Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важных направлений теории нелинейных колебаний является исследование вопросов существования и устойчивости периодических и почти периодических колебаний в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром. Задачи такого рода возникают в различных областях механики, физики и техники.
Аналитические и качественные методы исследования почти периодических колебаний разрабатывались многими авторами. Н.Н. Боголюбов и Н.М. Крылов развили метод усреднения для исследования почти периодических колебаний в нелинейных системах. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах Н.Н. Боголюбова, Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, Г.И. Бирюк, И.Г. Малкина, Дж. Хейла, М. Розо, В.Ш. Бурда, П.П. Забрейко, Ю.С. Колесова, М.А. Красносельского и др. Наиболее детально изучены задачи, в которых вопрос о существовании почти периодических колебаний решается на основе анализа усредненной системы первого приближения (некритические случаи). Существенно менее разработаны методы исследования систем в критических случаях. В связи с этим актуально развитие техники изучения систем дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами и ма-
лым параметром, основанной на построении высших приближений метода усреднения.
Диссертационная работа в основном посвящена изучению ряда задач, в которых существование и устойчивость почти периодических решений могут быть установлены на основе анализа уравнений высших приближений метода усреднения.
Цель работы. Разработка аналитических и качественных методов исследования задач о существовании и устойчивости почти периодических решений для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.
Методы исследования. В работе применяются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений: метод малого параметра, метод усреднения; методы функционального анализа: операторные уравнения, принцип сжатых отображений, теория линейных дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами.
Научная новизна. Получены новые теоремы существования и устойчивости почти периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с быстрым и медленным временем, одного класса сингулярно возмущенных систем. Показана возможность применения систем высших приближений для решения вопроса о существовании и устойчивости почти периодических решений в крити-
ческих случаях.
Практическая ценность. Работа теоретическая. Полученные результаты могут применяться для исследования уравнений, возникающих в задачах теории колебаний и нелинейной механики.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и пяти параграфов, изложена на 78 страницах. Библиография 26 наименований.
Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993 и 1996), "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук" (Ярославль, 1995).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.