Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор состояния вопроса 20
1.1. Обоснование практической ценности исследования. Примеры технических систем 20
1.2. Методы моделирования течения разреженного газа в переходном режиме 23
1.3. Эффект скольжения газа 34
1.4. Постановка цели и задачи исследования 40
Глава 2. Разработка методов расчета и математических моделей течения разреженного газа в вакуумной системе с потоком металлического пара 42
2.1. Диффузионная математическая модель 42
2.2. Статистические математические модели течения газа в канале с потоком металлического пара 57
2.2.1. Математическая модель течения газа на основе метода пробной частицы 58
2.2.2. Математическая модель течения газа на основе метода частиц в ячейках 82
Глава 3. Оценка адекватности расчета параметров течения разреженного газа по разработанным математическим моделям 95
3.1. Вычисление погрешности 95
3.1.1. Диффузионная математическая модель 96
3.1.2. Статистическая математическая модель на основе метода пробной частицы 98
3.1.3. Статистическая математическая модель на основе метода частиц в ячейках 101
Основные результаты и выводы 105
Список литературы
- Методы моделирования течения разреженного газа в переходном режиме
- Постановка цели и задачи исследования
- Статистические математические модели течения газа в канале с потоком металлического пара
- Диффузионная математическая модель
Методы моделирования течения разреженного газа в переходном режиме
В настоящее время не существует теории, описывающей течение газа в магистралях с потоком металлического пара с учетом взаимодействия разреженного газа с металлическим паром, давление которого соответствует переходному режиму течения. Несмотря на то, что такие исследования ведутся уже длительное время, теории, полноценно описывающей свойственные ему физические процессы, так и не существует, как и универсального метода расчета параметров течения.
Необходимость разработки теории и создания математической модели на ее основе, описывающей взаимодействие разреженного газа с потоком металлического пара, определяется многообразием технологических процессов, протекающих при наличии паров легкоплавких металлов, причем увеличение концентрации газообразных продуктов вследствие газовыделения, сорбционных и различных сопутствующих процессов (например, образование продуктов деления) ведет к уменьшению эффективности рабочих процессов вплоть до отказа систем. Для обеспечения допустимой концентрации откачиваемых газов (на уровне высокого и сверхвысокого вакуума) необходимо знать параметры течения газовой среды в присутствии металлических паров.
В случае, когда технология опережает теорию, увеличиваются затраты при проектировании и эксплуатации, и следовательно предлагаемое исследование может быть полезно при расчете и проектировании следующих систем: - Электрогенерирующие каналы (ЭГК) термоэмиссионного реактора-преобразователя. Термоэмиссионные реакторы преобразователи - одно из величайших достижений российской науки и техники. Успех ядерно-энергетической термоэмиссионной установки «Топаз» (Рисунок 1.1) послужил толчком к разработке ряда проектов реакторов с термоэмиссионными преобразователями [1]. Основа реактора установки «Топаз» - тепловыделяющие элементы - «гирлянды» Малыха (Рисунок 1.2).
Электрическая мощность установки доходила до 10 кВт. Максимальная плотность генерируемого ТЭП тока может достигать нескольких десятков ампер на 1 см поверхности. Она ограничена эмиссионной способностью эмиттера. Для получения оптимальных величин работы выхода эмиттера (2,5 - 2,8 эв) и коллектора (1,0 - 1,7 эв) и для компенсации объёмного заряда электронов, образующегося вблизи электродов, в зазор между ними обычно вводят легко ионизируемые пары цезия. В ЭГК увеличение концентрации газообразных продуктов деления Хе, Аг, Кг выше 10"3..10"4 Па, ведет падению характеристик вплоть до прекращения работы, возможно накопление инертного газа, сопровождающиеся резким всплеском давления. Для уменьшения концентрации этих газов необходимо обеспечить достаточную проводимость канала для удаления сопутствующих газов дополнительной системой откачки. Следовательно необходимо знать параметры течения газа в канале с металлическим паром.
Высокотемпературные теплообменники, в которых в качестве теплоносителя используется легкоплавкие металлы (Рисунок 1.3). Повышение концентрации газа в теплоносителе в ряде случаев приводит к нарушению герметичности теплообменников из-за взаимодействия этих газов с материалом. Рисунок 1.3. Теплообменники для атомных электростанций
Диффузионные средства откачки, в которых вместо паров масла используются легкоплавкие металлы. Например, парортутные насосы (Рисунок 1.4), которые применяют главным образом для откачки систем, в которых пары ртути являются рабочей средой (ртутные выпрямители, лампы), и в установках, где необходима высокая чистота рабочей среды (в масс-спектрометрах, сверхвысоковакуумных системах термоядерных установок).
Исследования течения газа в переходном режиме ведутся уже длительное время, но универсальной теории так и не существует - большинство методов применимы только для решения частных задач.
На сегодняшний день для описания процесса взаимодействия откачиваемого газа с парами металла используются в основном полуэмпирические зависимости на основе уравнения диффузии. Такое описание не является универсальным и может быть использовано только в некоторых частных случаях, а также не позволяет учесть различные существенные факторы: возможность поглощения газа металлическим паром и поверхностью трубы; наличие градиента температуры в системе, вектора скорости потока металлического пара. Также следует учесть, что такое описание применимо только для течений со скоростями значительно меньшими скорости звука, тогда как в большинстве случаев, скорость металлического пара достаточно высока.
Достаточно хорошо исследовано течение газа, включая «критический» режим при значениях числа Кнудсена менее 0,01 [4]. Однако описание газа в области переходного режима течения представляет значительные трудности. Определенного прогресса удалось достичь, используя численные методы решения кинетического уравнения Больцмана, например в [5, 81, 82, 84], но этот подход очень трудоемкий.
В работе [6] предложен достаточно простой алгоритм расчета потока газа во всем диапазоне режимов течения (от молекулярного до вязкостного критического) через цилиндрический капилляр произвольной длины. За основу взято суперпозиционное уравнение из работы [2], представляющее поток газа Gl через длинный капилляр в переходном режиме в виде трех составляющих:
Постановка цели и задачи исследования
Алгоритм [6] в целом дает хорошее соответствие эксперименту от молекулярного до вязкостного режима течения. Расчет по уравнению из работы [2] дает несколько лучшее совпадение с экспериментом в молекулярном и начале переходного режима, затем происходит прогрессирующее нарастание отклонения расчетных данных от экспериментальных. Несмотря на хорошее совпадение с экспериментом, суперпозиционный подход физически не совсем корректен. И если для переходного режима течения газа, в котором одновременно сказывается влияние внутреннего трения и молекулярного переноса, этот метод еще может быть оправдан, то применение его для вязкостного режима течения, характер которого определяется силами внутреннего трения (сплошная среда), носит формальный характер.
В работе [7] при дифференциации режимов течения используется число Кнудсена Кп = — ,ш переходный режим [8] дополнительно разбивается еще на две области: - непрерывный режим (или вязкостный [8]) Кп \0 3, течение можно моделировать уравнениями Навье-Стокса с классическими граничными условиями (неизменность температуры и скорости на стенке); - режим скольжения 10 3 Кп Ю-1, можно применять уравнения Навье-Стокса, но необходимо учитывать скачок температуры и скорости на стенке при задании граничных условий; - переходный режим 10_1 А 7 10, уравнения Навье-Стокса, применяемые для описания течения сплошной среды, больше не действительны, но межмолекулярными столкновениями еще нельзя пренебречь; - свободный молекулярный режим Кп \0, столкновения между молекулами незначительны, сравнимы со столкновениями между молекулами и стенкой.
В [7] рассматриваются микротечения разреженных газов, режим течения которых соответствует скольжению и началу переходного режима. В простых геометрических структурах такие течения могут моделироваться аналитически (уравнения Навье-Стокса) или полуаналитически (линеаризованное уравнение Больцмана).
Режим скольжения изучен достаточно подробно, а для его описания разработана достаточно простая математическая модель на основе уравнений Навье-Стокса с соответствующими граничными условиями. Граничное условие 1-го порядка, описывающее скорость скольжения на стенке, было установлено Максвеллом еще в 1879 году: Данные граничные условия написаны в безразмерной форме. Индекс р относится к стенке, а индексы t и п к тангенциальному и нормальному направлениям относительно стенки. Отношение теплоемкости к массе - у; Re, Pr, Ее - числа Рейнольдса, Прандтля, Эккерта соответственно; rv и ат -коэффициенты аккомодации для количества движения и тепловой энергии соответственно, характеризующие взаимодействие молекул со стенкой. Их точное определение возможно для конкретного случая, поскольку они зависят от природы газа и материала стенки, а также от состояния поверхности.
Таким образом, важной особенностью течения со скольжением является возможность описать его или аналитической моделью, или полуаналитически рассчитать скорость и проводимость для локального установившегося изотермического течения между параллельными плоскими пластинами [9] или в цилиндрическом канале постоянного сечения (круговом [9], кольцевом [10], прямоугольном [10,11]). Эти модели являются достаточно точными только для ограниченного диапазона чисел Кнудсена, примерно до 0,1 [12-15]. Для Кп 0,\ экспериментальное исследование [16], или прямое численное моделирование статистическим методом [17] показывают существенное расхождение с результатами моделирования, где были использованы граничные условия 1-го порядка [7]. Начиная с 1947 года, некоторые авторы предложили использовать граничные условия 2-го порядка [18,19], чтобы расширить область скольжения до более высоких чисел Кнудсена. Условия скольжения 2-го порядка являются довольно громоздкими выражениями, которые сложно совместить в единой записи. Действительно, согласно предположениям условия 2-го порядка (3(Кп2)) могут зависеть от JV [18,19]
С другой стороны, следует отметить, что некоторые модели с граничными условиями 2-го порядка, полученные как производные от простого условия Максвелла, приводят к уменьшению скольжения в сравнении с моделями 1-го порядка, тогда как другие модели, наоборот, к увеличению. Последние указанные модели основаны на физическом подходе к поведению газа вблизи стенки в соответствии с экспериментальными данными. P.Lalonde [21] провел измерения расхода газа в микроканалах, которые помогли косвенно установить, что в моделях с граничными условия 1-го порядка недооценивается скольжение. Модель с граничными условиями 2-го порядка, предложенными Deissler [22], хорошо согласуется с измерениями до чисел Кнудсена около 0,25, что также было подтверждено Maurer [23].
Основной сложностью при использовании данной модели является определение коэффициентов аккомодации. Также следует отметить, что решений уравнений Навье-Стокса с граничными условиями 2-го порядка может весьма проблематичным для сложных геометрических структур, причем сложности вызывают как поиск аналитического, так и численного решения.
Методы, которые используются для численного моделирования газовых потоков, зависят от степени разряжения. Таким образом, для вязкостного режима течения (сплошная среда) численное решение уравнений Навье-Стокса традиционными методами (метод конечных разностей, метод конечных объемов, спектральные методы и т.д.) не представляет сложностей. Для режима скольжения 10 3 А 7 10-1 данный подход все еще действителен, но необходимо учитывать граничные условия скольжения на стенке канала. Karniadakis и Beskok [18] разработали спектральный алгоритм «uflow», позволяющий применять уравнения Навье-Стокса для моделирование газовых потоков в вязкостном режиме и режиме скольжения.
Статистические математические модели течения газа в канале с потоком металлического пара
Статистическое моделирование - метод численного исследования эволюции вероятностных систем в условиях, когда неизвестен характер внутреннего взаимодействия в данных системах, заключается в стохастической имитации процессов и явлений в исследуемой системе.
Сутью статистического математического моделирования является моделирование случайных функций и величин для вычисления их распределения и характеристик. Движение отдельных молекул разреженного газа (РГ) подчинено законам статистической физики и носит случайный характер. Поэтому метод статистических испытаний полностью адекватен физической природе молекулярного переноса. Суть решения физических задач статистическими методами заключается в том, что физическому явлению сопоставляется имитирующий вероятностный процесс, отражающий его динамику (каждому элементарному событию сопоставляется вероятность, с которой он может произойти). Затем этот процесс реализуется с помощью набора случайных чисел. Значения физических величин определяется усреднением по множеству реализаций моделируемого процесса.
Объектом исследования в данной работе является течение газа через поток металлического пара относительно высокой концентрации (отношение давление пара к давлению газа в канале порядка 105), поэтому течение газа в вакуумной системе будет происходить в переходном режиме течения, 1(Г и 0,33. Это позволяет при необходимости описать течение пара с помощью законов ламинарного течения сплошной среды (для решения данной задачи за основу взято течение Пуазейля [42]), а для разреженного газа применить статистические методы численного моделирования. В переходном режиме течения газа необходимо учитывать эффект скольжения на поверхности канала (раздел 1.3). Из множества подходов описания течения со скольжением [7, 9-11, 16-21, 41, 43] наиболее приемлемым для данного исследования является работа [43]. Скорость скольжения определена по формуле (1.16).
Одним из вариантов ММК, который используется для определения молекулярных характеристик вакуумных систем, является метод пробной частицы. В данном методе моделируется движение большого числа молекул и проводится статистическая оценка результатов этого моделирования.
Объектами исследования являются параметры течения газа в тонком цилиндрическом трубопроводе, в котором движется поток металлического пара. Для решения данной задачи используется математическая модель на основе метода пробной частицы, для реализации которой была разработана программа расчета.
В среде Matlab 7.9.0 составлена программа для проведения численного эксперимента, по результатам которого могут быть определены коэффициенты проводимости, обратного рассеяния, захвата частиц поверхностью трубы и сорбции газа парами металла, а также построена зависимость изменения плотности потока падающих и поглощенных частиц по длине трубы и зависимость проводимости системы от потока пара.
В качестве расчетной схемы (Рисунок 2.11) рассматривается течение газа в прямой тонкой цилиндрической трубе (R«L), в которой движется металлический пар. Направление движения пара задается: сонаправленное движение, когда поток пара движется в направлении откачки вместе с газом; встречный поток, когда газ движется против направления потока металлического пара. Геометрическая структура определяется тремя поверхностями: поверхность входа, боковая поверхность и поверхность выхода. Вся поверхность трубы разбита на тонкие кольца шириной Лх.
При статистическом моделировании течения газа методом пробной частицы в системе моделируется большое число траекторий движения молекул от момента их «старта» с входного сечения системы до момента возвращения к сечению входа или выхода, либо до момента поглощения поверхностью трубы или металлическим паром.
Вероятность перехода молекул через вакуумную систему (коэффициент проводимости) будет определяться как отношение: Р = —, (2.15) где N\ - число молекул, попавших в выходное сечение, N - общее число рассматриваемых молекул. При достаточно большом числе N частота событий Р равна вероятности этого события, то есть точность вычисления определена числом N. Среднее квадратичное отклонение величины [49]:
Далее изложена процедура вычисления конкретных молекулярных характеристик методом статистических испытаний, подробно описанная в приложении к одному из наиболее часто встречающихся случаев - вычисление коэффициента проводимости. Алгоритм вычисления коэффициента проводимости Р приведен на Рисунке 2.12. Представлены выражения для определения координат старта, траектории частицы и координат точек пересечения траектории с поверхностью [49].
После ввода исходных данных, используя датчик случайных чисел, осуществляется выбор координат молекулы, которая влетает в систему через входную поверхность в соответствии с законом распределения влетающих молекул.
Диффузионная математическая модель
Здесь под оценкой адекватности математической модели понимается проверка соответствия модели реальной системе. Адекватность модели реальному объекту проверена по степени соответствия результатов расчета экспериментальным данным.
Проведено сравнение результатов численных экспериментов, полученных при моделировании течения разреженного газа в вакуумной системе с помощью разработанного комплекса математических моделей с экспериментальными данными, опубликованными в открытой литературе, и на основании этого сделаны выводы о достоверности полученных результатов.
Сравнения результатов моделирования проведено с экспериментальными значениями проводимости каналов, полученными Клаузингом [8].
Проводимость U в данном случае является вычисляемой величиной. При использовании диффузионной ММ она определена по формуле: где рх-р2= рх_2 - перепад давлений на входе и выходе из рассматриваемого трубопровода, определяемый в численном эксперименте; Q - поток газа, постоянный по всему трубопроводу и задаваемый, как исходные данные. Для реальной системы величина потока газа определяется расходомером. Погрешность таких приборов составляет 1..3% [75], тогда абсолютная погрешность AQ = (0,01..0,03)6 = 0,02g.
После определения абсолютной погрешности вычисления проводимости в диффузионной ММ проведена интерполяция результатов, полученных в численном эксперименте - по точкам численного эксперимента построен график зависимости U(Kn) (Рисунок 3.1). Относительная погрешность определена как отношение разности величины проводимости, определенной в численном эксперименте, и экспериментального значения проводимости, полученной Клаузингом [8], к экспериментальному значению проводимости, полученной Клаузингом:
Вычисляемой величиной является проводимость U цилиндрического трубопровода, которая определена по формуле: тогда в соответствии с (3.3) у{ 8\7гМТ 4 ) у А\жМ 2 J [ А\ жМ 4 где Р - вероятность перехода молекул через вакуумную систему, непосредственно определяемая в численном эксперименте; D - диаметр трубопровода; Т - температура в системе. Для реальной системы температура определятся термопарой. Погрешность таких приборов составляет порядка 1% [76], тогда абсолютная погрешность AT = 0,017і = 2,93 К . Диаметр измеряется штангенциркулем, погрешность которого AD = 0,05 мм [77]. Абсолютная погрешность АР вычислена по формуле (3.1) для надежности 95%.
После определения абсолютной погрешности вычисления проводимости в ММ проведена интерполяция результатов, полученных в численном эксперименте - по точкам численного эксперимента построен график зависимости U{Kn) (Рисунок 3.2). На этот же график нанесена кривая экспериментальных данных, полученных Клаузингом [8] и по формуле (3.6) вычислена относительная погрешность. Средние величины и погрешности, полученные в результате численных экспериментов для каждого значения числа Кнудсена, приведены в Таблице 4.
Изменение проводимости [/цилиндрического трубопровода (/)=0,01м, 1=0, їм) в зависимости от числа Кнудсена Km сопоставление результатов расчета ММ на основе метода пробной частицы ( х ) и экспериментального исследования Клаузинга [8] ( —) Статистическая модель на основе метода пробной частицы охватывает молекулярный и начало переходного режимов течения газа. При Кп 0,03 погрешность модели в пределах 3%, в переходном режиме Кп=0,03..0,0\ возрастает до 5..15%.
Вычисляемой величиной является проводимость U. При использовании ММ на основе метода частиц в ячейках она определена по формуле (3.4). Абсолютная погрешность для проводимости вычислена по формуле (3.5).
Во время численного эксперимента непосредственно определяется перепад давлений на входе и выходе из рассматриваемого трубопровода рх- р2 = рх_2, абсолютная погрешность этой величины Арх_2 определена по формуле (3.1) для надежности 95%.
После определения абсолютной погрешности вычисления проводимости в ММ на основе метода частиц в ячейках проведена интерполяция результатов, полученных в численном эксперименте - по точкам численного эксперимента построен график зависимости U(Kn) (Рисунок 3.3).