Математические модели и методы исследования циклических процессов в сложных динамических системах Буркин, Игорь Михайлович

Введение к работе

Актуальность темы. Мир динамических моделей стал поистине необъятным. Помимо механики, техники, физики, астрономии ныне он охватывает такие менее традиционные области как химия, биология, медицина, экология, экономика.

По мере усложнения моделируемых объектов и возрастания желания исследователя проникнуть в более глубокие и тонкие законы их функционирования возрастает и сложить динамических моделей, которые становятся, как правило, многомерными и существенно нелинейными. Для нелокального анализа таких моделей, то есть -для решения вопросов устойчивости и неустойчивости "в большом" состояний равновесия, а тагеке задач существования и устойчивости циклов различного типа часто не применимы многочисленные приближенные методы (асимптотические методи, І.'.ОТОД малого параметра, метод гармонической линеаризации и другие). Если эти методы все-таки применяются, то, как хорошо известно, они иногда привадят к озибкам качественного характера. Достоверные ке результаты при нелокальном анализе сложных динамических систем удается получить, лишь используя точные (качественные) методы. Однако большинство точных методов исследования, например, колебательных процессов существенно опирается на низкий порядок системы. Поэтому актуальной является проблема разработки новых, удобных для практического применения качественных методов анализа процессов в- многомерных существенно нелинейных динамических системах.

Объектом исследования в диссертационной работе являются многомерные автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

- і -

а.также многомерные динамические системы с цилиндрическим фазовый пространством

Целью диссертации является разработка новых приемов и методов качественного анализа процессов в таких системах, а именно, методов доказательства существования у систем вида (1) и (2) циклов различного типа и исследование их устойчивости, методов оценки числа циклов, методов исследования глобальной устойчивости систем и оценок областей притяжения состояний равновесия. Получение на основе вновь разработанных, а также известных общих методов исследования уравнений .(1) и (2) эффективно проверяемых и удобных для Практического применения критериев для систем дифференциальных уравнений

Є = С.*2.+ (б),

где А - п*п патрица, і и С. - п-векторы, W(5)' - скалярная функция, Q - число, а такие для систем типа'

Уравнения вида (3) и (4) являэтея математическими моделями различных систем автоматического регулирования, электрических и электромеханических систем, следящих систем, систем синхронизации в связи и управлений, а также систем, встречающихся в биологии, химии, медицине. Системами вида (5) описывается динамика различных синхронных электрических мааин, регуляторов, вибраторов. .^-4

(4)

Катоди іісслодпвзгїил. Использование аппарата знакопеременных функций Ляпунова в сочетании с частотными методами, а тактів использование различных модификаций метода систем сравнения, топологических метопов и методов функционального анализа.

Научная нсшізна. На защиту выносятся следующие положения, определяющие научную новизну результатов диссертационной работы.

1. Обоснована обцая методика конструирования инвариантно-го тора при решении задач существования циклов у многомерных динамических систем вида (1), Разработан метод' перехода з "пространство пронзводных", существенно облегчавший впбор бесконтактного, сечения в инвариантном торе.

2. На основе метода перехода в "пространство производных" разработан аффективно проверяемый частотный критерий.существования циклов у систем.вида (3) с одной дифференцируемой скалярной нелинейность». Применение полученного критерия продемонстрировано на примерах исследования различных систем третьего и более высокого порядков, исследовавшихся ранее различными авторами с использованием принципа тора. При этом показано,' что применение предлагаемого частотного критерия позволяет но только свести до минимума вычислительную работу, но и получить в ряде случаев более тонкие результаты.

3. Для динамических систем вика (4) предложена методика конструирования инвариантного тора, использующая знакопеременную функции Ляпунова типа "квадратичная форма плвс интеграл от нелинейности". На основе этой методики разработан частотный критерий существования циклов, с помощью которого исследованы математические модели некоторых радиотехнических систем (система Фридрихса). а'танке систем.регулирования курса самолета автопилотом (система Широкорада), _ не поддающихся исследования ни с помощь» метода перехода в пространство производных, ни с помощью обобщенного принципа Пуанкарс-Беидиксона Р. Л. Смита.

4. Впервые предложена методика конструирования одновременно нескольких инвариантных торов с общими элементами границы в фазовом пространство системы (1), имеющей единственное положение равновесия, позволяющая получать условия существования и исследовать устойчивость сразу нескольких циклов. На со

основе доказаны эффективно проверяемые критерии существования не- менее 2 циклов у системы вида (1), не менее из'которых орбитально устойчивы. Tet.i самым решена задача А.А.Воронова об условиях возникновения автоколебаний у многомерных систем автоматического регулирования, характеристика нелинейного элемента которых попеременно находится в секторе устойчивости и неустойчивости.

5. Распространен на случай динамических систем с цилиндрически.! фазовым пространством вида (2) метод инвариантных конусных сеток Г.А.Леонова, а также получены условия устойчивости по Бакаеву и условия 'Существования 'бесконечного числа циклов первого рода для таких систем. Для систем вида (4) с Дтг -периодической функцией Щб) получен частотный критерий существования бесконечного числа циклов первого рода и тем самым решена известная в теории динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством задача ( проблема Барбашина-Езейло). Продемонстрировано, применение полученных результатов к исследованию систем фазовой синхррнизации третьего порядка.

6. На основе синтеза метода нелокального сведения и метода двумерных систем сравнения получены частотные условия существования цикла второго рода у системы вида (4) с Аг -периодической функцией ^(б) . Полученные результаты применены для исследования системы фазовой синхронизации четвертого порядка.

7. Разработана оригинальная методика доказательства существования циклов второго рода у систем вида (5) с цилиндрическим фазовым пространством. Получены частотные условия су-' ществования .циклов второго рода у таких систем, позволяющие, в частности, провести исследование математических моделей некоторых механических и электромеханических систем, имеющих две степени свободы.

8. Доказан многомерный аналог принципа Пуанкаре-Бендиксо-на для систем на двумерных многообразиях. На его 'основе получен критерий орбитальной устойчивости циклов второго рода многомерных динамических систем с одной угловой координатой, не приводящий к необходимости выписывать уравнение в вариациях. Для систем вида (4) с 4г-периодической функцией . Ф(У сформулированы эффективно проверяемые условия орбитальной устойчивости циклов второго рода,

9. На основа известных критериев Г.А.Леонова так называе
мой сильной орбитальной устойчивости получен частотный крите-

" рий сильной асимптотической орбитальной устойчивости циклов второго рода систем вида (4), а также систем(5), встречающихся в теории синхронных машин. Приведены примеры исследования устойчивости циклов математических моделей систем . фазовой синхронизации третьего порядка.

10. С использованием метода двумерных систем - сравнения распространен на многомерный 'случай известный результат Н.Н. Красовского о необходимых условиях устойчивости системы второго порядка с двумя нелинейностями. Попутно выделен класс многомерных систем, для которых не справедлива известная в теории систем автоматического регулирования гипотеза Н.А.Айзер-. иана., С помощью того не подхода распространены на многомерный случай результаты Л. И. Белюстиной и В. Н..Белых о необходимых условиях устойчивости двумерных систем с угловой координатой.

11. Разработана новая, использующая-идеи метода нелокального сведения методика получения оценок областей притяжения состояний равновесия систем вида (4), имеющих несколько состояний равновесия, На её основе получены оценки области притяжения нулевого состояния равновесия системы частотной автоподстройки частоты третьего порядка, имеющей три состояния равновесия. Эта область имеет в фазовом пространстве системы весьма сложную природу и.её не удаётся локализовать ни одним из известных в настоящее время приемов. -

12. Предложены эффективные методы обнаружения такого нелинейного эффекта, как наличие колебаний с неограниченно нарастающей амплитудой у систем вида (3). Па их основе указаны условия, при выполнении которых такие эффекты возникают в'системах Выпиеградского и Мнзеса, исследовавшихся ранее А. А.Андроновым и А.Г. Майором при помощи метода точечных отображений, С помощью предложенной методики удается установить наличие неограниченно колеблющихся репений о упомянутых Системах "почти без вычислений".

13. Предложена методика исследования и получены условия глобальной асимтотпчесной устойчивости важной для приложений многомерной математической модели электромеханический систем Фазовой синхронизации. Ранее устойчивость положений равновесия

- є -

таких систем исследовалась только "в малом", причем исследования проводились приближенными методами и лишь в том случае, когда система имела низкий порядок. .

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический'характер. Полученные в ней результаты позволяют развить новые конструктивные методы анализа процессов, происходящих в многомерных существенно нелинейных динамических системах.

Практическая значимость работы определяется широким кругом возможных приложений полученных результатов при решении конкретных задач механики, теории автоматического регулирования, теории фазовой синхронизации, а также задач, возникающих в биологии, химии, медицине.

Апробация работы. Результаты работы регулярно обсуждались на ежегодных конференциях в Тульском государственном университете, а также на семинарах кафедры теоретической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета, руководимых проф. Г. А. Леоновым.

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1976), на научно-техническом семинаре по системам фазовой синхронизации (Горький, 1977), на Всесоюзной конференции "Метод функций Ляпунова в современной математике" (Харьков, 1986), на Всесоюзной НТК "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи"(Москва, 1988), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы, информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Тула,. 1988), на ежегодной Иранской математической конференции (Исфахан, 1990), на научно-техническом семинаре "Нелинейные свойства систем синхронизации" (С.-Петербург, І995), на межвузовской НТК "Математические модели и краевые задачи" (Самара, 1996), в Тверском государственном университете (1996).

' Кроме того, основные результаты диссертационной работы вошли в книги [16,171. Книга [16] получила положительную рецензию в Mathematical Review (N 95.е. 1995).

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 26 статьях и 2 книгах. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объам работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего 141 наименование. Общий объем работы составляет 304 страницы машинописного текста.