Исследование автоколебаний в неидеальной гетерогенной системе Шобухов, Андрей Вадимович

Введение к работе

В течение последних пятнадцати лет проявляется большой интерес к математическому моделированию химических каталитических реакций *). Активно ведется разработка моделей, все более полно отракаящих изучаемые явления, и совершенствование математических методов их анализа: как аналитических, так и численных, в соответствии с методологией вычислительного эксперимента **). При современном подходе модели задаются системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по временной и пространственным координатам. В изучении этих систем важную роль играет поиск периодических по времени решений при определенных краевых и неопределенных начальных условиях, а такке наховдение условий их устойчивости, возможности приближения в результате численного решения смешанной задачи.

В литературе, посвященной вопросам химической кинетики, предлагается следующая модель реакции каталитического окисления окиси углерода на платине, выводимая - как и для многих других реакций - из закона действующих масс:

*) Слинько М.Г. Некоторые проблемы математического моделирования химических процессов и реакторов. - Хим.пром-сть. 1987. *1. С.3-7.

**) Самарский А.А. О математическом моделировании и вычислительном експерименте в физике. - Вестник АН СССР. 1979. Л5. С.38-49.

_ 4 -du/dt = ICjO-u-v-w)²- k^uv - kgUCI-w) ,

dr/dt = kgCI-u-Y-w) - k^uv - luv - kgvw , ( 1 )

dw/dt = kcU(l-w) - kgYW ,

kj > 0, 1=1,...,6. Здесь u.v.w означают концентрации адсорбированных 0₂, CO и растворенного в приповерхностном слое катализатора 0₂ соответственно. Эта модель описывает процессы адсорбции и десорбции молекул 0₂ и СО, реакции СС+0-«СО_г на поверхности платины, растворения О в приповерхностном слое, восстановления слоя адсорбированным СО.

Обобщение этой модели достигается введением в правую часть членов, учитывающих диффузию реагентов по поверхности:

эи. г э^ги э²у а²» -\ г

— = P., (1-V-W)—р + и(—2 + —g) +fc, (1-U-V-W) -k^UT-kgUtl-W),

ет г a²v a²u a²w і

- = Ц(1-и-*)^г + у(^ + —^v-u-r-V-kJxr-^-^m,

aw at ³

r a²w а^ги в^гг і

[<1-u-v)^ _{+ w(}_ ₊ -_?)J_+V(1-w,^w_r.

au au

—(t,0) =—(t,1) =o, ( 2 )

ax ax

эт av

—(t.O) =—(t,1) = o,

ax ax

a» aw

—(t,o> = —(t.i) = о; ь_ч > о , i=i 6.

ax ax ^a

Диффузионные члены как в ( 2 ), описывающие т.н. "прыжковую диффузию'', были предложены в *).

*) Горбань А.Н. .Саркисян Г.П., Быков В.И. Описание нелинейной диффузии по поверхности катализатора на основе формализма химической кинетики // Химическая кинетика в катализе. Черноголовка. 1987. С.15-21.

- 5 -В экспериментах с реакцией 2С0 -t- 0₂ - 2С0₂ при различных условиях неодаократно наблюдались периодические изменения скорости реакции и концентрации реагентов на поверхности катализатора. Для теоретического изучения этого явления представляет интерес анализ решений описанных выше моделей на периодичность по времени. Темой настоящей диссертации является проведение такого анализа.

Актуальность темы. Тема диссертации охватывает вопросы, связанные с исследованием современных математических моделей (1 ) и ( 2 ) одной реакции гетерогенного катализа, в ходе которой наблюдается периодическое по времени повторение явлений. Она имеет своей направленностью расширение возможностей подключения математического аппарата и средств вычислительной техники к исследованию различных вариантов моделируемой реакции в зависимости от значений параметров. Раскрытие данной темы предполагает теоретические продвижения в развитии методов анализа на периодичность систем, обобщающих ( 1 ) и ( 2 ).

Цель работы, диссертация имеет своей целью:

1. подытоживание известных результатов, относящихся к поиску периодических решений в моделях (1 ) и ( 2 );

2. распространение теории Андронова-Хопфа на бифуркацию стационарных решений систем у.ч.п. типа "реакция-диффузия'', включающих в себя ( 2 ), вывод условий существования, единственности и устойчивости бифуркационных периодических решений;

3. наховдение достаточных условий возникновения пространственно--неоднородных периодических решений в модели, получаемой при возмущении малыми диффузионными членами системы ( 1 ), имеющей периодическое решение;

- б -

4) вывод асимптотических формул для установления условий при
менимости теории релаксационных колебаний к системам вида

( 1 ) и проверка условий их применимости;

5) численное решение примеров, иллюстрирующих практическое
применение теоретических положений к системам (1 ) и ( 2 )
при реальных значениях параметров.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты примыкают в части исследования бифуркаций для систем у.ч.п. к результатам Д.Сэттинжера *), представляя собой их уточнение с независимыми доказательствами для параболических систем вида < 2 ), обладающих, как устанавливается, фредгольмовым свойством. Условия, при которых исследуется бифуркация на периодическом решении системы ( 1 ) отличается от изученных Д.Джозефом и К.Иоссом **) порядком возмущающего диффузионного чшенв; при этом впервые дается приближение пространственной неоднородности решения с помощью эллиптических функций Якоби. Новым в сравнении с поиском бифуркационных решений является развитый в диссертации подход к выделению периодических решений релаксационного характера; выявлены соотношения между коэффициентами многопараметрической системы ( 1 ), при которых к ней применима соответствующая теория ). Численно построен пример зависящего от пространственной координаты периодического решения ( 2 ) - ранее таких примеров не приводилось.

*) Sattlnger D.H. Topics in Stability -and Bifurcation Theory.

Lecture Notes in Mathematics. 19T3. V.309. 191p. **) Дкозеф Д., Иосс К. Элементарная теория устойчивости и

бифуркаций Ы., Мир, 1983, 301с. ***) Мищенко Б.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 19Т5, 248с.

Практическая ценность. Исследования по теме диссертации проводились в рамках хоздоговорной НИР, выполнявшейся в лаборатории математического моделирования в физике на кафедре вычислительных методов факультета ВмиК МРУ. Результаты диссертанта вошли в отчет лаборатории, принятый заказчиком. Описанное в совместной работе диссертанта с М.М.Слинько [ 1 1 получение автоколебаний скорости рассматриваемой каталитической реакции проводилось в соответствии с направлением работ Института химической физики АН СССР, признанным перспективным для решения задач химической кинетики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в 1988-1989 гг. на заседаниях семинаров кафедры вычислительных методов факультета ВмиК МГУ под руководством А.А.Самарского, семинара кафедры дифференциальных уравнений мех.мат.факультега МГУ под руководством М.И.Вишика, семинара кафедры математики физического факультета МТУ под руководством А.Б.Васильевой. По отдельным задачам, рассматриваемым в диссертации, делались сообщения на школах "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Звенигород, 1987; Черноголовка. 1988), на конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ (1988). По материалам диссертации опубликованы 2 печатные работы,

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит ив введения, трех глав (по три параграфа в каждой), списка литературы и прилокения. Обпий объем диссертации 120 страниц, включая ю рисунков и 8 таблиц. Библиография насчитывает 56 наименований.