Введение к работе
Диссертация посвящена развитию численных методов исследования математических моделей широкого круга задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных объектах с плавным и ступенчаты?,! профилем диэлектрической проницаемости в резонансном диапазоне длин волн. Рассматриваются задачи дифракции и распространения волн в регулярных, неоднородных и периодических, экранированных и открытых волноЕедущх структурах различной геометрической конфигурации. Используется единый подход, основанный на приведении задачи для уравнений в частных производных к краевой задаче для системы линейных обыкновенных ди№ренциальных уравнений. Специфика краевых задач для уравнений Максвелла с условиями излучения такова, что краевая задача получается, хлесткой, . известные численные методы не позволяют получить решение С ЕЫСО-кой точностью. Центральной частью работы является разработка и обоснование численного метода решения жестких краевых задач для. обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений, устойчивого поотиошешпо к ошибкам округления ЭВМ. Рассматривается ряд задач вычислительной электродинамики и некоторые проблем внчис- лительной физики плазмы, использующие аналогичный аппарат численных методов.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТШ/. Большое внимашге в настоящее время уделяется задачам . вычислительной электродинамики, связанным с исследованием распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. Современная технология позволяет создавать все более слозкные неоднородные диэлектрические структуры с плавным и ступенчатым профилем показателя преломления, с многослойными покрытиями сложной формы. Это необходимо для решения разнообразных практических задач, в том числе для создания высококачественных-элементов оптоэлектроники: периодических решеток, оптических световодов, гофрированных диэлектрических волноводов, покрытий и т.д. Реальные объекты имеют к тому юз слозщую форму и внутреннюю структуру из-за особенностей технологических процессов, используемых при их производстве. Создание эффективных численных алгоритмов расчета, учитывающих все особенности геометрической конфигурации, позволяет значительно повысить качество конструирования и улучшить параметры. Широкое использовашіе резонансных структур и высокие требования, предъявляемые к точности расчета,
- 4 -требует отказа от использования приближенных и качественных моделей. Эти обстоятельства делают актуальной задачу создания алгоритмов, базирующееся на строгих математических моделях (осно-Еаншх на решении уравнений Максвелла), и позволяющих рассчитывать распространение и рассеяние волн на объектах сложной формы, которая точно соответствует реально создававши или проектируемы изделиям.
. Вычислительная, электродинамика использует разнообразные математические модели: вариационные, проекционные, разностные, асимптотические, основанные на интегральных уравнениях и т.д.
. Одним из наиболее перспективных методов решешія задач о распространении волн в неоднородных и слоистых средах является неполный метод Галеркина (или, по-другому, метод приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям), основанный на представлении .приближенного решения в виде отрезка ряда Фурье по собственным Функциям поперечного сечения волновздущей системы. Коэффициенты ряда зависят от продольной координаты, из уравнений Максьелла с
помощью семейства проекционных соотношений получается краевая задачи для. система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (іращічкна у^лоьпя т«кяит из условий излучения). Метод был оформулирован в 30х годах в работах А.н.Боголюбова и Л.В.Канторовича, развит в приманешш к электродинамическим задачам А.Г.Свешниковым. Как и г.:этод интегральных уравнений, неполный метод Галеркина относится к классу строгих методов. Достоинством этого метода является то обстоятельство, что использование собственных функций поперечного сечения области (а не какой-либо системы функций, заданных в "полной" области, откуда и возникло название) позволяет как бы понизить размерность задачи на I (за счет перехода от линейной алгебраической системы с большим числом неизвестных к линейной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений значительно меньшей размерности). Это позволяет решать двумерные и трехмерные задачи дифракции и распространения волн в волноводах различной природы и геометрической конфигурации в резонансном диапазоне (длина волны сравнима или в несколько раз меньше характерного размера) для обьектов из неоднородного диэлектрика, обладающих поглощением.
Использование неполного метода Галеркина для решения задач
. вычислительной'электродинамики приводит к необходимости численно
решать "жесткие" векторные краевые задачи для систем линейных
- 5--обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткими называют задачи, для которых имеется группа быстрорастущих л быстроубывающих по экспоненциальному закону частных решений однородных уравнений и на интервале между граничными условиями некоторые решения возрастают, а другие- убывают на много порядков. Численное решение жестких краевых задач с помощью стандартных алгоритмов, разработанных для нежестких задач, приводит к значительным погрешностям, связанным с неизбежными ошибками округления ЭВМ. Нужно заметить,-что "жесткие" задачи возникают в широком круге математических- моделей других областей вычислительной физики, например, при решении уравнения Орра-Зоммерфельда, описывающего течение Пуазейля при больших числах Рейнольдса и ъ разнообразных моделях, описывающих пограничные стой. Поэтому, актуальной является Задача создания численного алгоритма, для которого не было бы ограничений, связанных с погрешностями округления ЭВМ, а все. ограничения были бы обусловлены только временем счета, что в современных условиях уже не является проблемой. Это существенно расширит класс задач, решаемых строгими методами. .
Имеется ряд -проблем, для которых применение неполного метода Галеркина сталкивается с затруднениями принципиального характера. Прежде всего это задачи о распространении волн в открытых системах, в число которых входят диэлектрические ВОЛНОиОДЫ или световоды, периодические открытые системи (гофрированные диэлектрические волноводы, линзовые линии, излучатели и приемники: на основе периодических структур). Трудности возникают из-за того, что задача на собственные значения, поставленная в поперечном сечении открытого волновода, не порождает полной счетной . системы собственных функций. Поэтому использовать отрезок- ряда Фурье для построения приближенного решения не удается. Актуаль- , ной является задача создания новых алгоритмов на основе неполного метода Галеркина. В частности, необходим метод, который позволял бы решать задачи о расчете распространения собственных волн и е открытых, и в экранированных волноведущих структурах для 'произвольного профиля диэлектрической проницаемости и в широком диапазоне соотношения длины волны и размеров системы.
Достойное место среди задач физики плазмы занимает исследование временных и пространственных переходных процессов. Наличие множества малых и больших параметров (время между соударениями, время релаксации возмущений давления или плотности, дебаевский й
- б -
ларморовский радиусы и т.п.) прішодат к возникновению иерархического семейства переходных процессов во времени и переходных слоев в пространстве (типичным примером является переходный слой вблизи поверхности проводника). Исследование пограничных слоев актуально ввиду большого значения, которое они имеют для работы различных плазменных систем (таких, как плазменные ускорители, иошше инжекторы и источники нейтральных частиц, двигатели малой тяги). В окрестности переходных слоев принципиально изменяется характер движения частиц. Например, возникают "зеркала", которые могут быть прозрачными для частиц одного сорта и непроницаемыми для других частиц. Одной из распространенных математических моделей является "плазмооптическое приближение", когда для ионной компоненты плазмы используется кинетическое уравнение, а для электронной компонента-обобщенный закон Ома с учетом эффекта Холла. Оказывается, в рамках плазмооптической модели могут возникать внутренние переходные слои потенциала,, связанные с различным характером движения электронов в областях, ограниченных замкнутыми магнитными поверхностями. Актуальной задачей является исследование расположения и основных параметров переходного слоя (таких, как иорепад потенциала и максимальная напряженность поля ). Исследование распределения потенциала в сильно зсмагничен-кой плазме приводит, также как для задач вычислительной электродинамики, к необходимости численно решать жесткие краевые задачи. Однако, в данном случае это задачи для систем разностных уравнений (разностные схемы). Актуальной является задача создания устойчивых по отношению к погрешностям округления ЭВМ числе иных методов решения жестких разностных схем.
ЦЕЛИ РАБОТЫ состоят в следующем.
-
Создать численные метода решения жестких краевых задач 'для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и для линейных разностных уравнений (разностных схем), устойчивые по отношению к погрешностям округления ЭВМ.
-
На основе использования новых методов решения краевых задач создать численные алгоритмы решения ряда практически важных проблем вычислительной электродинамики: расчет рассеяния на толстых многослойных периодических решетках из поглощающего диэлектрика, на неоднородных диэлектрических и плазменных образованиях, расчет покрытий для создания неотражающих по-
- 7 - верхностей, работающих в широком диапазопе частот и т.д.
-
Создать метод расчета собственных волн одномодовых и многоходовых диэлектрических волноводов ' (оптических световодов) сложного поперечного сечения, в том числе с многослойным покрытием, основанный на строгой математической модели.
-
Создать строгую математическую модель, позволяющую рассчитывать распространение волн в экранированных и открытых периодических системах с неоднородным диэлектриком, в том числе гофрированных металлических и диэлектрических волноводах, элементах ввода-вывода излучения дифракционного типа.
-
Аналитически и численно исследовать эффект образования внутренних переходных слоев потенциала в рильно замагниченной плазме в рамках плазмооптического приближения, определить
форму и параметры слоев. Создать устойчивые численные алгоритмы решения нелинейных самосогласованных задач динамики плазмы в магнитных полях сложной конфигурации.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты.
I. Разработан новый численный метод решения жестких краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и для систем линейных разностных уравнений (разностных схем). Новый метод ("направленной ортогонализации") отличается . тем, что для устранения влияния погрешностей округления ЭВМ вне зависимости от размерности системі, длины интервала или жесткости задачи, применяется преобразование с использованием собственных векторов и собственных значений матрицы системы. Метод строго обоснован аналитически, многократно и всесторонне опробован в численном эксперименте автором и в ряде организаций.
Разработан новый метод построения фундаментальной матрицы . для системы линейных разностных или обыкновенных дифференциальных уравнений. От используемых в настоящее время отличается тем, что вместо решения семейства задач Коши фундаментальная матрица вычисляется из решения семейства краевых задач со специально поставленными граничными условиями.
Создан новый численный'метод расчета характеристических показателей Для линейных систем с периодическими коэффициентами, основанный на том, что характеристические показатели вычисляются из решения семейства краевых задач, а не семейства задач Коши.
- в -
На базе этого метода разработан устойчивый по отношению к по-грзшюстям ЭВМ численный метод расчета собственных волн периоди-чесісих экранированных волноводов.
-
На основе устойчивого по отношению к ошибкам округления алгоритма численного решения краевых задач созданы новые алгоритме и комплекси программ решения задач дифракции электромаг-нитшх волн на плавных и слоистых диэлектрических неоднороднос-тях в металлических волноводах, на периодических диэлектрических реиатках. От известных в настоящее время отличаются тем, что позволяют с гарантированной точностью решать задачи без ограничений на параметры, сгязанных с погрешностями округления ЭВМ. Исследован ркд новых эффектов, например, проведен расчет поглощающего многослойного покрытия на периодической системе диэлектрических цилиндров, действие которого основано на сочетании поглощения излучения и "увода" части мощности в сторону "от приемника . Создан ряд интерактивных программных комплексов для персональных ЭВМ.
-
Разработан статистический метод анализа рассеянных полей в задаче дифракции поля локального источника на периодических структурах. Показали, что при мялом изменении длины волны или положения источника диаграмма-направленности рассеянного излучения мокет измениться неограниченно сильно. Для адекватного описания диаграммы направленности предлагается использовать статистическую, фу нкщпо распределения диаграммы. Получено выражение для плотности распределения диаграммы направленности, рассматриваемой как случайная величина. Разработан статистический метод исследования рассеяния на нерегулярной поверхностной микроструктуре и на дефектах периодических решеток.
-
Разработан численный метод рошения задачи о сочленении двух периодических плоскоьлоистых полупространств. Показана возможность за счет выбора специальной конфигурации переходного элемента управлять формой диаграммы направленности и обеспечить высокую степень согласования собственных ві-лн плоскослоисто-периодического волновода и свободного простраї: /тва.
-
Созданы новые алгоритмы и комплексы программ решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородном диэлектрическом,, (в том числе плазменном) цилиндре. Алгоритмы свободны ОТ ' типичных для геометрооптических моделей проблем каустик и перехода от области света к области тени. Решены задачи дифракции на
- 9 -металлическом цилиндре, покрытом неоднородной плазменной оболочкой, на неоднородном плазменном образовании. -
6. Разработан новый численный метод расчета собственных
волн периодических волноводов произвольной природы ("метод про
дольных сечений"), основанный на том, что компоненты полей пред
ставляются в виде ряда по полной системе функций, которую порож
дает "продольная" часть оператора с естественными граничными
условиями вдоль продольной переменной, т.е. с условиями Флоке.
Параметры собственной волны (фазовая скорость или сдвиг фазы .„при
трансляции на период и показатель затухания) определяются из
краевой задачи на собственные значения для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений.
-
Разработан новый метод расчета собственных волн гофрированных металлических волноводов на основе использования метода продольных сечений. Метод свободен от ограничений, связанных с влиянием погрешностей округления ЭВМ, позволяет рассчитывать волновода с периодическим диэлектрическим заполнением.
-
Разработан метод расчета элементов ввода-вывода .излучения дифракционного типа на основе периодических диэлектрических волноводов. Метод основан на строгой математической модели и свободен от ограничений по параметрам, за' исключением времени счета ЭВМ. Создан интерактивный комплекс программ' и система автоматического проектирования.
-
Разработан новый численный метод расчета собственных волн диэлектрических волноводов (оптических световодов) сложного поперечного сечения, основанный на строгой математической модели. Спектральный параметр вычисляется из задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод отличается тем, что вне цилиндрической области, включающей волно--вод, поле точно удовлетворяет уравнениям Максвелла (внутри волновода уравнения Максвелла удовлетворяются в смысле выполнения системы проекционных соотношений). Создан комплекс программ, позволяющий рассчитывать собственные волны в многослойных и градиентных волноводах, не обладающих аксиальной симметрией.
-
Разработан ряд аналитических и численных методов решения задач' физики плазмы. Обнаружены, аналитически и численно исследованы пограничные слои потенциала в сильно замагниченной плазме в приближении плазмооптической модели. Результаты согласуются с данными натурного эксперимента.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ДИССЕРТАЦИИ. Разработанные новые численные метода решения жестких краевых задач значительно расширяют круг проблем вычислительной электродинамики и вычислительной физики плазмы, которые можно решать с использованием численного моделирования' с применением ЭВМ. Можно ожидать использования новых методов, в других областях вычислительной физики, прежде всего в гидро- и аэродинамических расчетах.
Алгоритмы и комплексы программ решения дифракционных задач :находят широкое применение для расчета различных дифракционных элементов, прежде всего интегральнооптическкх. Комплексы программ решения задачи дифракции на периодических решетках исполь- зуются в системах'автоматизированного проектирования дифракционных элементов и систем интегральной оптики. Статистические методы расчета рассеяния на поверхностных и объемных нерегулярных структурах используются для решения ряда неовых проблем интегрально-оптической -технологии, таких, как.исследование бокового рассеяния на многослойных тонкопленочных покрытиях и механизма пробоя лазерных зеркал.
Новый.метод расчета собственных волн периодических структур ("метод продольных сечений").используется для расчета гофрированных металлических и диэлектрических волноводов, элементов связи дифракционного типа, используется в. ряде систем автоматизированного проектирования. Метод может найти широкое применению к для расчета периодических открытых систем иных.типов, напри-, мер, микрополосковых.
. , Развитая в диссертации теория внутрешшх переходных слоев в сильно замагниченной плазме может найти їлимененеие для качественного, и количественного анализа процессов в плазмооптических системах. Численные алгоритмы расчета плао.:) динамических процессов в сильных магнитных полях найдут применение при расчетах плазменных ускорителей, магнитных фильтров, ионных инжекторов.
АППРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ И ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации докладывались на VIII Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, Львов, 1981; IX Всесоюзном симпозиуме по дифракции, Тбилиси, 1985; YI Всесоюзной конференции по плазменным ускорителям и ионным инжекторам, Днепропетровск, 1986; VII Всесоюзном семинаре по физике и технике интенсивных источников ионов и ионных пучков, Киев, Институт Физики АН УССР,
. 198?; на Всесоюзном научном семинаре "Математическое моделирова-.
ние и приложения явлений'дифракции", МГУ, 1999; на X Всесоюзном'
симпозиуме по дифракции и распространению волн, Винница, Г990;
на International IMACS Conference, -. Moscow-Vilnius, 1990, на
SPIE Optical. Thin Films and Applications Congress, Hague, 1990;
докладывались на семинаре по вычислительной математике под рук.
А.А.Самарского на ВМК; неоднократно обсуждались на научных семі
нарах физического факультета (.{ГУ. '..'"
СТРУКТУРА.И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, , четырех глав^ двух дополнений, заключения и списка литературы. Общий обьем ^ г 6 страниц, в том числе. 107 рисунков и 14 таблиц. . По материалам диссертации опубликовано 55 работ,, список которых приведен в конце автореферата..
