Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современное состояние исследований СЗ радиационного и комбинированного теплообмена 20
1.1. Общая постановка проблемы
1.2. Постановки и методы решения СЗ конвективного и радиационно-конвективного теплообмена 23
1.3. СЗ радиационного и радиационно-кондуктивного теплообмена 31
1.4. Выводы 32
ГЛАВА 2. О применении модифицированного метода средних потоков в задачах радиационного и комбинированного теплообмена 35
2.1. Прямые дифференциальные методы в теории радиационного теплообмена
2.2. СП-метод 38
2.3. Учет селективности 42
2.4. Сравнение с точным аналитическим решением 44
2.5. Анализ влияния оптических параметров на поведение коэффициентов переноса и радиационного потока 45
2.6. Радиационный теплообмен в многослойной системе 51
2.7. О точности нулевого приближения СП-метода 60
2.8. Выводы 62
ГЛАВА 3. Сопряженная задача радиационно-конвективного теплообмена на непрозрачной пластине. ламинарный режим 63
3.1. Постановка задачи
3.2. Метод решения и выбор исследуемых параметров 66
3.3. Анализ СЗ радиационно-конвективного теплообмена 74
3.4. Влияние на теплообмен параметра сопряженности и режимных определяющих параметров 76
3.5. Влияние оптических свойств на нагрев пластины 84
3.6. Радиационно-конвективный теплообмен в условиях сильной
вязкой диссипации 88
3.7. Влияние вдува 96
3.8. Выводы 106
ГЛАВА 4. Сопряженная задача радиационно-конвективного теплообмена на непрозрачной пластине. турбулентный режим 108
4.1. Постановка задачи и метод решения
4.2. Анализ влияния на теплообмен определяющих параметров задачи 112
4.3. Учет вязкой диссипации 116
4.4. Выводы 122
ГЛАВА 5. Сопряженная задача радиационно-конвективного теплообмена на бесконечной движущейся пластине 123
5.1. Прикладные аспекты проблемы
5.2. Постановка задачи 124
5.3. Метод решения 126
5.4. Анализ остывания металлической пластины 128
5.5. Выводы 132
ГЛАВА 6. Сопряженная задача радиационно-конвективного теплообмена на полупрозрачной пластине 133
6.1. Постановка задачи 6.2. Метод решения 136
6.3. Анализ результатов 139
6.4. Влияние на теплообмен пропускательной способности поверхности 144
6.5. Влияние на теплообмен объемного поглощения 149
6.6. Выводы 154
ГЛАВА 7. Радиационно-кондуктивныи теплообмен в многослойной полупрозрачной системе 155
7.1. Введение 7.2. Метод и алгоритм расчета 156
7.3. Тестирование метода 160
7.4. Теплоперенос через окна 162
7.5. Влияние отражения 177
7.6. Выводы 180
Заключение 181
Приложения 184
- Постановки и методы решения СЗ конвективного и радиационно-конвективного теплообмена
- Сравнение с точным аналитическим решением
- Влияние оптических свойств на нагрев пластины
- Анализ влияния на теплообмен определяющих параметров задачи
Постановки и методы решения СЗ конвективного и радиационно-конвективного теплообмена
Согласно определению, сделанному в [18], сопряженными задачами тепло- и массообмена называются задачи по определению полей физических величин (температур, скоростей, концентраций) в гетерогенных системах, когда для нахождения значений этих величин на границах между областями системы привлекаются законы сохранения соответствующих субстанций. В математическом плане сопряженными следует считать задачи, связанные с решением системы дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений, которые отличаются либо значениями коэффициентов на некоторую величину, либо всей структурой, когда для нахождения искомых функций на общих границах областей определения указанных функций используются некоторые алгебраические и дифференциальные соотношения (условия сопряжения).
Из этого определения следует, что задачи переноса тепла теплопроводностью и/или излучением в многослойных полупрозрачных системах также являются сопряженными. В отличие от СЗ внешнего радиационно-конвективного теплообмена, где механизмы переноса тепла в контактирующих областях (в пластине и пограничном слое) физически отличаются друг от друга, в задачах радиационного и радиационно-кондуктивного теплообмена механизмы теплопереноса являются одинаковыми. Однако в зависимости от оптических свойств системы уравнение переноса излучения может иметь в разных слоях различный вид: линейный - для слоя прозрачной среды, дифференциальный - для слоя излучающей и поглощающей среды, интегро-дифференциальный - для слоя рассеивающей среды. Различие коэффициентов преломления и оптической толщины слоев делают при этом невозможным использование «сквозных» методов решения задачи на основе построения однородных разностных схем.
Библиография по задачам радиационно-кондуктивного теплообмена в многослойных системах в настоящее время весьма обширна и подробно в данной работе не приводится. Отметим только, что большинство исследований до настоящего момента было ограничено серым приближением и двухслойными системами. Обзор работ для многослойных полупрозрачных систем приводится в начале главы 7 диссертации.
В результате проведенного выше анализа литературы по решению СЗ конвективного и радиационно-конвективного теплообмена можно сделать следующие выводы:
1. Исследование внешнего радиационно-конвективного теплообмена в сопряженной постановке является сложной математической задачей, связанной с рассмотрением принципиально различных и взаимосвязанных механизмов переноса тепловой энергии. Развитие численных методов в значительной степени способствовало расширению исследований СЗ. В то же время, сложность задачи не позволяет отказываться от разумных упрощений математической модели, таких как приближение термически тонкого тела, квазистационарность процесса переноса тепла и т.п.
2. Наиболее полно, рассмотрены СЗ радиационно-конвективного теплообмена при ламинарном течении диатермических сред, для решения которых разработано большое количество аналитических и приближенных методов. Отмеченные работы ограничиваются рассмотрением узкого круга вопросов и преследуют своей целью, зачастую, лишь получение замкнутых решений, справедливых в ограниченном диапазоне определяющих параметров.
3. Радиационно-конвективный теплообмен в сопряженной постановке задачи для течения излучающих, поглощающих и рассеивающих сред, несмотря на свою актуальность, на момент начала данных исследований был практически не изучен. Решение задачи в указанной постановке, вследствие появляющейся нелинейности в уравнении энергии и необходимости решать уравнение переноса излучения, получить в замкнутой форме не представляется возможным и может быть найдено только с помощью численных методов.
4. Недостаточно исследованы СЗ радиационно-кондуктивного теплообмена в многослойных полупрозрачных системах. Задачи для системы, состоящей более чем из двух слоев поглощающей излучающей и анизотропно рассеивающей среды с учетом зависимости оптических свойств от длины волны излучения, не рассматривались.
Сравнение с точным аналитическим решением
При исследовании радиационного и комбинированного теплообмена в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах наиболее сложным и трудоемким является решение интегро-дифференциального уравнения переноса излучения. В этой связи получили развитие приближенные методы его решения [26-35], нашедшие применение в основном в задачах с одномерной геометрией (плоский и шаровой слой, бесконечный цилиндрический слой). Условно их можно подразделить на следующие классы: методы, связанные с разложением интенсивности излучения в ряд по различным системам фундаментальных функций (в частности метод сферических гармоник и метод Ивона) [31-33,36], методы дискретных ординат [30,37-39], дифференциальные методы [40-62], интегральные методы [63-66], статистические методы (метод Монте-Карло) [67-69].
Выбор конкретного метода определяется, как правило, характером постановки задачи. При исследовании радиационного и комбинированного теплообмена в системах с простой конфигурацией удобны прямые дифференциальные методы. Достоинством указанных методов является простота полученных уравнений, отсутствие затруднений в их реализации и физическая наглядность. Хорошая совместимость с уравнениями тепло-массообмена при численной реализации, когда для нахождения искомых функций используется та же дискретная расчетная область, обусловили их широкое применение при решении задач комбинированного теплообмена. К этому классу относятся такие ранние методы, как приближение Эддингтона и Шустера Шварцшильда [26-28,34], затем двухпотоковые методы [46-50], диффузионный [26-29,35,43] и тензорный метод [27, 51], метод Рекина [52]. Подробный обзор дифференциальных методов с анализом областей их применимости приводится в работах [27,40,41,137].
Прямые дифференциальные методы основываются на таких преобразованиях уравнения переноса и граничных условий, которые превращают исходную краевую задачу из сложной интегро-дифференциальной в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом в качестве искомых функций выделяются различные угловые моменты от поля интенсивности излучения, а коэффициенты системы (коэффициенты переноса) оказываются функционалами решения задачи. В зависимости от выбора тех или иных допущений относительно коэффициентов переноса получаются различные вышеназванные приближения. Таким образом, несмотря на строгость и полную эквивалентность дифференциальной задачи исходной, дифференциальные методы решения относятся к приближенным. Погрешность этих методов зависит от точности оценки неизвестных заранее коэффициентов переноса.
Отмеченный недостаток приближенных дифференциальных методов привел к появлению методов, в которых коэффициенты переноса уточняются в процессе решения задачи с помощью итераций [35,53-59]. Проведенные исследования показали хорошую, как правило, сходимость итерационного процесса, приводящего к весьма точным результатам. Формализм данного подхода подробно изложен в [35]. В основе его лежит прием понижения размерности исходного уравнения переноса, который заключается в переходе от сложного уравнения, записываемого в операторной форме L-u = 0, (2.1) решение которого требует значительных вычислительных затрат, к более простому L($« = 0, (2.2) Оператор L ( зависит от целого набора параметров =(/, ..., которые в свою очередь являются функционалами решения уравнения (2.1). Для указанных выше методов в качестве параметров „ выступают коэффициенты переноса. Как показано в работах [35,58], условием эффективности применения приема, основанного на замораживании коэффициентов при решении (2.2), служит слабая зависимость оператора L от решения исходного уравнения (2.1). Так как конкретных рекомендаций в построении оператора L дать невозможно, ввиду того, что последний, как правило, сложным образом зависит от решения уравнения (2.1), эффективность построенных алгоритмов определяется опытным путем, в ходе вычислительных экспериментов.
Применительно к радиационному и комбинированному теплообмену наиболее широкие возможности для исследования (учет анизотропии рассеяния, отражения от границ) из указанных подходов предоставляет модифицированный метод средних потоков (СП-метод). Метод был предложен Н.Н. Пономаревым [55] как развитие метода средних потоков, нашедшего применение в теории переноса нейтронов [53,54]. Хорошую работоспособность метода для решения задач комбинированного теплообмена показали работы по исследованию радиационно-кондуктивного и радиационно-конвективного теплообмена [60,61,81]. Дальнейшее развитие СП-метод получил в работах Е.П. Головой [62] для решения краевых задач переноса излучения в многослойных системах.
В связи с отмеченными в главе 1 требованиями к эффективности метода решения уравнения переноса в сопряженных задачах радиационного и комбинированного теплообмена, в настоящей работе проведено усовершенствование и развитие алгоритма СП-метода для решения краевой задачи переноса излучения в плоском слое излучающей, поглощающей и рассеивающей среды с селективными оптическими свойствами. Разработан численный метод на основе модифицированного метода средних потоков для решения уравнения переноса в многослойной системе с учетом отражения и преломления излучения на границах раздела сред. Выполнены методические исследования поведения радиационного потока и коэффициентов переноса в зависимости от оптических свойств среды и границ. Отметим, что подобные широкие параметрические исследования были проведены впервые.
Для изложения СП-метода рассмотрим краевую задачу переноса излучения в плоском слое поглощающей, излучающей и рассеивающей среды с непрозрачными диффузно излучающими и диффузно отражающими границами и заданным распределением температуры Т(х) [28]: - функция Планка излучения черного тела, rv = kvx и z0v = kvS - спектральная оптическая глубина и толщина слоя, 8 - толщина слоя (характерный размер), kv = ccv + /3V - спектральный коэффициент ослабления, ctv и Д, - спектральные коэффициенты поглощения и рассеяния, Wv = (3V I kv - спектральное альбедо однократного рассеяния (число Шустера), nv - спектральный показатель преломления, v\(2) и rvi(2) " спектральная полусферическая диффузная излучательная и отражательная способности границ, связанные между собой соотношением 6V = 1 — rv, Ру(у,ух)- спектральная индикатриса рассеяния, которая постулируется в виде [70]: где уо - косинус угла между падающим и рассеянным лучами, Pi - полином Лежандра порядка
Влияние оптических свойств на нагрев пластины
Как уже отмечалось, в основе СП-метода лежит рассмотрение усеченной трехчленной индикатрисы рассеяния (2.6). Все рассуждения верны и при большем числе членов разложения, но при N 2, соответственно, увеличивается число дифференциальных уравнений и количество неизвестных функций, что усложняет решение задачи. Ограничение тремя первыми членами в разложении (2.6) обосновано также тем обстоятельством, что достаточно точное описание реальной ситуации может быть достигнуто во многих практических случаях даже при меньшем числе членов разложения, например, при N = 1 (линейно-анизотропное рассеяние) [72,73]. Для сред с сильно вытянутой индикатрисой рассеяния, пик, обусловленный рассеянием вперед, может быть описан с помощью выражений, содержащих « функцию [74]. Использование соотношений подобия [26] приводит при этом к инвариантной форме записи СП-системы и уравнения энергии.
Основной характеристикой индикатрисы рассеяния является параметр [70] і F = -\p{Y,)dYQ- (2.32) доля излучения, рассеянная в переднюю полусферу. Если индикатриса вытянута вперед, то F 0.5, если назад, то F 0.5. Для трехчленной индикатрисы рассеяния отмеченный параметр может быть выражен через средний косинус угла рассеяния [26]: F =- + -. (2.33) 2 4 Максимально вытянутая трехчленная индикатриса рассеяния имеет значения F=0.93 ( =0.57). Для изотропной и рэлеевской индикатрисы F =0.5 ( =0). На рис.2.2а и рис.2.3в приведены результаты расчетов соответственно коэффициентов переноса art , $ и радиационного потока в случае максимально вытянутой вперед индикатрисы рассеяния (= 0.57: а;=1.73, Я2 = 1)- Из сопоставления рисунков 2.2а, 2.1а и 2.3в, 2.3а следует, что сильное анизотропное рассеяние существенно деформирует коэффициенты т+, & в области малых и умеренных оптических толщин (то 1) и заметно увеличивает уровень радиационного потока с ростом параметра со по сравнению с изотропным рассеянием. 0.0 0.2 О.Ч 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2
Исследования переноса излучения в многослойных системах связаны главным образом с решением задач радиационно-кондуктивного теплообмена [62,109-113,116,135]. Многослойные конструкции из материалов частично прозрачных для излучения находят широкое применение в элементах тепловой защиты энергетических устройств, в аэрокосмической технике, в солнечных установках, строительстве, металлургии. Точное количественное описание теплофизических процессов, происходящих в многослойных полупрозрачных конструкциях, дает возможность рассчитать их необходимые теплотехнические параметры и повысить их эксплуатационные качества.
Решение уравнения переноса излучения в многослойной системе по сравнению с однослойной является значительно более трудной задачей, так как необходимо учитывать изменение оптических свойств от слоя к слою и сопряжение радиационных полей на граничных поверхностях. При этом необходимо обратить внимание на то, что зависимость оптических свойств от частоты (длины волны) излучения оказывает на теплообмен более существенное влияние, чем в однослойной среде. В качестве примера можно указать на парниковый эффект. В отличие от подходов в вышеуказанных работах, предлагаемый ниже метод решения задачи радиационного теплообмена в многослойной полупрозрачной системе обладает большей строгостью и точностью, и позволяет принять во внимание более широкий диапазон параметров.
Граничные условия на поверхности раздела сред
При решении уравнения переноса излучения в многослойной полупрозрачной системе на поверхности раздела сред необходимо принимать во внимание эффекты, связанные с преломлением излучения. Так для среды с большим показателем преломления, коэффициент отражения на границе раздела обусловлен в основном полным внутренним отражением. Предыдущие исследования радиационного теплообмена в многослойных системах с использованием СП-метода, ограничены рассмотрением случая п( = const [62].
В настоящей работе предлагается приближенное представление граничных условий, учитывающих преломление и зеркально-диффузное отражение на поверхности раздела полупрозрачных сред и записанных относительно плотности полусферических потоков излучения, что позволяет использовать для решения уравнения переноса излучения в многослойных оптических системах дифференциальные подходы, в частности, метод средних потоков.
Анализ влияния на теплообмен определяющих параметров задачи
Методические расчеты, проведенные в рамках СП-метода, показали, что применение условия (3.29) является оправданным только в области больших оптических толщин, где результаты вычисления радиационного потока Ф(г) в пограничном слое идентичны при использовании обоих граничных условий. В области малых оптических толщин (т«, 0.1) применение граничного условия (3.29) приводит к завышению значений потока излучения на поверхности пластины более чем в два раза по сравнению с соответствующими значениями Ф(0) для диатермической среды.
Как было отмечено в главе 2, максимальная погрешность нулевого приближения СП-метода наблюдается в области умеренных оптических толщин; она снижается по мере приближения к границам слоя и в области малых и больших оптических толщин. Отмеченные обстоятельства указывают на целесообразность использования нулевого приближения СП-метода при решении СЗ, так как небольшая потеря точности при вычислении радиационного потока на стенке Ф(0) с использованием нулевого приближения СП-метода может оказаться несущественной для корректного определения профиля температуры пластины в (ф. Тестовые расчеты не обнаружили в диапазоне изменения определяющих параметров задачи сколь либо заметных (в пределах погрешности разностной схемы) различий в температуре пластины 6W при использовании точного решения (3-4 итерации) и нулевого приближения СП-метода. С учетом сказанного, все описанные ниже расчеты ограничивались нулевым приближением СП-метода.
Метод решения задачи заключается в последовательном уточнении температуры пластины $„() в системе (3.17)-(3.23). На каждом шаге по времени выполняется следующая итерационная процедура. Задается начальное приближение для температуры пластины ё\„ которое выбирается равным температуре предыдущего временного слоя. Используя его в качестве граничного условия, из совместного решения уравнения энергии и уравнения переноса излучения находится распределение температуры в пограничном слое и в соответствии с уравнением (3.24) - значение суммарного теплового потока на поверхности пластины. Затем решается уравнение теплопроводности (3.20) и находится следующее приближение для температуры пластины ёп уц. Процесс повторяется до выполнения заданного условия сходимости итераций.
Решение динамической задачи (3.15)-(3.16) находилось с помощью метода конечных разностей (Приложение 3). Уравнение энергии (3.17) с граничными условиями (3.18)-(3.19) решалось методом конечных разностей в сочетании с методом итераций. Производные по координате ц аппроксимировались центральными разностями, линеаризация радиационного члена проводилась методом Ньютона. В качестве начального приближения использовалось распределение температуры из предыдущего слоя по координате Количество итераций, при котором максимальное различие в последовательных приближениях температуры было меньше погрешности разностной схемы, не превосходило двух-трех. Краевая задача (3.20)-(3.23) решалась методом конечных разностей с использованием чисто неявной разностной схемы.
В ходе решения переменная изменяющаяся в пределах [&, ] заменялась переменной z, принимающей значения на отрезке [0,1] в соответствии с формулой ехр(я) -1
При равномерном шаге по z автоматически достигается переменный шаг по координате При этом производные по координате z в (3.17) и в (3.20) аппроксимировались разностными выражениями второго порядка точности, так что общая погрешность аппроксимации краевой задачи (3.17)-(3.23) составляла 0(Лт72) + 0(Az2). Производная по времени вычислялась с первым порядком точности с использованием разностей назад (Приложение 4). Постоянная h выбиралась таким образом, чтобы сгустить сетку по координате у передней кромки и тем самым подробно охватить весь диапазон изменений оптической толщины тда по длине пластины. Значение & определяется из соотношения у TL(0 /Re)72 0.01, то есть из условия, что пограничный слой является оптически тонким и в качестве начального профиля температуры Boo можно использовать автомодельное решение уравнения энергии (3.17). Значение внешней границы /7оо определяется из условия асимптотического перехода температурного распределения в пограничном слое к температуре внешнего потока и выбирается, обычно, равным от шестнадцати до двадцати [28,80,81,95]. С увеличением температуры пластины в результате ее нагрева толщина теплового пограничного слоя уменьшается. Поэтому в рамках настоящего исследования было выбрано значение rjm =12, что составляет не менее двух толщин пограничного слоя в автомодельном приближении при Рг=1.
