Фильтрация процесса, управляющего дисперсией нестационарного гауссовского шума Богданов, Александр Леонидович

Введение к работе

Актуальность работы

При разработке систем связи возникают следующие задачи:

изучение свойств помех, действующих в каналах связи и имеющих как естественное, так и техническое происхождение;

разработка математических моделей таких помех, отражающих тот факт, что мощность этих помех может меняться со временем;

разработка методов, позволяющих в режиме реального времени оценивать мощность этих помех.

Несмотря на обилие экспериментальных работ, посвященных этой проблеме, нет общепринятой математической модели этих помех, учитывающей то, что мощность этих помех изменяется со временем случайным образом, а анализ функционирования многих технических систем и оценка в режиме реального времени мощности этих помех невозможны без учета этой изменчивости. Поэтому проблема разработки таких моделей и, на их основе, алгоритмов оценки текущего значения мощности помехи остается актуальной и в настоящее время.

Гауссовские случайные процессы являются основой теории выделения и обнаружения сигналов в шумах, развитой для нужд техники и радиолокации, и поэтому в качестве модели помех, мощность которых изменяется со временем случайным образом, можно предложить модель дважды стохастического гауссовского случайного процесса, дисперсия которого зависит от другого процесса, который в данной работе выступает под именем управляющего процесса. Сам управляющий процесс предполагается либо диффузионным марковским, либо чисто разрывным марковским случайным процессом. Автору представляется, что такая модель может достаточно адекватно описывать реальность и поэтому заслуживает изучения как сама по себе, так и в качестве основы для выработки алгоритмов фильтрации мощности шума, работающих в реальном времени. Цель работы

При выполнении данной работы ставились следующие задачи:

1. Усовершенствовать математическую модель помех, действующих в канале связи, предложенную Т. В. Калашниковой, применительно к коррелированным гауссовским шумам, дисперсия которых зависит от диффузионного процесса с известными коэффициентами сноса и диффузии. , *

2. На основе этой модели построить алгоритмы фильтрации управляющего процесса из круга следующих алгоритмов:

алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов;

нормального (гауссовского) приближения для апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса, приводящим к алгоритмам, подобным фильтру Калмана;

линейного алгоритма фильтрации текущего значения дисперсии гауссовского шума.

3. Методом имитационного моделирования проверить работоспособность предложенных алгоритмов.

4. Разработать программное обеспечение, реализующее линейные алгоритмы и алгоритмы нормального приближения, ориентированные на персональные ЭВМ.

Состояние проблемы

Одним из сравнительно новых направлений в теории случайных процессов и математической статистике является исследование и оценка характеристик так называемых дважды стохастических процессов. В Томском государственном университете подобные исследования ведутся под руководством профессоров Горцева A.M. и Терпугова А.Ф..

Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: берется какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики делаются зависимыми от другого случайного процесса, который обычно называют управляющим процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим случайным процессом.

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастический пуас-соновский поток событий. Этот поток событий имеет следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий интенсивности М(0)> интенсивность которого зависит от управляющего процесса t,(t). Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем; диффузионный марковский процесс; чисто разрывный марковский процесс. Такие дважды стохастические потоки успешно применялись в качестве математической модели для сигналов, получающихся при лазерном зондировании атмосферы, прохождении излучения через вещество и так далее. Они нашли также применение при

описании систем массового обслуживания, функционирующих в изменяющихся условиях.

Вторым классом дважды стохастических процессов, также уже достаточно подробно исследованным, являются дважды стохастические авторегрессионые модели. В них берется процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты регрессии этого процесса считаются зависящими от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом. В литературе исследованы характеристики таких процессов, оценка параметров управляющего процесса, фильтрации таких процессов.

В настоящей работе рассматриваются оптимальные и субоптимальные алгоритмы фильтрации дважды стохастического гауссовского случайного процесса. В этом смысле.она является продолжением и развитием работы Т. В. Калашниковой, в которой исследованы алгоритмы линейной фильтрации дисперсии белого гауссовского шума, дисперсия которого зависит от квадрата гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и известной функцией корреляции. Основные отличия данной работы от работ Т.В. Калашниковой следующие:

1. Для белого гауссовского шума рассмотрены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации и их нормальная аппроксимация.

2. Рассмотрена модель гауссовского процесса в виде авторегрессио-ной модели первого порядка, в которой от управляющего процесса зависит сомножитель, стоящий перед стохастическим слагаемым. Рассмотрены вопросы оптимальной линейной и нелинейной фильтрации этого коэффициента.

3. Алгоритмы линейной фильтрации обобщены на многомерный случай.

Научная новизна работы

По мнению автора, научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем:

4. Для случая некоррелированного гауссовского процесса, дисперсия которого зависит от диффузионного марковского процесса, получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса и уравнения для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в нормальном приближении. Эти алгоритмы получены в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени.

5. Предложена модель нестационарного гауссовского шума в виде ав-торегрессионого процесса первого порядка, у которого коэффици-

ент при стохастическом слагаемом зависит от управляющего процесса, который считается либо марковским процессом, либо стационарным гауссовским процессом с известной функцией корреляции. В рамках данной модели получены:

алгоритмы оптимальной линейной фильтрации значений коэффициента при стохастическом слагаемом;

алгоритм оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса;

уравнение для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в рамках нормального приближения.

Эти алгоритмы получены также в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени.

3. Большая часть результатов, изложенных в предыдущем пункте, перенесена на многомерный случай.

Основные научные положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты работы:

1. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени), опреде
ляющих апостериорную плотность вероятностей управляющего
процесса для следующих случаев:

некоррелированный гауссовский процесс;

гауссовский процесс в виде авторегресс.ионого процесса первого порядка, у которого от управляющего процесса зависит сомножитель Перед стохастическим слагаемым;

2. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени) определяющих апостериорные среднее и дисперсию апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса в нормальном приближении в тех же случаях, что и в предыдущем пункте.

3. Вид уравнений, определяющих весовые коэффициенты (в дискретном времени) или весовую функцию (в непрерывном времени) оптимального линейного фильтра для фильтрации дисперсии гаус-совского процесса, когда этот процесс является авторегрессионым процессом первого порядка, или произвольного порядка, у которого управляющий процесс, входящий в сомножитель перед стохастическим слагаемым, является гауссовским случайным процессом с известной функцией корреляции.

4. Явное решение этих уравнений в случае, когда управляющий процесс является гауссовским случайным процессом с экспоненциальной функцией корреляции.

Методика исследования

Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории условных марковских процессов, теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов. Правиль-

ность и работоспособность линейных алгоритмов фильтрации, а также алгоритмов фильтрации, основанных на нормальной аппроксимации апостериорной плотности вероятностей, подтверждается результатами имитационного моделирования этих алгоритмов на ЭВМ. Практическая ценность

Данная работа выполнялась в инициативном порядке в плане продолжения тематики хоздоговорных работ, финансирование которых было прекращено, а также в соответствии с планом научно - исследовательских работ факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Результаты исследований могут найти применение при построении систем связи, адаптирующихся к уровню мощности шума в канале связи, а также при анализе экспериментальных данных о шумах, действующих в реальных каналах связи. Реализация полученных результатов

Разработанные алгоритмы фильтрации мощности шума в канале связи реализованы программно в виде комплекса программ. Публикации

Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях:

1. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного дважды стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика. - 1998. № 4. - С. 15 -22

2. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика. - 1999. № 4. — С. 3 - 7

3. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Оптимальная нелинейная фильтрация мощности нестационарного гауссовского шума //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сборник статей /под ред. проф. А.Ф. Терпугова - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. -С. 3-11.

Апробация работы

Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на

4. Научно-практической конференции "Наука, образование, производство: интеграция и новые технологии" 18-19 ноября, 1997, Анжеро-Судженск;

5. Научно-методической конференции "Наука и образование: пути интеграции", Анжеро-Судженск, 1998;

3. Научно-теоретической конференции "Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция" Барнаул, 1999.