Математическое моделирование некоторых задач системного анализа с применением градиентных структур и дифференциальных преобразований Адамян, Гагик Варданович

Введение к работе

Актуальность темы. Нзобходи:,:ость быстрого ошзвлэнпп экономики страны требует разработки и ксслэдования нешх сродств прсеїшфовант.упрзвлзштя, принятия рзгЕзшй, разработки новых технологии и т. п., что невозмояшо бэз постановки и опэрзтив-ного рэпхжня обппряого іфута научпо-тогяятоских лроблзм.свод-{щагся к раазмчша задачам сестонного анализа. В настогсцза врзмя доспезнеэ зтоз цэля швокгсзпо бэз широкого впздранкя я эффективного исгшьеовання рззлгпгых срэдстз ПМЧНСЛГГОЛЬНОЛ гахшпст. При ото:.! на пзрнуз пхзя гэдааггэтся.пройгэнз совэр-ззнствования езезстных и рззргботкії новых, балез эффективных і универсальных катодов математического кодэлирования, а так-::э соответствующих алгоритмов и машинных програкм, базирующиеся на достикзниях науки и техники. Позтоглу разработка та-шх срэдств, в частности, для рэсэння систем конечных уравно-пгз <СКУ), задач иатеиатнчэского програгсщрования <ЗМП) и ди~ іакнчвскиз экстрэиальных задач (ДЭЗ), встрэтаздихся в самых зззхнчпых областях породного хозшстза, лзлкэтся актуальной гаучно-тохничоской проблз:;оз.

Цэлко диссортаїглзниоз работы являзтся разработка и ис-

^дов^э EOBsnt срэдстз рггзшія СІС, Е'ЯІ п ДЭЗ, основанных я градеэитяых струїп'ірзх и дг^зрзшсгалыаа { тоалоровских ) ірзсбрзсоЕанпях. Дрстггзпкз отоз цалп прэдползгсэт рэкэнкэ

иЭДУП^Я ЕСПрОСОВі

разработка погія гэгэлэз її алгоргггаоз рзтания СКУ, ЕШ и ДЭЗ с кспользокшгггл градоптпш; структур;

разработка sosax ггогдпз и алгорзгазв рспхшия СКУ, ЗМП и ДЭЗ, основанных на дгф^рзищяльЕЫз: преобразованиях;

составлзягэ глезянпнх прогрел на оспою разргботанных алгарптюві

эксЕэрггзнтзлыюэ госгэдозагз зтпх алгоритмов с цэльэ еыявхзння их осяоешж Еігіпссікшдні характеристик.

Аппарат ксслэдоваяш бзсгруэтся на градгантных струэту-

ах, на Еэтодах Лагранза.рэдущрованяого фазового простргзст-а, пгграфньн фушшдз, да^эрэшщалышх уравнений, прслцша акспяуиа Понтрягша, на кэтодэ дгйэрэвдиальшх преобразована Пухова, на чисгэнеыз: катодах н на теории алгоритнов.

Нзучнзя новизна- работы заключается в слэдухцза:

развиты ютоды репання СКУ, КШ и ДЭЗ, которыэ основа-еы на градкзвтних структурах и обоспечиваэт получение рзшнкп этих задач в реальном и ускоренном врзілзни;

прэдоюя-эны принципиально новью катоды ранения СКУ, їїЛ и ДЭЗ, основанию на одяо:лзрных даффоренциальных преобразованиях и слуиащЕэ основой для ортанизацші эффективных параллельных вычислительных процессов?

из основа этих катодов разработаны численные алгориткы росзния СКУ, ЕШ и ДЭЗ, обоснована их сходаглость при прастоа способе выбора рада параметров этих алгаритков а такзэ показана их высокая вычислительная эффективность;

выявлены возможные шчЕслнтелъныэ трудности приглэнэния прздлошнных средств, и даны общие практические, рзко-кзвдации с целью преодоления этих трудностей при организации численных процедур.

Практическая ценность работы. Предложенные и исследованные в диссертационноя работе средства, базирующиеся на градиентных структурах, послужили основой для разработки бортовых специализированных пйридных вычислительных устройств с хороший весогабаритныш показателями, предназначвнвши для оперативного решения указанных классов задач. Средства, базирующиеся на дифференциальных преобразованиях, основаны на едином подходе, используют идеи максимальной декомпозиции и агрегирования горзкенных, ввиду чего могут быть успешно применены при организации параллельных вычислении.

Реализация результатов исследований. Результаты исследований, полученные при выполнении хоздоговорных НИР в рамках темы "Грздознт" - "Разработать теории алигативного моделирования, и методов синтеза на ео основе гибридных вычислительных систем сверхвысокого быстродействия", выполненной по Постановлению Президиума АН УССР от 27.12.85 г., используются в Отделе гибридного надедкрованкя Института проблей моделирования в энергетике АН УССР-(акт внедрения от 18 октября 1990 г. от ИПМЭ АН УССР, г. Киев), а также при обучении студентов по специальности АСУ (специализация "Автоматизированные системы научных исследования и комплексных испытаний" ) на кафедре

Информатики и управления" Ереванского политехнического инс-итута ( справка от 7 марта 1991 г. от ЕрПИ, г. Ереван ).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной

аботы докладавались и обсуждались на Всесопзноа конференции Моделирование - 85" (г. Кивв, 1985 г.), на второй Всесоюзной онференцни по актуальным проблемам информатики и вычисли-ельноа техники "Информатика-87" (г. Ереван, 1987 г.).на вто-ой республиканской научно-техничэсноа конференции "Соврзкен-ые системы автоматического управления и их злешитпая база" г. Ереван, 1986 г.),на третьей ресдубликанскоп нзучно-техни-ескоа конферзноди "Новые достижения в области прпЗорострое-ия" (г. Ереван, 1987 г.).на республиканской научно-тохничес-оа конференции "Приборы и системы упр^лзния" ( г. Ереван, 989 г.), на школах-семинарах по дифференциальный преобразованиям { г. Ниев, 1988 г.; г. Житомир, 1987 г. ), на научных шфэрзнциях профессорско-преподавательского состава ЕрПИ, а , анже на научных семинарах кафедр "Автоматизированных систем правления" и "Информатики и управления" ЕрПИ.

Публикации. Основные результаты диссертацйошгаз работы

шубликованы в 9 работах, а также отрэкены в 2-х отчетах НИР ю хоздоговорным темам.

Диссертационная работа состоит из введения, 5-й глав,

включения, списка литературы в количестве 105 найменований, :одержит 136 страниц машинописного текста, а такяэ 23 рисун-са и 8 таблиц.

Во введении обоснована актуальность рассйотренных в дас-

:ертационной работе вопросов, сформулирована цель исследова-шй, отмечена научная новизна и практическая ценность работы, і также приведено ее краткое содержание.

Первая глава содержит обзор ряда кетодов решения СКУ,

ЇМП и ДЭЗ. Здесь приведены также постановки этих задач: 1. Система конечных уравнений!

/<х> = В, <1>

где г = (/^,...,/_п>^т - вектор нелинейных функций; X = (X_t,.. ..,х_п)^г- вектор неизвестных пэременных, подлежащих определе-аию. Найти решение этой.системы, предполагая, что оно сушест-

вует, означает определить такие значения вектора х, при ко торых уравнение превращается в тождество. 2. Задача математического программирования:

L(X) » min , <2

при условиях

С. <Х> < 8; і = ±7г , (3

С <Х> =0; і = г + i,m, (4

где Ltx) - скалярный критерии качества; с_±, і = ГГяГ -функции

задающие ограничивающую область Ice"; х = t,... ,х_п>^т-век-

тор исковых переменных. Допустимый вектор неизвестныг пэре менных, одновременно доставляющий глобальный минимум кригери

качества <2>, является оптимальным решением задачи (2)-(4). 3. Динамическая экстремальная задача:

1_<Х,Ш min , (5

при условиях

С(Х,Ц> < И, (6

х - f (Х,и) = а, 17

x = х , <е

о о*

где L(x,u> - скалярный критерий качества; x = 4,..

..,x_n(t))^T -вектор ПеремеНЯЫХ СОСТОЯНИЯ; U(t) = (u^t),..

..,u_r)^r - вектор управляющих переменных ; С = (с^,...,^)¹

- вектор ограничивающих условий; f = (/_t,...,^_n)^T - векто] правых частей системы дифференциальных уравнений; x(t_o> ш tx_tQ>,...,х_пo))^т - вектор начальных значений переменны; состояния. Решением задачи является функция оптимального уг равления ^u_opt ^{при траектории х tt) из поля экстремалей}

удовдетворягаиг условиям <5) - <е>.

В зтоа главе рассмотрены тайне некоторые особенности о; ганизациа вычислительных процессов при решении приведеннь задач,в частности, вопросы выбора шага в градиентных метода] вопросы сходимости, масштабирования, учета ограниченна, вь бора критериев останова итерационных процедур. Обоснована це лесообразность разработки быстрых градиентных дифференциал ных моделей, а такав соотвэтствущвх аналогов, основанных і даїфзренциальЕья: преобразованиях и прэдаазначенныг для опер? тивного решения указанных задач, представлены некоторые ирг

виїа и формулы тейлоровского исчисления,используемые при разработке и исследовании тейлоровских моделей <Т-моделеа).

Вторая глава посвящена разработке градиентных модален

решения СКУ, ЗМП и ДЭЗ.

Для решения СКУ используя метод штрафных функция, кусочно-плоскую аппроксимацию векторных функция нвскольках переменных и кэтод дифференциальных уравнения получены однопзра-нетрическиэ зависимости вида

д X_k = AX(AX_k<0>,t> (9)

где дх_к - приращение переменных задачи. G учетон <Э) система (і) на к-ом шаге итерационных процедур представляется полностью расщепленной, эквивалентной с точностью до линейной аппроксимации системой конечных уравнений с единственный агрегирующим параметром t:

f > = ftx. + дх. (t>) = f. (t) = a, uo)

гдэ x_k-i - координаты - он итеранты решения. Ввиду того, что эта система обычно несоачестна при произвольно выбранной начальной точке поиска решения, с далью нахиадения ее наилучшего пркблигазннага репения, далее,на основе кетодэ наименьших квадратов, составляется однопаракотрическая, в обіцем случае шогозкстреяальная, квадратичная форма от ее сушарных невязок, которая в дальнеазом гжпгсягзируотся по неизвестному параметру t. в итоге выполнения этой процедура спрздзляэтся значения t*, обесгочиващш достижение зкстреиуков отмоченной форкы, а при использовании этих значений - пэрвыэ пркбли-шния к корню систеїш си. Повторение вычислитального процэс-са с наиденными начальными приближениями приводит к новым приближениям и.т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока не получаются некоторые решения задачи с необходимой точноелью.

Применяя метод редуцированного фазового пространства, квадратичные штрафные функции и метод быстрого дифференциального градкэнтного спуска (БГДС) разработаны тэюш непрерывная, квазилинейная и разностная модели решения ЗМП.

Основная идея разработки этих кодэлэн заключается в следующем.

Используя приэи сведения ограничивающих неравенств к эк-вивалэнтнои систеїш негладких равенств

S(C) = С(Х) + |С(Х)| « tE * SIBN С(Х)Э С(Х) = И, (11)

а также катод штрафных.функций, исходная задача условной оп-

ткмизацин прообразуется в задачу безусловная аппшизацни і

ЕИрЗННОЙ фуНКЩШ

ЄХ) - LCX) + S^T

где в(с<х)) - ts^c^xn, ... ,_S(nBi(X)))^T -редуцирован

вектор ограничиваюцих условий, а к^- диагональная матт

штрафных коэффициентов к.., j = i,m, с достаточно большими личинами.

В дальнейшем, ввиду недафференцируемости условий ui> некоторых точках границы редуцированной допустимой облас используются обобщенные частные производные функций s.<;

j = IT і ПО ШрЭШНВЫИ *₄, і » ТТпі Определяемые МНОШСТЕ

9. (X) є СИ; 2с. <Х)3, j = ЇТяГ, і - Ї7п, (

*і ^ і

где с^_х (X) - частная производная j-ой компоненты векп

с<х> по і-ой компоненте вектора х. При этом необходимые ус вия экстремума критерия <і2> приводят к системе уравнений

ЗЄ<Х) = xjLCX) + 23S^T{X> К SIX) = в, (

где astx) = ое <х),...,эа )^thvl(x> =

in in

обобщенный и обычный градиэнты (п х і - мерные векторы) фу

ЦИЙ <12> И 12) СООТВвТСТВеННО; 3S - ОбОбЩЗНЕЫЯ ЯКОб

( т х п - матрица ), кзидый элемент которого может приним значения в зависимости от расположения текущей точки фазо траектории относительно границы редуцированной допустимой ласти. При этом,если текущая точка фазовой траектории прин левит границе этой области и в этой точке градиент функ

с<х), j = Г~я не определяется однозначно, то ошрируем неп торым его значением в соответствии с (із»5 если текущая то принадлежит границе редуцированной области и в этой то градиент функции с.<х>, j = ТТ« , определяется однозначно х точка расположена вне редуцированной допустимой области, ошрируем обычными частными производными; если ш текуі точка располоявна внутри допустимой области, то соответств: щиэ обобщенные производные равны нулю.

Использование ЕГДС для решения системы уравнений с приводит к слвдуюцвй непрерывной математической модели, о] ентированной на применение средств аналоговой вычислитель] твхвики>

L(X> = rain L

X = - К CvLT(X) fl3, X_Q = ?, fi = 2 К S(X> ,

(15)

(16) (17)

где к_г - диагональная матрица коэффициентов усигзпиа отрзба-тывагацх усилителей с достаточно большими шличхшатят fc.., і =

= ТТп, обэспэчкващшш быстрое установлэнкэ пзрзходншс процессов при выбранных начальных точках х . Это обстоятельство обуславливает Еог*."05!гтюсть использования продлоетшіоа модели в системах реального и ускоренного еозпзни,

Используя кусочно-плоскую аппроксимацию нелинейных функцій при прккэвзнии обобщенного ряда ГеЕлгора, разработана такие квазилинейная ггадэль ЗШІ, ісяевдая вид,;

L(X ) = L(X > + v<-(X >дХ , (18)

сКдХ > dt

k+i

= - К CyL(X > + SS (X ) fl3, лХ_о = ?, X = 7,(19)

(20) (21)

2 К CSCXj ) + CS(X )дХ 3,

Модзль обеспечивает упрсцзшп вычислительных процедур, сохра-шз пра этом оснопш.-о гараістористаки переходных процессов. Она ориентирована на пр^нешт» срздств гибридноа вычислительно:! тохшясн с аналогової преобладанием.

Дзлоэ, на основе і"зтодз залэра из последней модели получен слэдущиэ правыз конечно-разностныг згаитзлент решения

L(X, _,_ ) k+i

L(X_k> + ^(Х^дХ,,,

дХ, -« СЕ - 2h, k к 03^Т(Х. >5S(X, >ЗдХ, -

к+ і к і і к к І<

- h, к 1\jLIX, ) + 2k US^T(X, ) G X, )3,
к г к і к !<

X. _,_ = X, + дХ, ,
k+i к к

(22)

(23) (24)

где ь_к > a, vk = а,оо - шзг Еврзвноі/зрзоз сетки по приращениям пэроганных задачи. Модаль обладает простотоп реализации и ориентирована на принэтаниэ сродотв щ:фровоа вычислительной техники.

Прздюшннкэ иодели для решения ЗИП обладают высокой

стетньа горостраЕвзашстн структуры и оЪеспэчвваот операти поз полудню рэгэнна этих задач независимо от раслолокан; TcsjEps точка траектории поиска относительно границы доцусп коз области.

Кстюльзуя вэтоды редуцированного фазового пространства щіанірті максимума Понтрягина для эквивалентной к (S)-(8) да

L(X(t>,U) » тіл , IT.

U(t)

X(t> = /,U), X(t ) = X , l?i

о о*

S(C(X(t),U(tl) = О, 12~,

при гамильтониане

H = ^L(X(t),U(t)> + »^T/ ) +

+ fI^T(t)S(C(X(t) ,U max <2

UCt»

получены необходимые условия экстремума критерия качесп <25). Применение ЕГДС к соответствующим уравнениям Эйлврг Лагранжа приводит к следующей непрерывной модели ДЭЗ (с цаш упрощения записи аргумент t опущен)*

L min , <2<

X = f(X,U> , X(t ) = X , <3<

о о'

ф = a, pft_o) = ?, (зі

Ф - - ^vt-_x - Vj[ - esjj /!, y(t_o) = ?, <з:

и - - K_o(yvL_u + ^ у + 9s^ tit, uo> = ?, (з:

f/ - К S(C(X,U>), (3^

где v^a- скалярный нножитель, соотввтствущий критерій) качест ва <25>, (сопряженная переданная, обычно принимаемая равно - i)i y - nxi-мерныа вектор сопряиенных переменных, соот ветствуюпдаи пврзшнныы состояния, задаваемым систеша (26) ц(ь> - «ахцзарныа вектор ынозиталвя Лагранжа, соотввтствущи редуцированный, ограничениш (27>.

Модель ориентирована на использование средств аналогово вычислзтольноа техники в системах реального и ускорэнног врэвзни.

Используя кусочно-плоскую аппроксимацию для векторны функции нескольких переменных «29), (за>, (3D далее раграбо .тана'квааидияеяная модель для решения ДЭЗ:

L(X,U) = L_k * vL_x дХ_к + *»-„ AU_k
к к

-t mn , и

(35)

^ЛХК = V ^х„^дХк ⁺ ^и ^Дик' ^X_e»^t36>

(37) С38>

к к

р" = 0, ₀> = ?,

к 1с к

к к к

(39)

(^а>

U ди =7,

Ц = ^K..<^s. ⁺ 2з дх. + сз ди.>,

^ Цк х к и к

^ к к

(с цэлыо упрощзния запаси, здзсь принты сгздупцЕв обозначения* L_k = L(X_k,U_k), *_к = f(X_k,U_k), S_k = S(C(X_k,U_k)). ЦОДШ>

обладает простотоз реализации н орпзнтнровзна на пргзжэшэ срэдств пйридноз вычислшшьной тохншаї таїез с анагоговна прэобладангои.

правая коЕэчно-рззностагя аппроксЕзапдя йырзкзнпз <зб>, «за), <39) пороздгот слэдукщув потротауз рэкуррзнтнуп процэ-

цуру:

(41)

rein , U

L(X,U) = L. + хА- ДХ_Ь + ?L дУ.
* k ^vx. к и. к

k+i

Чг+1

ди,

k+i

к к

^hk 'к

, X(t )«Х , aX(t )» дХ - 7, (42)
о о о о

-ь_к ces; к s_k + ^«fj

ф к

, p(t )» 7, ^r

-h. К tB^T KS. + ттС W3

к if и. и к и;

ди к ** к

, U(t >-?, AUtt )- дЦ - 7, (44)
. О о о

да h > в, h > о, h > (з, v к - o,so - вага неравноггзр-

^Кдх *ф ди

ых сеток по прнращэяиям соотт-этстванно основных, сопряяэнных управлящих пзрейэнныг. Эта кодаль орЕзнтарована на прикв-эниэ срэдств цифровой вычислитэльноа техники.

Разработанные нзпрэрывная,квазилинейная и разностная но-

дели для решения ДЭЗ имеют перестраиваемую структуру и позволяют в три этапа реализовать вычислительные процедуры нахождения решений этих задач. На первом и втором этапах определяются соответственно координаты начальной ^(X₀i^u*> <^х₀- задана, см. условие <8>) и конечной ^<х*.^и*> точек оптимальной фазовой траектории ^x_opt^{i а на третьем этапе строится сама оптимальная фазовая траектория, проходящая через эти точки. При этом организуются многовариантные эксперименты с целью выбора соответствующего вектора начальных значений сопряженных дарзкенныг vQ), обеспечивающего оптимальность закона управления u .}

Третья глава посвящена разработке Т-моделей решения СКУ,

ЗМП и ДЭЗ.

При решении СКУ с использованием дифференциальных преобразовании, во избежание громоздких аналитических подготовительных операций, исходная система а> с помощью введения дополнительных переменных и уравнений сводится к эквивалентной системе с левыми частями, состоящими из некоторых квадратичных функция со свободными членами а. Решение полученной при этом эквивалентной системы конечных уравнении

f <х> - а = 0 (45)

с помощью дифференциальных преобразований осуществляется в несколько этапов. На первом из них эта система переводится в область Т-изображений, что позволяет представить ее в следующем ВИДе:

m . .

f <Х(В) ,... ,Х(к ),t) = - Г d. . t^v+J +

UJ-k *х ">

к m

+ Г - d. .) t¹*' + (F - a)t = И,

i*j=l

где величины a^_ , і + j = i,2k_m задаются соотношениями

d_i+. = 0, ЄСЛИ і + j = 1;

к m

d. . = - Г F. . = d. . (X<0),XU>,-

,X(i * j - 1)), 8СЛИ і -+ І = 2,к

d. . = - Г F. . = d. . ,

i, 4 — x

,X(k )), вСЛИ і + j = к +1,2fc
ЛІ ш я

выражениям

+ F = D

,v+j i+j.o t+j

F(X(i),X(j>)

шостью

i+i = 1

- ОДНОТ

зависящие от соответствующих: дискрет и сохранящке все свойства оператора f систеш <45>; <х(3)^т,х<і)^т,-,xm)^T) -составной вектор дискрет; к - макскмальныа целочисленный аргумент, выбираемый из определенных сообра::гзшга (обычно k_m= з-г-4). Далее, в результате этих преобразования рэиешзэ исходной задали сводится к решению некоторой цепочки линейных систем алгебраических уравнении с матрицей коэффициентов, инвариантной относительно номера вектора дискрет. Использование найденного вектора дискрет при обратных дифферэнциальных преобразованиях дает возможность представить все компоненты вектора неизвестных переменных в виде, зависящего от единственного агрегирующего параметра t. Последнее, в свою очередь, позволяет исходную систему конечных уравнений свести к полностью расщепленной эквивалентной системе уравнений с единственным неизвестным агрегирующим параметром t, т.е. к системе вида

iplt) = о. Оптимальные значения агрегирующего параметра t в этой системе находятся в результате минимизации некоторой квадратичной формы от суммарных невязок в уравнениях расщепленной системы. Далее, организуется итерационный процесс последовательного уточнения полученных приближений к решениям задачи. Здесь характерно, что этот процесс не срывается даже при вырожденных функциональных матрицах o_{t +}., і +j = i,k_m, коэффициентов выше-отшчбнных линейных алгебраических систея. Кроне того, появляется возможность регулярного выбора координат начальной точки поиска решении. Эти обстоятельства выгодно отличают предложенный метод от существующих и дают принципиально новые возможности для одновременного нахождения нескольких ревзниа задачи в одной и той же итерационной процедуре. Подобная архитектура метода хорош приспособлена для параллельного нахождения мноязства решений рассматриваемой задачи, что может служить основой для построения специализированных вычислительных устройств, а также позволяет эффективно использовать возможности параллельного программирования.

Используя дифференциальные преобразования, а таккэ результаты, полученные во второй главе, здась разработаны также Г-шдэли решения ЗМП и ДЭЗ. Показано, что хотя пришнение од-ношрных двф^рэнцизльных Т-прзобразавания позволяет наиболее просте алгебраизовать решанш ЗШ и ДЭЗ, однако, как правило, при этом і шляется необходимость выполнения обычно громоздкое аналитической гадготовительной рзботы, связанной с использованием прямого и обратного ї-преобразований.К тому же, требуется определенного порядка гладкость функций, входящих в модели рассматриваемых задач. Однако, эти затруднения легко преодолевается при использовании соответствующих линеаризованных эквивалентов, при котором, естественно, требуется лишь существование первых частных производных функции, входящих в модели. Но использование линеаризованных шделен с цель» получения наиболее просто реализуе!йых Т-аналогов ЗШ и ДЭЗ 'целесообразно особенно для оперативного нахождения приближенных решений этих задач из-за отсутствия возможности практического использования бесконечных рядов Тейлора при обратных преобразованиях.

Т-модель решения ЗМП ишет следующий ВИДї

^{P + 1}-дХ. ^T(X. )SдХ.

-

- К₂С«_іЗЗ^Т<«. )SJb(P>,

X<0> = X_o , дХ_ь<В)= дХ_о ,

где ь<Р) - тейлоровская единица; р - параметр, указывающий на номер дискрет.

Г-модель рвЕзния ДЭЗ жэет вид*

L(X,U) = Ц + yL_{x A}X_k(t) + уІ__ц AU_k(t).
k k

^{P +} * ДХ.<Р+П = xrf» ЛХ.СР) + vrf„ ди. (P> + f. ЫР),

H "k ^v x "k ^v u" k k

k k

X (t I = S . лХ (t > - дХ ,
о о о о о о

і, ді), (P+l> = - К fk..6S &3 дХ.(Р) + К.,83 83 ди. <

* vf^r у, <р»1 - к fk„»s^T S, + v«- 1-ь(Р>,

^v и, ^Tk J и L U и. k ^v. *

U (t ) = и , дЦ <0> = ди
о о о о а

Р ⁺ 1 _ ,1^. ч - Гаг>Т

у_к<Р+1> = - К [8 8S_{x д}х_к<Р) ₊ 9S_x 8S_u ли_к(Р)] -

*^ к к к fc

К V^p' - 'V^s* Д * *-* ^>Ъ<Р)' V' - r_e«t_o>,

к ^ к 1с

и,_л.аі = и. (tj + до,

к+1 к к '

^Xk+l^(t) " ^Xk^{(t> +} Д^х_к^<ь>'

Эти модели такнээ обладает возножностью распараллалпвання и организации эффективных вычислительных процессов.

В четвертой глава, используя результаты предыдущих двух

глав, прэдяояены численные алгоритмы, а таюяэ доказана их локальная сходимость при простом способе выбора рабочих градиентных: шагов. На основе этих алгоритмов составлены блок-схемы программ решения СКУ, ЗМП и ДЭЗ и приведены их описания.

В пятой главе представлены результаты экспериментальных

исследовании с помощью предложенных алгоритмов и машинных
программ, написанных на языке "ФОРТРАН-4". При этом, с' палью
выявления качественных характеристик,а также задания рекомен
дуемых интервалов изменения значении некоторых численных па-
ракетров этих алгоритиов здесь рассмотрен ряд модельных при
меров, подтвврадаащих пффвктивность использования разработан
ных средств. В частности, показано,, -что гбоаэтрия весьма раз
личных классов задач, являщихся отдельными подзадачами обдаа
динаяической задачи нелинейного программирования, особоа роли
не играет при использовании разработанных моделей, основанных
на градиентных структурах (си. рис. 1, соответствующий зада
че! L = (х + 4)² * <х - 7>* » lain } с <х ,х > =

»* 2 і 2 к ,х ' t і *

±2

= х* - 3,5х < О; с <х ,х ) - х - <х - 3>^z + 2,2 < 0;

12 2*1 * 2 '

Є(х,х)=-х * х -&<а$с<х,х>=х - 2х + 1,5 < в

«1*2 1. 2 ' « 1 ' 2 1 2 *

С ОПТКИаЛЬНЫМ рЭПеНИЭМ х = -І,5; х = 4,5; L (х ,х ) «

« 12,5; а таюаэ рис. 2, соотввтствущив аадачв* l

- 4)* + (и - 3)* » mint С <х,и» — х* — и < И; с <х,и> » и -

и * 2 .

- 4 < в; х - и; х_о = 1,5, на котором показаны» а) результаты
реализации шрвого я второго этапов вычислений ш_о - зц х_т »

= 3,559; u_t = 1,886); б) ив) результаты реализации третьего этапа вцчиелэЕна, причем б) ~ оптизлальная фазовая траектория; в) - оптимальные временные характеристики). Это обуславливает довольно высокрз степень универсальности предложенных средств. При использовании модален,основанных на дифференциальных преобразованиях, обеспечивается эффективное распараллеливание вьгагслительных процессов (cat. таблицы, соответствующие задача! х + х * х - Ь = 0; к х + хх - 5 = Є; и х + х -л -- В = О, С рЭЕЗНЛШК: (1,2,3), (1,4,1), (5,2,-1) И (5,4,-3)).

В заключении сфорцулированы основные результаты, полученные в диссертационное работе. К диссертации приложены так-ш акт и справіса об их внедрении.