Введение к работе
Диссертация посвящена численному исследованию некоторых избранных проблем освоения северных территорий с помощью технологии вычислительного эксперимента.
Состояние вопроса и актуальность проблемы. Эффективность решения любой проблемы во многом зависит от правильного учета протекающих в нем процессов. Б настоящее время усилиями школ А.Н.Тихонова, А. А. Самарского, Н. Н. Яненко, Г.И.Марчука и Н. Н.Моисеева выработана эффективная технология проведения научных исследований - вычислительный эксперимент. Суть вычислительного эксперимента состоит в комплексном изучении всей технологической цепочки: изучаемый процесс - математическая модель - вычислительный алгоритм - программа на компьютере. Во многих случаях вычислительный эксперимент, заменяя дорогостоящий натурный эксперимент, позволяет с минимальными затратами эффективно прогнозировать и управлять исследуемым процессом или объектом.
В соответствии с методологией вычислительного эксперимента, сначала строится математическая модель изучаемого объекта или процесса, которая обязана быть корректно поставленной и допускать численную реализацию. Последнее требование впервые было высказано А.Н.Коноваловым. Далее на базе современных достижений вычислительной математики разрабатывается эффективный вычислительный алгоритм, реализующий рассматриваемую модель на компьютере. Как правило, это даже не одна модель, а целое семейство математических моделей. В результате вычислительного эксперимента, представляющего собой многовариантные расчеты, очерчиваются области эффективного применения каждой из рассматриваемых моделей.
Определяющее значение в вычислительном эксперименте имеет разработка эффективного вычислительного алгоритма. Основные принципы н методы построения разностных методов решения краевых задач, разработаны в трудах А.Н.Тихонова, А. А. Самарского, Г.И.Марчука, Н. Н. Яненко и их школ: это и принципы однородности и консервативности; метод геометрического растепления многомерных краевых задач по направлениям и физическим процессам; метод фиктивных областей; принципы установления и регуляриза-
ции; а также различные способы построения дискретных аналогов краевых задач, такие как интегро-интерполяциошшй метод, методы интегральных тождеств, аппроксимации соответствующего квадратичного функционала и сумматорных тождеств.
Освоение северных территорий, в которой сосредоточены значительные запасы полезных ископаемых, имеет ряд специфических проблем, обусловленных суровыми климатическими условиями. В первую очередь, они связаны с наличием мощной толщи много-летнемерзлых горных пород. Исследования по математическому моделированию процессов тепло- и массопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах обобщены в монографиях Э.Д.Ершова, Н. С. Иванова, А. В. Лыкова, В. Г. Меламеда, А. В. Павлова, Л. И. Рубинштейна, Г. М. Фельдмана и А. Ф. Чудновского. Эффективные численные методы решения задач тепло- и массопереноса в технологических процессах и природных средах разработаны в работах П.Н. Вабище-вича, В. И. Дробышевича, Н. И. Никитенко, Е. Е. Петрова, В. И. Полежаева, В. А. Чугунова и др.
Г. Г. Цыпкиным и А.М.Максимовым выполнен цикл работ, посвященных разработке наиболее полных замкнутых математических моделей промерзающих и протаивающих насыщенных пористых сред в предпожении, что они представляют собой многофазные насыщенные дисперсные среды, в которых в зависимости от имеющихся термодинамических условий происходит фазовое превращение воды в лед или обратно. Эти модели позволяют изучить механизмы движения поровой влаги, перераспределения давления, температуры и концентрации растворенной примеси, а также их влияние на термодинамические условия фазового превращения поровой влаги в лед и обратно. Подобные модели процессов кристаллизации бинарных сплавов построены, например, в работах Н.А. Авдонина, В. Т. Борисова, В. В. Мансурова. Для задач с непостоянной температурой фазового перехода аналогичные модели с переходной зоной построены и исследованы А. М. Мейрмановым и его учениками.
В математическом плане близкий круг проблем связан с добычей углеводородного сырья. В последние годы в связи с тем, что исчерпаны запасы нефти, добываемые традиционными методами, в стране наблюдается устойчивое падение ее добычи. Поэтому стала насущной необходимостью разработка принципиально новых
высокоэффективных технологий разработки "сложных" месторождений, не поддающихся разработке традиционными методами. Нужны технологии, увеличивающие конечную нефтеотдачу пластов. В то же время надо принять меры, не допускающие падение добычи газа. Следует отметить, что широкое внедрение в промысловую практику даже вторичных методов разработки нефтяных залежей, таких как вытеснение нефти водой или растворителями приводит, к необходимости углубленного изучения как самих математических моделей, так и методов их численной реализации.
Теоретические основы математического описания движения жидкостей и газов в пористых средах заложены в трудах Л. С. Лей-бензона, И. А. Чарного, Н. Н. Полубариновой-Кочиной, Р. И. Нигмату-лина и их учеников. Математическое моделирование процесса разработки месторождений углеводородов является достаточно наукоемкой проблемой. Оно основано на законах механики гетерогенных сплошных сред. Подробное изложение общих вопросов теории многофазного течения в пористых средах можно найти в монографиях К. С. Басниева, Э.А.Бондарева, В. Я. Булыгина, Ю. П. Іелтова, Р. Коллинза, Б. Б. Лапука, Л. С. ЛейОензона, В.А.Максимова, В. Н. Николаевского, Р. И. Нигматулина, Л. И. Рубинштейна, И. А. Чарного, Э. Б. Чекалюка, В. Н. Щелкачева. Численным методам решения задач теории фильтрации посвящены книги X. Азиза и Э. Сеттарн, Г.Г.Вэ-хитова, С. Н. Закирова, Б. Б. Лапука, Б. И. Леви, А. Н. Коновалова, Г.Б. Кричлоу, Н. М. Максимова, А. Н. Чекалина, В. Е. Шаманского и др.
Задачи из рассматриваемых классов обладают следующими специфическими особенностями: наличие сильного ц контактного разрывов; вырождение определяющих уравнений; необходимость интегрирования на больших временных интервалах; одно и то же уравнение одновременно описывает несколько физических процессов с различными характерными временами, отличающимися на несколько порядков; необходимость интегрирования "жестких" систем дифференциальных уравнений и т. п.
Эти особенности, как правило, исключают или. при благоприятном стечении обстоятельств, затрудняют использование классических разностных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении других классов задач. И это может быть связано либо с существом изучаемых процессов, либо с выбором соответст-
вующей математической модели.
Исследования по теоретическим основам математического моделирования процессов тепло- и массопереноса с фазовыми переходами и разработке эффективных вычислительных алгоритмов, предназначенных для их численной реализации, во многом определяют успех применения вычислительных средств при решении проблем освоения северных территорий, и поэтому представляются актуальными.
Целью работы являются:
отбор и, при необходимости, разработка математических моделей процессов тепло- и массопереноса в криолитозоне с фазовыми переходами;
разработка эффективных разностных методов для численного исследования процесса неизотермической фильтрации природного газа и тепло- и массопереноса в пористых средах, сопровождающихся фазовыми переходами, в том числе и в объеме;
создание комплексов прикладных программ и численное исследование с их помощью некоторых актуальных прикладных проблем, встречающихся при освоении северных территорий.
Основные результаты работы:
1- Разработаны эффективные разностные методы решения некоторых нелинейных краевых и обратных задач для параболических уравнений. Для квазилинейного параболического уравнения построена симметричная линейная разностная схема второго порядка точности. Для численного решения задачи Стефана предложена модификация разностной схемы сквозного счета с размазыванием функции источника и разрывных коэффициентов в одном пространственном интервале. Разработан эффективный вычислительный алгоритм решения граничных обратных задач для параболических уравнений.
2. Построены разностные схемы для задач фильтрации природного газа в пористых средах. Численно исследован процесс неизотермической фильтрации влажного природного газа с гидра-тообразованием в призабойной зоне эксплуатационной скважины. Проведено численное моделирование процесса неизотермической фильтрации газа с учетом теплообмена с подошвой и кровлей залижи.
-
Предложены вычислительные алгоритмы, пригодные для численной реализации математических моделей двухфазных течений в пористых средах. Для задачи Баклея-Леверетта построена консервативная разностная схема с ловлей скачка насыщенности в узел сетки. Разработаны и численно реализованы математические модели двухфазных течений, учитывающие деформируемость пористой среды, сжимаемость флюидов и неизотермичность.
-
Разработаны эффективные методы численной реализации термодиффузионной модели с фазовыми переходами и модели замораживания жидкости в замкнутом объеме. Показана, как правило, противоречивость термодиффузионной фронтовой модели, выражающаяся в "переохлаждении" и "перегреве". Численно реализованы непротиворечивые математические модели рассматриваемых процессов с объемными фазовыми переходами.
-
На основе разработанных алгоритмов и созданных комплексов прикладных програми численно исследованы: а) теплообмен зданий и инженерных сооружений с сезонно-оттаивающими основаниями; б) тепловое взаимодействие подземных инженерных сооружений с вмещающими массивами мерзлых горных пород; в і процесс искусственного замораживания фильтрующих грунтов.
Научная новизна. Основные результаты являются новыми. В отдельных случаях новизна проявляется в модификации известных результатов, учитывающих специфические особенности изучаемых процессов.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается;
- использованием при выборе и разработке математических
моделей фундаментальных законов механики многофазных сред;
применением современных эффективных и теоретически обоснованных вычислительных метилов;
проверкой работоспособности разработанных вычислительных алгоритмов на тестовых задачах с известными решениями;
удовлетворительным совпадением результатов расчета с результатами других авторов.
Практическая ценность. Разработанные в работе эффективные вычислительные алгоритмы решения краевых задач тепло- и массо-
переноса, соответствующее программное обеспечение могут найти применение при решении многих прикладных проблем строительства, разработки месторождений полезных ископаемых, добычи и транспорта нефти и газа в северных регионах страны.
Реализация исследований. Разработанные методики расчета нестационарного температурного режима многослойных конструкций, в том числе и с фазовыми превращениями некоторых из слоев, реализующие их комплексы прикладных программ внедрены в Центральном научно-исследовательском институте специального машиностроения МОП СССР (г. Хотьково Московской области, 1986-1990 г. г.). Метод определения оптимального расположения скважин при кустовом способе разбуривания нефтяных месторождений в зоне вечной мерзлоты внедрен в Сибирском научно-исследовательском институте нефтяной промышленности (Тюмень, 1980 г. ).
Апробация работы. Отдельные положения и разделы, по мере выполнения, докладывались на:
Ш и IX Всесоюзных семинарах "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (г. Алма-Ата, 1976 и г. Якутск, 1988 г.);
1У и У Всесоюзных школах молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики" (г.Вильнюс, 1979 и г.Минск, 1981);
УП Всесоюзной конференции по тепломассообмену (г. Минск, 1984,i;
Всесоюзной школе-семинаре по вычислительным методам и математическому моделированию" (г. Минск, 1984);
объединенном УП семинаре "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" и П семинаре "Современные проблемы теории фильтрации" (г. Москва, 1984);
Всесоюзной школе молодых ученых "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г. Рига, 1985);
11 Всесоюзной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (г. Киев, 1985);
У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной
механике (г. Ташкент, 1986);
конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (г. Дрогобич, 1987);
IX Всесоюзной школе по моделям механики сплошной среды (г.Якутск, 1987);
семинаре "Современные проблемы теории фильтрации" (г. Москва, 1989);
Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Горный Алтай, 1989) ;
объединенном семинаре "Численные методы механики сплошной среды" и "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики" (Красноярск, 1989);
У1 Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (г. Новосибирск, 1991);
Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1994);
Международной конференции по математическому моделированию (г.Якутск, 1994);
семинаре отдела прикладной гидродинамики ИГпЛ СО РАН под руководством проф. В. В. Пухначева (Новосибирск, 1986);
заседании секции разработки нефтегазовых месторождений Ученого Совета Института проблем нефти и газа РАН (Москва, 1994);
объединенном семинаре ИВТ СО РАН и кафедры вычислительных методов механики сплошной среды НГУ под руководством акад. Ю. И. Шокина и проф. В. М. Ковенп (Новосибирск, 1995).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 23 работах, в том числе, двух монографиях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов и заключения, изложенных на 255 страницах, включает 73 рисунка, 2 таблицы, списка источников из 19 і наименования и приложения.