Введение к работе
Актуальность темы. Решение задачи построения математических моделей сложных технических, биологических, экономических и др. систем по данным наблюдений за их поведением составляет предмет теории идентификации, которая тем самым становится элементом общей научной методологии. Задаче идентификации посвящено необозримое число работ, отличающихся не только объектами исследования, которые необходимо идентифицировать, но и самими методами и алгоритмами идентификации. Наиболее значимые результаты в этой области принадлежат выдающимся российским ученым Я.З. Цыпкину, В.В. Налимову, Н.С. Райбману, Г.К. Кругу, В.В. Федорову, Б.Т. Поляку, а также зарубежным ученым П. Эйк-хоффу, Л. Льюнгу, Т. Острему, А. Сейджу, Т. Седерстрёму и др.
Среди разнообразных методов идентификации, предназначенных для оценивания коэффициентов уравнений по наблюдаемым данным, чаще всего используются методы современного регрессионного анализа, позволяющие осуществить идентификацию в режиме нормальной работы объекта. Регрессионный анализ по существу является одним из основных математических методов идентификации сложных технических, экономических, биологических и др. систем. При этом с практической точки зрения чаще всего для решения задач регрессионного анализа продолжает использоваться классический метод наименьших квадратов (МНК), основные статистические свойства которого не зависят от класса функций распределения случайных возмущений. Это в первую очередь связано с тем, что обычно в реальных прикладных задачах априорная информация о точных функциях распределения случайных возмущений отсутствует.
Однако в настоящее время существуют две основные причины, препятствующие эффективному практическому применению МНК в регрессионном анализе:
-
плохая обусловленность матрицы экспериментальных данных;
-
наличие "грубых ошибок" (больших выбросов), т.е. сильная неоднородность дисперсий случайных отклонений в наблюдениях выходной переменной регрессионной модели идентифицируемого объекта.
Для решения каждой из вышеперечисленных задач в отдельности в настоящее время разработаны различные подходы. Однако все эти методы малоэффективны, когда в задаче регрессионного анализа од-
повременно присутствуют явление плохой обусловленности и сильная неоднородность дисперсий случайных отклонений в регрессионной модели.
Разработке эффективных методов решения этих задач и посвящена настоящая работа.
Целью диссертационной работы является разработка численно устойчивых методов и алгоритмов идентификации параметров линейных (по параметрам) регрессионных моделей в условиях плохой обусловленности и сильной неоднородности (в присутствии грубых ошибок) в исходных данных, которые не требуют априорной информации о точных функциях распределения случайных возмущений. Последнее условие особенно важно для решения задач идентификации реальных технических, экономических и др. систем, так как данная априорная информация на практике обычно отсутствует.
Для достижения поставленной в работе цели необходимо:
провести анализ известных вычислительных алгоритмов решения плохо обусловленных линейных задач МНК в регрессионном анализе;
выяснить влияние сильной неоднородности (грубых ошибок) на число обусловленности исходной задачи идентификации;
разработать численно устойчивые методы и алгоритмы решения плохо обусловленных взвешенных (с сильной неоднородностью весовых коэффициентов) задач МНК;
разработать эффективные вычислительные алгоритмы для нахождения статистически устойчивых оценок {Lv - оценок) параметров регрессионных моделей;
разработать комплекс имитационных регрессионных моделей для проведения тестовых исследований полученных алгоритмов идентификации;
разработать соответствующее программное обеспечение.
Методы исследований. Полученные в работе результаты базируются на использовании современного аппарата вычислительной линейной алгебры, теории вероятностей, математической статистики (параметрического оценивания, регрессионного анализа и робастного оценивания) и теории идентификации систем. Исследования полученных методов и алгоритмов проводились на основе имитационного моделирования. При разработке программного обеспечения был использован пакет MATLAB (версия 5.0).
Научная новизна работы заключается в следующем:
исследовано влияние сильной неоднородности (грубых ошибок) в наблюдениях выходной переменной системы на число обусловленности исходной регрессионной задачи идентификации;
разработан прямой рекуррентный алгоритм решения линейных задач взвешенного МНК, который не требует предварительного масштабирования исходных данных и превосходит по быстродействию (в смысле числа арифметических операций) все известные алгоритмы решения данного класса задач;
предложена модификация прямого рекуррентного метода для решения линейных задач МНК неполного ранга и линейных задач МНК с комплексными элементами;
на основе прямого рекуррентного метода решения взвешенных задач МНК, предложенного в диссертации, разработан численно устойчивый алгоритм нахождения робастных Lu - оценок параметров регрессионных моделей объектов.
Практическая ценность и реализация результатов работы. Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение позволяют существенно расширить класс эффективно решаемых прикладных задач математического моделирования в технических, экономических, медико - биологических и других исследованиях на основе регрессионных методов идентификации систем. Основные практические выводы диссертационной работы заключаются в следующем:
разработанные алгоритмы и программное обеспечение прямого рекуррентного метода превосходят по численной устойчивости известные методы решения плохо обусловленных линейных задач МНК с сильно неоднородными по величине весами и могут эффективно использоваться в прикладных программных пакетах;
разработанные на основе прямого рекуррентного метода решения задач взвешенного МНК алгоритмы идентификации систем обладают более высоким быстродействием и численной устойчивостью по сравнению с извесгными алгоритмами идентификации рассматриваемых классов объектов;
полученные алгоритмы имеют рекуррентную структуру и позволяют вычислять решения, точно совпадающие с соответствующими решениями нерекуррентного метода наименьших квадратов, т.е. они не зависят от выбора начальных условий и, следовательно, могут эффективно использоваться в системах адаптивной идентификации, фильтрации и адаптивного управления;
все предлагаемые в диссертации методы не требуют никакой недоступной на практике экспериментатору информации и поэтому могут успешно использоваться при решении значительного круга проблем автоматизации научного измерительного эксперимента, связанных с получением устойчивых решений многочисленных задач обработки, интерпретации и моделирования данных;
теоретические результаты, разработанные алгоритмы и программное обеспечение были использованы для получения математических моделей при исследовании динамики изменения показателей некоторых заболеваний людей, а также математических моделей, применяемых для прогнозирования концентраций вредных примесей в атмосфере промышленных городов.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 6-й межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, Сам-ГТУ, 1996), научно-технической конференции "Прикладные задачи в машиностроении и экономике" (Самара, СамГУ, 1996), 7-й межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, СамГТУ, 1997).
Автором опубликовано по теме диссертации пять печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка цитируемой литературы (104 наименования). Объём диссертационной работы /3/машинописных страниц.