Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор литературы 10
1.1 Развитие теории одиночного сферического пузырька 10
1.2 Люминесценция одиночного пузырька 21
1.3 Математические модели 23
Выводы к главе 1 31
ГЛАВА 2. Исследование общих закономерностей эволюции одиночного сферического пузырька на основе упрощенных моделей 32
2.1 Теоретическое исследование режимов сжатия парогазового пузырька на основе политропной модели 32
2.1.1 Постановка задачи 32
2.2.1 Режимы сжатия при у 1 36
2.2.2 Режимы сжатия при 1/3 у 1 38
2.2.3 Режимы сжатия при у 1/3 39
2.2. Некоторые гидродинамические особенности эволюции одиночного сферического пузырька в режиме конечного сжатия 43
2.2.1 Общие закономерности 44
2.2.2 Иллюстрация общих закономерностей на основе политропной модели 49
Выводы к главе 2 50
ГЛАВА 3. Математические модели и их вычислительная реализация 52
3.1 Однородная модель 56
3.2 Гомобарическая модель 60
Выводы к главе 3 66 Стр.
ГЛАВА 4. Исследование сжатия паровых пузырьков в воде ...68
4.1 Результаты численного моделирования на основе однородной модели 68
4.2. Результаты численного моделирования на основе гомобарической модели 76
4.3 Сжатие парового пузырька в рэлеевском режиме 85
Выводы к главе 4 .91
ГЛАВА 5. Сжатие паровых пузырьков в жидком углеводороде .93
Выводы к главе 5 .105
ГЛАВА 6. Сжатие паровых включений в жидком водороде 106
6.1 Постановка задачи .106
6.2 Численное моделирование 108
6.3 Тепловой режим эволюции пузырька. Упрощенная математическая модель и результаты расчетов 111
Выводы к главе 6 118
ГЛАВА 7. Электрофизические явления в скоростных потоках воды. Применение модели однородного газового пузырька 119
Выводы к главе 7 .128
Основные результаты и выводы .129
Список литературы 1
- Люминесценция одиночного пузырька
- Некоторые гидродинамические особенности эволюции одиночного сферического пузырька в режиме конечного сжатия
- Гомобарическая модель
- Результаты численного моделирования на основе гомобарической модели
Люминесценция одиночного пузырька
Здесь у - показатель политропы. Политропный подход оказался интересным и плодотворным. Он исследуется, например в [24]. Если в уравнении (1.16) пренебречь вязкостью жидкости, но оставить поверхностное натяжение и использовать (1.19), то сохраняется возможность аналитического решения. Данный упрощенный подход использован в первой главе диссертации.
В уравнение Рэлея-Плессета иногда вводят поправки, учитывающие в некотором, так называемом квазиакустическом приближении, малую сжимаемость жидкости [5]. Малая сжимаемость жидкости может приводить к акустическому излучению энергии пульсационного радиального движения в бесконечность и к дополнительному сдвигу фаз между пульсациями давления в жидкости и скоростью стенок пузыря. Акустическая волна излучается в цикле периодического движения в начале расширения пузырька. Если пузырек сжимался с очень большой скоростью, то излучаемая акустическая волна может превратиться в ударную. По оценкам [25] до 50% кинетической энергии жидкости при коллапсе пузырька в экспериментах по SBSL возвращается обратно в жидкость акустическим излучением. Квазиакустическое приближение основано на гипотезах, состоящих в том, что возмущения гср (гипотеза Триллипга — Херринга 1941 года, где р — потенциал радиального движения) или величины г и2/2 + є + р / р , где s - удельная внутренняя энергия жидкости (гипотеза Кирквуда — Бете 1942 года), распространяются от пузырька вдоль характеристики первого семейства dr/dt = u + C, где С — скорость звука в жидкости. Учет сжимаемости, согласно гипотезе Триллинга - Херринга поднимает порядок уравнения Рэлея-Плессета от второго до третьего. Но известно только два начальных условия: R\ = R0 , U\0 = 0, начальное ускорение неизвестно.
Простой способ решения этой проблемы был изобретен Келлером [26, 27], который для вычисления ускорения использовал уравнение Рэлея-Плессета. В своей работе [28] Просперитти приводит параметрическую формулу, которая объединяет семейство уравнений данного класса:
Это уравнение в случае С, = 0 переходит в уравнение Келлера [26, 27], а в случае С = 1 - в уравнение Триллинга - Херринга.
Флинн использует уравнение более высокого порядка [29, 30], однако в работе [28] показано, что более высокий порядок не гарантирует более высокую точность. Там же было продемонстрировано, что уравнение Келлера для многих случаев приводит к результатам, очень близким к тому, что дает прямое численное решение уравнений гидродинамики в частных производных.
Здесь ключевой величиной является не давление, а энтальпия жидкости I . Скорость звука не является постоянной величиной, как в (1.20), а зависит от энтальпии. Согласно относительно недавним исследованиям [25], уравнение (1.21) при схлопывании пузырька учитывает значительное увеличение скорости звука по мере роста давления в непосредственной близости от межфазной границы.
Наряду с изучением радиальной динамики жидкости вокруг пузырька исследовалась эволюция его формы. В случае относительно небольших отклонений формы межфазной границы от сферической, широко используются математические модели, в которых поверхность пузырька представляется в виде суперпозиции сферических гармоник с соответствующими коэффициентами [32]. В рамках этого подхода Лэмб [33] получил выражения для скорости затухания малых гармонических колебаний формы пузырька в вязкой жидкости. Биркхофф [34] показал, что коллапсирующие пузырьки по отношению к малым возмущениям сферической формы являются неустойчивыми и что на этот результат не влияет поверхностное натяжение. Плессет и Митчел [35] в линейной постановке, без учета вязкости жидкости, рассмотрели задачу устойчивости формы парового пузырька при колебаниях под действием скачка давления в бесконечности. В такой же постановке Эллер и Крам [36] исследовали устойчивость колебаний сферического пузырька в воде при гармоническом изменении давления окружающей жидкости с частотой 23.6-28.3 кГц. Их теоретические результаты сравниваются с экспериментальными.
Подход, основанный на суперпозиции сферических гармоник, не применим при больших отклонениях формы пузырьков от сферической, а также на стадии высокоскоростного сжатия. Аганин, Гусева и др. в [37-39] исследуют деформацию пузырька при сильном высокоскоростном сжатии. Благодаря работам Аганина и его коллег в последнее время математические методы, моделирующие несферичность пузырьков, активно развиваются. В [40, 41] рассматривается взаимодействие двух газовых пузырьков с учетом их несферичности. Пузырьки могут отдалиться друг от друга, могут сблизиться и образовать связанную пару, которая в дальнейшем перемещается в жидкости как единое целое. В процессе сближения возможен вариант сильного нарастания несферичности, что приводит к разрушению пузырьков. В работах [42, 43] математическая модель несферического пузырька описывается трехмерными уравнениями динамики жидкости и газа.
Один из первых подходов к моделированию теплообмена в окружающей пузырек жидкости был предложен Плессетом и Цвиком в 1954 году [44]. Они разработали способ избежать решения дифференциального уравнения энергии для жидкости в частных производных, заменив его интегральным соотношением для температуры поверхности пузырька. В первом приближении интеграл Плессета похож на решение одномерной задачи теплопроводности в полубесконечном теле [45]. В отличие от задачи теплопроводности, Плессет и Цвик учитывают конвективный теплообмен и сферичность задачи, но предполагают малую толщину теплового пограничного слоя. В работе [46] приводится сравнение решения Плессета и Цвика с решением задачи теплопроводности. Показано, что конвективные составляющие при сжатии пузырька усиливают отвод тепла от межфазной поверхности, ускоряя коллапс, тогда как учет кривизны приводит к обратному эффекту. На наш взгляд, предположение о тонком тепловом слое вокруг пузырька более приемлемо для случая роста пузырька, чем для случая его сжатия, что будет обсуждаться ниже. Несмотря на не всегда корректное допущение о тонком тепловом слое, данный подход оказался популярным, его модификации используются и современными исследователями для построения упрощенных моделей [47].
Флоршюц и Чао [46] для расчета теплообмена в жидкости использовали метод Плессета-Цвика, кроме того, они ввели ряд традиционных допущений, некоторые из которых применяются исследователями и сейчас. При этом математическая модель сводится к уравнению движения границы и интегральному выражению для ее температуры. Показано, что сжатие пузырька может происходить в «инерционном», «тепловом» или промежуточном режиме. Проверяя разработанную теорию, авторы воспроизвели теоретическую задачу о сжатии одиночного сферического парового пузырька путем эксперимента в условиях свободного падения. Эксперимент хорошо согласовался с представленной авторами теорией в случае плавного (теплового) сжатия и в случае явно выраженного инерционного сжатия. В первом случае температура в пузырьке практически не отличалась от температуры окружающей жидкости, во втором случае о температуре в пузырьке трудно что-либо сказать, поскольку она слабо влияет на динамику Рэлеевского коллапса
Некоторые гидродинамические особенности эволюции одиночного сферического пузырька в режиме конечного сжатия
Сопоставление границ режимов при у 1/3 (Рисунок 2.3) и у 1/3 (Рисунок 2.5) указывает на следующую интересную особенность. Переход из режима конечного сжатия в режим коллапса при фиксированной величине параметра 5 всегда происходит при увеличении параметра В . Если же величина параметра В фиксирована, этот же переход можно обеспечить за счет изменения параметра Ва, однако качественное влияние параметра Во зависит от величины у: при у 1 / 3 переход от конечного сжатия к коллапсу происходит при уменьшении BG, а при у 1 / 3 - при увеличении. После скачкообразного повышения давления в жидкости при малой интенсивности тепломассообмена (у 1 /3) на границе режимов коллапса и конечного сжатия больший пузырек (с меньшим Ва) схлопывается, а меньший (с большим Во) -только сжимается до определенного предела. При высокой интенсивности тепломассообмена (у 1/3) происходит обратная ситуация. Таким образом, в рамках рассматриваемой модели влияние поверхностного натяжения на переходы между режимами при у 1 / 3 и у 1 / 3 противоположно. Этот же эффект иллюстрируется результатами, показанными на Рисунках 2.6 и 2.7. Отметим также, что при у-1/3 параметр Во выпадает из формулы (2.2), т.е. величина поверхностного натяжения вообще не влияет на процесс.
В разделе 2.1 были выделены два основных режима сжатия парового пузырька: коллапс, при котором пузырек сжимается до полного исчезновения, и режим конечного сжатия, когда пузырек сначала сжимается до некоторого минимального размера, после чего сжатие сменяется расширением. В данном разделе исследуются некоторые характерные гидродинамические особенности эволюции пузырьков в режиме конечного сжатия. Рассматриваются общие закономерности, не зависящие от наличия или отсутствия вязкости, поверхностного натяжения, фазовых переходов, а также характера и интенсивности протекающих в системе тепломассообменных процессов.
Рассматривается сферически-симметричная задача о сжатии газового или парового пузырька в безграничной несжимаемой жидкости. В начальный момент времени жидкость неподвижна. Процесс инициируется скачкообразным повышением давления на бесконечном удалении от пузырька до величины рх.
Для дальнейших рассуждений потребуются уравнения, ранее приведенные в обзоре литературы. Движение, как идеальной жидкости, так и ньютоновской жидкости с постоянным коэффициентом вязкости, определяет уравнение: р( + и ) = _ . (2.13) dt дг дг Решение уравнения неразрывности однозначно определяет поле радиальной скорости и г в зависимости от скорости жидкости у межфазной поверхности U и радиуса пузырька R:
Будем пренебрегать влиянием конденсации на скорость перемещения границы пузырька, т.е. будем считать, что скорость жидкости на границе с пузырьком совпадает со скоростью самой границы. Тогда и для газового, и для парового пузырька уравнение (2.16) можно представить в едином виде: где W = -U = -dR / dt - скорость границы пузырька по направлению к центру симметрии. Уравнение (2.18) описывает динамику жидкости вокруг пузырька. Отметим, что в рассматриваемой системе возможно большое разнообразие в значимости и характере протекания различных физических процессов и явлений, таких, как вязкость, теплопроводность, поверхностное натяжение, фазовые переходы, механизмы тепло- и массообмена. Однако, как следует из уравнения (2.18), единственный канал влияния всех эти эффектов на динамику жидкости - изменение параметра ps - давления в жидкости на границе пузырька. Рассмотрим качественно характер изменения в режиме конечного сжатия трех параметров: скорости границы пузырька W, интегрального объемного расхода жидкости Q = 4nR2W и полной кинетической энергии жидкости К. В начальной и конечной точках процесса все эти величины равны нулю, поэтому по мере сжатия пузырька рассматриваемые параметры сначала растут, а затем уменьшаются. Свои максимумы эти параметры достигают в различные моменты времени. С учетом (2.14), кинетическая энергия жидкости определяется выражением
Таким образом, после того, как кинетическая энергия жидкости начинает уменьшаться, скорость границы пузырька в течение какого-то времени продолжает расти, т.е. пузырек продолжает сжиматься с ускорением. Скорость границы пузырька, согласно (2.18), достигнет максимума, когда давление ps превысит рх и станет
Гомобарическая модель
Гомобарическая модель направлена на максимально полный и точный учет тепломассообмена. Она является модификацией гомобарической модели [5, 59], а также развитием однородной модели, рассмотренной выше. Как и однородная модель, данная модель учитывает вязкость и поверхностное натяжение жидкости, зависимости теплофизических свойств жидкости и пара от температуры, а также достаточно аккуратно рассматривает фазовый переход, благодаря чему обеспечивается точное выполнение баланса энергии системы, за исключением учета кинетической энергии пара. Для расчета полей температуры в жидкости используется уравнение энергии, учитывающее кондуктивный и конвективный перенос тепла, и вязкую диссипацию. В отличие от однородной модели, приближение гомобаричности, хотя и подразумевает однородность давления внутри пузырька, но предполагает неоднородность температуры и плотности пара. По сравнению с однородной моделью гомобарическая модель более точная и информативная. В отличие от [5, 59] в настоящей работе получены данные по сжатию паровых пузырьков в воде в более широком диапазоне начальных условий и до больших степеней сжатия пузырьков. В отличие от работы [47] тепло- массообменные процессы здесь рассматриваются гораздо более точно.
В главе 3 приведены уравнения математической модели гомобарического пузырька (3.5, 3.7, 3.10, 3.11, 3.12, 3.14, 3.22, 3.33) и подходы для ее численной реализации. Для апробации модели и методики расчета проводились сравнения с данными экспериментов [46] и расчетов [5], которые показали удовлетворительные результаты.
Целью численного моделирования являлась иллюстрация общих закономерностей процесса сжатия пузырьков на основе представленной модели, а также сравнение с результатами, полученными на основе однородной модели. Свойства воды и водяного пара приведены в конце 3-й главы. Давление рх во всех расчетах скачкообразно повышалось до 105 Па. В Таблице 2 представлены начальные условия расчетов. Случаи 1-3 относятся к пузырькам с начальным радиусом і =103м и начальными температурами Т0 = 20, 50 и 80 С соответственно, а случаи 4-6 - к пузырькам с меньшим начальным радиусом R0=10 4м и такими же начальными температурами.
На Рисунке 4.9 показано изменение радиуса пузырьков во времени. Как видно, гомобарическая и однородная модели дают практически одинаковые результаты по динамике изменения размера пузырька во времени. Для последующего анализа вместо времени удобно использовать параметр x = R0/R, который будем называть текущей степенью сжатия пузырька. В варианте 3 сжатие пузырька при х«3,5 сменяется расширением, тогда как в остальных расчетах наблюдалось только монотонное сжатие. Отметим, что на основе упрощенной политропной модели (раздел 2), в зависимости от интенсивности тепло- и массообмена между жидкостью и паром, была показана возможность режима конечного сжатия и режима коллапса. Исходя из наблюдаемых результатов, случай 3 соответствует конечному сжатию, а остальные варианты - режиму коллапса.
Формула Рэлея является точным решением рассматриваемой задачи при условии постоянства давления в пузырьке и без учета поверхностного натяжения и вязкости жидкости. Как видно, расхождение с формулой Рэлея растет при увеличении начального радиуса пузырька и начальной температуры. Однако при малом начальном размере и низкой температуре динамика пузырька описывается формулой Рэлея даже при большой степени сжатия.
Рисунок 4.11 иллюстрирует динамику разогрева пара в пузырьках. Как видно, скорость разогрева пара по мере сжатия пузырька увеличивается с ростом начального радиуса и начальной температуры. При этом температура в центре пузырька растет значительно быстрее, чем на его поверхности. Например, для случая 2 при сжатии пузырька в 10 раз прирост температуры на поверхности составил 121 К, тогда как в центре 478 К. Отметим также, что температура пара, вычисляемая в рамках однородной модели, хорошо совпадает с минимальной температурой в пузырьке (на поверхности), но заметно ниже, чем максимальная температура (в центре).
Рисунок 4.11 демонстрирует интересную особенность динамики разогрева паровых пузырьков. Наименьшая скорость роста температуры имела место в варианте 4, который среди рассмотренных вариантов в наибольшей степени соответствует режиму рэлеевского коллапса. Максимальная скорость прогрева пара имеет место в варианте 3. Однако этот вариант соответствует режиму конечного сжатия, и прогрев пузырька здесь достаточно быстро сменяется его охлаждением при переходе от сжатия пузырька к его расширению. Поэтому, с точки зрения достижения максимальной температуры пара, оптимальными являются те варианты, которые соответствуют пограничной области между режимами коллапса и конечного сжатия.
На Рисунке 4.12 показаны типичные пространственные распределения температуры в пузырьке. В самом начале процесса сжатия при любых начальных условиях в пузырьке формируются центральное изотермическое (по радиусу) ядро и сравнительно тонкий неоднородно прогретый слой между ядром и поверхностью пузырька. Далее, с течением времени, толщина неоднородно прогретого слоя увеличивается, а размер изотермического ядра уменьшается. Однако затем неоднородно прогретый слой начинает уменьшаться, а изотермическое ядро увеличивается.
Прогрев пара в центральном изотермическом ядре происходит за счет поршневого эффекта. Как легко убедиться, в изотермическом ядре уравнение (3.17) переходит в приближенное уравнение
Это уравнение является уравнением адиабаты, связывающим температуру в ядре и давление в пузырьке. Отметим, что давление в пузырьке определено температурой на его поверхности по кривой насыщения. Таким образом, зная температуру на поверхности пузырька (например, из расчетов по однородной модели), по кривой насыщения и формуле (4.7) можно оценить температуру в его центре. Как видно из результатов, представленных на Рисунке 4.11, такая оценка является довольно точной.
Результаты численного моделирования на основе гомобарической модели
Изучение тепломассообменных процессов при хранении криогенных жидкостей представляет большой практический интерес для многих технических приложений, в том числе для криогенных топливных баков ракетно-космических систем [1-4]. Одной из малоизученных сторон проблемы является вопрос об эволюции паровых включений внутри объема криогенной жидкости во время пауз работы двигательной установки. Попадание парового пузыря в двигатель крайне нежелательно. С другой стороны существуют физические процессы, способствующие «очищению» жидкой фазы топлива от паровых пузырей. Вследствие притока тепла во время паузы в работе двигательной установки давление в баке растет, что должно приводить к конденсации пара в пузырях и уменьшению их размера, вплоть до полного исчезновения. Поэтому вопрос о скорости сжатия паровых включений в криогенных жидкостях в условиях невесомости представляет значительный практический интерес. Именно эта проблема исследуется в данном разделе методами численного моделирования, применительно к бакам с жидким водородом.
Криогенные жидкости существенно отличаются по своим теплофизическим свойствам от сред, традиционных для задачи о коллапсе пузырьков. Кроме того, эволюция парового пузырька обычно рассматривалась при скачкообразном повышении внешнего давления в жидкости, однако в данном разделе характерной особенностью проблемы является, напротив, медленное увеличение давления, растянутое во времени. Эволюция паровых пузырьков в таких специфических условиях до настоящего времени не изучена.
Рассматривается бак, частично заполненный жидким водородом и находящийся в условиях практической невесомости. Паровая фаза водорода состоит из двух частей: большая паровая «подушка», контактирующая со стенкой бака и маленький паровой пузырек, далеко удаленный от стенки и границы между жидкостью и «подушкой» (Рисунок 6.1). Предполагается, что посторонний газ в пузырьке отсутствует.
Под действием внешнего теплопритока происходит сравнительно медленный нестационарный прогрев рассматриваемой системы. Характерной особенностью этого процесса является неоднородность температурного поля (явление температурного расслоения [1]), когда жидкость быстрее всего прогревается на границе с «подушкой» и в тонком слое около стенки бака, а в глубине жидкой фазы температура растет гораздо медленнее. При этом давление в баке увеличивается, и в каждый момент времени соответствует по кривой насыщения температуре жидкости на межфазной границе между жидкой фазой и паровой «подушкой» бака. Исходя из данной схемы процесса и малого размера пузырька по сравнению с размером бака, можно принять, что рассматриваемый паровой пузырек окружен безграничной жидкостью, в которой температура постоянна, а давление отличается от давления в баке только вблизи пузырька.
Согласно экспериментальным данным [1], зависимость давления в баке от времени в условиях рассматриваемой задачи близка к линейной. Поэтому примем, что давление в жидкости вдали от пузырька изменяется по закону pо = Ро + Пt . Для выбора скорости роста давления П будем опираться на экспериментальные результаты [1], полученные в условиях, близких к реальным как по размеру бака, так и по уровню внешнего теплопритока.
Для численного моделирования используется математическая модель однородного пузырька (3.24). Расчеты проведены для условий полного отсутствия массовых сил (идеальная невесомость), и без учета поверхностного натяжения. Очевидно, что принятие данных предположений приводит к некоторому искусственному замедлению сжатия пузырька. Поэтому практические оценки времени жизни пузырьков на основе полученных результатов будут собой представлять оценки сверху, т.е. с некоторым «запасом». Что касается величины этого «запаса», то здесь надо учитывать
108 следующий момент. Влияние поверхностного натяжения тем сильнее, чем меньше радиус пузырька. На последней стадии коллапса, когда размер пузырька стремится к нулю, поверхностное натяжение кардинальным образом ускоряет процесс сжатия. Однако проведенные ранее расчеты показывают, что в общее время схлопывания пузырька основной вклад вносит, наоборот, начальная стадия сжатия, когда эволюция пузырька происходит еще сравнительно медленно. Поэтому общее время схлопывания пузырька не так сильно зависит от поверхностного натяжения, как прочие параметры, которые на конечной стадии сжатия могут изменяться под влиянием поверхностного натяжения на порядок и более.
Примем, что в начальный момент времени пар в пузырьке находится в динамическом и тепловом равновесии с окружающей жидкостью. Жидкость несжимаемая, невязкая, теплопроводная. Пар в пузырьке подчиняется уравнению состояния идеального газа. На границе раздела фаз температура жидкости равна температуре пара, а давление пара в пузырьке связано с этой температурой кривой насыщения [108]. Удельные теплоемкости жидкости и пара постоянны, а коэффициент теплопроводности жидкости зависит от температуры [108].