ламинарного пограничного слоя и теплопередачи, этод обобщенных интегральных переменных Дородницына.
'Объектом исследова"ния являются системы дифференциальных равнений в частных производных параболического типа, писывающие оптимальные режимы течения ламинарного пограничного лоя сжимаемого газа при гиперзвуковых режимах течения.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные теоре-ические.. результаты могут стимулировать появление работ по оделировзнию оптимальной тепловой защиты гиперзвуковых етательных аппаратов с дальнейшим продвижением в область более ысоких температур и скоростей.
Для использования в инженерной практике разработана рограммз расчета на ЭВМ минимизирующей последовательности начений конвективного теплового потоки и соответствующей оследовательности оптимальных законов . вдува. Программа тличается универсальностью {заложена альтернатива: плоский лучай - тело вращения), простотой (используется диалоговый ежим работы) и наглядностью (предусмотрен широкий спектр рафического представления результатов расчета).
Достоверность исследований вытекает из математической прогости постановки рассматриваемых задач и применяемых іетодов, а также сравнения полученных результатов с ранее наполненными работами по оптимальному управлению пограничным :лоем.
Публикации и апробация работы. Результаты диссертации
[вкладывались на научных семинарах кафедры специальной
іатематики Казанского государственного технического
гниверситета им.А.Н.Туполева, факультета математики
ниверситета Биргама Янга (г.Прово, США), аэрокосмического іакультета университета штата Вашингтон (г.Сиэтл, США); на хі ісероссийском коллоквиуме по современному групповому анализу [г.Самара), на iv Международной конференции по математике, «еханике и физике, посвященной 95-летию М.А.Лаврентьева [г.Казань), на Международной научно-технической конференции 'Типерзвуковые течения и гиперзвуковые технологии" (г.Жуковский, ЦАГИ), на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования а автоматизированного проектирования в машиностроении"
(г.Казань),, на 3-й межведомственной научно-техническо конференции "Проблемы управления и навигащи авиационно космических систем" (г.Киев), на юбилейной научно-техническо конференции, посвященной 50-летию НИЧ КАИ (г.Казань).
Результаты исследований опубликованы в 2 статьях ( журналах "Известия вузов, математика" и "Известия вузог Авиационная техника"), в материалах хи Национального Конгресс по тепломассообмену (т.Л'Акуила, Италия) и в тезисах различны .конференций. В автореферате приведен список из 10 работ по теу диссертации.
Работа выполнялась в рамках гранта Конкурсного Центр фундаментального естествознания при Санкт-Петербургскс .государственном университете по теме "Группы Ли и теория Нете в проблеме управления с приложением к задаче оптимальної управления пограничным слоем злектропров"одяще жидкости" (І994-95ГГ.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введена* трех глав, заключения и библиографического списка, включающе] 96 наименований. Работа содержит 137 страниц машинописної текста, в том числе 10 рисунков и 4 таблицы.