Прямая оптимизация теплофизических процессов Толстых Виктор Константинович

Содержание к диссертации

Перечень основных условных обозначений и сокращений 5

ВВЕДЕНИЕ 9

РАЗДЕЛ! ПОСТАНОВКА ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

1.1. Простейшая задача оптимального управления потоком

тепла в химическом реакторе 21

1. Идентификация теплофизических параметров 26

2. Оптимальное управление теплофизическими процессами

при непрерывной разливке метала 32

РАЗДЕЛ 2 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

1. Классическое вариационное исчисление 52

2. Принцип максимума Понтрягина 55

3. Вариационные неравенства 59

4. Другие непрямые методы 62

5. Экстремальные методы 66

РАЗДЕЛ 3 РАЗРАБОТКА ПРЯМОГО ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ПОДХОДА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

3.1. Исследование проблем сходимости экстремальных алгоритмов

в моделях тепломассопереноса 79

2. Производные в бесконечномерном пространстве 96

3. Необходимые условия оптимальности 103

4. Достаточные условия оптимальности 110

РАЗДЕЛ 4

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛОВ ТЕПЛОФИЗИКИ

1. Регуляризация в алгоритмах минимизации 117

2. Реализация необходимых условий оптимальности 122

3. Учет достаточных условий оптимальности 138

4. Оптимизация теплофизических систем с ограничениями 152

РАЗДЕЛ 5

ГРАДИЕНТ ЦЕЛЕВОГО ФУНКЦИОНАЛА. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЗАДАЧ ТЕПЛОФИЗИКИ

5. Развитие общей идеи определения производной Фреше 163

6. Управляемость теплофизических систем с точки зрения экстремальных алгоритмов 168

7. Градиент в задаче оптимального управления химическим реактором 176

8. Градиент в задаче идентификации теплофизических параметров ... 181

9. Градиент в задаче оптимального управления теплофизическими процессами при непрерывной разливке метала 186

РАЗДЕЛ 6

ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ ОПТИМИЗАЦИИ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

3.1. Оптимальное управление потоком тепла в простейшем

химическом реакторе 193

3.2. Идентификация эффективного коэффициента теплопроводности

при формировании отливки 216

3.3. Оптимальное управление охлаждением непрерывного

стального слитка 223

:писок ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1РИЛОЖЕНИЯ

А. Акт о внедрении научно-исследовательской работы
«Численное моделирование гидродинамики и тепломас
сопереноса при получении биметаллических слитков
и отливок» 247

Б. Акт о внедрении научно-исследовательской работы
«Математическое моделирование процессов плавления
промышленных отходов на основе алюминия» 249

6~

Перечень основных условных обозначений и сокращений

ДУО - достаточное условие оптимальности;

МНС - метод наискорейшего спуска;

НУ0 - необходимое условие оптимальности;

n.B.S - почти всвду на S;

СРП - система с распределенными параметрами;

Ь^к - число, регулирующее глубину минимизирующих шагов;

В - ширина потока воды по верху русла, м;

с - скорость распространения малых возмущений;

С - коэффициент Шези, эффективная теплоемкость, Дж/(кг К);

d,d - направление, аддитивная коррекция направления минимиза
ции с учетом изопериметрического условия;

Д - оператор дифференцирования по т;;

#\ 2? - Евклидовы пространства вектор-столбцов и вектор-строк;

/ - линейный функционал, множитель Лагранжа;

F - производная Фреше в точке и;

g ~ ускорение свободного падения, mVc;

G_u - производная Гато в точке и;

h - единичный элемент Гильбертова пространства, ||h|H ;

Н₉ Н* - бесконечномерное Гильбертово и сопряженное с ним
пространства, глубина потока воды в русле, м;

м ~ Гамильтониан;

i, j - индексы компонент векторов, узлы конечно-разностных
аппроксимаций;

{ - уклон дна русла;

I - подъинтегральная функция целевого функционала;

I - штрафная функция;

J - целевой функционал/функция;

J_F - штрафной функционал;

J4ftl -дифференциал Гато, первая вариация функционала J в

точке и по направлению h;

vJ - градиент функционала/функции;

ft - номер итерации;

К - изопериметрическая постоянная;

Ъ₂ - пространство функций с интегрируемым квадратом;

и, п - размерности пространств;

р - направление сопряженных градиентов;

Р_о - оператор проецирования на множество U_ad;

q - распределенный боковой расход воды в русле, mVg, отток

тепла в реакторе, кДжЛм^с);

Q - расход воды в русле, mVc;

г - радиус окрестности точки минимума, координата цилиндрической системы;

г - радиус начала твердой фазы цилиндрического слитка;

R - одномерное Евклидово пространство, гидравлический

радиус, радиус слитка, м;

S - пространственно-временное множество определения

управления;

s - пространственно-временное множество управляемости СРП;

S* - пространственно-временное множество определения целевого функционала;

S" - пространственно-временное множество определения штрафного функционала;

S_i S. - ііррстранственно-временнне множества закрепленных и незакрепленных значений управления;

t - время, с;

?

T - сглаживающий функционал, температура, К;

2М7г] - линейный функционал, '^векторная" производная по

направлению 7г в точке и;
T_s,T - температура солидуса, ликвидуса, К;
Т_с - температура кристаллизатора, заливки металла, К;

Т_а - температура заливки металла, К;

и - управление-функция в пространстве И;

и - управление-вектор в пространстве 2Г;

и₊ - оптимальное управление;

и - управление, подозреваемое на строгий локальный минимум;

Ли - величина отклонения управления от оптимального значения;
U_tU* - пространство, сопряженное пространство управлений;
11 - допустимое множество (подпространство) управлений;

и^л - множество сингулярных точек целевого функционала, U*dJ_d ;

обратных отображений из пространства состояний СРП в

пространство управлений;
v - состояние СРП;

V,V* - пространство, сопряженное пространство состояний СРП;
^Vod ~ допустимое множество состояний;
w - скорость потока воды в русле, м/с, скрытая теплота

кристаллизации, Дж/кг;
1У - скорость вытяжки (литья) металла, м/с;
х, у, z - декартовы координаты;
z_c - нижняя граница кристаллизатора, м;

Z - уровень воды в русле, нижняя граница зоны вторичного

охлаждения, м; а - параметр регулирования направлений минимизации; с^ - параметр регуляризации;

p - параметр регулирования шаблонных направлений минимизации;

7 - коэффициент теплоотдачи, кджЛЛ К);

б - отклонение, вариация, 5-функция;

С - весовой коэффициент штрафного функционала;

6 - 6-функция;

ае - показатель степени штрафной функции;

X - эффективная теплопроводность, Вт/(м К);

і - доля твердой фазы, характеристики гиперболической

системы;

р - плотность, кг/м³,

2 - ограниченное пространственно-временное множество

фулкционироваїгая СРП;

t - пространственно-временная переменная, с или/и м ;

ф - шаблонное приближение управлений;

% ~ смоченный периметр поперечного сечения русла, м;

ш - площадь поперечного сечения потока воды в русле, м²;

Q - стабилизирущий функционал;

Введение к работе

Изучение и управление процессами переноса тепла, импульса и массы имеет большое значение для науки и техники и связано с развитием теплофизики, термодинамики, молекулярной физики и химической кинетики. При этом значительное место отводится теплофизике.

Теплофизические процессы играют определяющую роль во многих промышленных технологиях. Прежде всего, следует отметить хймико-технологические процессы, где перенос как кондуктивный, так и конвективный, являются доминирующими при получении той или иной продукции. Значительное место теплопередача занимает и в различных сферах металлургического производства. Правильная организация процессов тепломассоперенсса при термической обработке изделий позволяет экономить энергию и получать высококачественную продукцию.

Проблемы современной науки и техники необычайно расширили область практических приложений теории теплофизики и теплотехники, они поставили перед ними ряд новых исключительно сложных и глубоких физических задач. Необходимость их решения и практического использования получаемых результатов требует применения разнообразных методов современной науки, в том числе, и новейших достижений теории оптимизации.

Как правило, современные объекты теплофизики распределены в пространстве. При этом математические уравнения, описывающие тепловые процессы, являются уравнениями в частных производных. Такие объекты называют системами с распределенными параметрами (СРП).

СРП охватывают широкий круг объектов и процессов. Это системы, состояние которых зависит от одной, двух или трех пространственных переменных, стационарные или нестационарные. Проблемы математического моделирования таких систем (идентификация), оптимальное управление, автоматизация, создание на их основе экономичных, экологически чистых производств является актуальным, Перечисленные задачи могут решаться в полной мере только при наличии эффективных методов оптимизации СРП. Фразы "поиск оптимального управления" и "оптимизация" здесь являются синонимами.

Управление в СРП может быть не только числом., вектором Но и функцией пространственных и временной переменных, что существенно усложняет и постановку, и решение оптимизационных задач теплофизики.

В первом разделе настоящей диссертации рассматриваются три задачи оптимизации теплофизических СРП. Первая задача оптимального управления связана с одномерным, линейным параболическим уравнением, которому ставится в соответствие некоторый простейший химический реактор. Задача управления заключается в удержании номинальной температуры реакции, проходящей с поглощением тепла [37, 117, 135]. На примере данной задачи исследуются и тестируются традиционные и новые экстремальные методы оптимизации.

Вторая задача связана с идентификацией теплофизических параметров [26, 84]. Точность математического моделирования процессов затвердевания, в основном, определяется точностью задания значительного числа параметров, входящих в управления конвекции и тепло-массопереноса. Такие уравнения довольно громоздки, при численном решений требуют значительных ресурсов ЭВМ и не гарантируют желаемой точности. Вычислительные затраты могут быть снижены путём введения эффективных коэффициентов теплопроводности и диффузии. Это позволяет отказаться от расчёта уравнений конвекции и существенно снизить число экспериментально определяемых параметров, Такие коэффициенты не могут быть измерены непосредственно. Их достоверные значения могут быть получены только в процессе параметрической идентификаций .

Третья задача посвящена актуальной проблеме металлургии - управлению теплофизическими процессами при непрерывной разливке металла [13, 36, 81, 84, 85, 99, 117, 136]. Здесь СРП - это нелинейное эллиптическое уравнение, описывающее установившиеся тепловые процессы в многофазном состоянии металла. Исследуется проблема оптимального теплоотвода в зоне вторичного охлаждения цилиндрического слитка с целью минимизации термических напряжений в затвердевающей фазе. Высокие термонапряжения ухудшают прочностные характеристики металла,

В настоящее время имеется большое разнообразие подходов и методов в теории оптимального управления [20,27,29,30,34,38,39,51,53,66,70,77,78,89,93] и др. Во втором разделе настоящей работы рассматриваются традиционные наиболее известные подходы - это классическое вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина, вариационные неравенства, динамическое программирование, проблема моментов. Все они были созданы для оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами.

Бесконечномерность фазового пространства СРП приводит к исчезновению формализма в алгоритмах решения, превращает необходимые условия оптимальности (НУО) в громоздкие выражения, подчас принципиально не реализуемые при практическом построении оптимального управления [51, 65].

Каждый из указанных подходов имеет свой математический аппарат и специфическую точку зрения на решение задач оптимизации. Обильные теоретические исследования в данной области относительно редко имеют численные _/2 реализации. В основном рассматриваются линейные СРП, В общем случае отсутствуют достаточные условия оптимальности (ДУО) , предполагается гладкость задач. Все это подтверждает отсутствие эффективного универсального подхода к решению задач оптимизации СРП.

Перечисленные выше традиционные подходы являются непрямыми. Они разбивают решение задачи оптимизации на два этапа: I - отыскание выражения, представляющего собой ту или иную форму НУО; 2 - поиск оптимального управления из полученного выражения НУО. Для СРП оба эти этапа являются весьма громоздкими и не всегда преодолимыми, не говоря уже о низкой наглядности всей процедуры достижения конечного результата.

Представляется целесообразным для решения задач оптимизации распределенных теплофизических процессов использовать прямой подход, основанный на непосредственной минимизации целевого функционала различными экстремальными методами.

Однако реализация экстремальных алгоритмов в процессах тепломассопереноса сталкивается с принципиальными трудностями, связанными с существенной нелинейностью данных процессов. Конечные изменения искомых теплофизических параметров могут приводить к чрезмерно малым изменениям в градиенте целевого функционала, при помощи которого строятся итерационные приближения к оптимальному решению. Оказывается, традиционные алгоритмы оптимизации далеко не всегда справляются с такими ОСОБЕННОСТЯМИ теплофизических задач.

Существуют два пути решения экстремальных задач теплофизики: 1 - минимизация целевого функционала в бесконечномерном пространстве управлений; 2- аппроксимация задачи оптимизации конечными разностями или разложение оптимизируемых параметров по базисным функциям и сведение задачи к конечномерной оптимизации. ^/з особенности каждого из этих путей рассмотрены в конце второго раздела. Показано, что второй путь весьма громоздок для СРП и, кроме того, порождает множество дополнительных проблем,, по-существу, превращая прямой подход в непрямой.

Современные алгоритмы бесконечномерной минимизации достаточно полно описаны в работах [33, 96]. однако в них отсутствуют примеры численных решений, в подразделе 2,5 на примере конкретных решений первой задачи оптимального управления химическим реактором демонстри^ руются слабые стороны традиционных бесконечномерных методов первого порядка. Тестируются градиентные методы и метод сопряженных градиентов. Указанные методы не приводят к точному решению за значительное число итераций. Полученные расчеты подтверждают известный факт [33] , что экстремальные методы первого порядка в бесконечномерных пространствах даже при квадратичных функционалах оказываются крайне неэффективными.

ДУО для экстремальных методов имеется только для выпуклых и дважды дифференцируемых функционалов. Проверка выпуклости, вычисление вторых производных целевого функционала может оказаться весьма громоздкой и проблематичной процедурой, особенно для нелинейных задач. В реальных прикладных задачах целевые функционалы могут быть не выпуклыми и не дифференцируемыми.

Анализ современных подходов; и методов оптимизации теплофизических СРП приводит к следующему выводу. "Несмотря на обилие разнообразных публикаций, в теории управления СРП пока не удалось получить удовлетворительного ответа на многие вопросы, которые для конечномерных систем являются элементарными" [51] .

Таким образом, проблемы бесконечномерной оптимизации процессов теплофизики остаются актуальными по сей день. В частности, как подтверждают расчеты последнего

Похожие диссертации на Прямая оптимизация теплофизических процессов

Энергогеометрические характеристики теплового воздействия дуговых источников и оптимизация процессов высокоскоростной сварки Немченко Владимир Иванович

Исследование термогазодинамики и массообмена закрученных ограниченных течений с целью оптимизации рабочего процесса противоточных вихревых горелокВасилюк Ольга Владимровна

Исследование термогазодинамики и массообмена закрученных ограниченных течений с целью оптимизации рабочего процесса противоточных вихревых горелокВасилюк Ольга Владимировна

Моделирование и оптимизация теплофизических и гидродинамических процессов при эксплуатации нефтяных скважинБородкин Константин Владимирович