Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Технологический процесс мониторинга высоковольтного оборудования как объект гибкой автоматизации мехатронными средствами интродиагностики 12
1.1. Обоснование целесообразности автоматизации мониторинга высоковольтного оборудования средствами мехатроники 12
1.2. Понятие гибкой автоматизации мониторинга высоковольтного оборудования 16
1.3. Анализ методов диагностики высоковольтного оборудования в аспекте их перспективности для мехатронных средств дистанционного мониторинга 24
1.4. Выводы 40
ГЛАВА 2. Физические и математические основы электрошумового мониторинга высоковольтного оборудования мехатронными средствами интродиагностики 41
2.1. Физические основы взаимосвязи параметров частичных разрядов с эксплуатационными характеристиками изоляции высоковольтных аппаратов 41
2.2. Анализ и моделирование частичных разрядов в изоляции высоковольтного оборудования как случайного импульсного процесса 46
2.3. Теоретические основы синтеза математических моделей электрошумового мониторинга средствами мехатроники 58
2.4. Выводы 66
ГЛАВА 3. Принципы интеграции диагностических и манипуляционно-исполнительных модулей мехатронного комплекса 67
3.1. Состав, функциональные и информационные взаимосвязи компонентов мехатронного комплекса 67
3.2. Управление движением манимуляционно-исполнительных компонент мехатронного комплекса 76
3.3. Анализ динамических погрешностей сенсорного модуля для дистанционного мониторинга высоковольтного оборудования 84
3.4. Анализ устойчивости вторичного преобразователя ЧР 92
3.5. Анализ быстродействия и динамических погрешностей вторичного преобразователя ЧР 101
3.6. Выводы 110
ГЛАВА 4. Применение мкдм для решения практических задач диагностики высоковольтного оборудования 111
4.1. Формирование обучающих массивов спектрального распределения электрических шумов ЧР 111
4.2. Формирование обучающих массивов значений параметров ЧР 116
4.3. Дистанционный мониторинг концентрации растворённых газов в масле главной изоляции силовых трансформаторов 132
4.4. Выводы 145
Заключение 146
Библиографический список
- Понятие гибкой автоматизации мониторинга высоковольтного оборудования
- Теоретические основы синтеза математических моделей электрошумового мониторинга средствами мехатроники
- Анализ динамических погрешностей сенсорного модуля для дистанционного мониторинга высоковольтного оборудования
- Формирование обучающих массивов значений параметров ЧР
Введение к работе
Актуальность темы. Явление термодиффузии (эффект Соре) представляет собой процесс переноса вещества под действием градиента температуры.
На данном этапе развития науки, техники и технологии актуальна проблема создания новых материалов и модификация уже известных. Возникшая на рубеже столетий техника, воздействующая на вещество на атомарном уровне, привела к появлению целого ряда технологий в различных отраслях деятельности человека. Одно из направлений – модификация поверхности с целью создания определенных свойств, необходимых для конкретной заданной детали механизма или прибора. Чаще всего это ответственные детали (поломка которых может привести к отказу всего механизма), такие как лопатки турбин, обшивка аэрокосмической техники, микрочипы, режущие пластины, хирургические имплантаты и др.
В создании такого рода новых материалов большую роль играет математическое моделирование, поскольку для новых, малоизученных явлений, не достаточно экспериментальных данных для выявления эмпирических зависимостей, тем более, что проведение большого ряда исследований для последующей статистической оценки экономически не выгодно.
Моделирование процессов воздействия на поверхность таких источников энергии и вещества, как лазер, ионный и электронный пучок, излучение, воздействие электрических и магнитных полей отличается от моделирования традиционных, объемных способов модификации, таких как отжиг, закалка, химико-термическая обработка. Основные отличительные аспекты, выделяющие подобные методы обработки поверхности из ряда традиционных – это: локальное воздействие и минимальная длительность этого воздействия (нано – миллисекунды).
Говоря о положительных аспектах и перспективах методов поверхностной модификации и аддитивных технологий, следует учитывать и другие их особенности. Так, с уменьшением времени воздействия и увеличением мощности потока энергии, воздействующего на поверхность, появляются новые эффекты: вибрация, радиационно-стимулированная диффузия, термодиффузия, механические и радиационные дефекты, приводящие к измельчению и самоструктурированию материи и др.
Все эти эффекты и степень их влияния на жизненный цикл изделия промышленности необходимо изучить с тем, чтобы определить разумные режимы обработки изделия, которые будут определять качество готового продукта.
Поскольку в большинстве процессов энергетического воздействия на вещество определяющим параметром является температура и её градиент, одним из наиболее важных факторов, влияющих на формирование структуры, может оказаться диффузия под действием градиента температуры, который создается в поверхностном слое (величина этого слоя может варьироваться в зависимости от условий и, как правило, не превышает несколько микрометров) и вносит свой вклад в процесс массопереноса, делая его нелинейным. В связи с изложенными фактами, тема диссертации: «Моделирование перераспределения элементов в условиях поверхностной термообработки с учетом эффекта Соре» является актуальной.
Степень разработанности темы исследования. Открытие эффекта термодиффузии было совершено Г. Людвигом, первые теоретические описания термодиффузионного эффекта (Соре) было предложено Ш. Соре, С. Чемпеном и Д. Энскогом. Теория подобия и принцип симметрии Л. Онсагера позволили использовать единый подход к моделированию совместно протекающих процессов, в том числе и эффекта Соре. Применительно к кристаллическим телам свой вклад в описание внесли Б.С. Бокштейн, П. Шьюмон, Я.Е. Гегузин, Дж. Маннинг.
Параметрами, характеризующими эффект Соре, являются коэффициент Соре, термодиффузионная постоянная (термодиффузионный фактор) и термодиффузионное соотношение, теплота переноса. Теоретические оценки термодиффузионной постоянной и термодиффузионного соотношения основаны на моделях термодиффузионной ячейки и термодиффузионной колоны (К. Алексан-дер, К. Вирц, Х. Коршинг) и их модификаций, теплоты переноса – на кинетических моделях К. Вирца, В.Б. Фикса, Р.А. Ориани, В. Шоттки, П. Шьюмона, Д.К. Белащенко и их модификациях, однако на данный момент времени определение этих параметров с необходимой точностью возможно лишь экспериментально. Актуальными являются исследования этих параметров применительно к многокомпонентным смесям, имплантированным и легированным материалам. Для подавляющего большинства кристаллических материалов и их расплавов литературные данные по указанным параметрам отсутствуют.
В литературе по технологиям обработки и модификации кристаллических материалов (Д.В. Александров, Д.Л. Асеев, Х.С. Багдасаров, А.В. Башмаков, В.П. Кривобоков, О.В. Пащенко, В.А. Пилипенко, Дж. Поут, В.В. Овчаров, В.И. Рудаков, Г.А. Сапульская, Е.Н. Тумаев, A. Miotello) с использованием магнитных, электрических полей и потоков заряженных частиц отмечается, что термодиффузия играет важную роль в процессах формирования структуры и свойств материалов. На данный момент исследования эффекта Соре сосредоточены относительно технологий направленной кристаллизации (метод Н. Чохральского, зонной плавки), геттерирования и отжига имплантированных кремниевых пластин. Термодиффузия также анализируется применительно к оборудованию ядерных реакторов (Н.М. Власов, Л.А. Дан, Ю.Г. Драгунов, А.М. Скребцов). Между тем, существует потребность анализа влияния эффекта Соре на процессы переноса и в других технологиях модификации поверхности, получения неразъемных соединений с высокими механическими свойствами, что отражено в данной диссертационной работе.
Цель работы состоит в построении и анализе аналитических решений частных задач, в которых проявляется роль термодиффузии, применительно к процессам поверхностной термообработки.
Для достижения поставленной цели требуется:
-
Сформулировать частные задачи, в которых может проявиться роль эффекта Соре.
-
Построить аналитические решения сформулированных задач, выявить основные параметры и безразмерные комплексы, влияющие на перераспределение элементов.
-
Изучить влияние соотношения теплофизических и диффузионных свойств на характер распределения легирующих элементов в условиях термообработки.
-
Выяснить, какие из факторов при наличии термодиффузии оказывают наибольшее влияние на величину напряжений в диффузионной зоне.
Научная новизна работы заключается в том, что в работе впервые сформулированы и исследованы модели формирования диффузионной зоны в условиях поверхностной термообработки с учетом явления термодиффузии, а именно впервые получены аналитические решения частных задач о перераспределении элементов в переходной зоне с учетом эффекта Соре в условиях локального нестационарного нагрева:
– задачи о перераспределении элементов меду покрытием и подложкой в условиях поверхностного нагрева;
– задачи о перераспределении элемента, внедряемого при имплантации;
– задачи о соединении разнородных материалов при локальном нагреве;
– задачи о соединении материалов в условиях неизотермической диффузионной пайки.
Продемонстрировано влияние термодиффузии на напряжения и деформации для упругого и вязкоупругого материалов.
Научная и практическая значимость работы. Полученные аналитические решения частных задач могут быть использованы при отладке программ для решения более сложных связанных задач. На практике результаты могут быть использованы для качественного анализа вклада термодиффузионного эффекта в процесс перераспределения элементов в технологических процессах поверхностной термообработки (нагрев материала с покрытием, легирование с помощью имплантации, электроконтактное спекание, диффузионная сварка).
Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, проводились в рамках следующих научно-исследовательских проектов: при финансовой поддержке РФФИ, проект № 13-01-00444-а Неупругие эффекты при взаимодействии диффузии в объеме и по границам зерен в негидростатически нагруженных материалах (2013–2015), руководитель проекта – д.ф.-м.н., профессор А.Г. Князева, проект № 13-08-98058-р_сибирь_а Моделирование кинетических явлений в многокомпонентном покрытии, растущем на поверхности детали при осаждении из плазмы (2013–2015), руководитель проекта – д.ф.-м.н., профессор А.Г. Князева, проект № 14-08-90037-Бел_а Теоретическое и экспериментальное исследование эволюции структуры и свойств наномодифицированных твердосплавных порошковых композиций при импульсном электроконтактном спекании (2014–2015), руководитель проекта – д.ф.-м.н., профессор А.Г. Князева, проект № 16-01-00603-а Изучение взаимодействия концентрационных и механических волн в условиях электронно-лучевого воздействия (2016–2018), руководитель проекта – д.ф.-м.н., профессор А.Г. Князева, научно-исследовательская работа № 11.815.2014/К в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности НИР № 815, ГЗ «Наука» Сопряженные и связанные задачи тепломассообмена и деформирования в современных технологиях поверхностной обработки (2014– 2016), руководитель – д.ф.-м.н., профессор А.Г. Князева, проект в рамках реализации Программы повышения конкурентоспособности ТПУ Мегагрант РК
№ ВИУ-ИФВТ-85-2014 Материалы для экстремальных условий (2014–2016), руководитель проекта – к.ф.-м.н. директор ИФВТ А.Н. Яковлев.
Методология исследования. Для решения частных задач по исследованию термодиффузии использованы классические аналитические методы теории теплопроводности. В частности, использован метод интегральных преобразований по Лапласу и асимптотическое разложение решения в пространстве изображений в бесконечные быстросходящиеся ряды как по большим значениям комплексной переменной (для малых значений времени), так и по физическим параметрам. Для исследования влияния термодиффузии на напряжения и деформации использованы известные решения классических квазистатическиех задач теории термоупругости и метод аналогий.
На защиту выносятся:
1. Математические модели массопереноса с учетом эффекта Соре в следу
ющих технологических процессах:
– в условиях внешнего нагрева с помощью энергетических потоков материала с покрытием;
– в условиях имплантации в поверхность материала;
– в случае локального тепловыделения в зоне контакта различных материалов;
– в условиях диффузионной сварки различных материалов.
-
Аналитические решения сформулированных задач.
-
Результаты исследования решений, свидетельствующие о том, что термодиффузия приводит к оттоку диффузантов с поверхности вглубь материала, в слоистых материалах приводит к изменению количества вещества, диффундирующего через границу контакта.
-
Выявленные в результате анализа аналитических решений безразмерные комплексы, определяющие степень влияния термодиффузии на распределение концентраций.
-
Результаты оценки механических напряжений в диффузионной зоне, свидетельствующие о том, что термодиффузия приводит к увеличению напряжений и снижению деформаций, а вязкость материала приводит к снижению напряжений и усилению роли эффекта Соре для материала с низкой теплопроводностью.
Степень достоверности полученных результатов подтверждается использованием зарекомендовавших себя аналитических методов (интегральные преобразования и асимптотические разложения в ряды по малым и / или большим параметрам, основанные на предельных теоремах); сравнением частных вариантов общих решений с известными аналитическими решениями (без учета эффекта термодиффузии); использованием разных способов получения решения (в том числе, сравнением с численным решением) и непротиворечивостью получаемых результатов.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях: International Congress on Energy Fluxes and Radiation Effects (Томск, 2012, 2014); XXI, XXII Всероссийские школы-конференции молодых ученых и студентов «Математическое
моделирование в естественных науках» (Пермь 2012, 2013); III Всероссийская молодёжная научная конференция «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2012); III Всероссийская молодёжная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред» (Томск, 2013); The International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2013); V Всероссийская конференция «Взаимодействие высококонцентрированных потоков энергии с материалами в перспективных технологиях и медицине» (Новосибирск, 2013); X Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2013); V Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2014); VIII, IX Международные научно-практические конференции «Современные проблемы машиностроения» (Томск, 2014, 2015); III, IV Международные научно-технические конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Высокие технологии в современной науке и технике» (Томск, 2014, 2015); Всероссийская конференция «XXXI Сибирский теплофизический семинар» (Новосибирск, 2014); VIII Международная конференция, посвященная 115-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева, «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2015 ); Международная конференция «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций» (Томск, 2015, 2016); 11 Международная конференция «Взаимодействие излучений с твердым телом» (Беларусь, Минск, 2015); The International Seminar on Interdisciplinary Problems in Additive Technologies (Томск, 2015); XLII Международная молодёжная научная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2016); Междисциплинарный семинар ВЦ ФИЦ ИУ РАН «Методы многомасштабного моделирования и их приложения» (Москва, 2016).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 20 работах, в том числе 5 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук, 6 статей в зарубежных электронных научных журналах, индексируемых базами данных Web of Science и Scopus, 1 статья в зарубежном научном журнале, 1 статья в сборнике трудов, 7 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных конференций.
Личный вклад автора. Диссертация является, в основном, итогом самостоятельной работы автора. Аналитические решения всех частных задач, анализ полученных решений, а также иллюстрации результатов и выводы получены автором лично. Сравнение теоретических расчетов с численным решением автор проводила совместно с О.Н. Крюковой и А.Г. Князевой. Постановка задач и построение асимптотических разложений решений в пространстве изображений проведено совместно с А.Г. Князевой. Все работы, опубликованные в соавторстве, выполнены при личном участии автора.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из общей характеристики диссертационной работы (введения), шести глав основной части диссертационной работы, заключения, списка литературы (184 наименований), иллюстраций и таблиц (59 иллюстраций и 6 таблиц), всего 150 страниц.
Понятие гибкой автоматизации мониторинга высоковольтного оборудования
В твердом теле коэффициент Соре рассчитывают по измеренной теплоте переноса. Экспериментально теплоту переноса возможно измерить двумя способами: по распределению концентрации в стационарном состоянии или по величине потока массы в случае, когда выполняется условие V_i« Q VlnT, где V_i - градиент химического потенциала диффузанта. Данные по значениям теплоты переноса примесей в кристаллических телах различаются по знаку и величине от -121 кДж/моль до +84 кДж/моль [25]. К сожалению, для подавляющего большинства материалов данные о Q отсутствуют. Некоторые данные по экспериментальному определению Q в твердых телах отражены в работах Бокштейна Б.С. (при термодиффузии водорода в железе и цинке, термодиффузии в Zn, Cu, Ag, Au) [8], Скребцова А.М. (приведены значения теплоты переноса примесей в сером чугуне) [26], Рудакова В.И. и Овчарова В.В. (приведены экспериментальные и теоретические исследования по термодиффузии предварительно имплантированной примеси в кремниевых пластинах в условиях постоянно заданного градиента температур) [27].
Численное определение теплоты переноса и коэффициента Соре в конденсированных растворах осуществляется на основе кинетических моделей [8]: Вирца, Фикса и Ориани, Шоттки, Шьюмона, Белащенко и их модификаций с учетом механизмов диффузии.
Исторический обзор и основные результаты расчетов в рамках этих моделей приведены в следующих статьях. В статье [28] написан исторический обзор по термодиффузии, в котором представлены методы измерения и расчета таких величин, как коэффициент Соре, теплота переноса, термодиффузионный фактор, коэффициент термодиффузии, а также различные подходы к теоретическому описанию этого явления. К сожалению, в данном обзоре содержится мало информации, относящейся к термодиффузии в твердых телах. В работе [29] приведены методы расчета коэффициента Соре а также с использованием преобразований Ханкеля решены некоторые частные задачи термодиффузии в условиях постоянного градиента температур. В статье [30] содержится информация о соотношениях между термодиффузией и теплопроводностью для бинарного кристалла. В статье [31] отражено описание термодиффузии в кристаллах с использованием методов молекулярной динамики и статистической физики. Приведены некоторые значения теплоты переноса в системе железо – углерод.
Необходимо отметить, что все авторы говорят о том, что предложенные методики расчета далеки от желаемого согласия с экспериментом (теоретическое и экспериментальное значения теплоты переноса могут отличаться на несколько порядков).
Массоперенос под действием градиента температуры используется в промышленности в нескольких технологиях. Наибольшее количество исследований связано с применением эффекта Соре для разделения смесей газов (с помощью термодиффузионной колонны) [6] и жидкостей (сепарация в термогравитационной, кристаллизационной колонне).
Термодиффузионные колонны применяются как для разделения смесей изотопов [1, 32-35], так и для разделения фракций нефти [20]. В последнем случае метод позволяет разделять фракции, температура кипения которых близка, вследствие чего другие методы разделения не могут быть использованы эффективно.
Эффект Соре используют также и для глубокой очистки веществ [20]. Несмотря на то, что коэффициент полезного действия этого метода мал, что не позволяет его использовать в промышленных масштабах, он с успехом применяется для разделения небольших объемов (например, для получения материалов для лабораторных исследований).
Первые модели процесса разделения в плоской и цилиндрической термодиффузионной колонне были предложены еще в сороковых годах двадцатого века В. Ферри, Р. Джонсом и Л. Онзагером [1]. Физические модели имеют следующие допущения: устойчивый ламинарный режим течения и независимость коэффициентов переноса (теплопроводности и диффузии) и вязкости от концентрации и температуры. Позже, другими авторами были проведены более детальные исследования и показано, что учет зависимости коэффициентов переноса и плотности смеси (как жидкой, так и газообразной) не вносят существенного вклада в результат, т.е. разница в расчетах с учетом и без учета зависимости коэффициентов переноса и плотности от температуры и состава по разным данным не превышает от одного до трех процентов [1]. Массоперенос в аппаратах для газовой смеси описывается в рамках молекулярно-кинетической теории, а для жидких растворов – с позиции термодинамики необратимых процессов. При этом систему уравнений переноса линеаризуют и получают аналитические решения для различных предельных вариантов. Несмотря на простоту и некоторые допущения, эти модели позволили качественно описать процесс разделения и получить соотношения для расчетов термодиффузионных колонн. Более поздние исследования в этой области учитывают и другие совместно протекающие эффекты. Так, в работе [36, 37] гидродинамические модели течения жидкости в термодиффузионных колоннах и ячейках учитывают влияние вибрационной конвекции. При этом для анализа процессов тепломассообмена бинарных и многокомпонентных смесей и устойчивости конвективных течений используется теория групп Ли, что позволяет расширить применение полученных ранее аналитических решений.
Количество литературных данных по этой тематике необъятно, поэтому остановимся лишь на основных аспектах, найденных в литературе, которые касаются работы, представленной в диссертации. Во-первых, термодиффузия в жидкостях происходит на порядок быстрее, чем в газах. С одной стороны этот факт используется с целью увеличения эффективности метода разделения, а с другой стороны он свидетельствует о том, что стоит ожидать, что коэффициент Соре (термодиффузии) в твердых растворах будет одного порядка или выше по значению в сравнении с растворами жидкими. Во-вторых, термодиффузия в жидких растворах вызывает конвекцию, которая с одной стороны снижает эффективность разделения, а с другой стороны применительно к расплавам (технология наплавки), по-видимому, будет приводить к перемешиванию наплавляемых компонентов с материалом основы. Однако, если речь идет не о легирующих добавках (как в случае наплавки, пайки, спекания), а о нежелательной примеси (при эпитаксии и выращивании чистых кристаллов), конвекция является нежелательной.
Технология направленной кристаллизации используется для изготовления ответственных соединений (т.е. соединения, которые должны выдерживать постоянные или переменные, ударные рабочие нагрузки (нагрев, излучение, вибрации, внешние силы и др.) без разрушения). Это такие детали как омические и лазерные элементы, подложки интегральных микросхем, подложки детекторов радиационного излучения, элементы оптики высокого разрешения, лопатки турбин, и др. Во всех случаях происходит выращивание монокристаллов металлов или соединений, т.е. наличие примеси нежелательно, поскольку с приложением нагрузки дефекты кристаллической решетки могут привести к разрушению детали.
Существует несколько методов выращивания монокристаллов: О. Вернейля (С.К. Понова и Н.П. Ильина), И. Чохральского и его модификации (С. Киропулоса, М.И. Мутасова, А.В. Степанова), Б. Бриджмена и Д. Стокбаргера, Х.С. Багдасарова (метод зонной плавки), метод гарниссажа (холодного тигля), гидротермальное выращивание, твердофазная рекристаллизация [38]. Основные отличия методов связаны с источниками нагрева (газоплазменный, омический, высокочастотный, плазменный, электроннолучевой, оптический, лазерный) и наличием (отсутствием) тигля. Принцип всех методов заключается в том, что исходный материал (чаще всего это порошок оксидов, керамики, солей) подвергается нагреву до температуры плавления. Затем, в зависимости от метода, этот расплав либо кристаллизуется на затравке, которая вытягивается из расплава, либо происходит движение тигля относительно источника нагрева так, что зона расплава и кристаллизации движется, либо происходит локальное плавление с припеканием частиц порошка, которые подаются на затравку, либо происходит кристаллизация в расплава в растворе посредством конвективного движения смеси в поле поддерживаемого между разделенными перегородкой зонами камеры градиента температур. Все эти процессы достаточно длительные, скорость роста кристаллов варьируется в зависимости от метода и может достигать от нескольких мм в час до нескольких мм в сутки.
Теоретические основы синтеза математических моделей электрошумового мониторинга средствами мехатроники
Существуют обширные таблицы преобразований Лапласа, с помощью которых без труда можно найти изображение по оригиналу или оригинал по изображению [136] для многих частных задач. Однако в некоторых случаях приходится пользоваться численными методами обращения или использовать асимптотические разложения.
В заключение раздела приведем без доказательства известные в теории операционного исчисления [135, 137] теоремы, которые полезно вспоминать при построении приближенных формул. 5. Теорема о начальном значении. Если Umf(t) существует, то limfif)= lim РІІР) . (2.5) Формула (2.5) дает возможность определить начальное значение оригинала /(+0) по известному изображению f(p), но только в том случае, если заранее известно, что /(+0) существует. Теорема важна в тех случаях, когда изображение имеет очень сложный вид и перейти к оригиналам по формулам обращения не удается. Тогда, разлагая f(p) в асимптотический ряд (для больших р), найдем более простую формулу, приводящую к оригиналу в виде ряда для малых t. 6. Теорема о конечном значении. Если limfy) существует, то /- со lim f\f) = lim Р fip) Здесь также требуется предварительная проверка существования оригинала для больших t, иначе могут быть допущены ошибки. Например [135, 137], е -=- и Цщ = 0. В то же р-1 р 0р-1 время Ііууі exp(t) = оо. В данном случае несоответствие произошло потому, что интеграл Лапласа для функции exp(t) существует лишь при Re р 1, а отыскивая предел р/(р -1) при р —» 0, мы вышли за пределы области регулярности функции f(p). Точные решения и формулы, которые применяют для анализа экспериментальных данных, получены для довольно простых случаев. Они достаточно хорошо описывают физические явления, наблюдаемые в стационарных и близких к ним условиях. Между тем, существует потребность анализа более тонких физических явлений, протекающих в условиях наличия градиента температуры.
При практическом использовании строгих аналитических методов получаемые решения часто выражаются громоздкими функциональными зависимостями. В нелинейных и связанных задачах эти зависимости возникают уже на стадии решения в пространстве изображений. В этом случае отдельную проблему представляет обращение изображений. Для этого можно использовать численное обращение изображений [138], что также требует применения особых методов расчета. Другим подходом является качественный анализ промежуточного решения с учетом величины физических параметров. Выделяя в решении малые и большие (с точки зрения физики заложенных в модель процессов) параметры, удобно представить функциональные зависимости в виде асимптотических разложений по этим параметрам [133, 137, 139, 140]. И это обосновано, поскольку позволяет учесть дополнительные условия, не входящие в математическую модель явно.
В качестве примера рассмотрим прикладную сопряженную задачу теплообмена [139, 140].
Математическая модель зажигания конденсированного вещества с инертным покрытием толщиной l с помощью внешнего источника включает уравнения теплопроводности активного вещества к = 2); E2, Q2, k2 - параметры химической реакции; функции ф(,т), \/(т), а также граничное условие при , = О определяются типом внешнего источника и свойствами вещества преграды. Предположим, что источником является горячая пластина, нагретая до температуры Ts , тогда = 0: 0 =0; ф = \/ = 0.
Эта задача нелинейная и в общем случае может быть решена только численно. Конечной целью такого рода задач является нахождение времени и температуры, при которых тепловыделение от химической реакции приведет к ускорению процесса: росту температуры в объеме и быстрому развитию реакции. Приближенное аналитическое решение таких задач состоит из двух частей - решения инертной задачи теплопроводности (без химического источника во втором уравнении) и применении какогоОлибо подходящего критерия. Инертная задача имеет точное аналитическое решение [133], которое может быть, например, найдено с помощью интегральных преобразований по Лапласу (дк ик, т—»/ ). Однако для практического применения в задаче о зажигании это решение мало пригодно вследствие громоздкости. Вот здесь и пригождаются асимптотические разложения в пространстве изображений. Покажем это.
Анализ динамических погрешностей сенсорного модуля для дистанционного мониторинга высоковольтного оборудования
В материалах с различными реологическими свойствами влияние разных факторов (например, градиентов температуры и состава) на величины напряжений и деформации может быть различным. Однако предсказать каким образом это скажется на полях напряжений и деформаций невозможно без детального анализа. Для примера в качестве модели неупругого тела была выбрана модель вязкоупругого тела Максвелла.
Для вязкоупругого тела Максвелла справедливо соотношение [131]: Уравнения равновесия в этом случае можно записать разными способами: Поскольку пластина не нагружена, граничные условия на поверхностях имеют вид: где п- - единичная внешняя нормаль к поверхности. Эта модель вязкоупругого тела обладает очень полезным свойством. В [131] показано, что для решения несвязанных задач о механическом равновесии вязкоупругого тела (особенно с учетом температурных напряжений) применим метод математической аналогии, согласно которому решение вязкоупругой задачи можно получить из решения соответствующей ей упругой задачи, заменяя в пространстве изображений по Лапласу коэффициенты Ламе X, \х на эффективные коэффициенты, зависящие от комплексной переменной. Этот метод оказался удобным для линейной задачи, учитывающей термодиффузию. Метод заключается в следующем.
Перейдем в определяющих соотношениях (2.13), (2.31) и уравнениях равновесия (2.14), (2.32) для упругого и вязкоупругого тела к их изображениям.
Видим, что (2.33) и (2.35) внешне различаются только обозначениями. Это говорит о том, что если решение упругой задачи о равновесии записать в изображениях, а затем заменить упругие постоянные X, \х в выражениях для компонент тензоров напряжений и деформаций для упругой среды их вязкими аналогами Xv,\xv (2.36), то мы получим решение задачи о равновесии для вязкоупругой среды в изображениях. Останется только перейти к оригиналам. Подобный метод применим и для других моделей реологических сред.
Таким образом, в данной главе описаны выбранные задачи, методы, которые применяются для решения частных задач о перераспределении элементов в условиях наличия градиента концентраций и температур, задач о механическом равновесии для тонкой пластины с учетом различия механических свойств слоев. 3 Перераспределение легирующих элементов между покрытием и подложкой в условиях внешнего нагрева
Предположим, что на образец, представляющий собой пластину размером H , нанесен тонкий слой покрытия толщиной h . Со стороны покрытия вдоль оси x действует поток тепла q0 , равномерно распределенный вдоль поверхности (Рисунок 3.1). При условии однородного нагрева поверхности задачу можно считать одномерной. Такая ситуация может реализоваться, например, при термообработке материала с покрытием или в начале интенсивного внешнего нагрева детали с покрытием или двухслойного металлического композита при эксплуатации.
Примем, что состав материалов различается содержанием легирующего элемента и рассмотрим перераспределение этого диффузанта. Такая ситуация реализуется, когда диффузионная скорость легирующего элемента в несколько раз выше скорости диффузии материалов слоев.
Теплофизические свойства материалов обозначены индексами A – для покрытия и B – для подложки.
Математическая постановка включает уравнения теплопроводности и диффузии для покрытия и подложки.
На границе подложки с окружающей х = 0 средой задан поток тепла от внешнего источника, массообмен с окружающей средой отсутствует. Это отражают условия: дТл ТА =- А Г = Ч0; дх „ дСл дТл А А = —ОДА DTA = 0 . дх дх На границе раздела «покрытие - подложка» х = h предполагаем идеальный контакт, т. е. тепловые и диффузионные потоки на границе равны, температуры и химические потенциалы компонента в разных материалах gA и gB одинаковы:
Здесь сА,св - теплоемкости; рА, р# - плотности и ХА в – теплопроводности материалов; ТА,ТВ - температура в слоях; СА,СВ - концентрация легирующего элемента в слоях; DAA, DBB - коэффициенты диффузии; DTA, DTB - коэффициенты термодиффузии для областей покрытия и подложки; 3ТА,3ТВ, 3А, Зв - потоки тепла и массы соответственно. Учитывая, что химические потенциалы можно представить в виде [8] где индекс 0 относится к стандартному состоянию (зависит только от температуры), тк - молярная масса компонента, R - универсальна газовая постоянная; ук - коэффициент активности компонента в материале с индексом к, последнее из условий на границе раздела материалов представим в виде С А = С в У в НА = СвЧ АВ , где y g - коэффициент сегрегации. В начальный момент времени температура равна начальной: t = 0 : ТА=ТВ = Г0; концентрации элемента в материалах заданы: СА = СА0; Св = Св0. Такая постановка задачи корректна в предположении, что характерный размер тела Н можно считать бесконечным по сравнению с размерами зон прогрева хт и диффузии xD, формирующихся за время наблюдения.
Подобные задачи аналитически удобнее всего решать с помощью метода преобразований Лапласа (операционным методом) [133, 154].
Поскольку в данной постановке задачи учитывается влияние распределения температуры на распределение концентрации, удобнее будет начать решение с нахождения температуры.
Пользуясь свойствами, теоремами и начальными условиями [134], запишем задачу в пространстве изображений, при этом переменная t по времени в пространстве изображений перейдет в ее изображение p , а изображение функции будем обозначать чертой над ней. Решение сопряженной задачи теплопроводности известно [133, 137, 155]. В удобных для дальнейшего переменных в пространстве изображений по Лапласу граничные условия примут вид:
Формирование обучающих массивов значений параметров ЧР
Очевидно, что чем выше теплопроводность покрытия по отношению к теплопроводности подложки, тем ниже градиент температуры в покрытии, следовательно, тем медленнее будет протекать термодиффузия.
Таким образом, проиллюстрированы зависимости температуры и ее градиента, а также перераспределение элементов между покрытием и подложкой для бинарной системы.
В случае, когда диффундирующих компонентов в покрытии и подложке несколько (например, 4), постановка задачи аналогична вышеизложенной. В этом случае с учетом закона сохранения массы достаточно решить систему из трех уравнений диффузии, а концентрацию 4го компонента найдем как: 3 где / = 1,2,3 ; к = А, В .
В случае многокомпонентной диффузии полученное выше решение термодиффузионной задачи также применимо [164, 165], при условии, что перекрестное диффузионные потоки равны нулю.
Для иллюстрации примем, что материал покрытия - титан с примесью углерода, а материал подложки - железо с примесью углерода. Эффективные теплофизические свойства, принятые для расчета [161], представлены в таблице 3.3. Температура образца с покрытием до нагрева составляет Г0 = 300 К. Таблица 3.3 - Свойства материалов
На рисунке 3.6 представлены распределения температуры и ее градиента по толщине материала с покрытием. В данном случае теплопроводность и температуропроводность покрытия ниже, чем у подложки. Поэтому с увеличением толщины покрытия в 10 раз температура уменьшаются; градиент температуры в зоне прогрева также уменьшается по абсолютной величине. Очевидно, что с увеличением плотности мощности потока тепла эта тенденция сохраняется, а температура поверхности увеличивается с 734.77 К и 716.33 К до 1169.54 К и 1132.66 К соответственно для разных h. Тем не менее, визуально величина зоны прогрева меняется незначительно, поскольку она на несколько порядков превышает толщину покрытия.
Очевидно, что в окрестности границы раздела «подложка-покрытие» наблюдается перегиб и в кривой температуры и в потоке тепла. При этом градиент температуры претерпевает разрыв. В любом случае с течением времени вследствие теплопроводности градиент температуры уменьшается и его влияние на процесс переноса массы ослабевает.
С уменьшением плотности мощности потока тепла скорость нагрева поверхности падает. Чем выше скорость нагрева и/или охлаждения, тем большее влияние оказывает эффект Соре на результирующий профиль концентрации. T, К
Зависимость температуры (а) и ее градиента (б) от координаты х для следующих параметров: h = 10 10 6м (пунктир), h = 100-Ю-6м (сплошная линия); Для расчетов перераспределения концентрации принимаем толщину покрытия равной 100 мкм, а плотность мощности теплового потока q0 =2-10 Вт/(м ). Полагаем, что титановое покрытие и железная подложка содержат один и тот же легирующий элемент (углерод). Тогда в модели будут два диффундирующих элемента (1 - титан и 2 - углерод). Перекрестными диффузионными потоками пренебрегаем.
Примем, что концентрация титана в начальный момент времени составляет СА1 =0.99 в В2 покрытии и Ст = 0 в подложке, а для углерода примем С 2=0.01 и С 0.01 соответственно. В этом случае коэффициенты диффузии титана (при Г = 1200 К) в покрытии и подложке взяты из справочной литературы [161, 162], коэффициенты термодиффузии варьировались. Принятые для расчета значения представлены в таблице 3.4. м2/(сК) Если не учитывать термодиффузию, титан распределяется монотонно (Рисунок 3.7 а), а концентрация углерода остается постоянной (Рисунок 3.7 б). При варьировании коэффициента распределения у на границе контакта материалов покрытия и подложки на кривой распределения концентрации диффузанта появляется разрыв: при у 1 концентрация в покрытии уменьшается, а в подложке - увеличивается. Размер диффузионной зоны в случае, когда начальная концентрация диффузанта в покрытии и подложке различны (Рисунок 3.7 а), практически не изменяется. В иной ситуации, когда начальная концентрация диффузанта в покрытии и подложке одинакова (Рисунок 3.7 б), в результате отклонения коэффициента распределения у от единицы между покрытием и подложкой появляются диффузионные зоны, размер которых сопоставим с теми, которые появляются в результате термодиффузии, при этом обеднение поверхности не происходит.
Зависимость концентрации титана (а) и углерода (б) от координаты х без учета термодиффузии для следующих параметров: 1 - ґ = 5-10 3; 2 - ґ = 50 -10_3 с; у = 0.8 (точечный пунктир), у = 1 (сплошная линия), у = 1.2 (пунктир) При наличии термодиффузии (Рисунок 3.8 а, б), кривая концентрации отклоняется от "традиционной". При этом ширина диффузионной зоны титана практически не изменяется, в то время как ширина диффузионной зоны для углерода увеличивается.
Из рисунка 3.8 б видно, что градиент температуры не приводит к образованию максимума на кривой перераспределения углерода. В то же время на концентрационной кривой титана (Рисунок 3.8 а) наблюдается максимум концентрации в подложке, что, по-видимому, является следствием конкурирующих процессов диффузии и термодиффузии. A АС і =Cj[x,t;D 0]-СДх,ґ;/) = 0 J, от координаты х для 1 - t = 5-10-3 ; 2 - t = 50-10-3с Если начальная концентрация диффузанта в покрытии больше, чем в подложке, коэффициент термодиффузии влияет на ширину диффузионной зоны незначительно. Чем выше коэффициенты термодиффузии и Соре, тем быстрее происходит массоперенос вследствие термодиффузии, когда диффузант движется из покрытия в подложку.
Если коэффициент диффузии в покрытии выше, чем в подложке, ширина диффузионной зоны в покрытии больше, чем в подложке, и наоборот. В противном случае наблюдается отток диффузанта с поверхности покрытия, и отток диффузанта из покрытия в подложку ускоряется; с течением времени количество диффузанта, проходящее через границу с подложкой, увеличивается.
Когда коэффициент термодиффузии выше в подложке, чем в покрытии, отток диффузанта с поверхности покрытия незначителен или не наблюдается, отток диффузанта из покрытия в подложку замедляется, с течением времени количество диффузанта, проходящее через границу с подложкой уменьшается.
Если начальная концентрация диффузанта в покрытии и подложке в начальный момент времени одинакова, термодиффузия приводит к появлению диффузионной зоны тех же размеров, что и при различной начальной концентрации компонентов в покрытии и подложке.
Таким образом, исследована зависимость распределений температуры и концентрации от соотношения теплопроводности и коэффициентов термодиффузии в покрытии и подложке. Выявлено, что термодиффузия влияет на количество вещества, проходящего через границу контакта материалов, вследствие чего может как ускорять, так и замедлять массоперенос диффузантов.