Введение к работе
Актуальность темы
Работа посвящена построению математической теории кинетики коагуляции-дробления. Процессы коагуляции (слияния) и дробления (расщепления) являются одними из основных процессов, характеризующих эволюцию дисперсных систем, т.е. двухфазных систем, являющихся механической смесью среды (газообразной или жидкой) с взвесью (жидкой или твердообразной). Такие системы появляются в различных естественных и техногенных процессах. Примерами дисперсных систем, в исследовании которых активно используются модели коагуляции и дробления, могут служить воднокапельные облака в атмосфере, аэрозольные загрязнения воздуха, клубы вулканической или метеоритной пыли, дым от лесных пожаров, топливные смеси в двигателях внутреннего сгорания, космические пылевые облака и туманности, коллоидные растворы, золи, эмульсии, суспензии, полимеры в химических реакторах.
Модели коагуляции и дробления используются астрофизиками для изучения образования звезд, формирования галактик, распределения астероидов и малых планет. Другие важные приложения имеются в теории коллоидов, в теории аэрозолей и метеорологии, гематологии, инженерных науках, химии полимеров, фото- и кинотехнологиях, теории роста зерен в сплавах, радиационном материаловедении, в технологических процессах, связанных с воздействием на эмульсии и суспензии и флотационным разделением руд, разрушением пен, удалением воды из нефти, подготовкой сточных вод, при разработке многих моющих средств. Столкновения частиц, приводящие к их коагуляции (слиянию, слипанию) и/или дроблению могут быть обусловлены самыми разнообразными эффектами - случайным (броуновским или турбулентным) блужданием, сближением под действием электрических, гидродинамических и гравитационных сил. При соединении кластеров в полимерных растворах это явление иногда называют агрегацией.
Процессам коагуляции и дробления иногда могут сопутствовать поступление извне в дисперсную систему новых частиц и/или их поглощение. При их заметном влиянии на спектр необходимо включить
в рассмотрение внешние источники и стоки.
Явления, подобные коагуляции, характерны и для таких процессов, как рост кристаллов, образование дислокаций и пузырей в твердом теле под действием излучения. Таким образом, проблематика, связанная с изучением процессов коагуляции и дробления, особенно важна в метеорологии, астрофизике, технике, экологии, химии полимеров и в радиационном материаловедении. Глубокое проникновение в суть описываемых явлений невозможно без построения и изучения их математических моделей, которые, в свою очередь, требуют развитой математической теории. Именно это обстоятельство свидетельствует об актуальности представленной работы.
Целью диссертационной работы является построение математической теории кинетики коагуляции-дробления.
Научная новизна. Представленные в диссертации результаты оригинальны и являются важным вкладом в общую математическую теорию нелинейных уравнений физической и химической кинетики, в теорию интегральных и интегродифференциальных уравнений и в теорию нелинейных законов сохранения.
Доказаны существование и единственность непрерывного решения для пространственно однородного кинетического уравнения Смолу-ховского коагуляции-дробления с неограниченными ядрами для широкого круга практически важных задач.
Выявлены случаи, когда решение удовлетворяет физически значимому закону сохранения массы частиц в единице объема системы.
Сделаны выводы о свойствах решений: их асимптотическом по х поведении, выявлены случаи положительности решений и оценен порядок сингулярности стационарного решения уравнения коагуляции без дробления. Доказано существование непрерывных стационарных решений для уравнения коагуляции-дробления в важном случае линейного ядра коагуляции и постоянного ядра дробления, доказана их единственность при фиксированной массе системы и сходимость к ним нестационарных решений. Оценены свойства стационарного решения уравнения коагуляции с источником и доказана сходимость к нему нестационарного решения при больших t. Показано, что при других ядрах коагуляции и дробления стационарные решения могут,
>бще говоря, отсутствовать.
Построены два однопараметрических семейства новых дискретных лелей коагуляции, причем оказалось, что при максимальном зна-ши параметра коагуляции одна из новых моделей является дис-зтной версией известной модели коагуляции В.С.Сафронова. Про-і,ен сравнительный теоретический и численный анализ моделей ко-'ляции М.Смолуховского с одной стороны и В.С.Сафронова и но-I модели - с другой. Введено понятие фронта коагуляции и об-эужено, что во всех известных случаях фронт коагуляции уходит бесконечность в тот же самый критический момент времени, ко-k происходит нарушение закона сохранения массы. На основании ютезы о совпадении этих моментов сделаны оценки нарушения за-ia сохранения массы для ряда новых ядер коагуляции, причем шм из новых выводов является тот, что подобное нарушение мс-т происходить и для ядер коагуляции, соответствующих слабому лмодействию частиц равных масс.
Доказана теорема существования и единственности непрерывного пения для пространственно неоднородного уравнения коагуляции-)бления с, вообще говоря, неограниченными ядрами. Эсуществлен переход к гидродинамическому пределу для кинети-коагуляции-дробления и получено новое уравнение динамики дис-юных систем.
На базе теории сопряженных уравнений введено понятие квази-нкционала, что позволило разработать методы нахождения явных цений для широкого класса линейных кинетических уравнений, почая уравнение дробления, для бесконечных алгебраических си-м и систем обыкновенных дифференциальных уравнений и в част-IC производных. Установлена взаимосвязь скалярных законов со-інения и бесконечных систем уравнений в частных производных, годом квазифункционалов построены основы теории линейных ин-ральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами, причем выводы імененьї к уравнению коагуляции-дробления с получением новых ультатов.
Ірактическал значимость. Полученные результаты обосновы-?т корректность уравнений коагуляции-дробления и их модифика-
ций для широких классов важных физически значимых параметров, что является основой для численных расчетов и аналитических оценок в этих задачах. Получены и обоснованы новые модели кинетики коагуляции и динамики дисперсных систем. Построены основы теории линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами, что, помимо задач коагуляции-дробления, имеет очень широкие приложения.
* Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах Института вычислительной математики РАН, Института прикладной математики РАН, Обнинского института атомной энергетики, кафедры прикладной математики Московского инженерно-физического института, кафедры газодинамики и волновых процессов механико-математического факультета МГУ, кафедры высшей математики Московского физико-технического института, математического отдела ГНЦ Физико-энергетического института (Обнинск, 1999), Института проблем безопасного развития атомной энергетики РАН (Москва, 2000).
Результаты диссертации докладывались в Международном математическом центре им. С.Банаха (Варшава, 1998), на Международных конференциях по интегральным методам в науке и технике (Финляндия, 1996 и США, 1998), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Ст. Петербург, 1998), Международной конференции по дифференциальным уравнениям EQUADIFF'99 (Берлин, 1999), Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000), Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2000), 2-м Европейском конгрессе математиков (Будапешт, 1996), 3-ей международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1998), на Международной конференции "Анализ, расчеты и приложения дифференциальных и интегральных уравнений" (Германия, 1996), на Международном конгрессе математиков (Цюрих, 1994).
Публикации. По теме диссертации опубликовано около 30 печат-
пых работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, дополнения, заключения и списка литературы (302 наименования); изложена на 253 страницах и включает 27 рисунков.