Построение и исследование дифференциальных уравнений ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной системы, функционирующей в нормальной географической системе координат Логинов Михаил Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Обзор литературы, постановка задачи 10

1.1 Обзор литературы 10

1.2 Постановка задачи инерциальной навигации и ориентации объекта в географической системе координат 24

1.3 Исходные уравнения инерциальной навигации в географической системе координат 26

2 Уравнения ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат 33

2.1 Замена переменных 33

2.2 Полные (нелинейные) уравнения ошибок 33

2.3 Линейные уравнения ошибок 36

2.4 Преобразование неоднородной части линейных уравнений ошибок 41

2.5 Выводы 43

3 Оценки погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта 44

3.1 Вектор абсолютной угловой скорости вращения нормальной географической системы координат 44

3.2 Углы ориентации объекта 46

3.3 Кватернион ориентации и параметры навигации объекта 48

3.4 Погрешности БИНС, обусловленные погрешностями акселерометров 52

3.5 Погрешности БИНС, обусловленные погрешностями гироскопов 55

3.6 Выводы 57

4 Аналитические решения линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС 58

4.1 Движение вдоль экватора 58

4.2 Неподвижный объект 73

4.3 Движение вдоль параллели 87

4.4 Выводы 100

5 Численное исследование уравнений ошибок БИНС 104

5.1 Моделирование работы БИНС 104

5.1.1 Различие результатов интегрирования линейных и нелинейных уравнений 104

5.1.2 Условия моделирования 105

5.2 Неподвижный объект 106

5.2.1 Влияние погрешностей гироскопов 106

5.2.2 Влияние погрешностей акселерометров Ill

5.2.3 Влияние погрешностей начального задания координат местоположения 116

5.2.4 Влияние погрешностей начального задания параметров ориентации 120

Вертикальный полёт 125

5.3.1 Влияние погрешностей гироскопов 126

5.3.2 Влияние погрешностей акселерометров 130

5.3.3 Влияние погрешности начального задания высоты 135

Полёт вдоль экватора 139

5.4.1 Влияние погрешностей гироскопов 140

5.4.2 Влияние погрешностей акселерометров 144

5.4.3 Влияние погрешностей начального задания координат местоположения 149

5.4.4 Влияние погрешностей начального задания параметров ориентации 153

Полёт вдоль меридиана 158

5.5.1 Влияние погрешностей гироскопов 159

5.5.2 Влияние погрешностей акселерометров 163

5.5.3 Влияние погрешностей начального задания координат местоположения 168

5.5.4 Влияние погрешностей начального задания параметров ориентации 171

Выводы 176

Заключение 179

Список сокращений 186

Список литературы

• Постановка задачи инерциальной навигации и ориентации объекта в географической системе координат
• Полные (нелинейные) уравнения ошибок
• Кватернион ориентации и параметры навигации объекта
• Движение вдоль параллели

Введение к работе

Актуальность темы.

Теория инерциальной навигации вызывает большой интерес с самого момента своего зарождения в начале XX века, так как позволяет строить т. н. инер-циальные навигационные системы (ИНС), не требующие при работе никаких внешних по отношению к себе данных. Большой вклад в развитие теории инерциальной навигации внесли Е. Б. Левенталь, Б. В. Булгаков, Я. Н. Ройтенберг,

A. Ю. Ишлинский, В.Д.Андреев, М. Шулер, Ч.Дрейпер и другие исследователи.
Значительную роль в теоретических основах инерциальной навигации играет
теория устойчивости, созданная А. М. Ляпуновым.

Особенности алгоритмов автономной инерциальной навигации и ориентации таковы, что с течением времени происходит накопление ошибок определения искомых параметров ориентации и навигации. Источниками этих ошибок являются инструментальные погрешности чувствительных элементов ИНС (гироскопов и акселерометров), погрешности начального задания координат, скорости и параметров ориентации объекта (начальной выставки), погрешности используемой модели поля тяготения Земли, методические и инструментальные погрешности реализации алгоритмов ИНС в бортовом вычислителе и др.

Одной из важнейших задач теории инерциальной навигации является анализ погрешностей, возникающих при работе инерциальных навигационных систем. Эта задача должна быть решена для эффективной разработки ИНС любого класса точности. Основным инструментом для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения ошибок ИНС, которые описывают функциональные зависимости между погрешностями её составных частей, погрешностями используемой модели поля тяготения Земли, погрешностями начального задания координат, скорости и параметров ориентации объекта, с одной стороны, и ошибками ИНС определения параметров ориентации и навигации — с другой. Вопросы, связанные с погрешностями ИНС, в том числе дифференциальные уравнения ошибок ИНС, рассмотрены во многих публикациях и книгах, изданных в России и за рубежом. Среди них можно назвать работы В. Д. Андреева, П. В. Бромберга, А. Ю. Ишлинского, В. Н. Бранца, И.П.Шмыглевского, О.Н.Анучина, Г.И.Емельянцева, В.В.Матвеева, В. Я. Рас -попова, П. К. Плотникова, Ю. Н. Челнокова, С. В. Петрова, А. В. Чернодарова,

B. Б. Никишина, Н. И. Кробки, В. В. Алёшкина, Paul G. Savage, D. Н. Titterton,
J. L. Weston, I. Y. Bar-Itzhack, A. Weinred, Z. Gosiewski, A. Ortyl, H. K. Lee, N. Lovren,
J. K. Pieper, S. Nassar, J. Pusa и других исследователей.

В последнее время развитие технологий изготовления чувствительных элементов (акселерометров и гироскопов) и бортовых вычислителей привело к возможности создания прецизионных бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС), которые, во-первых, конструктивно проще из-за отсутствия в их составе гиростабилизированной платформы, во-вторых, способны обеспечивать высокую точность навигации и ориентации даже при длительной автономной работе. Следовательно, повышаются требования к качеству анализа погрешностей, необходимого для разработки таких ИНС. Тема данного исследования, таким образом, является в настоящее время актуальной.

Диссертационная работа посвящена построению и изучению дифференциальных уравнений (ДУ) ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат (НГСК), в том числе построению оценок инструментальных погрешностей БИНС, погрешностей начальной выставки БИНС, разработке программ и математическому моделированию работы БИНС с помощью полных (нелинейных) ДУ ошибок, построению аналитических решений линеаризованных ДУ ошибок и изучению с их помощью динамики и устойчивости работы БИНС для трёх важных частных случаев движения объекта. Исследуются ДУ ошибок БИНС, описывающие погрешности определения проекций вектора относительной скорости объекта на оси НГСК, географических координат местоположения объекта, параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) и самолётных углов движущегося объекта.

Целью работы является:

построение полных (нелинейных) и линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в НГСК;

аналитическое исследование построенных ДУ ошибок, включая получение аналитических оценок погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, построение и изучение аналитических решений линейных ДУ ошибок БИНС, функционирующей в НГСК, для неподвижного относительно Земли объекта, для объекта, движущегося вдоль земного экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте, и для объекта, движущегося с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земной параллели с ненулевой широтой;

исследование влияния погрешностей чувствительных элементов БИНС и погрешностей начальной выставки системы на точность работы БИНС;

получение для указанных случаев движения объекта формул для амплитуд, частот, начальных фаз гармонических составляющих законов изменения ошибок определения высоты, широты, долготы и ошибок определения вертикальной, северной и восточной составляющих относительной скорости объекта, а также формул для показателей экспоненциальных составляющих погрешностей определения этих навигационных величин, характеризующих их затухание или нарастание во времени;

— анализ устойчивости решений дифференциальных уравнений ошибок
БИНС для указанных случаев движения объекта;

— разработка программного комплекса для математического моделирования
работы БИНС и численное исследование зависимостей погрешностей определения
параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей их начального задания
и от погрешностей чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров).

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построены полные (нелинейные) и линейные (линеаризованные) ДУ ошибок БИНС, функционирующей в НГСК. В этих уравнениях для описания ориентации объекта используются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), а в качестве модели Земли принят референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского.

2. Получены с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок аналитические оценки погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, а также формулы для инструментальных погрешностей БИНС, обусловленных погрешностями гироскопов и акселерометров.

3. Решены в неупрощённых формулировках задачи построения аналитических решений линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок определения географических координат местоположения объекта и проекций вектора относительной скорости объекта на оси НГСК для случая неподвижного относительно Земли объекта, для случаев движения объекта с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земного экватора и вдоль земной параллели с ненулевой широтой. Получены явные точные формулы, позволяющие выразить корни характеристических уравнений интегрируемых дифференциальных уравнений ошибок через коэффициенты исходных систем уравнений (параметры невозмущённого движения объекта). Эти формулы характеризуют неустойчивость или устойчивость работы БИНС для указанных частных случаев движения объекта.

4. Получены для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта формулы, позволяющие в явном виде находить амплитуды, частоты и начальные фазы гармонических составляющих, а также показатели экспоненциальных составляющих, входящих в состав построенных аналитических решений линейных уравнений ошибок и характеризующих собственную динамику БИНС.

5. Дан анализ устойчивости решений линеаризованных и нелинейных ДУ ошибок БИНС для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

6. Разработан программный комплекс для среды MATLAB, позволяющий путём численного интегрирования ДУ идеальной работы БИНС, а также полных (нелинейных) и линеаризованных ДУ ошибок моделировать работу БИНС, функци-

онирующей в НГСК, для любых заданных параметров невозмущённого движения объекта, любых погрешностей чувствительных элементов и любых погрешностей начального задания координат и параметров ориентации объекта.

7. С помощью численного моделирования получены для двухчасового интервала времени движения объекта зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей начального задания этих параметров и от погрешностей чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров) для случая неподвижного основания, для случаев движения объекта вдоль экватора, вдоль меридиана и по вертикали.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов и использованием алгоритмов численного решения дифференциальных уравнений, разработанных и апробированных ранее для задач изучаемого класса, а также совпадением результатов численных и аналитических исследований уравнений ошибок БИНС.

На защиту выносятся:

7. Полные (нелинейные) и линеаризованные ДУ ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, описывающие зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта от погрешностей их начального задания и от инструментальных погрешностей чувствительных элементов БИНС (акселерометров и гироскопов).

8. Оценки погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, а также формулы для инструментальных погрешностей БИНС, обусловленных погрешностями гироскопов и акселерометров, полученные с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок.

9. Аналитические решения линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС для следующих случаев движения объекта:

неподвижного относительно Земли объекта;

движения с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль экватора;

движения с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земной параллели с ненулевой широтой.

4. Формулы для амплитуд, частот и начальных фаз гармонических состав
ляющих, а также для показателей экспоненциальных составляющих, входящих
в состав построенных аналитических решений линейных дифференциальных
уравнений ошибок БИНС и характеризующих собственную динамику БИНС,
для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

5. Результаты анализа устойчивости работы БИНС (решений линеаризованных и полных (нелинейных) дифференциальных уравнений ошибок БИНС) для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

6. Программный комплекс для моделирования невозмущённой и возмущённой работы БИНС, функционирующей в НГСК.

7. Установленные с помощью математического моделирования работы БИНС зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей их начального задания и от погрешностей чувствительных элементов БИНС (гироскопов и акселерометров) для случая неподвижного основания, для случаев движения объекта вдоль экватора, меридиана и по вертикали.

Научная и практическая ценность. Полученные ДУ ошибок БИНС, результаты их численного и аналитического исследования, построенные аналитические решения линеаризованных ДУ ошибок, построенные оценки инструментальных погрешностей БИНС и разработанный программный комплекс могут быть использованы при изучении свойств БИНС, построении алгоритмов функционирования автономных (некорректируемых) и корректируемых БИНС, а также при определении требований к точности чувствительных элементов БИНС.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 8-й Международной конференции «Авиация и космонавтика» (Россия, Москва, 2009); 27-й конференции памяти Н. Н. Острякова

(Санкт-Петербург, 2010); 17-й Международной конференции по интегрированным навигационным системам (Россия, Санкт-Петербург, 2010); 12-й конференции молодых учёных «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2010); Всероссийской научной конференции «Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении» (Саратов, 2013), а также на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского и на научных семинарах лаборатории «Механика, навигация и управление движением» ИПТМУ РАН (2008-2015 гг.). По результатам исследований опубликовано десять работ [1-10], в том числе четыре научные статьи [1-4] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для соискателей учёной степени кандидата наук.

Личный вклад автора. Все научные результаты, вошедшие в диссертационную работу и публикации [1-10], получены автором диссертации индивидуально. Научному руководителю принадлежат исходные дифференциальные уравнения функционирования БИНС в НГСК и постановка задач исследования. М. Г. Ткаченко принадлежит методология построения опубликованного в работе [3] аналитического решения линейных ДУ ошибок для случая движения объекта вдоль экватора.

Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы при выполнении временным трудовым коллективом под руководством д.ф.-м.н., проф. Ю. Н. Челнокова работ по заказу ООО «Аэроспец-проект» (Московская обл., г. Жуковский) в рамках договора «Разработка технологии создания программно-аппаратных модулей для БИНС нового поколения на базе прецизионных ВОГ» от 01.02.2013, заключённого на основании положений этапа №2 по ГК № 12411.1400099.18.009 от 15.10.12 (НИР). Имеется акт о внедрении. Полученные результаты были также использованы при выполнении лабораторией «Механика, навигация и управление движением» Института проблем точной механики и управления РАН научно-исследовательских работ по теме «Исследование проблем механики, навигации и управления движением с использованием кватернионных и бикватернионных моделей и методов пространства состояний» (2013-2015 гг.).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка сокращений, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 227 страниц, включая 142 рисунка, 67 таблиц и 13 листингов программного кода. Список литературы содержит 77 наименований.

Постановка задачи инерциальной навигации и ориентации объекта в географической системе координат

В первой половине XX века возникла и начала развиваться инерциальная навигация — способ определения местоположения и ориентации движущегося объекта в инерциальной системе координат по показаниям инерциальных датчиков (физических приборов, расположенных на борту объекта и измеряющих те или иные характеристики его движения в инерци-альном пространстве). Принципы инерциальной навигации основаны на сформулированных Ньютоном законах механики. Большой вклад в развитие теории инерциальной навигации внесли Е.Б. Левенталь, Б. В. Булгаков, Я. Н. Ройтенберг, А.Ю.Ишлинский, В. Д.Андреев, М.Шулер, Ч. Дрейпер и другие исследователи. Значительную роль в теоретических основах инерциальной навигации играет теория устойчивости, созданная А. М. Ляпуновым.

Физические приборы, называемые датчиками или чувствительными элементами, измеряющие характеристики движения объекта в инерциальном пространстве, и бортовой вычислитель, позволяющий вычислять в реальном масштабе времени по определённому алгоритму и информации чувствительных элементов местоположение и ориентацию объекта, образуют систему инерциальной ориентации и навигации движущегося объекта.

Чувствительные элементы системы инерциальной ориентации и навигации могут быть расположены либо непосредственно (жёстко) на борту движущегося объекта, либо на платформе, имеющей относительно объекта три степени свободы и сохраняющей в инерциальном пространстве свою ориентацию неизменной или вращающейся в инерциальном пространстве при движении объекта так, чтобы на борту объекта эта платформа (т. е. система координат, жёстко с ней связанная) физически моделировала тот или иной инерциальный или неинерциальный координатный трёхгранник, например, орбитальный трёхгранник, географический или ортодромиче-ский сопровождающий трёхгранник, азимутально свободный трёхгранник.

В первом случае система инерциальной ориентации и навигации называется бесплатформенной (сокращённо БИНС или БИСОН), во втором — платформенной. Габариты и вес БИНС (а также её стоимость) значительно меньше габаритов, веса и стоимости платформенной системы ориентации и навигации, однако чувствительные элементы БИНС функционируют в менее благоприятных условиях, и к ним предъявляются более жёсткие требования, чем к чувствительным элементам платформенных инерциальных навигационных систем. Кроме того, объём вычислений, проводимых на бортовом вычислителе бесплатформенной инерциальной навигационной системы, значительно превышает объём вычислений платформенной навигационной системы. Тем не менее, прогресс в создании высокопроизводительных вычислителей и высокоточных чувствительных элементов инерциальной ориентации и навигации делает БИНС наиболее привлекательной для массового использования в современных транспортных средствах различного назначения (космического, авиационного, морского, речного, наземного).

Для функционирования инерциальной навигационной системы не требуется внешних по отношению к ней данных — вся необходимая информация вырабатывается на борту движущегося объекта с помощью чувствительных элементов и бортового вычислителя. Это обстоятельство обеспечивает высокую автономность инерциальной навигационной системы, что является её существенным преимуществом перед, например, спутниковыми навигационными системами в тех случаях, когда использование внешней информации на борту движущегося объекта невозможно или нежелательно по тем или иным причинам.

В процессе работы бортовой вычислитель инерциальной навигационной системы интегрирует в реальном масштабе времени дифференциальные уравнения, лежащие в основе теории инерциальной навигации и ориентации, используя при этом информацию чувствительных элементов. Эти дифференциальные уравнения называются уравнениями идеального функционирования ИНС.

В уравнения идеального функционирования входят соотношения, описывающие ориентацию объекта. Традиционно для этого используются кинематические уравнения в углах Эйлера (или в самолётных углах) либо кинематические уравнения в направляющих косинусах (уравнения Пуассона). Использование уравнений в углах Эйлера приводит к громоздким тригонометрическим выражениям и к возникновению дополнительных особых точек, в которых уравнения вырождаются. Уравнения Пуассона существенно увеличивают размерность системы уравнений идеальной работы ИНС [58].

Этих недостатков можно избежать, используя для описания ориентации объекта гиперкомплексную переменную — кватернион поворота, компонентами которого являются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона). При этом в составе уравнений идеального функционирования ИНС появляется дифференциальное кватернионное уравнение ориентации, имеющее компактную и невырождающуюся форму [10,58].

Исследуемые в диссертационной работе исходные дифференциальные уравнения функционирования БИНС (см. п. 1.3) были предложены в 80-х годах XX века при разработке алгоритмического и программно-математического обеспечения авиационной БИНС по заказу Конструкторского бюро промышленной автоматики (г. Саратов). Эта разработка выполнялась под руководством Ю. Н.Челнокова коллективом кафедры высшей математики и механики Балаков-ского филиала Саратовского политехнического института по инициативе заместителя главного конструктора предприятия С.В.Петрова. В основе разработанного в те годы алгоритмического и программно-математического обеспечения БИНС лежат уравнения идеального функционирования БИНС в ортодромической и географической сопровождающих системах координат, использующие кватернионы и кватернионные матрицы поворотов для описания ориентации объекта и сопровождающих трёхгранников. Эти уравнения были опубликованы в 1988 году Ю.Н.Челноковым и С.В.Петровым [60]. В 2007–2010 гг. эти уравнения функционирования БИНС и их модификации были использованы сотрудниками лаборатории механики, навигации и управления движением Института проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов) для построения алгоритмов функционирования БИНС-1000 на волоконно-оптических гироскопах по заказу ООО НПК «Оптолинк» (заявляемая точность БИНС — 1,85км за час движения по положению и 1м/c по скорости), а также для построения одного из вариантов алгоритмов функционирования БИНС-05 на лазерных гироскопах, разрабатываемой ОАО «Концерн Авионика» (заявляемая точность БИНС — 0,93 км за час полета по положению и 0,5 м/c по скорости). В 2013–14 гг. эти же уравнения и их модификации были использованы сотрудниками той же лаборатории для построения алгоритмов БИНС повышенной точности на базе прецизионных волоконно-оптических гироскопов в рамках государственного контракта № 12411.1400099.18.009 от 15.10.12 (НИР), заключенного между ООО «Аэроспецпроект» (г.Жуковский) и Министерством промышленности и торговли РФ.

Уравнения идеального функционирования достаточны для описания работы системы инер-циальной навигации лишь в том случае, когда все её элементы не имеют погрешностей (идеальны) и когда заданные начальные условия работы системы точно соответствуют начальным условиям движения объекта.

В реальных системах вышеописанные условия выполняются лишь с некоторой степенью приближения. Поэтому режим работы реальной БИНС отличается от того, который описывается уравнениями идеальной работы, а навигационные параметры определяются системой с ошибками. Такой режим работы (т.е. движение) БИНС, определяемый с учётом погрешностей элементов и начальных условий, называют возмущённым движением навигационной системы.

Алгоритм работы системы, описывающий её невозмущённое движение, известен, поэтому в возмущённом движении наибольший интерес представляет отклонение от невозмущённого движения.

Уравнения для отклонений переменных, задающих состояние инерциальной системы навигации, от их значений, определяемых уравнениями идеальной работы, называют уравнениями ошибок. Эти уравнения определяют устойчивость работы инерциальной системы в целом. Они дают также связь между погрешностями элементов схемы и неточностями начальных условий, с одной стороны, и ошибками определения системой параметров ориентации и навигации, с другой. Таким образом, свойства уравнений ошибок в конечном счёте определяют точность работы инерциальной системы.

Анализ уравнений ошибок позволяет определить требования к составляющим системы, если она должна обеспечивать при работе заданную точность. Изучение уравнений ошибок также позволяет сделать обоснованный выбор в пользу того или иного алгоритма идеальной работы (включая систему координат, в которой определяется ориентация и местоположение объекта). Привлечение уравнений ошибок даёт возможность судить о допустимости различных упрощений алгоритма работы ИНС. Кроме того, на основании свойств уравнений ошибок можно судить о необходимости коррекции ИНС, а также об эффективности того или иного способа коррекции.

Полные (нелинейные) уравнения ошибок

Уравнения (1.29)-(1.36) являются уравнениями идеальной работы БИНС, решающей задачи ориентации и навигации объекта в географической системе координат Уравнения (1.29)-(1.31), дополненные соотношениями (1.32), (1.33), () и (1.36), образуют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений десятого порядка относительно неизвестных v_N, v_H, v_E, A, tp, Я, к, (j = 0,1,2,3). Проекции сц, ил (і = 1,2,3) (или приращения интегралов от них), как уже отмечалось, измеряются чувствительными элементами БИНС. Поэтому интегрирование системы (1.29)–(1.31) на бортовом вычислителе для заданных начальных условий позволяет найти в текущий момент времени северную vn, вертикальную Ун и восточную ve составляющие относительной скорости объекта (в проекциях на оси НГСК), географические координаты Л и р местонахождения объекта, высоту Я над уровнем моря и параметры Эйлера (Родрига-Гамиль-тона) K_h характеризующие ориентацию объекта относительно НГСК. Соотношения () позволяют по найденным значения параметров Xj вычислять значения углов рыскания ф (а также географический курс объекта, равный -ф), тангажа д и крена ₇. Соотношение (1.36) позволяет выразить ускорение силы тяжести д, фигурирующее в уравнениях (1.29), через широту ip и высоту Я.

В этих соотношениях величины с верхним индексом « » обозначают точные (невозмущённые) значения параметров, а величины со знаком «А» — отклонения параметров от их точных значений, те. погрешности. Таким образом, величины A_Vi (г = 1,2,3), Av_p (р = N,H,E) обозначают погрешности определения относительной скорости объекта в проекциях на оси связанной системы координат и НГСК соответственно; АН, АЛ, Аїр — погрешности определения высоты, долготы и широты объекта; Ах и AC_xij (i,j = 1, 2, 3) — погрешности определения ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона и направляющих косинусах соответственно; Adi, Аші (i,j = 1,2, 3) — инструментальные погрешности акселерометров и гироскопов соответственно.

Для удобства также будем использовать верхний индекс «F» в тех случаях, когда нужно подчеркнуть тот факт, что величина рассматривается как сумма точного (невозмущённого) значения и ошибки (погрешности).

Для вывода полных (нелинейных) дифференциальных уравнений ошибок для координат местоположения и скоростей необходимо () подставить в уравнения идеального функционирования БИНС (1.29)-(1.31), после чего из полученных уравнений вычесть дифференциальные

Таким образом, при отсутствии инструментальных погрешностей гироскопов и акселерометров вместо вектора-столбца B(t) в матричном уравнении () можно использовать вектор-столбец b(t), который описывается соотношениями (2.37)-() и характеризует влияние неточного задания начальной ориентации объекта в инерциальной системе координат на вектор АХ ошибок определения параметров навигации.

В настоящей главе построены неоднородные полные (нелинейные) () и линейные (линеаризованные) ()–() дифференциальные уравнения ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат (НГСК), образующие системы нестационарных дифференциальных уравнений десятого порядка относительно погрешностей определения северной, вертикальной и восточной составляющих относительной скорости объекта, погрешностей определения высоты, широты, долготы и погрешностей определения параметров Родрига-Гамильтона (Эйлера), описывающих собой ориентацию объекта в НГСК. Полученные дифференциальные уравнения ошибок описывают функциональные зависимости погрешностей определения указанных параметров ориентации и навигации объекта от погрешностей их начального задания и от инструментальных погрешностей чувствительных элементов БИНС (гироскопов и акселерометров).

Полные уравнения обеспечивают максимальную точность моделирования ошибок, тогда как линеаризованные уравнения более наглядны и хорошо подходят для аналитического изучения.

Для случая отсутствия инструментальных погрешностей акселерометров и гироскопов выведена альтернативная форма неоднородной части линейных уравнений ошибок, которая характеризует влияние неточного задания начальной ориентации объекта в инерциальной системе координат на ошибки БИНС.

Таким образом, неравенство () вместе с выражениями (), () и () для погрешностей АН, Ар и АЛ даёт оценку погрешности Auj_z, определения угловой скорости вращения НГСК. Вместо равенств (), () и () можно воспользоваться оценками (), () и (), а вместо неравенства () использовать неравенство () (для случая движения объекта над Землёй вблизи экватора). Тем самым полностью решается задача оценки погрешностей Аф, Ai) и Д₇ через ошибки Ак, АЛ⁰, Ар⁰, АЯ задания ориентации и местоположения объекта в начальный момент времени, а также через неточность Auj измерения абсолютной угловой скорости объекта.

Кватернион ориентации и параметры навигации объекта

Таким образом, (4.13) представляет собой общее решение однородного линейного матричного дифференциального уравнения ошибок (4.2) для случая движения объекта вдоль экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте, в котором постоянные интегрирования выражены через заданные начальные условия движения, т.е. (4.13) является частным решением уравнения ошибок (4.2) в рассматриваемом случае движения объекта, удовлетворяющим заданным начальным условиям движения.

Анализ построенного решения показывает, что ошибки по широте и северной составляющей относительной скорости, обусловленные неточным заданием начальных условий Av0N, Av0H, Av0E, АН0, А р0, АЛ0 интегрирования дифференциальных уравнений функционирования БИНС, носят гармонический (колебательный) характер с частотой ш = у/д /Щ, а ошибки по долготе, высоте, вертикальной и восточной составляющим относительной скорости представляют собой композиции гармонических колебаний с частотой jl = -р2 и экспоненциальных составляющих. Последние состоят из нарастающих с течением времени (так как /33 0) компонент, содержащих множитель С3 е 3 (г = 1,... ,6), и затухающих с течением времени компонент, содержащих множитель С4 е- . Таким образом, из (4.8) видно, что собственное движение устойчиво по переменным Ар и AvN, но неустойчиво по переменным АЛ, АН, AvH, и AvE.

Из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения следует, что для случая движения объекта вдоль экватора решения не только линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок, но и нелинейных уравнений ошибок БИНС неустойчивы независимо от членов выше первого порядка малости [39].

Для проверки корректности построенного аналитического решения с помощью программной среды MATLAB было получено численное решение AXnum(t) однородной линейной системы дифференциальных уравнений АХ = А АХ для интервала времени t Є [0, 7200 с] при следующих параметрах невозмущённого движения и начальных условиях: v F = 200 м/с, Я = 10000 м, Av0N = Av% = Av0F = 0,1м/с, (4.16) АЯ0 = 1м, А/= АЛ0 = 1,57-10-7 рад (1м в линейной мере1). Дифференциальные уравнения ошибок численно интегрировались в программной среде MATLAB с помощью встроенной функции ode45, реализующей метод Дорманда-Принса (Dormand-Prince) с адаптивным шагом интегрирования из семейства методов Рунге-Кутты. Указанный метод вычисляет решения четвёртого и пятого порядков точности.

Для тех же начальных условий и параметров невозмущённого движения для каждого момента времени t = 1,2, ...,7200 с с помощью формул (4.13)-(4.15) были получены погрешно 1Формулы для представления погрешностей определения широты и долготы в линейной мере приведены в приложении А сти AXan(t). Далее для каждого момента времени было вычислено абсолютное отклонение 8(АХ)abs = AXnum — ДХan аналитического решения от численного.

Кроме того, для каждого момента времени t = 1,2,..., 7200 с было вычислено относительное отклонение (ДХ)rel = (AXnum - AXan) /AXnum.

Максимальные на интервале времени t Є [0, 7200 с] значения абсолютного и относительного отклонений аналитически рассчитанных погрешностей от погрешностей, рассчитанных с помощью численного интегрирования, приведены в таблице 4.1. Абсолютное отклонение по широте и долготе представлено в радианах, градусах и в линейной мере.

Приведённые в таблице данные демонстрируют высокую точность совпадения построенного аналитического решения с численным решением линейных дифференциальных уравнений ошибок и подтверждают корректность построенного аналитического решения.

Рассмотрим для исследуемого случая движения объекта линейное неоднородное дифференциальное матричное уравнение ошибок (2.32) (АХ = ААХ + B{t)). При этом будем считать, что отсутствуют погрешности гироскопов и акселерометров, но присутствуют неточности задания начальной ориентации объекта в инерциальной системе координат. Тогда вместо вектора-столбца B{t) можно использовать вектор-столбец b(t) (см. п. 2.4). Также отметим, что в случае движения объекта вдоль экватора ip = 0, следовательно, матрица направляющих косинусов С , описывающая точную ориентацию НГСК относительно инерциальной системы координат X и определённая соотношением (2.24), имеет следующий вид:

Первое слагаемое в правой части (4.17) определяет собой ошибки определения проекций относительной скорости и криволинейных координат местоположения объекта, обусловленные неточным заданием начальных координат и проекций относительной скорости объекта, а второе слагаемое — ошибки определения этих величин, обусловленные неточным заданием начальной ориентации объекта в инерциальной системе координат.

Интеграл в правой части (4.17) может быть вычислен и выражен через элементарные функции, однако полученное аналитическое решение в этом случае приобретает громоздкий вид. Тем не менее, выражения для ошибок определения северной составляющей относительной скорости AVN и широты Аїр могут быть записаны достаточно компактно при условии /і0 = 0, т. е. при условии совпадения в начальный момент времени осей геоцентрической системы координат г] и инерциальной системы координат X . Эти выражения имеют следующий вид: точное значение долготы объекта в начальный момент времени. Видно, что приведённые погрешности представляют собой композиции гармонических колебаний с частотами = \/9 /Щ1 иUJ N = U + vE/R\. При этом ш близко к частоте Шулера, а u N совпадает с угловой скоростью и суточного вращения Земли при v E = 0 и близко к ней при v E 0.

Будем считать, что отсутствуют погрешности датчиков БИНС (гироскопов и акселерометров), а также погрешности начального задания ориентации объекта в инерциальной системе координат. В этом случае интеграл в правой части (4.17) обращается в нуль.

Рассмотрим три комбинации начальных условий интегрирования линейной однородной системы АХ = ААХ, представленные в таблице 4.2 (в этой таблице, а также в таблицах 4.3 и 4.4, для угловых величин приведены значения в радианах, градусах, а также соответствующее значение в линейной мере, полученное с помощью формул, приведённых в приложении А).

Для приведённых комбинаций найдём, используя полученные выше соотношения, погрешности определения относительной скорости и координат объекта через час движения, а также амплитуды и начальные фазы гармонических колебаний (см. (4.11)). Полученные результаты представлены в таблице 4.3.

По-прежнему считаем, что погрешности чувствительных элементов БИНС отсутствуют, а ориентация определяется идеально (то есть, отсутствуют погрешности гироскопов и погрешности начального задания ориентации). В этом случае интеграл в правой части (4.17) обращается в нуль.

Используя три описанные выше комбинации начальных условий, найдём для такого корабля погрешности определения относительной скорости и координат через час движения, а также амплитуды и начальные фазы гармонических колебаний (см. соотношения (4.11)). Результаты представлены в таблице 4.4.

Подчеркнём, что вследствие наличия колебательных составляющих максимальные погрешности для рассматриваемого часового временного интервала могут превышать погрешности для момента времени t = 3600 с, приведённые в таблицах 4.3-4.4.

Движение вдоль параллели

Рассмотрим погрешности БИНС, установленной на объекте, который движется вертикально вверх с постоянной скоростью vH = 200 м/с. В начальный момент времени объект находится на нулевой высоте в точке с координатами 554 с.ш., 3850 в.д. (координаты Москвы). Углы ориентации заданы нулевыми (такие углы ориентации означают, что оси системы координат, связанной с объектом, совпадают с осями НГСК).

На рис. 5.37 приведён график изменения невозмущённой высоты H. Видно, что за временной интервал моделирования объект успевает подняться на высоту около 150 км. x H (Vertical Flight) 1000

Результаты моделирования для случая вертикального полёта при наличии погрешностей гироскопов величиной ш = 10-2 град/час, ш = 10-3 град/час иш= 10-4 град/час) представлены ниже таблицами 5.13-5.15 и графиками (только для ш = 0,01 град/час) на рис. 5.38-5.46.

Видно, что погрешность определения северной компоненты относительной скорости vN содержит периодическую составляющую. Размах первого колебания составляет примерно 0,7 м/с, а его период-около 6000 с (100 мин).

Погрешности определения вертикальной составляющей относительной скорости vH и высоты Н нарастают по законам, близким к экспоненциальным.

Погрешность определения восточной составляющей относительной скорости vE после начала работы БИНС нарастает и при t w 2600 с (43 мин) принимает значение около 0,6 м/с, затем убывает, достигая нуля при t 4700 с (78 мин), после чего снова нарастает по закону, близкому к экспоненциальному.

Погрешность определения широты їр монотонно нарастает в течение всего интервала моделирования.

Погрешность определения долготы Л сперва нарастает, достигая при t 4800 с (80 мин) значения примерно 1500 м, затем убывает, достигая при t 6700 с (112 мин) нулевого значения, затем монотонно нарастает.

Погрешности определения углов ориентации вначале изменяются периодически, но после одного колебания монотонно нарастают, причём нарастание погрешностей определения углов рыскания ф и крена 7 происходит по законам, близким к экспоненциальным, а угла тангажа г? - практически линейно. Для погрешности определения угла рыскания ф период первого (и единственного) колебания составляет примерно 5200 с (87 мин). Размах этого колебания приблизительно равен 0,005. Для погрешности определения угла тангажа г? период первого колебания составляет примерно 5700 с (95 мин), а его размах - приблизительно 0,005. Для погрешности определения угла крена 7 период первого колебания составляет примерно 4800 с (80 мин). Размах этого колебания приблизительно равен 0,003.

Результаты моделирования для погрешностей акселерометров величиной а = 10-3g, а = 10-4g и а = 10-5g представлены ниже таблицами 5.16-5.18 и графиками (только для а = 10-3g) на рис. 5.47-5.55.

Погрешность определения северной компоненты относительной скорости vN совершает одно колебание с периодом примерно 4300 с (72 мин) и размахом около 10 м/с, после чего периодическая составляющая исчезает, и погрешность монотонно нарастает по закону, близкому к экспоненциальному.

Погрешность определения вертикальной составляющей относительной скорости vH вначале нарастает по закону, близкому к экспоненциальному, а после примерно 5000 с (83 мин) работы БИНС - практически линейно.

Погрешность определения восточной составляющей относительной скорости vE сперва нарастает, достигая при t 1200 с (20 мин) значения около 20 м/с, затем убывает, становясь нулевой при t 2300 с (38 мин), затем снова нарастает по закону, близкому к экспоненциальному.

Погрешность определения высоты Я монотонно возрастает по закону, близкому к экспоненциальному.

Погрешность определения широты їр сперва нарастает, достигая при t 3000 с (50 мин) значения около 14000 м, затем убывает и при t 4200 с (70 мин) достигает значения около 12500 м, после чего снова нарастает. Погрешность определения долготы А сперва нарастает, достигая при t 2200 с (37 мин) значения около 10000 м, затем убывает, становясь нулевой при t w 3400 с (57 мин), затем монотонно возрастает. Погрешность определения угла рыскания ф сперва возрастает, достигая при t « 2250 с (38 мин) значения ф w 0,1, затем убывает, становясь нулевой при t w 3300 с (55 мин), затем снова возрастает, изменяясь после t 6000 с (100 мин) практически линейно.

Погрешность определения угла тангажа г? сперва возрастает, достигая при t 2900 с (48 мин) значения г? w 0,12, затем убывает, становясь нулевой при t w 4200 с (70мин), затем снова возрастает по закону, близкому к экспоненциальному.