Введение к работе
В диссертации развиваются численные методы и алгоритмы решения задач редукции при обработке экспериментальных данных.
Актуальность темы определяется широким внедрением в практику вычислительного эксперимента в важнейших областях естествознания (физика плазмы, управляемый термоядерный синтез, физика атмосферы и океана, производство новых материалов и др.), что требует разработки эффективных методов и численных алгоритмов решекчя возникающих при этом задач.
Современные экспериментальные установки включают, как правило, в
настоящее время в свой состав ЭВМ, что позволяет планировать
стратегию проведения эксперимента и интерпретировать его результаты.
Такой измерительно-вычислительный комплекс позволяет при некоторых
условиях улучшить предельные возможности измерительной аппаратуры и
компенсировать искажения, возникающие в процессе измерения,
соответствующим образом преобразовав результаты эксперимента.
Результат такого преобразования интерпретируется, как данные
измерения, полученные на каком-то другом, возможно гипотетическом, приборе с лучшими характеристиками, и называется редукцией.
Метод редукции часто позволяет вместо дорогостоящего и долговременного физического эксперимента проводить вычислительный эксперимент, который позволяет проанализировать взаимосвязь параметров математической модели, оценить ее качество и достоверность получаемых результатов, а также получить результаты, соответствующие более высокоточному прибору.
В связи с этим возникает актуальная задача разработки соответствующего математического и программного обеспечения.
позволяющего в режиме реального времени проводить вычислительнь эксперименты. При этом часто основные затраты ресурсов ЭВ приходятся на решение больших серий плохообусловленных систс линейных алгебраических уравнений, возникающих в процесі дискретизации уравнений, описывающих исследуемый реальнь процесс.
Цель работы заключается в теоретической разработке и программке
реализации методов и численных алгоритмов решения различных заді
редукции при обработке результатов експериментальні
исследований, обладающих большими эффективностью, быстродействие и точностью по сравнению с ранее используемыми методами.
Научная новизна данной работы определяется развитием нового подход
в разработке численных методов решения задач редукции, основанном і
предварительном разложении операторов, входящих в формулиров
задачи, в произведение специальным образом подобранных операторі
с заранее фиксированными свойствами. Использование в дальнейші
' , расчетах этих свойств позволяет уменьшить объем используемой памяі
количество арифметических операций, а как следствие увеличи
быстродействие и эффективность измерительно-вычислительно
комплекса.
В качестве метода исследования применяется общая творі обобщенных обратных матриц, при этом, в частности, получе* результаты, имеющие самостоятельное значение при иселедовані обобщенных обратных матриц. Использование предварительно разложения позволило ослабить существовавшие ранее ограничения і применимость методов редукции в различных моделях.
На защиту выносятся следующие новые результаты:
а) обоснование метода построения обобщенного бидиагокально
разложения пары матриц;
б) обоснование метода построения обобщенной обратной д
окаймленной положительно полуопрвделенной матрицы;
в) обоснование методов построения решения простейшей задачи редукции
и частной задачи редукции в модели [ А, 2], задач редукции и синтеза в
моделях [A.F.Z] и [A,F,f0,] на основе использования бидиагоналъного,
сингулярного разложения матрицы или обобщенного бидиагонального или
обобщенного сингулярного разложения пары матриц;
г) разработка и реализация численных алгоритмов решения различных
задач редукции на основе описанных в а)-в) методов.
В работе сформулированы и доказаны новью результаты, позволяющие строить решение задач редукции при более слабых предположениях на оператор редукции. Доказано, что при построении оператора редукции кет необходимости использовать псеедообратные операторы, а достаточно использовать обобщенные обратные операторы. Построение же обобщенного обратного оператора требует меньших затрат по сравнению с построением псевдообратного оператора.
Показано, что при построении оператора редукции не обязательно использовать квадратный корень корреляционного оператора, вычисление которого довольно трудоемко в общем случае, а достаточно использовать разложение Холецкого для корреляционного оператора, которое можно эффективно вычислить с помощью существующего программного обеспечения.
Хорошо известны бидиагональное и сингулярное разложение матриц Менее известно обобщенное сингулярное разложение пары матриц, очен* полезное во многих приложениях. Но, как сингулярное разложение матриць по сравнению с бидиагокальным разложением, так и обобщенное сингулярное разложение пары матриц требует значительны? вычислительных затрат. В работе предлагается обобщенное бидиагональное разложение пары матриц, позволяющее снизит вычислительные затраты за счет уменьшения количества арифметически) операций при его вычислении по сравнению с обобщенным сингулярны» разложением. Правда, следует заметить, что при этом сужается клас* задач, где его можно использовать. Впрочем,
аналогичная ситуация имеет место относительно бидиагокального и сингулярного разложений матриц.
Результат обработки п+1 измерения экспериментальных данных выгодно трактовать как поправку результата обработки п измерений. С математической точки зрения в этом случае приходится вычислять различные свойства окаймленной матрицы при уже известных ранее аналогичных свойствах исходной матрицы. В частности, при решении задач редукции так приходится поступать при вычислении обобщенных обратных матриц для симметричных положительно полуопределенных матриц. В работе предлагается новый экономичный метод вычисления таких матриц.
Описанные в в) методы позволяют использовать для решения соответствующих задач вместо псевдообратных операторов, что требовалось в работах других авторов, обобщенные обратные операторы. В общем случае множества (1,3)-, (1,4)-обретных операторов шире множества псевдообратных операторов, следовательно, лете найти их представителей. А так как в данной работе показано, что результаї редукции не зависит от выбора представителя из соответствующегс множества обобщенных обратных операторов, то ясно, что в этом случае легче посчитать и результат редукции.
Кроме того, в работе удалось ослабить условия на положительнук определенность операторов (ДА* + 2 ),F, 2 и доказать существование решения соответствующей задачи редукции в случае положительно» полуопределенности этих операторов ( для каждой конкретной задачи зп условия выглядят по-разному).
Теоретическая и практическая ценность работы заключается в развит» теории обработки результатов измерений. Предлагаемая методик построения численных алгоритмов является достаточно гибкой и позволяв строить аналогичные методы и для решения других задач. Описанные і работе алгоритмы являются более эффективными по сравнению с ран» известными алгоритмами решения соответствующих задач, что, і частности, и было подтверждено большим количеством расчетов.
Практическая значимость работы состоит и в том, что на основе некоторых разработанных алгоритмов был составлен комплекс программ, примененный в НИИЯФ МГУ для расчета эффективных сечений фотоядерных реакций. Полученные результаты также подтвердили эффективность разработанных алгоритмов. При этом разрешение особенностей структуры сечений, полученное с помощью разработанных программ, существенно лучше полученных ранее на основе других алгоритмов. Кроме того, разработанные ьмтоды поззоляпи существенно расширить диалоэон исследуемых одновременно энергий.
Таким образом, показано, что разработанные алгоритмы дают возможность более эффективного и точного определения параметров исследуемого объекта с помощью измерительно-вычислительного комплекса.
В цепом предлагаемые алгоритмы могут служить основой для составления пакетов прикладных программ для численной обработки результат измерений в режиме реального времени.
Достоверность результатов и выводов обеспечивается
математической строгостью и обоснованностью проводимых рассуждений, тестированием расчетных алгоритмов по аналитическим и численным результатам, полученным на основе других методов.
Алпробация работы. Основные результаты диссертационной работы
неоднократно докладывались и обсуждались на научно-
исследовательском семинара "Численные методы математической
физики" кафедры численных методов факультета ВМиК МГУ под
руководством академика ААСамарского, на научно-исследовательском
семинаре кафедры общей математики физического факультета МГУ
под руководством профессора Ю.П.Пытьева, на научно-
иследоватальском семинаре лаборатории разностных методов факультета ВМиК МГУ, на научном семинаре кафедры вычислительной математики факультета ПМиК ТГУ, на научно-исследовательском семинаре НИИЯФ МГУ.
?
Кроме того результаты работы докладывались на Конференциях молодых ученых факультета ВМиК МГУ (г.Москва, 1982, 1983гг.), на Конференции молодых ученых факультета ПМиК КГУ (г.Калинин, 1987г.), на Всесоюзной школе "Современные проблемы численного анализа" (г.Ереван, 1988г.), на Конференции слушателей ФПК МГУ (г.Москва, 1989г.).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1-7] автора. Работы [1,3,5,6] опубликованы в соавторстве.
Структура и объем работы. Диссертация содержит 112 страниц машинописного текста и состоит из аннотации, введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. В тексте диссертации 8 рисунков. Список литературы включает 80 наименований.