Введение к работе
Актуальность исслэдоввния.
При математичэском моделировании физических процессов, таких как быстрые переходные процессы в задачах горения топлива, динамика потока вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса, возникает необходимость в численном решении краевых задач с малым параметром при старшей производной (Роуч П., 1980). Подобные задачи возникают также в гидротермодинамических моделях, они описывают поведение интегральных характеристик потока: функции тока, уровенной поверхности. Хорошо известно, что решение этих задач представляет одну из основных трудностей при численной реализации модели в целом. В этих же моделях естественным образом возникает проблема аппроксимации производных функции тока либо уровня, так как они определяют величины баротрошшх составляющих горизонтальных компонент скорости. При построении дискретных аналогов задач, описывакщих распределения плотности, температури, солености, мы такжэ сталкиваемся с необходимостью качественной аппроксимации задач вышеуказанного типа (Кочорпш В.П., 1973, Саркисян А.С, 1936).
Как правило, эти задачи являнтся сингулярно-возмущенными, я их решения имеют большие градиенты в узких погранслой-ных или внутренних переходных областях. Налігше относительно малых подобластей о больший градиентами решения делает такие задачи сложными для численной реализации при использовании классических разностных схем. Преодолеть эти трудности можно, используя вычисленных моделях разностные схемы, учитывающие специфику ' поведения решения в погранслоЯных или внутренних переходных областях.
Процесс моделігрования физических явлений требует, использования как достаточно полной дифференциальной математической модели, так и адекватной ей дискретной реализации. А это предъявляет высокие требования к методам дискретизации дифферештиальвдх задач.
Современный подход к дискретизации задач с пограничными слоями таков, что, помимо традиционных аппроксимации и устойчивости, он требует, чтобы схема обладала свойством консервативности, т.е. удометвор~ЖЖ1ШвгральшмТЗалаисшм-сб=г" оїнотениям, аналогичішм тем, которые имеют место для задач в дифференциальной постановка и характеризуют поведение моделируемого объекта в целом (Самарский А.А., 1933, Марчук Г.й., 1989). Другими, и ужа устоявшимися, требованиями к качеству схеми являются ее монотонность и равномерная по малому параметру сходимость приблиаенного решения к точному (Ду-лан 3., и др., 1983). Реализация последнего критерия существенно сужает класс подходящих разностных схем и усложняет технику получения оцаноь скорости сходимости, так как требует изучения асимптотических свойств решения исходной задачи к детального отслеживания параметрических зависимостей в константах атих оценок. Тем не макео, схеми, обладающие свойством равномерной по малому параметру сходимости, являются, в некотором смысле, универсальными: они гарантируют достаточную точность решения при любых соотношениях между малыми параметрами и размерами сетачшх ячеек. Цель и задача исследования.
Основной цель» диссертации является разработка новых и исследование некоторых известных разностных схем для решения сингулярно-возмущенных эллиптических краевых задач. Для ето-го в диссертационной работе используется методика, условно назвшшая нами проекционным вариантам штвгра-интврполяцион-иого метода (ШИШ). Этот метод, в рамках единого подхода, позволяет получать аштрокеимации как решения, так и его производных. Кроме того, обеспечивает сохранение в разностном виде многих интагралышх законов, присущих исходной дифференциальной постановка.
В работа проекционный вариант шггегро-шггврполициашюго метода нашел свое дальнейшее развитие: показано, как с его помощью модифицировать известные разностные схемы с целью улучшения их сходимости, кроме того, при помощи ІШИІШ полу-
чены равномерные по малому параметру оценки не только для . решения, но и для производных. Работа предложенных новых схем иллюстрируется численними расчетами для достаточно большего числа модельных задач с известными точными решениями. Проводится их сравнение с известными методами. В работе приводятся такие тестовые расчетц, связанные с определением порядков (как равномерной, так и классической) сходимости. Научная новизна.
Предлагается оригинальная методика, позволяющая едино-: образно получать аппроксимации как решения, так и его первых, производных для эллиптических краевых задач с пограничными слоями. На основе этой методики предлагаются алгоритмы, позволяющие повысить точность разностных схем.
В частности, построено семейство новых разностных схем, аппроксимирующих одномерную задачу диффузии-адвекции, обладающих свойством вирга сходимости (Кгеіза И.О., и др., 1986, Manteuifel Т.A., White А.В., 1986). Доказаны равномерные по малому параметру оценки скорости сходимости со вторым порядком на произвольной неравномерной сетке.
ПВИИМ обобщен на двумерный случай: построены новые разностные аппроксимации решения и его производных для двумерных эллиптических краевых задач.
Предложена модификация классической схемы с центральными разностями для решения самосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи, отличающаяся только правой частью в разностном уравнении, для этой схемы доказана оценка, из которой следует равномерная по малому параметру сходимость приближенного решения к точному; получена неклассическая ' оценка скорости для схемы с центральными разностями.
Предложен алгоритм экспериментального определения порядков равномерной и классической сходимостей для разностных схем.
Все теоретические исследования иллюстрируются численными расчетами для достаточно большего числа модельных задач о известными точными решениями.
Практечвскш ценность.
В диссертационной работе развивается методика построения разностных схем (ШИШ), которая у«е нашла аффективное -применение—при—моделировании—крупномасштабной—цирку ляцкит-жидкости в водоемах (Климок В.И., Фридрих Г., Скляр С.Н.,. Гритаяков Б.Ю., 1985, Кочергин В.П., Скляр С.Н., Султанов. Р.К., 1990, Султанов Р.К., 1994).
Предложенные в работе разностные.схемы также мргут быть использованы в моделях гидротермодииамики и тепломассообмена. Апробация работы.
Основные результата диссертации докладывались и обсуж- -, дались на IX ЫекреспуСликанской конференции молодых ученых (Фрунзе, 1988), III школе-семинаре "Численные метода для высокопроизводительных систем" (Фрунзе, 1968), Школе колодах ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Красноярск, 1989), Межреспубликанской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана (Ленина-бад, 1990), III Всесоюзной школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среда" (Абрау-Дюрсо, 1991), Всесоюзной конференции "Асимптотические метода теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991), семинаре Научно-исследовательского центра математического моделирования НАН,КР.
Диссертация полностью докладывалась на заседании Ученого совета Научно-исследовательского центра математического моделирования HAH КР. Публикации.
По теме диссертации опубликовано девять работ. Структура к объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 68 наименований. Общий объем диссертации составляет 142 страницы, в том числе 8 рисунков в 24 таблицы.