Введение к работе
Актуальность темы. Потребности инженерной практики в области динамики машин, конструирования систем автоматического регулирования, радиотехники, ракетостроения вызвали необходимость рассмотрения нового понятия устойчивости. Дело в том, что, в отличие от классических задач Ляпунова об устойчивости движения, в реальных системах их функционирование происходит на конечном интервале времени, начальные и постоянно действующие возмущения являются конечными величинами, отклонения возмущенных движений не должны превышать некоторой определенной величины. Задача с такого рода особенностями получили название задач технической (практической) устойчивости пли устойчивости на конечном интервале времени.
Необходимость рассмотрения таких задач впервые было замечено Н.Г.Четаевым и им же были даны некоторые способы их решения. Дальнейшее развитие это направление получило в работах Н.Д.Моисеева, К.А.Абгаряна, Н.Ф.Кириченко, А.А.Мартышока, К.А.Карачарова, ВЛ.Зубова н других, а в приложениях к задачам стабилизации— в работах Н.Ф.Кириченко, Ф.Г.Гаращенко, Ф.Д.Фурасова, СЯ.Стеланбва, Ван Дань-чжи. Несмотря на значительность результатов, имеющихся в настоящее время в теории технической устойчивости и стабилизации, круг проблем в этой области далеко не исчерпан. Как отмечено К.А.Абгаряноы в обзоре работ по технической устойчивости, в задачах технической устойчивости выбор вада областей допустимых состояний имеет существенное значение, в отличие от задачи устойчивости по Ляпунову, в которой вопрос устойчивости не зависит от вида областей допустимых состояний. Система, обладающая технической устойчивостью, например, относительно области в форме п-мерного параллелепипеда, монет оказаться неустойчивой относительно области предельных отклонений в форме шара и наоборот. Поэтому актуальна разработка эффективных конструктивных критериев и условий, решающих задачи технической устойчивости и стабилизации относительно разных форм областей допустимых состояний. Актуальность этих вопросов возрастает в связи с необходимостью получения оптимальных оценок, характеризующих техническую устойчивость.
Современные ЭВМ используются как эффективное средство для ме-тематического моделирования сложных задач науки и техники, так и для управления различными объектами, технологическими процессами. Математические модели реализуются на ЭВМ с помощью методов
вычислительной математики, которая должна непрерывно совершенствоваться вместе с прогрессом в области ЭВМ. Использование ЭВМ для управления предполагает обслуживание задач с некоторым тактом дискретности но времени и разработку алгоритмов дискретного управленшї. Поскольку производительность ЭВМ имеет определенные ограничения, то интересной в важной в практическом отношении будет решение задачи определения максимального допустимого такта, при котором система управления достаточно хорошо выполняет цель функционирования. В частности, при решении задач стабилизации это будет максимальный такт, при котором система устойчива. Известные методы исследования устойчивости по Ляпунову для непрерывно-дискретных систем и методы дискретной стабилизации, как правило, основаны на возможности точного перехода от исходной системы к системе конечно-разностных уравнений либо на различных аппроксимациях непрерывной части. Но возможность точного перехода предполагает в свою очередь определение решений непрерывной части, а аппроксимации нуждаются в строгом обосновании. Поэтому, как отметил В.Й.Зубов, представляет большой интерес решение задачи дискретной стабплЕзащш с точки зрения конечно-разностных уравнений при строгом обосновании ашфокспмащш непрерывной части. Актуальность решения проблемы еще более возрастает для дискретной стабилизации до технической устойчивости, поскольку ранее такие задачи не рассматривались.
Целью данной работы является исследование технической устойчивости математических моделей динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, разработка конструктивных алгоритмов стабилизации, оптимальной стабилизации до технической устойчивости, реализуемых на ЭВМ, разработка конструктивных алгоритмов дискретной стабилизации, на основе которых используются ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами.
В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:
-
Получение обищх критериев и условий технической устойчивости, стабилизации, оптимальной стабилизации для математических моделей динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.
-
Разработка конструктивиых условий технической устойчивости ж
конструктивных алгоритмов стабилизации, учитывающих ограниченность управляющих воздействий, для линейных и нелинейных систем.
-
Исследование некласснческой задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости, позволяющее максимизировать область начальных возмущений. Разработка численных методов ее решения и аналитических методов, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования.
-
Применение разработанных алгоритмов оптимальной стабилизации для конкретных систем управления и их моделирование на ЭВМ.
-
Строгое математическое обоснование применения ЭВМ для управления различными объектами н технологическими процессами, описываемыми линейными и нелинейными математическими моделями.
Научная ноанэва работы заключается в постановке задачи синтеза оптимальных алгоритмов стабилизации до технической устойчивости, максимизирующих область начальных зозмущеннй для линейных и нелинейных систем управления п их решение в классе функций Ляпунова квадратичного вида. Впервые исследованы вопросы дискретной стабилизации до технической устойчивости на основе теории разностных схем. Алгоритмы стабилизации сведены к хорошо изученным задачам управления спектром матрицы замкнутой системы.
Методы исследования. При разработке и обосновании алгоритмов непрерывной и дискретной стабилизации движений динамических систем до технической устойчивости применялись методы, основанные на синтезе достижений линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, автоматического управления, теории разностных схем, методов нелинейного программирования.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановок задачи математических методов их решения, численными подтверждениями полученных гарантированных оценок, характеризующих техническую устойчивость.
Теоретическая н практическая ценность работы состоит в том, что полученные конструктивные алгоритмы стабилизации и оптимальной стабилизации, максимизирующие область начальных возмущений, могут быть использованы в инженерной практике при проектировании и конструировании динамических систем. Оцеяхн областей допустимых возмущений, такта дискретности в алгоритмах дискретной стабилизации могут использоваться при управлении технологическими процессами и различными объектами с помощью ЭВМ.
На защиту выносятся:
общие критерии технической устойчивости и стабилизации, полученные для допустимых возмущений в форме замкнутых п -мерных шаров;
конструктивные алгоритмы стабилизации до технической устойчивости для линейных стационарных систем при наличии постоянно действующих возмущений, линейных нестационарных систем, приводимых к каноническому виду, некоторого класса нелинейных систем;
реализуемые на ЭВМ алгоритмы оптимальной стабилизации, максньшзнрующиа область начальных возмущений для вышеуказанных систем управления;
алгоритмы дискретной стабилизации до технической устойчивости, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами, описываемыми линейными и нелинейными математическими моделями.
Апробация работы. Основные результаты дпссертацнн представлялись и обсуждались на Всесоюзной конференции по проблемам управления развитием систем (Петрозаводск, 1984), на Уральских региональных конференциях "Функционально-Дифференциальные уравнения" (Магнитогорск, 1984; Челябинск, 1987), на Всесоюзной научной конференции "Метод функций Ляпунова в современной математике" (Харьков, 1986), на республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Чувашской АССР (Чебоксары, 1985), на республиканской конференции "Высшая школа народному хозяйству Чувашии" (Чебоксары, 1992), на 11 Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Волгоград, 1990), на шестой Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1992), на научных школах-семинарах "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990, 1991), на научных конференциях "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1992,1993), на международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем* (Киев, 1995), неоднократно на итоговых научных конференциях и научных семинарах Чувашского гос-уииверситета, а таїше неоднократно на научных семинарах кафедры математической кибернетики МАИ им. С.Орджоншшдзе (рук. проф. В.В.Семенов), на семинаре по теорни устойчивости процессов и ее приложений в институте механики АЛ.Украины (рук.— чл.-
корр. АН Украины А.А.Мартынкж), на семинаре кафедры моделирования сложных систем Киевского госунвверситета (рук. чл.-корр. АН Украины Б.Н.Бублик), на семинаре отдела дифференциальных уравнений математического института им. Стеклоза АН СССР (рук. проф. В.И.Благодатских).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 19 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 152 наименований, содержит 7 рисунков и 5 таблиц. Ее текст изложен на 141 странице.