Введение к работе
Актуальность проблемы. Большинство проблем, возникающих в наутно - исследовательской деятельности, моделируется или может быть сведено в результате дискретизации к однопараметрическим задачам, т.е. задачам, решение которых определяется функциями, зависящими от одного аргумента. Эти решения задают однопараметриче-ские множества (кривые) в евклидовом пространстве. К проблемам такого типа относятся, например, задачи, описываемые
системами нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, содержащих Параметр;
системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);
системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), т.е. системами, состоящими из ОДУ и нелинейных алгебраических или трансцендентных соотношений;
— системами функционально-дифференциальных уравнений. В
частности уравнениями с запаздывающим аргументом и интегро-
дифференциальныму уравнениями.
К проблемам данного вида следует отнести задачи параметрического приближения кривых, а также проблемы, моделируемые уравнениями в частных производных, решение которых сводится к задачам вышеописанных типов.
В настоящее время существует большое число алгоритмов и методов, позволяющих успешно решать отмеченные задачи. Однако, решение этих задач при помощи традиционных численных методов часто приводит к вычислительным трудностям в промежутках резкого изменения решения и в окрестностях предельных точек кривой, определяющей решение задачи. В частности такие проблемы возникают при решении жестких систем уравнений, а также при решении задачи Кошн для ОДУ или ДАУ, имеющей замкнутую интегральную кривую.
В этой связи весьма актуальными представляются исследования, позволяющие ослабить или даже устранить вышеописанные трудности.
Целью данной работы является ';" "
— создание на базе единой концепции, в основе которой лежит ме
тод продолжения решения по параметру, подхода, позволяющего пре
образовать одиопараметрическую задачу к наилучшему в некотором
смысле аргументу, обеспечивающему системе уравнений продолже
ния решения наилучшую обусловленность, что смягчает или устраня
ет трудности, возникающие на участках резкого изменения решения
и в предельных точках задачи;
— разработка численных методов, алгоритмов, пакетов приклад-
' ных программ, реализующих данный подход и обеспечивающих эф-
'-' фективное решение однопараметрических задач.
"Научную новизну представляемой работы составляют: 1. Единый подход, позволяющий взглянуть на задачу построения однопараметрических множеств с точки зрения метода продолжения решения по параметру и поставить вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения, обеспечивающего наилучшую обусловленность соответствующей системы уравнений продолжения;
- 2. Доказательство необходимых и достаточных'условий выбора наилучшего параметра продолжения решения нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, содержащих параметр;
-
Преобразование задачи Конш для ОДУ к наилучшему аргументу и анализ свойств этого преобразования;
-
Преобразование задачи Коши для ДАУ, уравнений с запаздыванием и интегро-дифференциальных уравнений к наилучшему аргу-
'''' менту. Алгоритмы и программы численного решения задач;
; 5. Доказательство необходимых и достаточных условий .выбора 1: - наилучшего параметра в задаче параметрической интерполяции и аппроксимации;
-
Разработанная математическая модель движения упруго-пластического заряда дроби вдоль ствола ружья с изменяемой геометрией поперечного сечения. Нелинейная модель, описывающая прощелки-панне упругой тонкой оболочки двдякой кривизны, прямоугольной в плане;
-
Критерий динамического нрощелкивания механических систем типа пологой фермы, .арки, оболочки под действием нагрузки, изменя-
\
\
ющейся по ступенчатому закону. Требование к наименьшему времени интегрирования уравнений движения прощелкивающей системы.
Достоверность проведенных исследований основана на изложении всего материала диссертации в виде последовательности теорем, тщательном анализе результатов численного эксперимента, хорошем совпадении решений модельных задач с известными аналитическими и численными решениями, полученными другими авторами и несколькими различными методами.
Практическая ценность. Результаты диссертационной работы, отраженные в математических моделях, методах, алгоритмах и оформленные в виде программ для ПЭВМ, используются в практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских организаций при разработке и проектировании конструкций современной техники.
Диссертационная работа связана с рядом госбюджетных и хоздоговорных работ. Некоторые результаты включены в отчеты по грантам и научно-исследовательским программам Госкомвуза. Предлагаемый подход может служить основой для создания пакетов прикладных программ решения других классов однопараметрнческих задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались
на Чтениях по механике деформируемого твердого тела и прикладной матаматике (Москва, МАМИ, 1981); на Международной конференции "Проблемы экологии предприятий текстильной и легкой промышленности" (Севастополь, 1993); на Всероссийской научно-технической конференции "Новые материалы и технологии машиностроения" (Москва, МАТИ, 1993); на Чсбышевских чтениях (Москва, МГУ, 1994); на Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, МАИ, 1994); на Крымской осенней математической школе (Севастополь, 1994, 1995); на Всероссийском семинаре "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошной среды" (Москва, МАИ, 1995); на Российской конференции "Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей" (Казань, Казанский государственный технический университет, 1995); на научном семинаре под руководством член-корреспондента РАН Э.И.Григолюка (Москва, МАИ,
20.02.1970, МЛМИ, 08.04.1993, 18.11.1993); на научном семинаре под руководством академика РАН И.И.Воровича (Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет, 17.05.1993); на научном семинаре под руководством академика РАН Н.С.Бахвалова (Москва, МГУ, 18.03.1993, 04.11.1993,15.12.1994, 11.05.1995); на научном семинаре под руководством профессора В.И.Лебедева (Москва, Институт вычислительной математики РАН, 17.05.1994); на научном семинаре под руководством профессоров А.Л.Скубачевского, Г.А.Каменского (Москва, МАИ, 01.03.1993, 22.11.1993); на научном семинаре под руководством профессора У.Г.Пирумова (Москва, МАИ, 15.06.1995); на научном семинаре под руководством профессора Б.А.Гребенникова (Москва, Институт высокопроизводительный: вычислительных систем РАН, 14.11.1995); на научном семинаре ііод руководством член-корреспондента АНТ В.Н.Паймушина (Казани, Казанский государственный технический университет, 24.11.1995); на научном семинаре Вычислительного Центра РАН (Москва, 19.12.1995).
Публикации результатов исследований. По теме диссертации опубликовано 25 работ.
Структура и объем работы. Диссертация содержит 236 страниц машинописного текста и 43 рисунка. Она состоит из введения, семи глав; заключения, иллюстраций и библиографического списка, включающего 148 наименований.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному консультанту профессору Владимиру Ивановичу Шаланшлину за постоянную поддержку работы и полезные обсуждения.