Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследований по инклинометрам и постановка задачи исследования 10
1.1. Классификация и приборный состав инклинометров 10
1.2. Анализ схем и уравнений функционирования инклинометров и гироинкли нометров в кардановых подвесах в режиме определения углов ориентации 20
1.3. Алгоритмы ориентации бесплатформенных гироинклинометров на основе БИСОН 27
1.4. Методы и алгоритмы определения траектории ствола скважины наклонно направленного бурения 36
1.5. Алгоритмы определения координат ствола буровой скважины с помощью БИСОН 40
Выводы по главе 1 42
Постановка задачи исследования 44
2. Физическая и математическая модели и алгоритмы функционирования бесплатформенных гироинклинометров 46
2.1. Физическая модель и особенности схемных решений БГИ 46
2.1.1. Физическая модель БГИ 46
2.1.2. Об использовании микромеханических гироскопов и акселерометров 48
2. 2. Математическая модель: вывод алгоритмов ориентации БГИ в углах Эйле ра 50
2. 2.1. Вывод алгоритмов ориентации БГИ для случая задания угловых скоро стей СП в осях объектового трехгранника 51
2.2.2. Вывод алгоритмов ориентации БГИ для случая приведения угловых ско ростей СП к осям горизонтного трехгранника 57
2. 3. Алгоритмы ориентации БГИ в углах Эйлера-Крылова 58
2. 3. 1. Алгоритмы ориентации БГИ для случая приведения угловых скоростей СП к осям горизонтного трехгранника 58
2.4. Кватернионные алгоритмы ориентации БГИ 62
2.4. 1. Кватернионные многоступенчатые алгоритмы ориентации 62
2.4. 2. Кватернионные алгоритмы ориентации БГИ для случая приведения угловых скоростей и кажущихся ускорений к осям горизонтного трехгранника 65
Выводы по главе 2 66
3. Вывод уравнений ошибок ориентации и анализ некоторых свойств бесплатформенных гироинклинометров 68
3. 1 Уравнения ошибок БГИ для случая задания его угловых скоростей по осям объектового трехгранника 68
3. 2 Уравнения ошибок ориентации БГИ для случая приведения его угловых скоростей к осям горизонтного трехгранника 71
3.3 О выполнимости условий Шулера в БГИ с многоступенчатыми кватерни-онными алгоритмами ориентации 75
Выводы по главе 3 76
4. Определение координат местоположения и ориентации бесплатформенного гироинклинометра по совокупным алгоритмам функционирования 77
4. 1 Теоретические предпосылки 77
4. 2 Алгоритмы определения координат ствола скважины и уравнения ошибок 79
4. 3 Уравнения ошибок определения координат ствола скважины по информа ции от датчика приращений длины каротажного кабеля 89
4.4 Математическое моделирование процесса функционирования БГИ 90
Выводы по главе 4 111
5. Методика и результаты экспериментальных исследований бесплатформенного гироинклинометра 113
5.1 Общая характеристика и методика экспериментальных исследований БГИ 113
5. 2 Лабораторные исследования ИИМ-1 117
5. 3 Лабораторные исследования ИММ-2 137
5. 4 Траекторные испытания БГИ 142
Выводы по главе 5 158
Заключение 159
Литература 162
- Анализ схем и уравнений функционирования инклинометров и гироинкли нометров в кардановых подвесах в режиме определения углов ориентации
- Алгоритмы ориентации БГИ в углах Эйлера-Крылова
- Уравнения ошибок ориентации БГИ для случая приведения его угловых скоростей к осям горизонтного трехгранника
- Алгоритмы определения координат ствола скважины и уравнения ошибок
Анализ схем и уравнений функционирования инклинометров и гироинкли нометров в кардановых подвесах в режиме определения углов ориентации
На рис. 1. 1 приведены системы координат, принятые в инклинометрии [1,9, 26]: здесь Otftt, - географическая система координат, ось ОЪ, которой связана с направлением на географический или магнитный Север; ось ОС, направлена вниз по направлению силы тяжести; -а=К, 0, Ф - углы азимута, зенита и угол поворота инклинометра (углы Эйлера); система координат Oxyz связана с корпусом скважинного прибора. При наличии отклонителя угол ф называется углом установки отклонителя.
Преобразование координат описывается матричным соотношением [1]: где A - матрица направляющих косинусов результирующего поворота; Лф, AQ, Аа - матрицы направляющих косинусов углов соответствующих поворотов; Т- символ транспонирования. В случае применения отвеса (груз, подвешенный в одной точке и отклоняющийся во всех направлениях) используется преобразованиегруза; РхРуР2 - компоненты силы тяжести по осям СП.
Алгоритмы данного типа применяются в одноточечном инклинометре "Тотко" и других - только для измерения зенитного угла в одной точке; в автономных инклинометрах, например, в регистраторе НСТ фирмы "Фридрих Лей-терт" (ФРГ), в телеметрической системе "Теледрифт" (США) и др. - длярегист-рирующих углы а, б,
Маятник в отличие от отвеса отклоняется только в одной плоскости. В случае если ось подвеса маятника совпадает с осью Сг, то угол его отклонения уху равен углу ф [1]:
В [4] применена комбинация такого маятника, а также акселерометра, с осью подвеса, также параллельной продольной оси СП, по сигналам которых показания жестко укрепленных на корпусе СП трех ММ пересчитываются к плоскости горизонта.
В случае, когда оси вращения двух маятников взаимно перпендикулярны, ось подвеса наружной рамки параллельна, а ось вращения внутренней рамки перпендикулярна к продольной оси инклинометра, углы 9 и (р определяют по формулам:где в, ф - оценки соответствующих углов.
Измерения зенитного угла без искажений объясняется тем, что центр тяжести наружной рамки при любом повороте СП всегда лежит в апсидальной плоскости, следовательно, внутренний маятник измеряет зенитный угол 6 без искажения (рис. I. 1.) [1]. На внутренний маятник часто устанавливают магнитометры [1, 5]. В [5] оба маятника - это поплавки. Апсидальныи угол tp также определяется без искажения, так что в схеме по рис. 1. 1 отсутствуют кардано-вы погрешности.
Вышеприведенные соотношения, естественно, справедливы для статических условий, поэтому инклинометры с указанными принципами измерения применяются в приборах, регистрация углов в которых осуществляется при их остановках: КИТ; ИММ-1 и других. Отметим, что вместо отвесов в ряде приборов используют жидкостные уровни (УЖ-2 (СССР), "Кастер" (США) и др.).
В ряде приборов для определения углов в и f применяют ТИКУ в виде тройки акселерометров со взаимно-перпендикулярными измерительными осями и тройки феррозондов; все они закреплены на корпусе СП [1]. В [1] приведены алгоритмы для определения угла азимута по сигналам ТММ, размещенных на маятнике 1,рис. 1. 1: где Тх, Ту, Тг - компоненты вектора напряженности земного магнитного поля, которые измеряются ТММ. В этом случае полагают, что О цС,- система координат, у которой ось ОЪ, направлена на магнитный Север,
В [10] рассмотрен ГИ, в котором точность достигается за счет конструктивных усовершенствований приборов типа ИММ (рис. 1.2). Схема подобного типа описана в [38]. Прецизионным элементом является только гироскоп 1. Вычислитель может быть бортовым или наземным. Рамки 2 и 3 могут иметь поплавковый подвес, маятники 4 и 5 обладают большой величиной маятнико-вости (500...2000 сН-см), гироскоп - малым кинетическим моментом (Н 150сН-см-с). Вместо поплавкового гироскопа может быть применен ВОГ или ММГ. Инклинометр предназначен для контроля наклонно-направленного бурения, в т.ч. при работающем буре. Элементы "электрической пружины" не изображены, они могут быть расположены либо в приборе 1, либо на рамке 3. На рамке 2 укреплен корпус поплавкового гиротахометра, 3 - внешняя рамка карданова подвеса, 4 - маятник внешней рамки, 5 - маятник внутренней рамки, 6 - синусно-косинусный вращающийся трансформатор угла поворота внешней рамки СКВТ); 7 - СКВТ угла поворота внутренней рамки; 8 - блок ТММ; 9 -корпус инклинометра; 10 - обсадная труба.
Принцип действия инклинометра (рис. 1. 2) состоит в следующем. При появлении угла отклонения оси ОХ2 от вертикали места за счет маятников 4 и 5 возникают моменты сил тяжести, в силу чего плечо маятника 4 устанавливается почти в апсидальной, а плечо маятника 5 - почти в вертикальной плоскостях. Вследствие этого с помощью гиротахометра 1, измерительная ось которого перпендикулярна апсидальной плоскости, измеряется проекция горизонтальной составляющей угловой скорости Земли на ось ОХ$ и по измеренному сигналу определяется угол азимута между апсидальной плоскостью и плоскостью географического меридиана. Если обсадная труба 10 является немагнитной, то с помощью ТММ 8 измеряются компоненты вектора напряженности магнитного поля Земли и с учетом сигналов СКВТ 6 и 7 пересчитываются в вычислителе
Алгоритмы ориентации БГИ в углах Эйлера-Крылова
Приведем разновидность алгоритмов функционирования БГИ, соответствующую углам Эйлера-Крылова. В них угловые скорости СП приводятся косям горизонтного трехгранника OCii, (рис. 2. 5) и они содержат члены горизонтальной (от ТИКУ) и азимутальной (от ТММ) коррекции: В (2. 20),(2.21)- $ ку к кд,ку коэффициенты передачи позиционной и интегральной коррекции; у/Хівх,у[- оценки углов азимута, тангажа и крена СП (углы Эйлера-Крылова); фмиЩ Угол магнитного курса и магнитного склонения; со% (/ = 1,3)- угловые скорости коррекции; Aj - матрица направляющих косинусов оценок соответствующих углов.
Схемы поворотов трехгранника Ох( относительно 0 на углы Эйлера17,9,у и углы Эйлера-Крылова Wifii,Yi изображены на рис. 2. 4 и рис. 2. 5 соответственно. На этих же рисунках изображен корпус скважинного прибора (СП) для случая наклонно-направленного и горизонтального (СП 1) бурения соответственно. Это означает, что оси трехгранника Oxt для горизонтального бурения в теле СП могут быть переориентированы, что и следует из вида СП 1. Для наклонно - направленного бурения переориентация осей не обязательна. На этих же рисунках обозначены: OQ (i = 1,3) - положение осей системы координат OQj после поворота на угол у. ОЛ Л ХЗ - положение той же системы координат после поворота на угол \\ff, &xi(i = \),Wxi(i = l)- сигналы ТГИУС и
ТИКУ. При одновременном использовании алгоритмов (2. 19) в углах Эйлера и (2. 20) в углах Эйлера-Крылова при наклонно-направленном бурении, особенно при малых углах й, требуется производить пересчет углов ориентации СП. Изсопоставления между собой соответствующих элементов матриц AnAj получаем: tgYi =- g6siny. Для горизонтального бурения ось Oxj может быть направлена по продольной оси СП 1, две другие оси, образуя правый ортогональный трехгранник, ориентированы так, что по оси 0x2 установлен гироскоп азимута, по оси Oxj -гироскоп тангажа. Можем констатировать, что совокупность алгоритмов (2. 19-2. 23) дает возможность определять углы ориентации СП, а, следовательно, скважины практически в неограниченных пределах. Это объясняется тем, что,когда происходит вырождение уравнений (2. 19) по углу 0(Э«0), то углы ориентации vj/y,ву,уу определяются по уравнениям (2.20) и пересчитываются вуглы ip,e,y по формулам (2. 22), при этом контроль их правильности производится по формулам (2.23). Когда происходит вырождение уравнений (2.21)(01 90), определение углов ориентации производится по уравнениям (2. 19) и т.д.
Режимы выставок БГИ и вопросы повышения достоверности информации за счет применения микромеханических гироскопов в СП изложены в [14]. Яс
Многоступенчатые кватернионные алгоритмы ориентации выведены в целях обеспечения на второй и более высоких ступенях ориентации условий
Шулера. Объясняется это тем, что кватернионы ёх и Wjy в силу того, что они составлены из компонентов оценок абсолютных угловых скоростей и кажущихся ускорений, измеряемые ТГИУС и ТИКУ, на первой ступени ориентации не могут обеспечить этих условий [10].
Алгоритмы первой ступени ориентации имеют вид [10]2— = аой_ +кт о(Д! -а)+7(1) о J(p.1 -a)dz + p{l) -a2)a; Здесь ,/- кватернионы коэффициентов передачи позиционной и интегральной коррекции; р,р(1)- положительные числа, обеспечивающие темп нормировки кватернионов ориентации v и a; Х С(\) кватернионы угловойскорости; /;. - орт гиперкомплексного пространства, формально совпадающий сосью ОХ; трехгранника Oxt (і = 1,3); а - кватернион приращения ориентации; Д, Д[ - кватернионы заданных поворотов, формируемые по информации датчиков первичной информации; уДу - оценки углов ориентации с помощью алгоритмов ]" ступени; им соответствует кватернион v; у! - кватернион угловой скорости, соответствующий кватерниону v и задающий поворот трехгранника Oxt относительно О Q , черточка над кватернионом означает, что он является сопряженным.
В данной главе выведены соотношения между углами Эйлера и Эйлера-Крылова при использовании их в различных алгоритмах ориентации. В том случае, когда угловые скорости СП приводятся к осям горизонтного трехгранника, бывает достаточно использовать только одну ступень алгоритмов ориентации.
В том случае, когда угловые скорости СП не приводятся к осям горизонтного трехгранника, целесообразно использовать многоступенчатые алгоритмы ориентации. В этом случае информационная задача теории БГИ усложняется: результирующий поворот есть результат сложения последовательных поворотов, выполняемых на каждой ступени ориентации. Операции сложения конечных поворотов соответствует операция перемножения кватернионов или матриц направляющих косинусов для получения результирующего поворота.
Ниже рассматриваются некоторые аспекты этого вопроса. Взаимосвязькватернионов и моделируемых в вычислителе систем координат т/\ ту- \... поясняется следующей условной схемой поворотов:Нетрудно видеть, что после m-той ступени ориентации оценка результирующего кватерниона v+ ориентации будет определяться следующей формулой:
Переход к углам ориентации производится по известным формулам:В работе доказывается, что если погрешности m-ой ступени ориентации по величине меньше погрешности (т-1) ступени, то имеет место соотношениегде взаимосвязь кватернионов поясняется условной схемой поворотоввместо кватернионов будем иметь следующие выкладки.
Матрица результирующего поворота для п ступеней ориентации для схемы (2, 30) будет иметь вид2. 4. 2. Кватернионные алгоритмы ориентации БГИ для случая приведения угловых скоростей и кажущихся ускорений к осям горизонтного трехгранника
Данные алгоритмы приведены в [75], [81], являются развитием алгоритмов, изложенных в [12], [24] заключающемся во введении членов горизонтальной и азимутальной коррекции аналогично п.п. 2. 2. 2.
В качестве другой разновидности алгоритмов были применены кватерни онные уравнения задачи ориентации с приведением Ф И W К осям горизонтного базиса, отличающиеся от приведенных в [10] и имеющие вид [79, 81, 84]
Уравнения ошибок ориентации БГИ для случая приведения его угловых скоростей к осям горизонтного трехгранника
Проецируя угловые скорости, в том числе (UQ (/ = 1,3), на оси системы координат ОС,,-, получим следующие уравнения первого приближения ошибок ориентации БГИ (для углов Эйлера):скоростями дрейфа ТГИУС. Используемые для формирования скоростей коррекции оценки ускорений в соответствии с рис. 3. 2 определяются выражениями:где WQ (/ = 1,3)- нулевые сигналы по соответствующим осям трехгранникаОС,;, вызванные наличием сдвигов нулей Wxi в сигналах ТИКУ. Сгруппировав члены, характеризующие погрешности, представим (3. 8) в следующем виде: С учетом этого получим следующие выражения для угловых скоростей коррекции в (2.19) к виду:уравнения (3.2), описывающие процессыизменения ошибок ориентации трехгранника OC,j при работе каналов азимутальной (от ТММ) и горизонтальной (от ТИКУ) коррекции, принимают вид:
В случае отключения азимутальной коррекции структура второго уравненияизменится, и будем иметь:Здесь со 2 угловая скорость азимутальной коррекции, которая вводитсяпри выставке на поверхности Земли для компенсации вертикальной состав ляющей t/sincp ее угловой скорости вращения и постоянной составляющей угловой скорости дрейфа /Да г2).
По виду уравнений (3. 13) общий вывод об устойчивости сделать сложно. Поэтому будем анализировать устойчивость их решений для двух случаев:а) БГИ находится на неподвижном относительно Земли основанииб) БГИ находится в скважине и перемещается - азимутальная коррекция отключена: ку =0; ку = 0.
В случае а) уравнения (3.13) с учетом переменных (3. 5) преобразуются к виду:где Ao)xi(i образомуравнения (3. 19) приводятся к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при переменных х и у. Нетрудно видеть, что при к0,к 0, к$,к 0 обеспечивается асимптотическая устойчивость по Гурви-цу частных решений в первом и третьем уравнениях. Для этих уравнений возможно выполнение условий Шулера:
Отметим, что при kQ -к =0; AGV,- =0; AW г І = 0; (/ = 1,3) с учетом переменных (3. 19) и условий (2. 20) система уравнений (3. 18) во многом аналогична уравнениям возмущенного движения платформы полуаналитической инерциальной навигационной системы, приведенной в книге [47]. По углу (3 имеет место неасимптотическая устойчивость:
Первое и третье уравнения в (3.19) приводятся к форме, аналогичной (3. 15). Второе уравнение (3. 19) соответствует случаю, когда в (3. 15) введена азимутальная коррекция. После окончания процесса начальной выставки позиционная коррекция по общей теории может отключаться. Важно отметить, что при проходке и исследованиях скважины скорости и ускорения СП достаточно малы, поэтому в таких условиях работы БГИ целесообразно не отключать коррекцию, а только снижать ее коэффициенты. При этом в его выходной информации не будет наблюдаться большого уровня погрешностей от горизонтальных ускорений, какие имеют место на летательных аппаратах.
Поставим в соответствие упрощенным кватернион ным уравнениям второй ступени ориентации, приведенным в (2. 4), уравнения в углах Эйлера-Крылова для малых углов ошибок ориентации [10, 22] с учетом обозначений:
Из уравнений невозмущенного движения (3. 25) следует инвариантность БГИ к действию линейных горизонтальных ускорений. Из уравнений возмущенного движения (3. 26) следует, что информационные углы второй ступени ориентации есть идентификация погрешностей первой ступени. Этим свойством обладают инклинометры с многоступенчатыми алгоритмами ориентации.1. На основе алгоритмов ориентации БГИ выведены соответствующие уравнения ошибок (3. 15) и (3. 19).2. Выведены условия настройки БГИ на частоту Шулера на основе уравнений ошибок ориентации, в том числе для случая приведения угловых скоростей СП к осям горизонтного трехгранника при использовании углов Эйлера и Эйлера-Крылова, а также многоступенчатых кватернионных алгоритмов. Условия Шулера выполняются в этом случае для второй и более высоких ступеней ориентации.3. Показано, что в отличие от высокоманевренных объектов в БГИ после начальной выставки при настройке на частоту Шулера не обязательно выключать позиционную коррекцию, обеспечивающую демпфирование — достаточно его коэффициенты передачи уменьшить в несколько раз из-за малых скоростей и ускорений СП. Это практически не отразится на точности БГИ.4. Показано, что угловые скорости дрейфов ТГИУС и сдвиги нулей ТИКУ перепроецируются на горизонтальную плоскость через направляющие косинусы. В силу этого меняется взаимовлияние компонентов дрейфа на погрешности БГИ. Из этого следует, что по трем каналам БГИ целесообразно подбирать
Алгоритмы определения координат ствола скважины и уравнения ошибок
Подставив (4.3) в (4.1), разложив соответствующие члены уравнений в ряд Тейлора и оставив основные члены разложений, получим следующий алгоритм определения оценок географических координат БГИ: определяются по сигналам соответствующих устройств, \j Rf, 1/R, \[х+ аппроксимационные значения 1/ R{, l/R2 Vz " после их разложения в ряды Тейлора. Учитываем, что максимальные значения для Aq не превышают величин 10" рад, а скорость ДА: - величина меньшего порядка малости. В правых частях уравнений (4.4) оставлены только члены, содержащие функции времени v (f)(/ = l,3j (выражения в скобках постоянны) и, таким образом, они интегрируемы. Учитывая, что для столь малых приращений координат (4.3) соответствующие им линии дуг на эллипсоиде неразличимы с траекториями приращений декартовых координат 4 / (/ = 1,3), обозначив после преобразований для нулевых начальных условий получаем: SI Приращения оценок декартовых координат Q / [і = 1,3J определяют с помощью, например, датчика приращений длины каротажного кабеля; используют формулы [6]: где Ax2it - оценка приращения длины каротажного кабеля на к-м шаге; Л оценка матрицы направляющих косинусов ориентации корпуса БГИ трехгранника xt [і = 1,3 J относительно географического трехгранника ОСІ \і = 1,3J; Ak - оценка этой матрицы на к ом шаге, т- символ транспонирования. Матрица А направляющих косинусов оценок углов ориентации имеет вид: где gr - вектор гравитационного ускорения, выраженный через свои компоненты в базисе ОСіі [і = 1,3); Vr - вектор абсолютной скорости точки О, выраженный через свои компоненты в базисе ОС,(; йг - вектор абсолютной скорости географического сопровождающего трехгранника; ш п (/ = 1,3) -угловые скорости коррекции; А(йхі, AWxiy Асо -, AWQ ,Д7,-(/= 1,3)- сдвиги нулей гироскопов, акселерометров и магнетометров по соответствующим осям; Ду, Д0, Ду- погрешности определения углов ориентации; kyi ку,.„,кщ- коэффициенты передачи позиционной и интегральной коррекции по соответствующим углам; у - оценка азимутального угла, определяемого, например, по сигналам магнитометров [45]; Wr- вектор кажущегося ускорения, выраженный через свои компоненты в базисе ОС,;; g - модуль ускорения силы тяжести; у - локальная производная; Т ,ТХІ - оценки вектора напряженности МПЗ в разных базисах. После проведения выставки производят настройку БГИ на частоту Шулера для установившегося (на Земле) и рабочего (соответствующего спуску БГИ в скважину) режимов. Для установившегося режима выставки при \\J Ф 0 из трех первых уравнений системы (4.8) получаем: В точных БГИ погрешности выставки Д#, Д малы, они не превышают значений (3...5)-10" рад. Разрешив первые два уравнения относительно выражений, стоящих в круглых скобках, а также учитывая малость соответствующих членов при в к 90 в третьем уравнении, получаем: или Здесь 0 -(1 = 1,3)- оценки угловых скоростей географического трехгранника. Иными словами, с точностью до величин угловых скоростей дрейфа БГИ угловые скорости коррекции равны соответствующим компонентам угловой скорости географического трехгранника, взятым с обратными знаками Учитывая, что и в рабочем режиме углы погрешностей Д с, Ас?, Д/ малы, заключаем, что для этого режима справедливы соотношения (4.9). Из этого следует, что система ориентации БГИ обеспечивает идентификацию переносных угловых скоростей сопровождающего географического трехгранника ,-(/ = 1,3). Из соотношений (4.9) выведем условия Шулера для БГИ при несферической модели Земли: Здесь vyvQ - частоты Шулера; AVg (/ = 1,3J- приращения абсолютных скоростей. Нетрудно видеть, что условия Шулера по разным каналам коррекции различны. Отметим, что в (4.10) должны выполняться условия: h = const, vy = const, vQ = const. При спуске-подъеме БГИ в обсаженной скважине данные условия не выполняются и, следовательно, будут иметь место дополнительные погрешности. Соотношение квадратов частот шулеровских колебаний равно: Заключаем, что в средних широтах частота колебаний Шулера по линии север-юг на ОД 7% выше частоты колебаний по линии восток-запад. На основе соотношений (4.9) и уравнений (4.1) можно определить инерциальным методом оценки скоростей относительного движения БГИ vfl и vC3: